2024版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)：圓的方程

第三節(jié)圓的方程

考試要求：掌握確定圓的幾何要素，掌握圓的標準方程與一般方程.

-------、必備知識?回顧教材重“四基

一、教材概念?結(jié)論?性質(zhì)重現(xiàn)

1.圓的定義及方程

平面上到定點的距離等于定長

定義

的點的集合（軌跡）

標準圓心：（a加,

(X—[)2+(1—5)2=產(chǎn)(7>0)

方程半徑：2

一般A2+干+0X+￡V+F=0(加+廳-圓心：（二§2_二號），

方程4片>0)半徑：ZD2±E2_4F

2

微提醒???

⑴確定圓的方程時，常用到的圓的三個性質(zhì).

①圓心在過切點且與切線垂直的直線上.

②圓心在任一弦的中垂線上.

③兩圓內(nèi)切或外切時，切點與兩圓圓心共線.

⑵方程必+/+為+班+尸=0,當(dāng)嚴+1-4丘＞0時，表示圓心為（一5，-1）,半徑r=

空的圓;當(dāng)加+1-4戶=0時，表示一個點（一-1）；當(dāng)加+甘-4辰0時，不

表示任何圖形.

2.點明xo,質(zhì)）與圓（x-aK+（y-6）2=/的位置關(guān)系

⑴若加廂宛在圓外，則（去0-力2+（%-6）2＞產(chǎn).

（2）若題即㈤在圓上，則（8-2）2+（%-62=7.

⑶若加（的功）在圓內(nèi)，則（的-a[+（%-加2＜y.

二、基本技能?思想?活動經(jīng)驗

1.判斷下列說法的正誤，對的畫“V”，錯的畫“x”.

⑴確定圓的幾何要素是圓心與半徑.（V）

（2）方程*+2ax+/=0一定表示圓.（x）

⑶圓*+2x+/+y=0的圓心是（7,9（x）

（4）若點頌的，為）在圓/+/+打+尸=0內(nèi)，貝!Jx%++++尸＞0.

（x）

2.若坐標原點在圓(x-㈤2+(y+㈤2=4的內(nèi)部，則實數(shù)m的取值范圍是()

A.(-1,1)B.(-V5,VS)

C.(一丘,匹D.(-1，1)

C解析：因為原點(0,0)在圓(x-mV+(y+S產(chǎn)=4的內(nèi)部，

所以(0-㈤2+(o+m)2<4,解得-'l~2<m<故選C.

3.圓必+盧-4x+6y=0的圓心坐標和半徑分別是()

A.(2,3),3B.(-2,3),Vj

C.(-2,-3),13D.(2,-3),V75

D解析：圓的方程可化為(x-2產(chǎn)+(y+3猿=13,所以圓心坐標是(2,-3),半徑r=4方.故

選D.

4.經(jīng)過點(1,0),且圓心是兩直線x=1與x+y=2的交點的圓的方程為()

A.(x-l)2+/=l

B.U-l)2+(y-l)2=l

C.*+(y-1K=1

D.(x-1/+(y-1產(chǎn)=2

x=7x=1

B解析：由｛‘得｛'

X+y=2,v=7,

即所求圓的圓心坐標為(1,1).

又由該圓過點(1,0),得其半徑為1,

故圓的方程為(x-1)2+(y-I)2=1.故選B.

5,已知aGR,方程aV+(a+2)/+4x+8y+5a=0表示圓，則圓心坐標是,半徑

是________

(-2,-4)5解析：由已知方程表示圓，則比=2+2,解得a=2或a=-l.

當(dāng)a=2時，方程不滿足表示圓的條件，故舍去.

當(dāng)a=-l時，原方程為*+/+4x+8y-5=0,

化為標準方程為(x+2)2+(y+4)2=25,表示以(-2,-4)為圓心，5為半徑的圓.

