2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：概率統(tǒng)計(jì)之選擇填空（學(xué)生版）（新高考專(zhuān)用）

專(zhuān)題10-1概率統(tǒng)計(jì)（選填）

題型一：隨機(jī)抽樣、分層抽樣

【典例分析】

例題1.（2024秋?廣東潮州?高一饒平縣其次中學(xué)?？计谥校哪嘲?0名同學(xué)中選出5人

參與戶(hù)外活動(dòng)，利用隨機(jī)數(shù)表法抽取樣本時(shí)，先將60名同學(xué)按01,02,…，60進(jìn)行編號(hào)，

然后從隨機(jī)數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字起先從左往右依次選取兩個(gè)數(shù)字，則選出的第5

個(gè)同學(xué)的編號(hào)為（注：表為隨機(jī)數(shù)表的第1行與第2行）（）

03474373863696473661469836716297

74246292428114572042533237321676

A.24B.36C.46D.47

例題2.（2024春?重慶沙坪壩?高二重慶八中?？茧A段練習(xí)）某日某火鍋店進(jìn)貨了四種食

品，其中毛肚、鴨腸、牛肉及葛筍分別進(jìn)貨了700份、600份、500份、200份，現(xiàn)從中抽

取一個(gè)容量為20的樣本進(jìn)行食品平安檢測(cè).若采納分層抽樣的方法抽取樣本，則抽取的毛肚

份數(shù)與葛筍份數(shù)之和是（）

A.7B.13C.8D.9

【提分秘籍】

隨機(jī)數(shù)表法是常用的一種抽樣方法，運(yùn)用時(shí)做到不重復(fù)，不遺漏.

分層抽樣留意分層，每層抽樣比相同.

【變式演練】

1.（2024春?廣東珠海?高二珠海市試驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）要考察某公司生產(chǎn)的500克

袋裝牛奶的質(zhì)量是否達(dá)標(biāo)，現(xiàn)從500袋牛奶中抽取50袋進(jìn)行檢驗(yàn)，將它們編號(hào)為000,001,

002,…499,利用隨機(jī)數(shù)表抽取樣本，從第8行第5列的數(shù)起先，按3位數(shù)依次向右讀取，

到行末后接著從下一行第一個(gè)數(shù)接著.則第四袋牛奶的標(biāo)號(hào)是（）

（下面摘取了某隨機(jī)數(shù)表的第7行至第9行）

84421755315724550688770474476721763

35025839212067663016478591695556719

98301071851286735807443952387933211

A.358B.301C.071D.206

2.（2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）某中學(xué)的高一、二、三這三個(gè)年級(jí)學(xué)生的平均身高分別為

焉%彳，若按年級(jí)采納分層抽樣的方法抽取了一個(gè)600人的樣本，抽到高一、高二、高三的

學(xué)生人數(shù)分別為100、200、300,則估計(jì)該中學(xué)學(xué)生的平均身高為（）

題型二：用樣本估計(jì)總體

【典例分析】

例題1.（多選）（2024?山東東營(yíng)?成功一中?？寄M預(yù)料）某校實(shí)行勞動(dòng)技能大賽，統(tǒng)

計(jì)了100名學(xué)生的競(jìng)賽成果，得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知成果均在區(qū)間[40,100]

內(nèi)，不低于90分的視為優(yōu)秀，低于60分的視為不及格.若同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中間值

做代表值，則下列說(shuō)法中正確的是（）

A.tz=0.15

B.優(yōu)秀學(xué)生人數(shù)比不及格學(xué)生人數(shù)少15人

C.該次競(jìng)賽成果的平均分約為70.5

D.這次競(jìng)賽成果的69%分位數(shù)為78

例題2.（多選）（2024?山東德州?統(tǒng)考二模）教化部辦公廳“關(guān)于進(jìn)一步加強(qiáng)中小學(xué)生

體質(zhì)健康管頻率理工作的通知”中指出，各地要加強(qiáng)對(duì)學(xué)生體質(zhì)健康0.06重要性的宣揚(yáng)，

中小學(xué)校要通過(guò)體育與健康課程、大課間、課外體育熬煉、體育競(jìng)賽、班團(tuán)隊(duì)活動(dòng)，家校協(xié)

同聯(lián)動(dòng)等多種形式加強(qiáng)教化引導(dǎo)，讓家長(zhǎng)和中小學(xué)生007科學(xué)相識(shí)體質(zhì)健康的影響因素.了

解運(yùn)動(dòng)在增加體質(zhì)、促進(jìn)健康、預(yù)防肥胖與近視、錘煉意志、健全人格等方面的重要作用，

提高學(xué)生體育與健康素養(yǎng)，增加體質(zhì)健康管理的意識(shí)和實(shí)力，某學(xué)校共有2000名男生，為

了了解這部分學(xué)生的身體發(fā)育狀況，學(xué)校抽查了100名男生的體重狀況.依據(jù)所得數(shù)據(jù)繪制

樣本的頻率分布直方圖如圖所示，則（）

，頻率

0.06

0.05

0.04

0.03

0.02

O556065707580體重/kg

樣本的眾數(shù)為67]B.樣本的80%分位數(shù)為72萬(wàn)

