中考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)題型-幾何探究題解析

中考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)題型一幾何探究題解析

考點(diǎn)1三角形幾何探究

1.如果三角形的兩個(gè)內(nèi)角a與0滿足2a+0=9O。，那么我們稱這樣的三角形為“準(zhǔn)

互余三角形二

(1)若^ABC是“準(zhǔn)互余三角形”，ZC>90°,ZA=60°,則/B=H。；

(2)如圖1,在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=4,BC=5.若AD是NBAC的平

分線，不難證明4ABD是“準(zhǔn)互余三角形”試問(wèn)在邊BC上是否存在點(diǎn)E(異于點(diǎn)

D),使得4ABE也是“準(zhǔn)互余三角形”？若存在，請(qǐng)求出BE的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)

說(shuō)明理由.

(3)如圖2,在四邊形ABCD中，AB=7,CD=12,BD1CD,ZABD=2ZBCD,

且^ABC是“準(zhǔn)互余三角形”，求對(duì)角線AC的長(zhǎng)

解：(I)'.'△ABC是“準(zhǔn)互余三角形”,ZC>90°,ZA=60°,.*.2ZB+ZA=90°,

解得/B=15。.

(2)如答圖1,在RtZ^ABC中,*.，ZB4-ZBAC=90°,ZBAC=2ZBAD,/.ZB

+2ZBAD=90°,

AABD是“準(zhǔn)互余三角形”.

VAABE也是“準(zhǔn)互余三角形”，

只有2NB+ZBAE=90°.

"：ZB+ZBAE+ZEAC=90°,/.ZCAE=ZB.

VZC=ZC=90°,

/.△CAE^ACBA,ACA^CECB,

圖2

(3)如答圖2,斗務(wù)ABCD沿BC翻折得至IJaBCF,

.,.CF=CD=12,ZBCF=ZBCD,ZCBF=ZCBD.

VZABD=2ZBCD,ZBCD+ZCBD=90°,

AZABD+ZDBC+ZCBF=180°,二點(diǎn)A,B,F共線，

AZA+ZACF=90°,.\2ZACB+ZCAB^90°,

二.只有2NBAC+NACB=90。，/.ZFCB=ZFAC.

VZF=ZF,AAFCB^AFAC,ACF2=FBFA,設(shè)FB=x,則有x(x+7)=122,

?*.x=9或x=—16(舍去)，

.'.AF=7+9=16,在RtZiACF中，AC=AF2+CF2=162+122=20.

2.將一副三角尺按圖1擺放，等腰直角三角尺的直角邊DF恰好垂直平分AB,

與AC相交于點(diǎn)G,BC=23cm.

(1)求GC的長(zhǎng)；

(2)如圖2,將4DEF繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使直角邊DF經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,另一直角邊

DE與AC相交于點(diǎn)H,分別過(guò)H,C作AB的垂線，垂足分別為M,N,通過(guò)觀

察，猜想MD與ND的數(shù)量關(guān)系，并驗(yàn)證你的猜想.

(3)在(2)的條件下，將4DEF沿DB方向平移得到當(dāng)DE恰好經(jīng)過(guò)(1)

中的點(diǎn)G時(shí)，請(qǐng)直接寫出DD的長(zhǎng)度.

圖1圖2圖3

解：⑴在RtaABC中，VBC=23,ZB=60°,

.\AC=BCtan60o=6,AB=2BC=43,

An

在Rt^ADG中，AG==4,

cos30°

.\CG=AC-AG=6-4=2.

(2)結(jié)論：DM+DN=23.

理由：VHM±AB,CN±AB,

，ZAMH=ZDMH=ZCNB=ZCND=90°.

VZA+ZB=90°,ZB+ZBCN=90°,

.\ZA=ZBCN,AAAHM^ACBN,???黑=黑①,

同理可證：ADHM^ACDN,②

MHDM

由①②可得AMBN=DN-DM,，DM=BN

AMDN

.DM+AM=BN+DN.AD=BD

AM—DN'**AM-DN

VAD=BD,.,.AM=DN,

.\DM+DN=AM+DM=AD=23.

