1.2.4圓與圓的位置關(guān)系課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版選擇性

2.4圓與圓的位置關(guān)系第一章直線與圓北師大版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第一冊基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升目錄索引

學(xué)以致用·隨堂檢測促達標課程標準1.掌握圓與圓的位置關(guān)系及判定方法.2.能根據(jù)圓的方程判斷圓與圓的位置關(guān)系.3.能綜合應(yīng)用圓與圓的位置關(guān)系解決問題.基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過知識點

圓與圓的位置關(guān)系及判定1.圓與圓的位置關(guān)系圓與圓的位置關(guān)系有五種,分別為

、

、

、

、

.

外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含2.圓與圓位置關(guān)系的判定(1)幾何法:若兩圓的半徑分別為r1,r2,兩圓的圓心距為d,則兩圓的位置關(guān)系的判斷方法如下:d>r1+r2d=r1+r2r1+r2d=|r1-r2|d<|r1-r2|

(2)代數(shù)法:

代數(shù)法不能區(qū)分內(nèi)切與外切,內(nèi)含與外離消去y(或x)得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程,則①判別式Δ>0時,C1與C2相交;②判別式Δ=0時,C1與C2

;

③判別式Δ<0時,C1與C2

.

外切或內(nèi)切

外離或內(nèi)含

思考辨析1.當兩圓外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含時,公切線的條數(shù)分別是多少?2.當兩圓相交、外切、內(nèi)切時,連心線有什么性質(zhì)?3.如果兩圓相交,如何得到這兩圓的公共弦所在的直線方程?提示

公切線的條數(shù)分別是4,3,2,1,0.提示

當兩圓相交時,連心線垂直平分公共弦;當兩圓外切時,連心線垂直于過兩圓公共點的公切線;當兩圓內(nèi)切時,連心線垂直于兩圓的公切線.提示

當兩圓相交時,把兩圓的一般方程作差消去x2和y2就得到兩圓的公共弦所在的直線方程.自主診斷1.[2024江蘇淮安期末]若圓C1:x2+y2=4與圓C2:(x-3)2+(y+m)2=25外切,則實數(shù)m=

.

解析

根據(jù)題意,圓C1:x2+y2=4,圓心為C1(0,0),半徑為R=2,圓C2:(x-3)2+(y+m)2=25,圓心為C2(3,-m),半徑r=5,若圓C1:x2+y2=4與圓C2:x2+y2-6x-8y+m=0外切,則有|C1C2|=2.[人教B版教材習(xí)題]分別指出下列兩圓的位置關(guān)系(外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含):(1)x2+y2-4x-6y+9=0和x2+y2+12x+6y-19=0;(2)x2+y2+2x-2y-2=0和x2+y2-4x-6y-3=0.重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點一兩圓的位置關(guān)系角度1.兩圓位置關(guān)系的判斷【例1】

(1)已知圓M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直線x+y=0所得線段的長度是2,則圓M與圓N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置關(guān)系是(

)A.內(nèi)切 B.相交C.外切 D.外離B(2)已知圓C1:x2+y2-2x+4y+4=0和圓C2:4x2+4y2-16x+8y+19=0,則這兩個圓的公切線的條數(shù)為(

)A.1或3 B.4 C.0 D.2D角度2.已知兩圓位置關(guān)系求參數(shù)【例2】

當a分別為何值時,圓C1:x2+y2-2ax+4y+a2-5=0和圓C2:x2+y2+2x-2ay+a2-3=0:(1)外切;(2)相交;(3)外離?解

將兩圓方程化為標準方程,則圓C1:(x-a)2+(y+2)2=9,圓C2:(x+1)2+(y-a)2=4.∴兩圓的圓心和半徑分別為C1(a,-2),r1=3,C2(-1,a),r2=2.設(shè)兩圓的圓心距為d,則d2=(a+1)2+(-2-a)2=2a2+6a+5.(1)當d=5,即2a2+6a+5=25時,兩圓外切,此時a=-5或a=2;(2)當1<d<5,即1<2a2+6a+5<25時,兩圓相交,此時-5<a<-2或-1<a<2;(3)當d>5,即2a2+6a+5>25時,兩圓外離,此時a>2或a<-5.規(guī)律方法

1.判斷兩圓的位置關(guān)系或利用兩圓的位置關(guān)系求參數(shù)的取值范圍有以下幾個步驟:(1)將圓的方程化成標準方程,寫出圓心和兩圓的半徑r1,r2.(2)計算兩圓圓心的距離d.(3)通過d,r1+r2,|r1-r2|的關(guān)系來判斷兩圓的位置關(guān)系或求參數(shù)的取值范圍,必要時可數(shù)形結(jié)合.2.應(yīng)用幾何法判定兩圓的位置關(guān)系或求參數(shù)的取值范圍是非常簡單清晰的,要理清圓心距與兩圓半徑的關(guān)系.變式訓(xùn)練1(1)圓(x-4)2+y2=9和圓x2+(y-3)2=4的公切線條數(shù)是(

)A.1 B.2 C.3 D.4C★(2)[2024福建福州期末]已知圓C1:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0和圓C2:x2+y2+4x=0.①當m=2時,判斷圓C1和圓C2的位置關(guān)系.②是否存在實數(shù)m,使得圓C1和圓C2內(nèi)含?若存在,求出實數(shù)m的取值范圍;若不存在,請說明理由.探究點二兩圓相交問題【例3】

(1)圓C1:x2+y2=1與圓C2:x2+y2-2x-2y+1=0的公共弦所在的直線l被圓C3:(x-1)2+(y-1)2=所截得的弦長為

.

