人教版九年級數(shù)學(xué)上冊《解一元二次方程（第7課時(shí)）》示范教學(xué)設(shè)計(jì)

解一元二次方程（第7課時(shí)）教學(xué)目標(biāo)1．了解一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，能進(jìn)行簡單應(yīng)用．2．在一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的探究過程中，感受由特殊到一般地認(rèn)識事物的規(guī)律．教學(xué)重點(diǎn)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的探索及簡單應(yīng)用．教學(xué)難點(diǎn)發(fā)現(xiàn)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．教學(xué)過程新課導(dǎo)入方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式，不僅表示了由方程的系數(shù)a，b，c決定根的值，而且反映了根與系數(shù)之間的聯(lián)系．一元二次方程根與系數(shù)之間的聯(lián)系還有其他表現(xiàn)方式嗎？新知探究一、探究學(xué)習(xí)【問題】由因式分解法可知，方程(x－x1)(x－x2)＝0(x1，x2為已知數(shù))的兩根為x1和x2，將方程化為x2＋px＋q＝0的形式，你能看出x1，x2與p，q之間的關(guān)系嗎？【師生活動(dòng)】學(xué)生獨(dú)立思考，通過將(x－x1)(x－x2)＝0的左邊展開，化為一般形式進(jìn)行觀察，得出結(jié)論．【答案】把方程化為x2＋px＋q＝0的形式后，得到方程：x2－(x1＋x2)x＋x1x2＝0，可以發(fā)現(xiàn)，這個(gè)方程的二次項(xiàng)系數(shù)為1，一次項(xiàng)系數(shù)p＝－(x1＋x2)，常數(shù)項(xiàng)q＝x1x2．于是，上述方程兩個(gè)根的和、積與系數(shù)分別有如下關(guān)系：x1＋x2＝－p，x1x2＝q．【設(shè)計(jì)意圖】通過教師引導(dǎo)和點(diǎn)撥，讓學(xué)生在二次項(xiàng)系數(shù)為1的方程中發(fā)現(xiàn)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．【問題】一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，二次項(xiàng)系數(shù)a未必是1，它的兩個(gè)根的和、積與系數(shù)又有怎樣的關(guān)系呢？【師生活動(dòng)】教師帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)求根公式：x1＝，x2＝．為探究根與系數(shù)的關(guān)系奠定基礎(chǔ)．【答案】x1＋x2＝＋＝＝－．x1x2＝·＝＝．【問題】把方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的兩邊同除以a，能否得出前面的結(jié)論？【答案】方程兩邊同除以a，則二次項(xiàng)系數(shù)變?yōu)?，此時(shí)方程可化為x2＋px＋q＝0的形式，根據(jù)前面的探究，可以得到：一次項(xiàng)系數(shù)是兩根和的相反數(shù)，常數(shù)項(xiàng)是兩根之積，滿足所得出的結(jié)論．【設(shè)計(jì)意圖】通過討論，讓學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般的探究過程，明確一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系．【新知】方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的兩個(gè)根x1，x2和系數(shù)a，b，c有如下關(guān)系：x1＋x2＝－，x1x2＝．這表明任何一個(gè)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系為：兩個(gè)根的和等于一次項(xiàng)系數(shù)與二次項(xiàng)系數(shù)的比的相反數(shù)，兩個(gè)根的積等于常數(shù)項(xiàng)與二次項(xiàng)系數(shù)的比．【特別提醒】1．在使用兩根之和關(guān)系式時(shí)，不要漏寫“－”；2．能用根與系數(shù)的關(guān)系的前提條件為b2－4ac≥0；3．方程不是一般式的要先化成一般式．二、典例精講【例1】根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，求下列方程兩個(gè)根x1，x2的和與積：（1）x2－6x－15＝0；（2）3x2＋7x－9＝0；（3）5x－1＝4x2．