2024年九年級數(shù)學上冊知識點歸納北師大版

九年級數(shù)學上冊學問點歸納

（八下前情回顧）※平行四邊的定義：兩線對邊分別平行的四邊形叫做干行四邊

形，平行四邊形不相鄰的兩頂點連成的線段叫做它的對用線。

※平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對邊相等,對角相等,對角線相互平分。

※平行四邊形的判別方法：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形。

兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形。

一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。

兩條對角線相互平分的四邊形是平行四邊形。

※平行線之間的距離：若兩條直線相互平行，則其中一條直線上隨意兩點到另一

條直線的距離相等。這個距離稱為平行線之間的距離。

第一章特殊平行四邊形

1菱形的性質(zhì)及判定

菱形的定義：一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。

※菱形的性質(zhì)：具有平行四邊形的性質(zhì)，且四條邊都相等,兩條對角線相互垂直平

分,每一條對角線平分一組對角。

菱形是軸對稱圖形，每條對角線所在的直線都是對稱軸。

※菱形的判別方法：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。

對角線相互垂直的平行四邊形是菱形。

四條邊都相等的四邊形是菱形。

2矩形的性質(zhì)及判定

※矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形叫更形。矩形是特殊的平行四邊形。

※矩形的性質(zhì)：具有平行四邊形的性質(zhì)，且對角線相等，四個角都是直角。（矩形

是軸對稱圖形，有兩條對稱軸）

※矩形的判定：有一個內(nèi)角是直角的平行四邊形叫矩形（依據(jù)定義）。

對角線相等的平行四邊形是矩形。

四個角都相等的四邊形是矩形。

※推論：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。

3正方形的性質(zhì)及判定

正方形的定義：一組鄰邊相等的矩形叫做正方形。

※正方形的性質(zhì)：正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)。（正方形是軸

對稱圖形，有兩條對稱軸）

※正方形常用的判定：有一個內(nèi)角是直角的菱形是正方形；

鄰邊相等的矩形是正方形；

對角線相等的菱形是正方形；

對角線相互垂直的矩形是正方形。

正方形、矩形、菱形和平行邊形四者之間的關(guān)系（如圖3所示）：

※梯形定義：一組對邊平行且另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形。

※兩條腰相等的梯形叫做等腰梯形。

/.Lt人r^Atf****^

※一條腰和底垂直的梯形叫他吉存辟皿a,

//，.r~t人i、r.r_tA

※等腰梯形的性質(zhì)：等月/人衿川服F今/常記壬為鯉鳴

q匚、矩形

同一底上的兩個內(nèi)角相等的梯形是等腰梯形J------13一

※三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊護3半。

※夾在兩條平行線間的平行線段相等。

※在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半

其次章一元二次方程

1相識一元二次方程

※只含有一個未知數(shù)的整式方程，且都可以化為"2+"+c=0（a、b、c為

常數(shù)，aWO）的形式，這樣的方程叫一元二次方程。

※把ax?+bx+c=o（a、b、c為常數(shù)，aWO）稱為一兀二次方程的一般形式，a為

二次項系數(shù)；b為一次項系數(shù)；c為常數(shù)項。

2用配方法求解一元二次方程

①配方法〈即將其變?yōu)椋ǎ?加）2=0的形式>

※配方法解一元二次方程的基本步驟：①把方程化成一元二次方程的一般形式；

②將二次項系數(shù)化成1;

③把常數(shù)項移到方程的右邊；

④兩邊加上一次項系數(shù)的一半的平方；

⑤把方程轉(zhuǎn)化成（X+租）2=0的形式；

⑥兩邊開方求其根。

3用公式法求解一元二次方程

②公式法xJ±Cc（留意在找abc時須先把方程化為一般形式）

2a

4用因式分解法求解一元二次方程

③分解因式法把方程的一邊變成0,另一邊變成兩個一次因式的乘積來求解。（主

要包括“提公因式”和“十字相乘”）

5一元二次方程的根及系數(shù)的關(guān)系

※根及系數(shù)的關(guān)系：當b?-4ac>0時，方程有兩個不等的實數(shù)根；

當b?-4ac=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；

當b?-4ac〈0時，方程無實數(shù)根。

※假如一元二次方程ax2+bx+c=O的兩根分別為Xi、X2,則有：

bc

Xj+%2=再,%2=—°

一aa

※一元二次方程的根及系數(shù)的關(guān)系的作用：

（1）已知方程的一根，求另一根；

(2)不解方程，求二次方程的根為、X2的對稱式的值，特殊留意以下公式:

⑥X：+xf=(3+%)3-+x2)⑦其他能用用+々或X/2表達的代數(shù)式。

2

(3)已知方程的兩根Xi、X2,可以構(gòu)造一元二次方程：x-(x,+x2)x+^x2=0

(4)已知兩數(shù)xi、X2的和及積，求此兩數(shù)的問題，可以轉(zhuǎn)化為求一元二次方程

2

x一(％+x2)x+玉電=0的根

6應用一元二次方程

※在利用方程來解應用題時，主要分為兩個步驟：①設未知數(shù)(在設未知數(shù)時，

大多數(shù)狀況只要設問題為x；但也有時也須依據(jù)已知條件及等量關(guān)系等諸多方面

考慮)；②找尋等量關(guān)系(一般地，題目中會含有一表述等量關(guān)系的句子，只須

找到此句話即可依據(jù)其列出方程)。

※處理問題的過程可以進一步概括為：問題f方程慧-解答

抽象檢驗

第三章概率的進一步相識

用樹狀圖或表格求概率

相關(guān)學問點鏈接：

頻數(shù)及頻率

頻數(shù)：在數(shù)據(jù)統(tǒng)計中，每個對象出現(xiàn)的次數(shù)叫做頻數(shù)，

頻率：每個對象出現(xiàn)的次數(shù)及總次數(shù)的比值為頻率。

概率的意義和大?。焊怕示褪潜硎久考虑榘l(fā)生的可能性大小，即一個時間發(fā)生

的可能性大小的數(shù)值。必定事務發(fā)生的概率為1;不行能事務發(fā)生的概率為0;不

確定事務發(fā)生的概率在0及1之間。

【學問點1】頻率及概率的含義

在試驗中，每個對象出現(xiàn)的頻繁程度不同，我們稱每個對象出現(xiàn)的次數(shù)為頻數(shù)，

而每個對象出現(xiàn)的次數(shù)及總次數(shù)的比值為頻率，即頻率

總次數(shù)

把刻畫事務A發(fā)生的可能性大小的數(shù)值，稱為事務A發(fā)生的概率。

【學問點2］通過試驗運用穩(wěn)定的頻率來估計某一時間的概率

在進行試驗的時候，當試驗的次數(shù)很大時，某個事務發(fā)生的頻率穩(wěn)定在相應的概

率旁邊。

我們可以通過多次試驗，用一個事務發(fā)生的頻率來估計這一事務發(fā)生的頻率。

【只是點3］利用畫樹狀圖或列表法求概率（重難點）

第四章圖形的相像

1成比例線段

一.線段的比

.假如選用同一個長度單位量得兩條線段AB,CD的長度分別是m、n,那么就

說這兩條線段的比AB:CD=m:n，或?qū)懗?=生.

Bn

X2.四條線段a、b、c、d中，假如a及b的比等于c及d的比，即@=工，那么這

bd

四條線段a、b、c、d叫做成比例線段，簡稱比例線段.

X3.留意點：

①a:b=k,說明a是b的k倍；

②由于線段a、b的長度都是正數(shù)，所以k是正數(shù)；

③比及所選線段的長度單位無關(guān)，求出時兩條線段的長度單位要一樣；

④除了a=b之外,a:bWb:a,色及2互為倒數(shù)；

ba

⑤比例的基本性質(zhì)：若4=￡,則ad=bc;若ad=bc,則色，

bdbd

2平行線分線段成比例

※上平行線分線段成比例定理:三條平行線截兩條直線,所得的對應線段成比例.

如圖2,L//12//4貝IJ竺=處.

二.黃金分割/CB

圖1

※上如圖1,點C把線段AB分成兩條線段AC和BC,假如生=變，那么稱線段AB

ABAC

被點C黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點,AC及AB的比叫做黃金比.

AC:AB=1?0.618:1

2

派2.黃金分割點是最美麗、最令人賞心悅目的點.

3相像多邊形

Q1.一般地，形態(tài)相同的圖形稱為相像圖形.

X2.對應角相等、對應邊成比例的兩個多邊形叫做相像多邊形..相像多邊形對應

邊的比叫做相像比.

※上在相像多邊形中，最為簡潔的就是相像三角形.

X2.對應角相等、對應邊成比例的三角形叫做相像三角形，相像三角形對應邊的

比叫做相像比.

X3.全等三角形是相像三角的特例，這時相像比等于1.留意:證兩個相像三角形,

及證兩個全等三角形一樣,應把表示對應頂點的字母寫在對應的位置上.

※生相像三角形對應高的比,對應中線的比及對應角平分線的比都等于相像比.

X5.相像三角形周長的比等于相像比.

X6.相像三角形面積的比等于相像比的平方.

※相像多邊形的周長等于相像比;面積比等于相像比的平方.