第2題答圖

(3)如答圖，作GK〃DE交AB于K.

在AAGK中，AG=GK=4,ZA=ZGKD=30°,作GH_LAB于H.

則AH=AGcos3(r=23,

可得AK=2AH=43,此時(shí)K與B重合.

.?.DD'=DB=23.

考點(diǎn)2四邊形幾何探究

3.我們定義：有一組鄰角相等且對(duì)角線相等的凸四邊形叫做鄰對(duì)等四邊形.

概念理解

(1)我們所學(xué)過(guò)的特殊四邊形中的鄰對(duì)等四邊形是矩形或正方形;

性質(zhì)探究

(2)如圖1,在鄰對(duì)等四邊形ABCD中，ZABC=ZDCB,AC=DB,AB>CD,

求證:NBAC與NCDB互補(bǔ);

拓展應(yīng)用

(3)如圖2,在四邊形ABCD中，ZBCD=2ZB,AC=BC=5,AB=6,CD=4.

在BC的延長(zhǎng)線上是否存在一點(diǎn)E,使得四邊形ABED為鄰對(duì)等四邊形？如果存

在，求出DE的長(zhǎng)；如果不存在，說(shuō)明理由.

(1)解：矩形或正方形.

(2)證明：如答圖1,延長(zhǎng)CD至E,使CE=BA,連接BE.

AB=EC,

在aABC和AECB中，,NABC=NECB,

IBC=CB,

，AABC^AECB(SAS),

BE=CA,ZBAC=ZE.

VAC=DB,.\BD=BE,AZBDE=ZE,

.?.NCDB+NBDE=NCDB+NE=NBAC+NCDB=180°,即NBAC與NCDB

互補(bǔ).

圖2

(3)解：存在這樣一點(diǎn)E,使得四邊形ABED為鄰對(duì)等四邊形，如答圖2,在BC

的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)E,使得CE=CD=4,連接DE,AE,BD,則四邊形ABED

為鄰對(duì)等四邊形.理由如下:

VCE=CD,.\ZCDE=ZCED.

VZBCD=2ZABC,

/.ZABC=ZDEB,.,.ZACE=ZBCD.

AC=BC,

在AACE和ABCD中，,NACE=NBCD,

CE=CD,

Z.AACE^ABCD(SAS),

.,.BD=AE,四邊形ABED為鄰對(duì)等四邊形.

ZCBA=ZCAB=ZCDE=ZCED,

/.△ABC^ADEC,

.AB6DEDE.224

..===,..DE=

BC5CE45

4.將矩形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a(0。VaV360。)，得到矩形AEFG.

D

BA

備用圖

(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)E在BD上時(shí).求證：FD=CD；

(2)當(dāng)a為何值時(shí)，GC=GB?畫出圖形，并說(shuō)明理由.

解：(1)由旋轉(zhuǎn)可得，AE=AB,ZAEF=ZABC=ZDAB=90°,EF=BC=AD,

，ZAEB=ZABE.

ZABE+ZEDA=90°=ZAEB+ZDEF,

.,.ZEDA=ZDEF.

VDE=ED,/.△AEDAFDE(SAS),

.*.DF=AE,

VAE=AB=CD,.*.CD=DF.

(2)當(dāng)GB=GC時(shí)，點(diǎn)G在BC的垂直平分線上，分兩種情況討論：

①當(dāng)點(diǎn)G在AD右側(cè)時(shí)，如答圖1,取BC的中點(diǎn)H,連接GH交AD于M,

VGC=GB,AGHIBC,，四邊形ABHM是矩形，

.\AM=BH=1AD=1AG,

22

，GM垂直平分AD,.,.GD=GA=DA,

...△ADG是等邊三角形，，NDAG=60。，

.??旋轉(zhuǎn)角a=60。；

圖1圖2

②當(dāng)點(diǎn)G在AD左側(cè)時(shí)，如答圖2,同理可得4ADG是等邊三角形，.'./DAG

=60°,

，旋轉(zhuǎn)角a=360。-60。=300。.

