人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè) 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式(第1課時(shí)) 分層作業(yè)(含解析)

人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式(第1課時(shí))分層作業(yè)(原卷版)(60分鐘110分)eq\f(基礎(chǔ)對(duì)點(diǎn)練,基礎(chǔ)考點(diǎn)分組訓(xùn)練)知識(shí)點(diǎn)1等比數(shù)列的前n項(xiàng)和1．(5分)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝2n，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則S10等于()A．10 B．210C．210－2 D．211－22．(5分)在等比數(shù)列{an}中，a2＝9，a5＝243，則{an}的前4項(xiàng)和為()A．81 B．120C．168 D．1923．(5分)已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1＝eq\f(1,2)，a2a6＝8(a4－2)，則S2020＝()A．22019－eq\f(1,2) B．1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2019C．22020－eq\f(1,2) D．1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))20204．(5分)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，則a1＝()A．eq\f(1,3) B．－eq\f(1,3)C．eq\f(1,9) D．－eq\f(1,9)5．(5分)在數(shù)列{an}中，已知對(duì)任意正整數(shù)n，有a1＋a2＋…＋an＝2n－1，則aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,n)等于()A．(2n－1)2 B．eq\f(1,3)(2n－1)2C．4n－1 D．eq\f(1,3)(4n－1)知識(shí)點(diǎn)2等比數(shù)列前n項(xiàng)和的實(shí)際應(yīng)用6．(5分)我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問(wèn)題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈？”意思是：一座七層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈()A．2盞 B．3盞C．5盞 D．6盞7．(5分)某人于2017年7月1日去銀行存款a元，存的是一年定期儲(chǔ)蓄，2018年7月1日將到期存款的本息一起取出再加a元之后還存一年定期儲(chǔ)蓄，此后每年的7月1日他都按照同樣的方法在銀行取款和存款．設(shè)銀行一年定期儲(chǔ)蓄的年利率r不變，則到2022年7月1日他將所有的本息全部取出時(shí)，取出的錢(qián)共有()A．a(chǎn)(1＋r)4元B．a(chǎn)(1＋r)5元C．a(chǎn)(1＋r)6元D．eq\f(a,r)[(1＋r)6－(1＋r)]元8.(5分)為了慶祝元旦，某公司特意制作了一個(gè)熱氣球，在熱氣球上寫(xiě)著“喜迎新年”四個(gè)大字．已知熱氣球在第一分鐘內(nèi)能上升25m，以后每分鐘上升的高度都是前一分鐘的80%，則該氣球________上升到125m高空．(填“能”或“不能”)知識(shí)點(diǎn)3錯(cuò)位相減法求和9．(5分)數(shù)列{an}的通項(xiàng)an＝n×2n，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn為()A．n×2n＋1 B．n×2n＋1－2C．(n－1)×2n＋1＋2 D．n×2n＋1＋210.(5分)已知f(x)＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝________.eq\f(能力提升練,能力考點(diǎn)拓展提升)11.(5分)在等比數(shù)列{an}中，S3＝3a3，則其公比q的值為()A．－eq\f(1,2) B．eq\f(1,2)C．1或－eq\f(1,2) D．－1或eq\f(1,2)12．(5分)(多選)已知{an}是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，Sn是{an}的前n項(xiàng)和，且9S3＝S6，則()A．q＝2B．S9＝29－1C．?dāng)?shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))的前5項(xiàng)和為eq\f(31,16)D．6S3＝S913．(5分)在等比數(shù)列{an}中，a1＋ax＝82，a3ax－2＝81，且前x項(xiàng)和Sx＝121，則此數(shù)列的項(xiàng)數(shù)x等于()A．4 B．5C．6 D．714.(5分)已知{an}是等比數(shù)列，a2＝2，a5＝eq\f(1,4)，則a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝________.15.(5分)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若S3，S9，S6成等差數(shù)列，且a8＝3，則a5的值為_(kāi)_______．16.(10分)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝eq\f(n2＋n,2)，n∈N＋.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn＝2an＋(－1)nan，求數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和．17.(12分)在等比數(shù)列{an}中，a5＝162，公比q＝3，前n項(xiàng)和Sn＝242，求首項(xiàng)a1和項(xiàng)數(shù)n.18.(13分)已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a，公差為b，方程ax2－3x＋2＝0的解x1＝1，x2＝b(b≠1)．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列{bn}滿足bn＝an×2n，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式(第1課時(shí))分層作業(yè)(解析版)(60分鐘110分)eq\f(基礎(chǔ)對(duì)點(diǎn)練,基礎(chǔ)考點(diǎn)分組訓(xùn)練)知識(shí)點(diǎn)1等比數(shù)列的前n項(xiàng)和1．