★(2)已知圓C1:x2+y2+6x-4=0和圓C2:x2+y2+6y-28=0.①求兩圓公共弦所在直線的方程及弦長;②求經(jīng)過兩圓交點且圓心在直線x-y-4=0上的圓的方程.規(guī)律方法

1.求兩圓的公共弦所在直線的方程的方法是將兩圓方程相減即得兩圓公共弦所在直線方程,但必須注意只有當兩圓方程中二次項系數(shù)相同時,才能如此求解,否則應(yīng)先調(diào)整系數(shù).2.求兩圓公共弦長的方法,一是聯(lián)立兩圓方程求出交點坐標,再用兩點間的距離公式求解;二是先求出兩圓公共弦所在的直線方程,再利用半徑長、弦心距和弦長的一半構(gòu)成的直角三角形求解.變式訓(xùn)練2(1)圓心在直線x-y-4=0上,且經(jīng)過圓x2+y2-4x-6=0與圓x2+y2-4y-6=0的交點的圓的方程為

.

(x-3)2+(y+1)2=16(或x2+y2-6x+2y-6=0)(2)[人教B版教材習(xí)題]已知圓C1:x2+y2=2與圓C2:(x-2)2+y2=8相交于A,B兩點,求線段AB的中點的坐標.解

因為圓C1的圓心為C1(0,0),圓C2的圓心為C2(2,0),所以AB的中點在C1C2,即x軸上.探究點三兩圓相切問題【例4】

求與圓x2+y2-2x=0外切且與直線x+=0相切于點M(3,-)的圓的方程.變式探究1將本例變?yōu)椤扒笈c圓x2+y2-2x=0外切,圓心在x軸上,且過點(3,-)的圓的方程”,如何求?解

因為圓心在x軸上,所以可設(shè)圓心坐標為(a,0),半徑為r,則所求圓的方程為(x-a)2+y2=r2,又因為與圓x2+y2-2x=0外切,且過點(3,-),變式探究2將本例改為“若圓x2+y2-2x=0與圓x2+y2-8x-8y+m=0外切”,求實數(shù)m的值.規(guī)律方法

處理兩圓相切問題的2個步驟

變式訓(xùn)練3已知圓x2+y2=1與圓(x+4)2+(y-a)2=25相切,求實數(shù)a的值.探究點四圓系方程及其應(yīng)用【例5】

求圓心在直線x-y-4=0上,且過兩圓x2+y2-4x-6=0和x2+y2-4y-6=0的交點的圓的方程.解(方法一)設(shè)經(jīng)過兩圓交點的圓系方程為x2+y2-4x-6+λ(x2+y2-4y-6)=0(λ≠-1),規(guī)律方法

1.經(jīng)過兩圓的兩個交點的圓的方程可設(shè)為(x2+y2+D1x+E1y+F1)+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1),然后用待定系數(shù)法求出λ即可.2.對于此類問題首先要理解運算對象,然后選擇好運算方法,設(shè)計好運算程序,最后求得運算結(jié)果.變式訓(xùn)練4求過直線x+y+4=0與圓x2+y2+4x-2y-4=0的交點且與直線y=x相切的圓的方程.學(xué)以致用·隨堂檢測促達標1234567891011121314151617A級必備知識基礎(chǔ)練181920211.[探究點一(角度1)]圓C1:x2+y2=9和C2:x2+y2-8x+6y+9=0的位置關(guān)系是(

)A.外離 B.相交

C.內(nèi)切 D.外切B解析

圓C1:x2+y2=9的圓心為C1(0,0),半徑r1=3;圓C2:x2+y2-8x+6y+9=0化為(x-4)2+(y+3)2=16,圓心為C2(4,-3),半徑r2=4,圓心距1234567891011121314151617181920212.[探究點二]過兩圓x2+y2+6x+4y=0及x2+y2+4x+2y-4=0的交點的直線的方程是(

)A.x+y+2=0 B.x+y-2=0C.5x+3y-2=0 D.不存在A1234567891011121314151617181920213.[探究點三](多選題)半徑為6的圓與x軸相切,且與圓x2+(y-3)2=1內(nèi)切,則此圓的方程可以是(