4探究三角形相像的條件

※上相像三角形的判定方法：

一般三角形直角三角形

基本定理：平行于三角形的一邊且和其他兩邊（或兩邊的延

長線）相交的直線,所截得的三角形及原三角形相像.

①兩角對應相等;I①一個銳角對應相等；

②兩邊對應成比例，且夾角相②兩條邊對應成比例：

等；a兩直角邊對應成比例；

③三邊對應成比例.b.斜邊和始終角邊對應成

比例.

X2.平行線分線段成比例定理:三條平行線截兩條直線,所得的對應線段成比例.

如圖2,1J/1//—=—

2DEEF

X3.平行于三角形一邊的直線及其他兩邊（或兩邊的延長線對皎加陶成

形及原三角形相像.心

5相像三角形的判定定理的證明圖2

6利用相像三角形測高

7相像三角形的性質(zhì)

8圖形的位似

第五章投影及視圖

A）三視圖

,主視圖從正面看到的圖左視圖從左面看到的圖俯視圖從上

面看到的圖

?畫物體的三視圖時，要符合如下原則:大?。洪L對正，高平齊，寬相等.

?虛實:在畫圖時,看的見部分的輪廓通常畫成實線,看不見部分的輪廓線通常畫

成虛線.

B）投影

?物體在光線的照耀下,會在地面或墻壁上留下它的影子,這就是投影現(xiàn)象.

?太陽光線可以看成平行光線，像這樣的光線所形成的投影稱為平行投影。

-在同一時刻,物體高度及影子長度成比例.

?物體的三視圖事實上就是該物體在某一平行光線（垂直于投影面的平行光線）

下的平行投影.

?探照燈，手電筒，路燈，和臺燈的光線可以看成是從一點動身的光線，像這樣的

光線所形成的投影稱

為中心投影

?皮影和手影都是在燈光照耀下形成的影子.它們是中心投影。

C）視點、視線、盲區(qū)的定義以及在生活中的應用。

.眼睛所在的位置稱為視點，

.由視點發(fā)出的光線稱為視線，

.眼睛看不到的地方稱為盲區(qū)

第六章反比例函數(shù)

學問點1反比例函數(shù)的定義

一般地，形如y=V（k為常數(shù)，k/O）的函數(shù)稱為反比例函數(shù)，它可以從以下

X

幾個方面來理解：

⑴X是自變量，y是X的反比例函數(shù)；

⑵自變量x的取值范圍是XHO的一切實數(shù)，函數(shù)值的取值范圍是ywO；

⑶比例系數(shù)k#0是反比例函數(shù)定義的一個重要組成部分；

⑷反比例函數(shù)有三種表達式：

③x.y=k（定值）（k#0）;

⑸函數(shù)y=V（k/o）及x=K（k/O）是等價的，所以當y是x的反比例函數(shù)

xy

時，X也是y的反比例函數(shù)。

（k為常數(shù)，k/O）是反比例函數(shù)的一部分，當k=0時，y=K,就不是反比例

X

函數(shù)了，由于反比例函數(shù)y=K（k/O）中，只有一個待定系數(shù)，因此，只要一組

X

對應值，就可以求出k的值，從而確定反比例函數(shù)的表達式。

學問點2用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式

由于反比例函數(shù)y=V(k/O)中，只有一個待定系數(shù)，因此，只要一組對應

X

值，就可以求出k的值，從而確定反比例函數(shù)的表達式。

學問點3反比例函數(shù)的圖像及畫法

反比例函數(shù)的圖像是雙曲線，它有兩個分支，這兩個分支分別位于第一、第三

象限或其次、第四象限，它們及原點對稱，由于反比例函數(shù)中自變量函數(shù)中自變

量XHO,函數(shù)值ywO,所以它的圖像及x軸、y軸都沒有交點，即雙曲線的兩個

分支無限接近坐標軸，但恒久達不到坐標軸。

反比例的畫法分三個步驟：⑴列表；⑵描點；⑶連線。

再作反比例函數(shù)的圖像時應留意以下幾點：

①列表時選取的數(shù)值宜對稱選??；

②列表時選取的數(shù)值越多，畫的圖像越精確；

③連線時，必需依據(jù)自變量大小從左至右(或從右至左)用光滑的曲線連接，

切忌畫成折線；

④畫圖像時，它的兩個分支應全部畫出，但切忌將圖像及坐標軸相交。

學問點4反比例函數(shù)的性質(zhì)

☆關(guān)于反比例函數(shù)的性質(zhì)，主要探討它的圖像的位置及函數(shù)值的增減狀況，如

下表：

反比例函數(shù)y=—(kwO)

X

k的

k>0k<0

符號

圖像1

1J2]r

rx

①x的取值范圍是x#0,y①x的取值范圍是x#0,y