---------、關(guān)鍵能力?研析考點強“四翼”/---------

考點1圓的方程——基礎(chǔ)性

「多維訓(xùn)練」

1.圓心在y軸上，且過點(3,1)的圓與x軸相切，則該圓的方程是()

A./+/+lOy=0B.A2+j2-10y=0

C./+j2+Wx=0D./+/-10x=0

B解析：根據(jù)題意，設(shè)圓心坐標為(0,4半徑為r,則圓的方程為d+①-產(chǎn)=產(chǎn).又圓過(3,

1),故32+(1-#=產(chǎn)，解得r=5,可得圓的方程為？+/-107=0.故選B.

2.已知方程爐+/-2(m+3)x+2(1-4/泊7+16/4+9=0表示一個圓，則實數(shù)m的取值范圍

為()

A.(一，7)B.[-T，4

c.(-y,7]D.(-8,一夕U[l,+8)

A解析：根據(jù)題意，方程爐+/-2(。+3)X+2(1-44)/+16涼+9=0,變形得[x-(m+3)產(chǎn)

+[y+(1-4曬F=一7加+6/77+1.

當(dāng)且僅當(dāng)-7nf+6/77+1>0,即7加-6/77-1<0時方程表示圓，

解得即0的取值范圍為(一《今?故選A.

3.圓心在直線x-2y-3=0上，且過點力(2,-3),夙-2,-5)的圓的方程為

/+/+2jr+4y-5=0解析：方法一：幾何法

設(shè)點C為圓心，因為點C在直線x-2y-3=0上，所以可設(shè)點C的坐標為(2a+3,a).

又該圓經(jīng)過48兩點，所以IG4I=I切，

即“2a+3_型+g+3)2

=7(2a+3+2)2+(a+5)2,解得a=_2>

所以圓心C的坐標為(-1,-2),半徑r=4力

故所求圓的方程為(x+1產(chǎn)+(y+2產(chǎn)=10.

方法二：待定系數(shù)法

設(shè)所求圓的標準方程為(x-4+(y-濟=/,

(2-a)2+(-3-b)2^r2,

由題意得｛(—2—a)2+(-5-%=r<

a—2b—3=0,

解得a=-1,b=-2,/=10,

故所求圓的方程為(x+I)2+(y+2猿=10.

方法三：待定系數(shù)法

設(shè)圓的一般方程為*+/+Ar+Ey+F=0,

則圓心坐標為(―5，—y)-

一§-2x(一分一3=0,

由題意得｛4+9+2D—3E+F=0,

4+25-2D-5E+F=0,

解得。=2,E=4,F=-5.

故所求圓的方程為/+/+2x+4y-5=0.

解題通法

L⑴若已知圓的切線，則圓心在過切點且與切線垂直的直線上.

⑵若已知圓上兩點，則圓心在兩點構(gòu)成的弦的垂直平分線上.

2.用代數(shù)法求圓的方程，特別是已知圓上三個點時，可以設(shè)出圓的一般方程，用待定系數(shù)

法求圓的方程.

考點2與圓有關(guān)的軌跡問題——綜合性

「典例引領(lǐng)」

例D/已知RQ49C的斜邊為4?,且4-1,0),5(3,0).求:

⑴直角頂點C的軌跡方程；

⑵直角邊8c的中點〃的軌跡方程.

解：⑴設(shè)爾，力因為4B,C三點不共線，所以y#0.

因為AC1.BC,所以RAC,kpc=~!.

又幺c=&，人=皂，

所以+j一i，

X-r/X—J

化簡得/+j2-2x-3=0.

因此，直角頂點C的軌跡方程為2x-3=0(yN0).

⑵設(shè)Mx,y),CU。，為).因為83,0),M是線段及:的中點，由中點坐標公式得x=等,

所以x°=2x-3,y0=2y.

由⑴知，點C的軌跡方程為(x-l)2+/=4(yW0),將兩=2x-3,為=2y代人得(2x-4產(chǎn)+(20工

=4,即—=1.

因此動點M的軌跡方程為(x-2)2+/=l(y#0).

同源異考/

將本例的條件變?yōu)椋狐c用與兩個定點@0,0),R3,0)的距離的比為(試求點用的軌跡方

程.

^x2+y21

解：設(shè)點朋x,力，由題意得

>>(x-3)2+y22'

整理得*+j2+2x-3=0.