綜上，a為60?；?00。時(shí),GC=GB.

5.如圖1,邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，點(diǎn)E在AB邊上(不與點(diǎn)A,B重合),

點(diǎn)F在BC邊上(不與點(diǎn)B,C重合).

第一次操作：將線段EF繞點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)E落在正方形上時(shí)，記為點(diǎn)G；

第二次操作：將線段FG繞點(diǎn)G順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)F落在正方形上時(shí)，記為點(diǎn)H；

依此操作下去…

(1)圖2中的4EFD是經(jīng)過(guò)兩次操作后得到的，其形狀為等邊三角形,求此時(shí)線

段EF的長(zhǎng)；

(2)若經(jīng)過(guò)三次操作可得到四邊形EFGH.

①請(qǐng)判斷四邊形EFGH的形狀為正方形，此時(shí)AE與BF的數(shù)量關(guān)系是AE=BF：

②以①中的結(jié)論為前提，設(shè)AE的長(zhǎng)為x,四邊形EFGH的面積為y,求y與x

的函數(shù)關(guān)系式及面積y的取值范圍.

解：(1)如題圖2,由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知EF=DF=DE,則4DEF為等邊三角形.

_AD=CD,

在RtAADE和RtACDF中，

[DE=DF,

RtAADE^RtACDF(HL)..\AE=CF.

設(shè)AE=CF=x,則BE=BF=4-x

???△BEF為等腰直角三角形.

.*.EF=2BF=2(4-x).

/.DE=DF=EF=2(4-x).

在RtAADE中,由勾股定理得AE?+AD2=DE2,即X?+42=[2(4—X)R

解得xi=8—43,X2=8+43(舍去).

.\EF=2(4-x)=46-42.

△DEF的形狀為等邊三角形，EF的長(zhǎng)為46-42.

圖1

第5題答圖

(2)①四邊形EFGH的形狀為正方形，此時(shí)AE=BF.理由如下：

依題意畫出圖形，如答圖所示，連接EG,FH,作HNLBC于N,GM_LAB于

M.

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，EF=FG=GH=HE,

四邊形EFGH是菱形,

由△EGMgZ\FHN,可知EG=FH,

???四邊形EFGH的形狀為正方形，???NHEF=90。.

VZ1+Z2=9O°,Z2+Z3=90°,/.Z1=Z3.

VZ34-Z4=90°,Z2+Z3=90°,AZ2=Z4.

Z1=Z3,

在AAEH和4BFE中，.EH=EF,

.Z2=Z4,

A△AEH^ABFE(ASA),/.AE=BF.

②利用①中結(jié)論，易證△AEH,ABFE,ACGF,aDHG均為全等三角形,

.?.BF=CG=DH=AE=x,AH=BE=CF=DG=4-x.

2

，y=S正方形ABCD—4s“￡11=4x4—4x；，x<4—x)=2x2—8x+16,/.y=2x—8x+

16(0<x<4).

Vy=2x2-8x+16=2(x-2)2+8,

，當(dāng)x=2時(shí)，y取得最小值8;當(dāng)x=0或4時(shí)，y=16.

??.y的取值范圍為80yV16.

6.提出問(wèn)題

如圖，已知在矩形ABCD中，AB=2,BC=3,點(diǎn)P是線段AD邊上的一動(dòng)點(diǎn)（不

與端點(diǎn)A,D重合），連接PC,過(guò)點(diǎn)P作PE_LPC交AB于點(diǎn)E,在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)

過(guò)程中，圖中各角和線段之間是否存在某種關(guān)系和規(guī)律？

特殊求解

當(dāng)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，且AP>AE時(shí)，求證：PE=PC.

深入探究

當(dāng)點(diǎn)P在AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)E也隨之在AB上運(yùn)動(dòng)，求整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中

BE的取值范圍.

AD

BC

備用圖

解：特殊求解

VPE±PC,,,.ZAPE+ZDPC=90°.

VZD=90°,/.ZDPC+ZDCP=90°.