(5分)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝2n，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則S10等于()A．10 B．210C．210－2 D．211－2D解析：∵an＝2n，∴a1＝2，q＝2.∴S10＝eq\f(2×1－210,1－2)＝211－2.2．(5分)在等比數(shù)列{an}中，a2＝9，a5＝243，則{an}的前4項(xiàng)和為()A．81 B．120C．168 D．192B解析：設(shè){an}的公比為q，∵a2＝9，a5＝243，∴q3＝eq\f(a5,a2)＝27，∴q＝3.又∵a2＝a1q，∴a1＝3.∴S4＝eq\f(3×1－34,1－3)＝120.3．(5分)已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1＝eq\f(1,2)，a2a6＝8(a4－2)，則S2020＝()A．22019－eq\f(1,2) B．1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2019C．22020－eq\f(1,2) D．1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2020A解析：設(shè){an}的公比為q，∵a2a6＝aeq\o\al(2,4)＝8(a4－2)，∴aeq\o\al(2,4)－8a4＋16＝0.∴a4＝4.∴q3＝eq\f(a4,a1)＝8.∴q＝2.∴S2020＝eq\f(\f(1,2)×1－22020,1－2)＝22019－eq\f(1,2).4．(5分)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，則a1＝()A．eq\f(1,3) B．－eq\f(1,3)C．eq\f(1,9) D．－eq\f(1,9)C解析：設(shè)公比為q，∵S3＝a2＋10a1，a5＝9，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＋a3＝a2＋10a1，,a1q4＝9，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1q2＝9a1，,a1q4＝9，))解得a1＝eq\f(1,9).故選C．5．(5分)在數(shù)列{an}中，已知對(duì)任意正整數(shù)n，有a1＋a2＋…＋an＝2n－1，則aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,n)等于()A．(2n－1)2 B．eq\f(1,3)(2n－1)2C．4n－1 D．eq\f(1,3)(4n－1)D解析：由a1＋a2＋…＋an－1＋an＝2n－1，得a1＋a2＋…＋an－1＝2n－1－1(n≥2)．∴an＝2n－1(n≥2)．又a1＝1，∴an＝2n－1，∴aeq\o\al(2,n)＝4n－1，∴{aeq\o\al(2,n)}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為1，公比為4.∴aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,n)＝eq\f(1×1－4n,1－4)＝eq\f(1,3)(4n－1)．知識(shí)點(diǎn)2等比數(shù)列前n項(xiàng)和的實(shí)際應(yīng)用6．(5分)我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問(wèn)題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈？”意思是：一座七層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈()A．2盞 B．3盞C．5盞 D．6盞B解析：設(shè)塔的頂層的燈數(shù)為a1，七層塔的總燈數(shù)為S7，公比為q，則由題意知S7＝381，q＝2，又由S7＝eq\f(a11－q7,1－q)＝eq\f(a11－27,1－2)＝381，解得a1＝3.故選B.7．(5分)某人于2017年7月1日去銀行存款a元，存的是一年定期儲(chǔ)蓄，2018年7月1日將到期存款的本息一起取出再加a元之后還存一年定期儲(chǔ)蓄，此后每年的7月1日他都按照同樣的方法在銀行取款和存款．設(shè)銀行一年定期儲(chǔ)蓄的年利率r不變，則到2022年7月1日他將所有的本息全部取出時(shí)，取出的錢(qián)共有()A．a(chǎn)(1＋r)4元B．a(chǎn)(1＋r)5元C．a(chǎn)(1＋r)6元D．eq\f(a,r)[(1＋r)6－(1＋r)]元D解析：設(shè)2017年存入銀行的存款為a1元，2018年存入銀行的存款為a2元……則2022年存入銀行的存款為a6元，那么2022年從銀行取出的錢(qián)有(a6－a)元．所以a1＝a，a2＝a(1＋r)＋a，a3＝a(1＋r)2＋a(1＋r)＋a，…，a6＝a(1＋r)5＋a(1＋r)4＋a(1＋r)3＋a(1＋r)2＋a(1＋r)＋a，所以a6－a＝a[(1＋r)＋(1＋r)2＋…＋(1＋r)5]＝eq\f(a,r)[(1＋r)6－(1＋r)].8.(5分)為了慶祝元旦，某公司特意制作了一個(gè)熱氣球，在熱氣球上寫(xiě)著“喜迎新年”四個(gè)大字．已知熱氣球在第一分鐘內(nèi)能上升25m，以后每分鐘上升的高度都是前一分鐘的80%，則該氣球________上升到125m高空．(填“能”或“不能”)不能解析：設(shè)an表示熱氣球在第n分鐘上升的高度．根據(jù)題意，有an＝eq\f(4,5)an－1(n≥2，n∈N*)．已知a1＝25，則{an}為等比數(shù)列，且公比q＝eq\f(4,5).熱氣球上升的總高度Sn＝a1＋a2＋…＋an＝eq\f(a11－qn,1－q)＝125×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))n))<125，即不能上升到125m高空．知識(shí)點(diǎn)3錯(cuò)位相減法求和9．(5分)數(shù)列{an}的通項(xiàng)an＝n×2n，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn為()A．n×2n＋1 B．n×2n＋1－2C．(n－1)×2n＋1＋2 D．n×2n＋1＋2C解析：∵Sn＝2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，①2Sn＝22＋2×23＋3×24＋…＋n×2n＋1，②①－②得－Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1＝eq\f(2×1－2n,1－2)－n×2n＋1＝2n＋1－2－n×2n＋1，∴Sn＝2＋(n－1)×2n＋1.10.