高中三年級(jí)下學(xué)期數(shù)學(xué)《計(jì)數(shù)原理（一）從一般到特殊解決計(jì)數(shù)問題》教學(xué)課件

計(jì)數(shù)原理（一）——由一般到特殊解決計(jì)數(shù)問題目錄

目錄一計(jì)數(shù)原理1目錄二排列與排列數(shù)2目錄三組合與組合數(shù)3一、計(jì)數(shù)原理1．分類加法計(jì)數(shù)原理2．分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù)問題在日常生活，生產(chǎn)中普遍存在的.當(dāng)數(shù)量較少時(shí)，一個(gè)一個(gè)的數(shù)（羅列法）.當(dāng)數(shù)量較多時(shí)，需要借助計(jì)數(shù)原理.如何完成一件事？

基本思想是：分解問題，化簡問題分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理的區(qū)別分類要做到不重不漏，分步要做到步驟完整.

例題1（1）5名旅客投宿到一個(gè)旅店的3個(gè)房間，（假設(shè)每個(gè)房間都有多個(gè)床位）問共有多少種不同的住店方法？（2）5名學(xué)生爭奪3項(xiàng)比賽的冠軍，獲得冠軍的可能情況種數(shù)有多少？分析與解：在例題1中完成一件事是指什么事？在（1）中是指：將5名旅客投宿到旅店；在（2）中是指：通過比賽確定3項(xiàng)比賽的冠軍.完成這件事的不同的方法數(shù)應(yīng)該如何計(jì)數(shù)？在（1）中，由分步計(jì)數(shù)原理，共有

種方法;在（2）中，由分步計(jì)數(shù)原理，共有

種方法.抽象地，將元素放入位置的方法數(shù).在實(shí)際情境中元素與位置是相對的，為了計(jì)數(shù)方便，通常要求元素只能放入一個(gè)位置，因此在（1）中旅客是元素，房間是位置，在（2）中冠軍是元素，學(xué)生是位置.例題2由1、2、3、4、5、6組成沒有重復(fù)數(shù)字且1、3都不與5相鄰的六位偶數(shù)的個(gè)數(shù)是A．72

B．96

C．108

D．144分析與解：完成一件事是什么事？把數(shù)字看成元素還是位置？特殊位置與特殊元素對計(jì)數(shù)的影響？依題意可知個(gè)位的選擇有2,4,6三種選法，第一種情況，5在十位上，此時(shí)有

種排法;第二種情況，5在百位上，此時(shí)有種排法;第三種情況，5在千位上，此時(shí)有種排法；第四種情況，5在萬位上，此時(shí)有種排法；第五種情況，5在十萬位上，此時(shí)有種排法；所以由1、2、3、4、5、6組成沒有重復(fù)數(shù)字且1、3都不與5相鄰的六位偶數(shù)的個(gè)數(shù)是36+12+12+12+36=108個(gè)．二、排列與排列數(shù)1.排列

從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列．從不同元素中取出按照一定順序排列在位置上2.排列數(shù)

，規(guī)定

，

特別地，當(dāng)

時(shí)，全排列.排列數(shù)是一類特殊計(jì)數(shù)問題的公式，可以方便地解決一類計(jì)數(shù)問題.例題3一生產(chǎn)過程有4道工序，每道工序需要安排一人照看．現(xiàn)從甲、乙、丙等6名工人中安排4人分別照看一道工序，第一道工序只能從甲、乙兩工人中安排1人，第四道工序只能從甲、丙兩工人中安排1人，則不同的安排方案共有A．24種

B．36種

C．48種

D．72種分析與解：對于題目中的問題難度主要是來自分類，按“特殊元素”優(yōu)先考慮的原則，對甲進(jìn)行分類：甲照看第一道工序（甲1丙4）、甲照看第四道工序（甲4乙1）、甲“休息”（乙1丙4）三種.一共有

種方案，故選B.例題4有3名男生、4名女生，在下列不同條件下，求不同的排列方法總數(shù)．（1）全體排成一排，甲不站排頭也不站排尾；（2）全體排成一排，女生必須站在一起；（3）全體排成一排，男生互不相鄰；分析與解：（1）法一：(特殊元素優(yōu)先法)先排甲，有5種方法，其余6人有

種排列方法，共有

(種).法二：(特殊位置優(yōu)先法)首尾位置可安排另6人中的兩人，有

種排法，其他有種排法，共有

(種).（2）(捆綁法)將女生看作一個(gè)整體與3名男生一起全排列，有

種方法，再將女生全排列，有

種方法，共有

(種).（3）(插空法)先排女生，有

種方法，再在女生之間及首尾5個(gè)空位中任選3個(gè)空位安排男生，有

種方法，共

(種).三、組合與組合數(shù)1.組合

從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素放在一起，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合．從不同元素中取出放在一起，不管順序2.組合數(shù)

規(guī)定3.性質(zhì)：（1）

（2）組合數(shù)是一類特殊計(jì)數(shù)問題的公式，可以方便地解決一類計(jì)數(shù)問題.例題5從10個(gè)不同的非零的數(shù)中任取2個(gè)數(shù)，求其和、差、積、商這四個(gè)問題中，屬于組合的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)分析與解：因?yàn)闇p法和除法運(yùn)算中交換兩個(gè)數(shù)的位置對計(jì)算結(jié)果有影響，而加法和乘法運(yùn)算滿足交換律，交換兩個(gè)數(shù)的位置對計(jì)算結(jié)果沒有影響.所以屬于組合的有加法和乘法，共2個(gè).故選B.例題6某單位需派人同時(shí)參加甲、乙、丙三個(gè)會(huì)議，甲需2人參加，乙、丙各需1人參加，從10人中選派4人參加這三個(gè)會(huì)議，不同的安排方法共有______種（用數(shù)字作答）．