，ZAPE=ZDCP.

VZA=ZD=90°,

ADAF

AAPE^ADCP,，=

DCDP

設(shè)AP=x,則有DP=3—x.

而AE=BE=1,/.x(3—x)=2xl,

解得Xl=2,X2=l.

VAP>AE,；.AP=2,AE=PD=1,

AAAPE^ADCP,：.PE=PC.

深入探究

設(shè)AP=x,AE=y,由APDP=AEDC,

可得x(3—x)=2y.

；.y=4(3—x)=-^x2+^x=—\x—^)2+^.

222228

aQ

.,.在0<x<3范圍內(nèi)，當(dāng)x=r時(shí)，y最大=.

28

???當(dāng)AE=y取得最大值時(shí)，BE取得最小值為2—

88

7

...BE的取值范圍為：SBE<2.

O

7.已知Rtz^OAB,ZOAB=90°,ZABO=30°,斜邊OB=4,將Rt^OAB繞點(diǎn)

。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，如圖1,連接BC.

(1)填空：ZOBC=60°；

(2)如圖1,連接AC,作OP_LAC,垂足為P,求OP的長(zhǎng)度；

⑶如圖2,點(diǎn)M,N同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā)，在aOCB邊上運(yùn)動(dòng)，M沿O一C-B路

徑勻速運(yùn)動(dòng)，N沿O-B-C路徑勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)兩點(diǎn)相遇時(shí)運(yùn)動(dòng)停止，已知點(diǎn)M

的運(yùn)動(dòng)速度為L(zhǎng)5單位/秒，點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)速度為1單位/秒，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒,

△OMN的面積為y,求當(dāng)x為何值時(shí)y取得最大值.最大值為多少?

圖1圖2備用圖

解：(1)由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知OB=OC,ZBOC=60°,

.,.△OBC是等邊三角形,

(2)如答圖1中,

V0B=4,ZABO=30°,

.,.OA=1OB=2,

2

AB=3OA=23,

.，.SAOC=1OAAB=1X2X2

A3=23.

22

VABOC是等邊三角形,

.,.ZOBC=60°,ZABC=ZABO+ZOBC=90°,

.*.AC=AB2+BC2=2\r(3)2+42=27,

2SAOC

A=43=2：

AC~27-7

第7題答圖2

Q

⑶①當(dāng)OVxg時(shí)，M在OC上運(yùn)動(dòng)，N在OB上運(yùn)動(dòng)，此時(shí)過(guò)點(diǎn)N作NELOC

且交OC于點(diǎn)E.如答圖2,

則NE=ON-sin60o=；x,

113

ASOMN=-OM-NE=x1,5xxx,

A222

o

②當(dāng);Vxa時(shí)，M在BC上運(yùn)動(dòng)，N在OB上運(yùn)動(dòng).如答圖3,

作MH_LOB于H.則BM=8—1.5x,MH=BMsin60°=；(8—1.5x),

，y=XONXMH=-X2+23X.

,28

當(dāng)x=；時(shí)，y取得最大值，最大值為

第7題答圖4

③當(dāng)4Vxs4.8時(shí)，M,N都在BC上運(yùn)動(dòng)，作OG_LBC于G.如答圖4,

MN=12-2.5x,0G=AB=23,

153

.\y=MN0G=123-x,

722

當(dāng)x=4時(shí)，y有最大值，最大值為23.

綜上所述，y有最大值，最大值為

8.在菱形ABCD中，NABC=60。，點(diǎn)P是射線BD上一動(dòng)點(diǎn)，以AP為邊向右

側(cè)作等邊^(qū)APE,點(diǎn)E的位置隨著點(diǎn)P的位置變化而變化.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在菱形ABCD內(nèi)部或邊上時(shí)，連接CE,BP與CE的數(shù)量關(guān)系

是PB=EC.CE與AD的位置關(guān)系是CELAD：

⑵當(dāng)點(diǎn)E在菱形ABCD外部時(shí)，(1)中的結(jié)論是否還成立？若成立，請(qǐng)予以證明;

若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由(選擇圖2,圖3中的一種情況予以證明或說(shuō)理)；

(3)如圖4,當(dāng)點(diǎn)P在線段BD的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接BE.若AB=23,BE=219,

求四邊形ADPE的面積.