(5分)已知f(x)＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝________.2－eq\f(n＋2,2n)解析：∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(1,2)＋2×eq\f(1,22)＋3×eq\f(1,23)＋…＋n×eq\f(1,2n)，①∴eq\f(1,2)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(1,22)＋2×eq\f(1,23)＋3×eq\f(1,24)＋…＋n×eq\f(1,2n＋1).②由①－②得，eq\f(1,2)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,23)＋…＋eq\f(1,2n)－eq\f(n,2n＋1)＝1－eq\f(1,2n)－eq\f(n,2n＋1)，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝2－eq\f(1,2n－1)－eq\f(n,2n)＝2－eq\f(n＋2,2n).eq\f(能力提升練,能力考點(diǎn)拓展提升)11.(5分)在等比數(shù)列{an}中，S3＝3a3，則其公比q的值為()A．－eq\f(1,2) B．eq\f(1,2)C．1或－eq\f(1,2) D．－1或eq\f(1,2)C解析：∵S3＝3a3，∴q＝1時(shí)成立．當(dāng)q≠1時(shí)，eq\f(a11－q3,1－q)＝3a1q2，∴q2＋q＋1＝3q2，解得q＝－eq\f(1,2).綜上，q＝1或q＝－eq\f(1,2).12．(5分)(多選)已知{an}是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，Sn是{an}的前n項(xiàng)和，且9S3＝S6，則()A．q＝2B．S9＝29－1C．?dāng)?shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))的前5項(xiàng)和為eq\f(31,16)D．6S3＝S9ABC解析：設(shè){an}的公比為q，∵9S3＝S6，∴9×eq\f(a11－q3,1－q)＝eq\f(a11－q6,1－q)，∴9＝1＋q3，∴q＝2.∴S9＝eq\f(1－29,1－2)＝29－1.故選項(xiàng)A，B正確．又6S3＝6×(23－1)≠S9，∴選項(xiàng)D不正確．∵eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等比數(shù)列，首項(xiàng)eq\f(1,a1)＝1，公比eq\f(1,q)＝eq\f(1,2)，∴S′5＝eq\f(1×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,25))),1－\f(1,2))＝eq\f(31,16).選項(xiàng)C正確．13．(5分)在等比數(shù)列{an}中，a1＋ax＝82，a3ax－2＝81，且前x項(xiàng)和Sx＝121，則此數(shù)列的項(xiàng)數(shù)x等于()A．4 B．5C．6 D．7B解析：設(shè){an}的公比為q，∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋ax＝82，,a3ax－2＝a1ax＝81，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,ax＝81))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝81，,ax＝1.))①當(dāng)a1＝1，ax＝81時(shí)，∵Sx＝eq\f(a1－axq,1－q)＝eq\f(1－81q,1－q)＝121，∴q＝3.又∵ax＝1×qx－1＝3x－1＝81，∴x＝5.②當(dāng)a1＝81，ax＝1時(shí)，∵Sx＝eq\f(81－q,1－q)＝121，∴q＝eq\f(1,3).又∵ax＝81×qx－1＝81×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x－1＝1，∴x＝5.綜上，x＝5.14.(5分)已知{an}是等比數(shù)列，a2＝2，a5＝eq\f(1,4)，則a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝________.eq\f(32,3)(1－4－n)解析：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由a5＝eq\f(1,4)＝a2q3＝2q3，解得q＝eq\f(1,2).又?jǐn)?shù)列{anan＋1}仍是等比數(shù)列，其首項(xiàng)是a1a2＝8，公比為eq\f(1,4)，所以a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝eq\f(8\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))n)),1－\f(1,4))＝eq\f(32,3)(1－4－n).15.(5分)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若S3，S9，S6成等差數(shù)列，且a8＝3，則a5的值為_(kāi)_______．－6解析：∵S3，S9，S6成等差數(shù)列，∴2S9＝S3＋S6.顯然q≠1，∴2×eq\f(a11－q9,1－q)＝eq\f(a11－q3,1－q)＋eq\f(a11－q6,1－q).∴2q9－q6－q3＝0.∴q3＝－eq\f(1,2).∴a5＝eq\f(a8,q3)＝3×(－2)＝－6.16.(10分)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝eq\f(n2＋n,2)，n∈N＋.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn＝2an＋(－1)nan，求數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和．解：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝1；當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝eq\f(n2＋n,2)－eq\f(n－12＋n－1,2)＝n.故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n.(2)由(1)知an＝n，故bn＝2n＋(－1)nn.記數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和為T(mén)2n，則T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)．記A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－