(同濟(jì)大學(xué))高等數(shù)學(xué)課件D5-1定積分重點(diǎn)

第五章

積分學(xué)

不定積分

定積分

定積分

第一節(jié)

一、定積分問題舉例

二、

定積分的定義

三、

定積分的性質(zhì)

機(jī)動(dòng)

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結(jié)束

定積分的概念及性質(zhì)

第五章

一、定積分問題舉例

1.曲邊梯形的面積

設(shè)曲邊梯形是由連續(xù)曲線

以及兩直線

所圍成,求其面積

A.??A機(jī)動(dòng)

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結(jié)束

)(xfy?矩形面積

梯形面積

1xix1?ixayo解決步驟:1)

大化小.在區(qū)間[a,b]中任意插入n–1個(gè)分點(diǎn)

bxxxxxann????????1210?],[1iiixx???用直線

ixx?將曲邊梯形分成

n

個(gè)小曲邊梯形;2)

常代變.在第i

個(gè)窄曲邊梯形上任取

作以

],[1iixx?為底,)(if?為高的小矩形,并以此小

梯形面積近似代替相應(yīng)

窄曲邊梯形面積

得

)()(1???????iiiiiixxxxfA?i?機(jī)動(dòng)

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結(jié)束

3)近似和.????niiAA1????niiixf1)(?4)取極限.令

則曲邊梯形面積

?????niiAA10lim??????niiixf10)(lim??機(jī)動(dòng)

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結(jié)束

ayo1xix1?ixi?2.變速直線運(yùn)動(dòng)的路程

設(shè)某物體作直線運(yùn)動(dòng),且

求在運(yùn)動(dòng)時(shí)間內(nèi)物體所經(jīng)過的路程

s.解決步驟:1)大化小.將它分成

在每個(gè)小段上物體經(jīng)

2)常代變.得

iiitvs???)(?),,2,1(ni??已知速度

機(jī)動(dòng)

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結(jié)束

n

個(gè)小段

過的路程為

3)近似和.4)取極限.上述兩個(gè)問題的共性:?

解決問題的方法步驟相同:“大化小,常代變,近似和,取極限

”

?

所求量極限結(jié)構(gòu)式相同:特殊乘積和式的極限

機(jī)動(dòng)

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結(jié)束

abxo二、定積分定義

(P225)任一種分法

,210bxxxxan???????任取

i?總趨于確定的極限I,則稱此極限

I為函數(shù)

在區(qū)間

上的定積分,1xix1?ix?baxxfd)(即

??baxxfd)(iniixf????10)(lim??此時(shí)稱

f(x)在[a,b]上可積.記作

機(jī)動(dòng)

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結(jié)束

??baxxfd)(iniixf????10)(lim??積分上限

積分下限

被積函數(shù)

被積表達(dá)式

積分變量

積分和

稱為積分區(qū)間],[ba定積分僅與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān),而與積分

變量用什么字母表示無關(guān),即

?baxxfd)(??battfd)(??bauufd)(機(jī)動(dòng)

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結(jié)束

定積分的幾何意義:曲邊梯形面積

曲邊梯形面積的負(fù)值

abyx1A2A3A4A5A54321d)(AAAAAxxfba??????各部分面積的代數(shù)和

機(jī)動(dòng)

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結(jié)束

o1xyni定理1.

定理2.

且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)

可積的充分條件:(證明略)例1.

利用定義計(jì)算定積分

解:

將[0,1]n

等分,分點(diǎn)為

取

機(jī)動(dòng)

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2xy?iiiixxf???2)(??則32ni?o1xyniiinixf???)(1????niin1231)12)(1(6113????nnnn)12)(11(61nn???iniixxx???????120102limd?????nlim31?2xy?注

注

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結(jié)束

121lim)2(??????ppppnnn???nnipn1lim1?????nixxpd10??i?ix?例2.