解題通法

求與圓有關(guān)的軌跡方程的方法

原壁H直接根據(jù)題設(shè)給定的條件列出方程(組)求解的方法

［定義法H根據(jù)圓(或直線)的定義列方程(組)求解的方法

［幾何法H利用圓的幾何性質(zhì)，得出方程(組)的方法

金?空找出要求的點與已知點的關(guān)系，代入已知點滿

【1工天足L的'關(guān)系式的方法

「多維訓(xùn)練」

L點只4,-2)與圓/+/=4上任意一點連線的中點的軌跡方程是()

A.(x-2)2+(7+1猿=1

B.(x-2)2+(y+l)2=4

C.(x+4產(chǎn)+(y-2K=4

D.(x+2)2+(7-1猿=1

xi+4

x-------x-2x_4

A解析：設(shè)圓上任意一點為⑶，㈤，中點為(X,力則｛2，即｛7-‘代入

V=號，y1=2丫+2.

3+/=4,得(22一4)2+(2/+2)2=4,化簡得(工-2)2+8+1)2=1.故選人.

2.設(shè)定點M-3,4),動點N在圓/+/=4上運動，以O(shè)M,加為兩邊作平行四邊形MONP,

求點P的軌跡方程.

解：如圖所示，設(shè)Hx,y),AU,⑸,

則線段OP的中點坐標為6，券

線段肱V的中點坐標為(寫，吟.

因為平行四邊形的對角線互相平分，

所以＞與，T

整理得d=x’3

y。=y-4.

又點N蜀，％)在圓*+/=4上，

所以(x+3)2+3-4)2=4.

所以點P的軌跡是以(-3,4)為圓心,2為半徑的圓,直線與點P的軌跡相交于兩點(-1,

芻和(―弓，第，不符合題意,舍去，所以點P的軌跡為(x+3)2+(尸4)2=4,除去兩點(一:,

ODOD

苧和(告，

考點3與圓有關(guān)的最值問題——應(yīng)用性

「典例引領(lǐng)」

考向1斜率型、截距型、距離型最值問題

例?/已知點頌77,刀)為圓C：/+/-4x-14y+45=0上任意一點.

⑴求m+2n的最大值；

⑵求品的最大值和最小值.

解：⑴依題意，圓心。2,7),半徑r=242

設(shè)777+2/?=。則點M/77,刀)為直線X+2尸，與圓C的公共點，

所以圓心。到該直線的距離d=常

'2V12+22

解得16-2mW/W16+24力.

所以初+2A的最大值為16+2d而

(2)設(shè)點0-2,3).

則直線的斜率h上!

m+2

設(shè)直線MQ的方程為y-3=瓜x+2),

即kx-y+2A+3=0.

由直線M2與圓C有公共點，

得呸薩也W2任

7k2+1

解得2AW2+43,

BP2-V5<+V3所以；女的最大值為2+73,最小值為2-73.

胴源異考/

本例的條件不變，試求Im??！?的最大值.

解：易知。0)在圓外，所以dm?+心"m_0產(chǎn)+⑺_印,所以所求的最大值為圓上

的點到原點距離的最大值.

因為圓心C(2,7),半徑「=2上，

所以圓上的點到原點距離的最大值d=丘+乃+2^2=V55+2丘

解題通法

與圓有關(guān)的最值問題的3種幾何轉(zhuǎn)化法

⑴形如s=■的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題.

X—Q.

⑵形如m^ax+by的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題.

⑶形如m=(x-aK+(y-步的最值問題，可轉(zhuǎn)化為兩點間距離的平方的最值問題.

考向2利用對稱性求最值

例?產(chǎn)已知圓a：(X-2)2+0-3)2=1,圓a：以一3)2+3-4)2=9,MN分別是圓G,G

上的動點，P為X軸上的動點，則EM+I/W的最小值為()

A,5^2-4B.V77-1

C.6-2V?D.V7?

A解析：P是x軸上任意一點，則的最小值為IPCJ-l,同理I制的最小值為IPQ-3,

則1四+1削的最小值為IPGI+IPQI-4.作圓心Q⑵3)關(guān)于x軸的對稱點。1(2,-3).所

以IPQI+IPCJ=IP。J+IPGINIC￡1=542即19+1削=產(chǎn)。11+1收1一4三54，一4.故選

A.