第8題答圖1

解：（1）結(jié)論：PB=EC,CE1AD.

理由：如答圖1中，連接AC

???四邊形ABCD是菱形，ZABC=60°,AAABC,4ACD都是等邊三角形,

/ABD=/CBD=300.

?:△APE是等邊三角形，

.*.AB=AC,AP=AE,ZBAC=ZPAE=60°,

/.△BAP^ACAE,

???BP=CE,ZABP=ZACE=30°,

延長(zhǎng)CE交AD于H,

VZCAH=60°,.*.ZCAH+ZACH=90o,

.?.ZAHC=90°,BPCE1AD.

E

(2)結(jié)論仍然成立.

理由：如答圖2,連接AC交BD于0,設(shè)CE交AD于H.

?四邊形ABCD是菱形，NABC=60。，.'.△ABC,Z\ACD都是等邊三角形,

ZABD=ZCBD=30°.

?「△APE是等邊三角形，/.AB=AC,AP=AE,ZBAC=ZPAE=60°,

/.△BAP^ACAE,

.,.BP=CE,ZABP=ZACE=30°,

VZCAH=60°,.*.ZCAH+ZACH=90°,

.,.ZAHC=90°,即CE_LAD.

c

圖4

第8題答圖3

(3)如答圖3,連接AC交BD于點(diǎn)O,連接CE交AD于點(diǎn)H,

由(2)可知ECLAD,CE=BP,

在菱形ABCD中，AD〃BC,

AECIBC.

VBC=AB=23,BE=219,

?\在Rt^BCE中，EC=2\r(19)2-2\r(3)2=8,

BP=CE=8.

VAC與BD是菱形的對(duì)角線，

AZABD=1ZABC=30°,AC1BD,

2

BD=2BO=2ABcos30°=6,

.*.OA=1AB=3,DP=BP-BD=8-6=2,

2

.,.0P=0D+DP=5,

在RtaAOP中，AP=AO2+OP2=27,

四邊形2

?\SADPE=SZiADp+SZiAEP=；DPAO+；AP2=|x2x3+jxQ7)=83.

考點(diǎn)3三角形、四邊形混合幾何探究

9.我們把兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”，例如圖1,圖2,圖3

中，AF,BE是aABC的中線，AF1BE,垂足為P,像AABC這樣的三角形均

稱為“中垂三角形"，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c.

特例探索

(1)如圖1,當(dāng)NABE=45。，c=2啦時(shí)，a=25,b=2&

如圖2,當(dāng)NABE=30。，c=4時(shí)，a=2j3,b=2Z

歸納證明

(2)請(qǐng)你觀察(1)中的計(jì)算結(jié)果，猜想a?,b2,c2三者之間的關(guān)系，用等式表示出來(lái),

并利用圖3證明你發(fā)現(xiàn)的關(guān)系式.

拓展應(yīng)用

(3)如圖4,在DABCD中，點(diǎn)E,F,G分別是AD,BC,CD的中點(diǎn)，BE1EG,

AD=2?AB=3,求AF的長(zhǎng).

解：（1）：AFJ_BE,ZABE=45°,

.?.AP=BP=*AB=2.

2

VAF,BE是aABC的中線，

；.EF〃AB,EF=：AB=W,

ZPFE=ZPEF=45°,/.PE=PF=1.

在RtZSFPB和R3EA中，AE=BF=#+22=3,

/.AC=BC=2A/5,，a=b=2g

如答圖1,連接EF.

同理可得EF=k<4=2.

2

?「EF〃AB,/.APEF^APBA,

.PF=PE=EF=1

?，Ap-PB~AB~2.

在RtZ^ABP中，AB=4,ZABP=30°,

/.AP=2,PB=2A/3,/.PF=1,PE=3.