)A.(x-4)2+(y-6)2=6 B.(x+4)2+(y-6)2=6C.(x-4)2+(y-6)2=36 D.(x+4)2+(y-6)2=36CD12345678910111213141516174.[探究點三]若圓C1與圓C2都和兩坐標軸相切,且都過點(4,1),則兩圓心的距離|C1C2|等于(

)C18192021解析

∵兩圓都與兩坐標軸相切,且都經(jīng)過點(4,1),∴兩圓圓心均在第一象限且每個圓心的橫、縱坐標都相等.設(shè)兩圓的圓心坐標分別為(a,a),(b,b),則有(4-a)2+(1-a)2=a2,(4-b)2+(1-b)2=b2,即a,b為方程(4-x)2+(1-x)2=x2的兩個根,方程整理得x2-10x+17=0,∴a+b=10,ab=17.∴(a-b)2=(a+b)2-4ab=100-4×17=32,12345678910111213141516171819202112345678910111213141516175.[探究點二]已知兩圓相交于兩點A(a,3),B(-1,1),若兩圓圓心都在直線x+y+b=0上,則a+b的值是

.

-11819202112345678910111213141516176.[探究點三]半徑長為6的圓與y軸相切,且與圓(x-3)2+y2=1內(nèi)切,則此圓的方程為

.

(x-6)2+(y±4)2=361819202112345678910111213141516177.[探究點三]已知圓C1:x2+y2=4,圓C2:(x-2)2+y2=4,則兩圓公共弦所在直線方程為

,公共弦的長度為

.

x=1解析

由圓C1:x2+y2-4=0,圓C2:x2+y2-4x=0,

兩個方程作差,可得x=1.即兩圓公共弦所在直線方程為x=1.將x=1代入x2+y2=4,可解得y=±,則公共弦的長度為|y1-y2|=2.181920211234567891011121314151617181920218.[探究點一(角度2)]若圓x2+y2-2ax+a2=2和x2+y2-2by+b2=1外離,則a,b滿足的條件是

.

1234567891011121314151617181920219.[探究點二]若圓O1:x2+y2=5與圓O2:(x-m)2+y2=20(m∈R)相交于A,B兩點,且兩圓在點A處的切線互相垂直,則線段AB的長度是

.

412345678910111213141516171819202110.[探究點四·2024西藏林芝期末]已知圓x2+y2+x-6y+3=0與直線x+2y-3=0的兩個交點為P,Q,求以PQ為直徑的圓的方程.12345678910111213141516171819202111.[探究點二]已知圓O1:x2+(y+1)2=4,圓O2的圓心O2(2,1).若圓O2與圓O1交于A,B兩點,且|AB|=2,求圓O2的方程.123456789101112131415161712.已知點M在圓C1:(x+3)2+(y-1)2=4上,點N在圓C2:(x-1)2+(y+2)2=4上,則|MN|的最大值是(

)A.5 B.7 C.9 D.11C解析

由題意知圓C1的圓心C1(-3,1),半徑長r1=2;圓C2的圓心C2(1,-2),半徑長r2=2.因為兩圓的圓心距

=5>r1+r2=4,所以兩圓相離,從而|MN|的最大值為d+r1+r2=5+2+2=9.故選C.B級關(guān)鍵能力提升練1819202112345678910111213141516171819202113.過點M(2,-2)以及圓x2+y2-5x=0與圓x2+y2=2交點的圓的方程是(

)A12345678910111213141516171819202114.與圓C1:(x+2)2+y2=1,C2:(x-2)2+y2=1都相切,且半徑為3的圓的數(shù)量為(

)A.9 B.7 C.5 D.3B12345678910111213141516171819202112345678910111213141516171819202112345678910111213141516171819202115.圓C1:x2+y2+2ax+2ay+2a2-1=0與圓C2:x2+y2+2bx+2by+2b2-2=0的公共弦長的最大值是(

)D12345678910111213141516171819202116.(多選題)已知圓C1:x2+y2=r2,圓C2:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)交于不同的兩點A(x1,y1),B(x2,y2),下列結(jié)論正確的有(

)A.a(x1-x2)+b(y1-y2)=0 B.2ax1+2by1=a2+b2C.x1+x2=a D.y1+y2=2bABC解析

由題意,由圓C2的方程可化為x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0,兩圓的方程相減可得直線AB的方程為2ax+2by-a2-b2=0,即2ax+2by=a2+b2,分別把A(x1,y1),B(x2,y2)兩點代入可得2ax1+2by1=a2+b2,2ax2+2by2=a2+b2,兩式相減可得2a(x1-x2)+2b(y1-y2)=0,即a(x1-x2)+b(y1-y2)=0,所以選項AB正確;由圓的性質(zhì)可知,線段AB與線段C1C2互相平分,所以x1+x2=a,y1+y2=b,所以選項C正確,選項D不正確.故選ABC.12345678910111213141516171819202117.

已知圓C1:x2+y2=4與圓C2:(x-1)2+(y-1)2=10相交于A,B兩點,則|AB|=

.

12345678910111213141516171819202118.已知圓C1:x2+y2