解題通法

求解形如對4+I網(wǎng)(其中M,N均為動點)且與圓C有關(guān)的折線段的最值問題的基本思路：

(1)“動化定”，把與圓上動點的距離轉(zhuǎn)化為與圓心的距離.

⑵“曲化直”，即將折線段之和轉(zhuǎn)化為同一直線上的兩線段之和，一般要通過對稱性解決.

「多維訓(xùn)練」

1.若x,yER,且行力一V,則譽的取值范圍是

［習(xí)，3］解析：x=V7-+1(x^0),此方程表示圓的一半，如圖.設(shè)Rx,力是此

曲線上的點，則紜表示過點Hx,力以-1,-2)兩點直線的斜率.設(shè)切線。4的斜率為左

則它的方程為戶2=於+1).從而由導(dǎo)=1,解得又刈=3,所以所求范圍是3］.

2.設(shè)點Hx,y)是圓V+①-3)2=1上的動點，定點/(2,0),氏-2,0),則PA?PB的最

大值為__________

12解析：由題意，知PA=(2—x,—y),PB=(—2—x,—y),

所以PA?PB=/+/-4.

因為點Hx,D是圓f+(y-3)2=1上的點，

所以*+(y-3)2=1,2W/W4,

所以*=-(y-3產(chǎn)+1,

所以PA-PB=-(y-3)2+l+y-4=6y-12.

因為2WyW4,

所以當(dāng)y=4時，PA-PB的值最大，最大值為6x4-12=12.

課時質(zhì)量評價(四十五)

A組全考點鞏固練

L(2023?煙臺模擬)圓心在x軸上，半徑為1,且過點(2,1)的圓的方程是()

A.U-2)2+/=1

B.(x+2)2+/=1

C.(x-+(y-3)2=1

D.*+『2)2=1

A解析：設(shè)圓的圓心為(a,0),貝N(a-2)2+(0-T)2=\,解得a=2,所以圓的標準方程

是(x-2產(chǎn)+〃=1.故選A.

->->

2.已知點P為圓C：(x-1產(chǎn)+(y-2)2=4上一點，2。一6),仇4,0),則IPA+PBI的最

大值為()

A.V26+2B.V25+4

C.2府+4D,2府+2

C解析：取4?的中點以2,-3),則PA+PB=2PD,IPA+PB|=I2PDI,田DI的最

大值為圓心Q1,2)與以2,-3)的距離d再力口半徑r.又d='l+25=岳,所以d+r=T/荔

+2.

->->__

所以IPA+PBI的最大值為2^26+4.

3.圓f+/Tx-"-10=0上的點到直線x+y-14=0的最大距離與最小距離的差是()

A.30B.18

C.6V?D.5V?

C解析：由圓*+/-4x-4y-10=0知圓心坐標為(2,2),半徑為W2則圓上的點到直

線x+y-14=0的最大距離為止浮+345=8<2最小距離為史薩-34，=242故最大

距離與最小距離的差為6/2

4.(2023?荷澤模擬)在平面直角坐標系X0中，以點(0,1)為圓心且與直線x-y-1=0相切

的圓的標準方程為()

A.*+『1)2=2

B.u-i)2+y=i

C./+(y-l)2=V?

D.(x-I)2+7=4

A解析：由題意可得圓心為點(0,1),半徑為「=*異=V2所以要求的圓的標準方程為

/+(y-1)2=2,故選A.

5.已知圓*+/=4,/1,1)為圓內(nèi)一點，P,。為圓上動點.若乙期。=90°,則線段PQ

中點的軌跡方程為

/+7-^-/-1=0解析：設(shè)做的中點為NX,V).在Rt△陽。中，\PM=\BN\,設(shè)。

為坐標原點，連接則QV_LPQ,所以IOfl2=QN|2+|則2=|刪2+1AM2,所以Y2+v2

+(V-I)2+(/-l)2=4.故線段PQ中點的軌跡方程為/+J2-x-y-l=0.