在Rt^APE和RtZSBPF中，AE=V7,BF=\/13,

，a=213,b=27.

⑵猜想:a2+b2=5c2,證明如下:

如答圖2,連接EF.

設(shè)/ABP=a,AP=csina,PB=ccosa,

由⑴同理可得PF=；PA=csma,pE=lpB=ccosa,

AE2=AP2+PE2=c2sin2a+CC0Sa,

4

2?2

BF『PB?+PF2=C2cos2a+°Sina,

4

.,b、，?c2cos2a/a、，c2sin2a.

..(r=cz9sin9za-|-,()z=十c/9cos'a?,

2424

.a2?b2c2sin2a.,.c2cos2a

..十=+c2cosz?a+czsinz?a+,

4444

:.a2+b2=5c2.

(3)如答圖3,連接AC,EF交于點(diǎn)H,AC與BE交于點(diǎn)Q,設(shè)BE與AF的交點(diǎn)

為P.

???點(diǎn)E,G分別是AD,CD的中點(diǎn)，.??EG〃AC

VBE1EG,ABE1AC.

?四邊形ABCD是平行四邊形，，AD〃BC,AD=BC=25,/.ZEAH=ZFCH.

VE,F分別是AD,BC的中點(diǎn),

.，.AE=1AD,BF=1BC,

22

.\AE=BF=CF=1AD=5.

2

?「AE〃BF,.?.四邊形ABFE是平行四邊形，

.\EF=AB=3,AP=PF.

ZEAH=ZFCH,

在AAEH和△CFH中，，/AHE=NFHC,

AE=CF,

.,.△AEH^ACFH,.\EH=FH,AEP,AH分別是AAFE的中線，

由(2)的結(jié)論得AF2+EF2=5AE2,

.\AF2=5(5)2-EF2=16,，AF=4.

或連接F與AB的中點(diǎn)M,證MF垂直BP,構(gòu)造出“中垂三角形"，由AB=3,

BC='AD=5及(2)中的結(jié)論，直接可求AF.

10.我們定義：如圖1,在AABC中，把AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a(0oVaV180。)

得到AB1把AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)°得到AC,連接BC1當(dāng)a+B=180。時(shí)，我

們稱△ABC，是4ABC的“旋補(bǔ)三角形”,△AB，。邊上的中線AD叫做4ABC

的“旋補(bǔ)中線''，點(diǎn)A叫做“旋補(bǔ)中心”.

特例感知

⑴在圖2,圖3中，△ABC是AABC的“旋補(bǔ)三角形"，AD是AABC的“旋補(bǔ)中

線”

①如圖2,當(dāng)AABC為等邊三角形時(shí)，AD與BC的數(shù)量關(guān)系為AD=jBC；

②如圖3,當(dāng)NBAC=90。，BC=8時(shí)，則AD長(zhǎng)為生

猜想論證

(2)在圖1中，當(dāng)AABC為任意三角形時(shí)，猜想AD與BC的數(shù)量關(guān)系，并給予

證明.

拓展應(yīng)用

(3)如圖4,在四邊形ABCD,ZC=90°,ZD=150°,BC=12,CD=20DA

=6.在四邊形內(nèi)部是否存在點(diǎn)P,使APDC是aPAB的“旋補(bǔ)三角形”？若存在，

給予證明，并求^PAB的“旋補(bǔ)中線”長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由.

解：（1）①:△ABC是等邊三角形，

，AB=BC=AC=AB'=AC'.丁DB'=DC',

.,.ADIB'C；

VZBAC=60°,NBAC+NB'AC'=180。，

.??NB'AC'=120。，.?.NB'=NC'=30。，

.?.AD=-AB'=-BC.

22

②???/BAC=90。，ZBAC+ZBrACr=180°,

.?.NB'AC'=NBAC=90°.

VAB=AB\AC=AC,AABAC^AB'AC,

.*.BC=B,C;

：BD=DC,.*,AD=1B,C=1BC=4.