用定積分表示下列極限:

?????ninnin111lim)1(121lim)2(??????ppppnnn?解:?????ninnin111lim)1(nninin11lim1???????i?ix?xxd110???機(jī)動(dòng)

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x01ni1?ni說明:機(jī)動(dòng)

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,],[)(baCxf?設(shè),d)(存在則?baxxf根據(jù)定積

分定義可得如下近似計(jì)算方法:),,1,0(nixiaxi??????,nabx???),,1,0()(niyxfii???記?baxxfd)(.1xyxyxyn????????110?)(110??????nnabyyy?將[a,b]分成

n等份:abxoyix1?ix(左矩形公式))(21nnabyyy??????(右矩形公式)?baxxfd)(.2xyxyxyn????????21?baxxfd)(.3xyyii???][211??)()(21110???????nnyyyynab?(梯形公式)????11ni為了提高精度,還可建立更好的求積公式,例如辛普森

機(jī)動(dòng)

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abxoyix1?ix公式,復(fù)化求積公式等,并有現(xiàn)成的數(shù)學(xué)軟件可供調(diào)用.三、定積分的性質(zhì)

(設(shè)所列定積分都存在)0d)(??aaxxf?baxd.2(k為常數(shù))??????bababaxxgxxfxxgxfd)(d)(d)]()([.4證:iiinixgf??????)]()([lim10???左端iiniiinixgxf??????????)(lim)(lim1010????=右端

ab??機(jī)動(dòng)

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結(jié)束

證:

當(dāng)

bca??時(shí),因

在

上可積,所以在分割區(qū)間時(shí),可以永遠(yuǎn)取c

為分點(diǎn),于是

??],[)(baiixf?????],[)(caiixf???],[)(bciixf?abc0??令??baxxfd)(?caxxfd)(??bcxxfd)(機(jī)動(dòng)

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結(jié)束

abc當(dāng)

a,b,c

的相對(duì)位置任意時(shí),例如

,cba??則有

??caxxfd)(?baxxfd)(??cbxxfd)(??caxxfd)(??baxxfd)(??cbxxfd)(??caxxfd)(??bcxxfd)(機(jī)動(dòng)

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6.

若在[a,b]上

0)(1????iinixf??則

證:??baxxfd)(0)(lim10??????iinixf??推論1.

若在[a,b]上

則

機(jī)動(dòng)

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推論2.證:)(

xf???)(xf)(xf?)(ba?xxfxxfxxfbababad)(d)(d)(???????即

xxfxxfbabad)(d)(???7.

設(shè)

,)(min,)(max],[],[xfmxfMbaba??則

)(ba?機(jī)動(dòng)

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結(jié)束

例3.

試證:

證:

設(shè)

?)(xf,sinxx則在

),0(2?上,有

??)(xf2sincosxxxx?)tan(xx??2cosxx0?)0()()(?????fxff2?即

?2,1)(??xf),0(?x2?故

xxxfxd1d)(d2220002?????????即

2dsin120?????xxx機(jī)動(dòng)

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結(jié)束

8.

積分中值定理

則至少存在一點(diǎn)

使

))((d)(abfxxfba????證:

,,],[)(Mmbaxf別為上的最小值與最大值分在設(shè)則由性質(zhì)7可得

根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)介值定理,上至少存在一在],[ba使

因此定理成立.性質(zhì)7目錄

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結(jié)束

oxbay)(xfy?說明:

?

可把

)(d)(?fabxxfba???故它是有限個(gè)數(shù)的平均值概念的推廣.?機(jī)動(dòng)

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結(jié)束

?

積分中值定理對(duì)

因

例4.

計(jì)算從0秒到

T秒這段時(shí)間內(nèi)自由落體的平均

速度.

解:

已知自由落體速度為

tgv?故所求平均速度

2211TgT??2Tg?機(jī)動(dòng)

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結(jié)束

內(nèi)容小結(jié)

1.定積分的定義

—

乘積和式的極限

2.定積分的性質(zhì)

3.積分中值定理

機(jī)動(dòng)

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矩形公式

梯形公式

連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的平均值公式

近似計(jì)算

01xn1n2nn1?思考與練習(xí)

1.

用定積分表示下述極限:解:??????10sinlimnknnkI??1n??????0dsin1xxn?n?2nn?)1(?0?x或

)(sinlim10???????nknnkI?n1???10d