6.已知圓Cl：(x+1產(chǎn)+(7-1)2=4,圓G與圓G關(guān)于直線x-y-1=0對稱，則圓Q的方程

為____________

(x-2產(chǎn)+(戶2猿=4解析：設(shè)圓G的圓心為GQ,紈圓G:(￡+1)2+=-1)2=4的圓心為

G(-l,1),半徑為2.因為圓&與圓Ci關(guān)于直線x-y-1=0對稱，所以點G與點Q關(guān)于直

—=-7,=2

線x-y-l=0對稱，且圓G的半徑為2,則有｛a+1解得｛a'則圓G

X_史一7=0b=_2,

22'

的方程為(x-2)2+0+2)2=4.

7.已知點力(-3,0),%0),動點尸滿足LR432I陽.

⑴若點P的軌跡為曲線C求此曲線的方程；

⑵若點Q在直線Ax+y+3=0上，直線為經(jīng)過點Q且與曲線C只有一個公共點加求QM

的最小值.

解：⑴設(shè)點P的坐標為(x,力

則d(x+界+y2=24x-界+y2.

化簡可得(x-5產(chǎn)+/=16,此式即為所求.

⑵曲線C是以點(5,0)為圓心，半徑為4的圓，如圖所示.

由直線上是此圓的切線，連接CQ,CM,

則IQM\=ACQ\2-\CM\2=V|CQ|^-16.

易知當(dāng)CQDI時，ca取最小值，

又ICQmin=^=442

所以此時IQM的最小值為右2-76=4.

B組新高考培優(yōu)練

8.（多選題）（2023?遼寧模擬）以直線2x+y-4=0與兩坐標軸的一個交點為圓心，過另一個

交點的圓的方程可能為（）

A.*+3-4）2=20

B.（X-4K+/=20

C.V+『2）2=20

D.（X-2K+/=20

AD解析：令x=0,貝i」y=4；令y=0,則x=2.所以設(shè)直線2x+y-4=0與兩坐標軸的交

點分別為40,4）,/2,0）.\AB\=722+42=24五以力為圓心，過5點的圓的方程為V

+（7-4）2=20.以8為圓心,過力點的圓的方程為（x-2產(chǎn)+7=20.故選AD.

9.在平面直角坐標系X0中，已知（X7-2）2+V=5,恁-2理+4=0,貝1J（M-題）2+①]-及）2

的最小值為（）

A-TB-i

C121c77V5

C'-D'—

B解析：由已知得點（m,K）在圓（入-2）2+/=5上，點（四，及）在直線x-2y+4=0上，故⑶

-就2+（71_及產(chǎn)表示圓（x-2戶+尸=5上的點和直線x-2y+4=0上點的距離平方，而距離的

最小值為片^-V5=-y,故⑶-就2+（/I-Ja）2的最小值為孑

10.已知實數(shù)x,y滿足歲+/=4（"、0）,則勿=，區(qū)+y的取值范圍是（）

A.（-2乃，4）B.[-2乃，4]

C.[-4,4]D.[-4,2何

B解析：*+7=4伊三0）表示圓必+/=4的上半部分，如圖所示，

直線J%，+y-m=0的斜率為-43,在y軸上的截距為m當(dāng)直線V3x+y-m=0過點（-2,0）

時，0=-243.設(shè)圓心（0,0）到直線，3x+y-s=0的距離為d,貝心一’即

d<2,

m>-R3,

{1ml解得/￡[一2丁3,4].

"7F-2

11.阿波羅尼斯（約公元前262-190年）證明過這樣一個命題：平面內(nèi)到兩定點距離之比為常

數(shù)歐Q0且A#l）的點的軌跡是圓.后人將這個圓稱為阿氏圓.若平面內(nèi)兩定點46間的

距離為2,動點P滿足網(wǎng)1=4方陽，當(dāng)P,A,6不共線時，△K48面積的最大值是（）

A.2V?B.V?

R5y?

Cr--D.

3

A解析：設(shè)力(1,0),5(-1,0),Rx,y),

則^^=任化簡得（戶3產(chǎn)+

當(dāng)點P到軸