22

(2)結(jié)論：AD=；BC

證明如下：

如答圖1,延長(zhǎng)AD到M,使得AD=DM,連接BM,CM.

VB,D=DC,,AD=DM,，四邊形ACMB，是平行四邊形，，AC=B，M=AC.

第10題答圖1

???/BAC+/B，AC=180。，

ZB,AC+ZAB,M=I8O°,

ZBAC=ZMB,A.VAB=AB;

.,.△BAC^AAB'M,

.?.BC=AM,.*.AD=1BC.

2

(3)存在.理由：如答圖2,延長(zhǎng)AD交BC的延長(zhǎng)線于M,作BE1AD于E,作

線段BC的垂直平分線交BE于P,交BC于F,連接PA,PD,PC,作4PCD

的中線PN,

第10題答圖2

連接DF交PC于O.

VZADC=150°,

.?.ZMDC=30°.

在Rtz^DCM中，CD=23,ZDCM=90°,ZMDC=30°,

/.CM=2,DM=4,ZM=60°.

在RtaBEM中，ZBEM=90°,BM=14,ZMBE=30°,.,.EM=^BM=7,ADE

=EM-DM=3.

VAD=6,.,.AE=DE/.,BE±AD,

.*.PA=PD,PB=PC.

在Rt/XCDF中，CD=23,CF=6,

.*.tanZCDF=3,AZCDF=60°=ZCPF,

易證△FCPgZ\CFD,/.CD=PF.VCD^PF.

???四邊形CDPF是矩形，???NCDP=90。，

ZADP=ZADC-ZCDP=60°,

AADP是等邊三角形，Z.ZADP=60°.

VZBPF=ZCPF=60°,/.ZBPC=120°,

AZAPD+ZBPC=180°,

APDC是aPAB的“旋補(bǔ)三角形”.

在Rt^PDN中，ZPDN=90°,PD=AD=6,DN=3,.*.PN=DN2+PD2=

\r(3)2+62=39.

考點(diǎn)4多邊形幾何探究

11.【圖形定義】如圖，將正n邊形繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。后，發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)前后兩圖

形有另一交點(diǎn)O,連接AO,我們稱AO為“疊弦”；再將“疊弦”AO所在的直線繞

點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。后，交旋轉(zhuǎn)前的圖形于點(diǎn)P,連接PO,我們稱/OAB為“疊

弦角"，AAOP為“疊弦三角形”；

【探究證明】

⑴請(qǐng)?jiān)趫D1和圖2中選擇其中一個(gè)證明：“疊弦三角形”(AAOP)是等邊三角形.

(2)如圖2,求證：ZOAB=ZOAE,；

【歸納猜想】

⑶圖1、圖2中的“疊弦角”的度數(shù)分別為建，242;

(4)圖n中，“疊弦三角形”是等邊三角形(填“是”或“不是”);

⑸圖n中，“魯弦角”的度數(shù)為60。一儂2.(用含n的式子表示)

n

圖3(m=6)

解：(I)、?四邊形ABCD是正方形,

由旋轉(zhuǎn)知，AD=AD;ZD=ZDz=90°,ZDAD,=ZOAP=60°,

/.ZDAP=ND'AO,△APD^△AOD^ASA),

/.AP=AO.

VZOAP=60°,.?.△AOP是等邊三角形;

(2)如答圖，作AMLDE于M,作ANJ_CB于N.

?.?五邊形ABCDE是正五邊形,

由旋轉(zhuǎn)知，AE=AE\ZE=ZEf=108°,NEAE'=NOAP=60。,

：.ZEAP=ZE'AO.

在RtZ\AEM和RtZ\ABN中，ZAEM=ZABN=72°,AE=AB,

/.RtAAEMRtAABN(AAS),

NEAM=NBAN,AM=AN.

在RtAAPM禾口RtAAON中，AP=AO,AM=AN,

，RtAAPM^RtAAON(HL),

/.ZPAM=ZOAN,/.ZPAE=ZOAB,

二./OAE'=NOAB.

(3)由(1)知，AAPD^AAOD；

ZDAP=ZD,AO.