【師生活動(dòng)】學(xué)生在解決問題時(shí)可能會(huì)出現(xiàn)先求一元二次方程的根，再求兩根之和、兩根之積的情況，也可能出現(xiàn)根與系數(shù)關(guān)系記憶不準(zhǔn)確的情況，教師要及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行訂正．【答案】解：（1）x1＋x2＝－(－6)＝6，x1x2＝－15．（2）x1＋x2＝－，x1x2＝＝－3．（3）方程化為4x2－5x＋1＝0．x1＋x2＝－＝，x1x2＝．【歸納】利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求兩根的和與積的兩點(diǎn)注意（1）一元二次方程必須有兩個(gè)實(shí)數(shù)根(Δ≥0)．（2）兩根之和中的負(fù)號與方程中a，b的符號不要混淆．【設(shè)計(jì)意圖】加強(qiáng)對一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系的認(rèn)識，并進(jìn)一步熟悉根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用．【例2】關(guān)于x的方程3x2＋mx－4＝0有一個(gè)根是2，求另一個(gè)根及m的值．【師生活動(dòng)】學(xué)生獨(dú)立解決問題，組內(nèi)交流糾錯(cuò)．【答案】解：設(shè)方程的另一個(gè)根為x1，則由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得2x1＝－，解得x1＝－．x1＋2＝－，得－＋2＝－，解得m＝－4．所以，方程的另一個(gè)根是－，m的值是－4．【追問】還有其他解法嗎？【答案】解：把x＝2代入3x2＋mx－4＝0，得12＋2m－4＝0，解得m＝－4．設(shè)方程的另一個(gè)根為x1，則2＋x1＝－＝，解得x1＝－．所以方程的另一個(gè)根是－，m的值是－4．【歸納】已知一元二次方程的一個(gè)根，求另一個(gè)根的方法方法1(利用根與系數(shù)的關(guān)系)：當(dāng)方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)已知，常數(shù)項(xiàng)未知時(shí)，利用兩根的和求另一個(gè)根；當(dāng)方程的二次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)已知，一次項(xiàng)系數(shù)未知時(shí)，利用兩根的積求另一個(gè)根．方法2(利用根的定義)：先把方程的已知根代入方程求出未知系數(shù)或常數(shù)項(xiàng)，再解方程求另一個(gè)根．【設(shè)計(jì)意圖】考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用：已知一根求另一根和待定字母的值．指導(dǎo)學(xué)生按兩種方法解答，對已經(jīng)學(xué)過的知識進(jìn)行復(fù)習(xí)．【例3】設(shè)x1，x2是方程2x2＋5x＋1＝0的兩個(gè)根，求下列各式的值：（1）(x1＋1)(x2＋1)； （2）．【師生活動(dòng)】教師引導(dǎo)學(xué)生對所給兩個(gè)式子進(jìn)行分析，變形，得到可以利用兩根之和及兩根之積解決的式子再進(jìn)行求解．【答案】解：由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得x1＋x2＝－，x1x2＝．（1）(x1＋1)(x2＋1)＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＝－＋1＝－1；（2）【歸納】巧用根與系數(shù)的關(guān)系，求特殊代數(shù)式的值（1）計(jì)算：計(jì)算出x1＋x2，x1x2的值；（2）變形：將所求的代數(shù)式變形為用x1＋x2和x1x2表示的式子；（3）代入：代入所求的代數(shù)式計(jì)算．【設(shè)計(jì)意圖】解決本題，考查學(xué)生利用根與系數(shù)的關(guān)系求與兩根有關(guān)的代數(shù)式的值的能力，進(jìn)一步鞏固對兩根之和、兩根之積的熟練應(yīng)用．【例4】已知方程x2＋kx＋k＋2＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是x1，x2，且，求k的值．【師生活動(dòng)】學(xué)生獨(dú)立解決問題，教師巡視糾錯(cuò)．【答案】解：由根與系數(shù)的關(guān)系得，x1＋x2＝－k，x1x2＝k＋2．又，即(x1＋x2)2－2x1x2＝4，所以k2－2(k＋2)＝4．化簡，得k2－2k－8＝0，解得k＝4或k＝－2．因?yàn)棣ぃ絢2－4k－8，所以當(dāng)k＝4時(shí)，Δ＜0；當(dāng)k＝－2時(shí)，Δ＞0．所以k＝－2．【歸納】使用根與系數(shù)的關(guān)系的前提——Δ≥0ΔΔ【設(shè)計(jì)意圖】考查學(xué)生能否利用根與系數(shù)的關(guān)系確定方程中字母參數(shù)的