樣本的平均值為66D.該校男生中低于60公斤的學(xué)生大約為300

【提分秘籍】

頻率分布直方圖中的考點(diǎn)常常涉及到:

①平均數(shù)，眾數(shù)，中位數(shù)估計(jì)值;

②各個(gè)小矩形面積之和等于1

【變式演練】

1.（多選）（2024?廣東韶關(guān)?統(tǒng)考一模）某電視傳媒機(jī)構(gòu)為了解某地區(qū)電視觀眾對(duì)某類(lèi)

體育節(jié)目的收視狀況，隨機(jī)抽取了200名觀眾進(jìn)行調(diào)查，其中女性占40%.依據(jù)調(diào)查結(jié)果分

別繪制出男、女觀眾兩周時(shí)間收看該類(lèi)體育節(jié)目時(shí)長(zhǎng)的頻率分布直方圖，則（）

男觀眾收看節(jié)目時(shí)長(zhǎng)女觀眾收看節(jié)目時(shí)長(zhǎng)

A.m=0.08

B.女觀眾收看節(jié)目時(shí)長(zhǎng)的中位數(shù)為6.5小時(shí)

C.女觀眾收看節(jié)目的平均時(shí)長(zhǎng)小于男觀眾的平均時(shí)長(zhǎng)

D.收看節(jié)目不少于9小時(shí)觀眾中的女觀眾人數(shù)是男觀眾人數(shù)的;

2.（多選）（2024?江蘇南京?南京外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校聯(lián)考模擬預(yù)料）某校為了解學(xué)生體能素

養(yǎng)，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行體能測(cè)試，并將這100名學(xué)生成果整理得到如下頻率分布直

方圖.依據(jù)此頻率分布直方圖，下列結(jié)論中正確的是（）

A.a=0.012

B.這100名學(xué)生中成果在［50,70）內(nèi)的人數(shù)為52

C.這100名學(xué)生成果的中位數(shù)為65

D.這100名學(xué)生的平均成果為68.2（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值做代表）

題型三：樣本的數(shù)字特征

【典例分析】

例題1.（2024?黑龍江齊齊哈爾齊齊哈爾市第一中學(xué)校?？家荒＃┘褐粋€(gè)容量為

的樣本數(shù)據(jù)的平均值為90,方差為10,若去掉其中5個(gè)為90的樣本數(shù)據(jù)，剩余樣本數(shù)據(jù)的

平均值為，方差為s2,則下列結(jié)論正確的是（）

A.x=90,s?>10B.尤=90,s?=10

C.%>90，?=10D.篷90，s?<10

例題2.（2024春?四川成都?高三統(tǒng)考期末）若數(shù)據(jù)9,加，6,n,5的平均數(shù)為7,方

差為2,則數(shù)據(jù)11,9,2m-l,17,2〃-1的平均數(shù)和方差分別為（）

A.13,4B.14,4C.13,8D.14,8

【變式演練】

1.（2024?湖南長(zhǎng)沙?統(tǒng)考模擬預(yù)料）某地區(qū)連續(xù)六天的最低氣溫（單位：。C）為：9,8,7,

6,5,7,則該六天最低氣溫的平均數(shù)和方差分別為

58o

A.7和§B.8和§C.7和1D.8和］

2.（2024?上海?高三專(zhuān)題練習(xí)）若數(shù)%,%，%，%，%的標(biāo)準(zhǔn)差為2,則數(shù)

3%-2,3a2—2,3a3—2,3（z4—2,3%—2的標(biāo)準(zhǔn)差為.

3.（2024?上海?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知總體的各個(gè)體的值由小到大依次為2,3,3,7,a,b,12,

13.7,18.3,20,且總體的中位數(shù)為10.5,若要使該總體的方差最小，則a、6的取值分別

是

題型四：百分位數(shù)

【典例分析】

例題1.（2024春?浙江紹興?高三紹興一中?？计谥校?,3,4,5,6,7,8,9中隨

機(jī)取兩個(gè)數(shù)，這兩個(gè)數(shù)一個(gè)比加大，一個(gè)比加小的概率為三，已知機(jī)為上述數(shù)據(jù)中的x%分

14

位數(shù)，則X的取值可能為（）

A.50B.60C.70D.80

例題2.（2024春?河南開(kāi)封?高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知甲、乙兩組按從小到大依次排列的

數(shù)據(jù)：甲組：14,30,37,a,41,52,53,55,58,80；乙組：17,22,32,6,45,47,51,59.若甲組數(shù)據(jù)的

第30百分位數(shù)和乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，則。-6等于.

【提分秘籍】

①按從小到大排列原始數(shù)據(jù).

②計(jì)算i=”xp%.

③若，不是整數(shù)而大于，的比鄰整數(shù)J,則第P百分位數(shù)為第，項(xiàng)數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則第。

百分位數(shù)為第i項(xiàng)與第i+1項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù).

【變式演練】

1.（2024春?山東聊城?高三山東聊城一中?？计谀?024年2月20日，在黨史學(xué)習(xí)教

化動(dòng)員大會(huì)上，習(xí)近平總書(shū)記強(qiáng)調(diào)這次學(xué)習(xí)教化“總的來(lái)說(shuō)就是要做到學(xué)史明理、學(xué)史增信

、學(xué)史崇德、學(xué)史力行，教化引導(dǎo)全黨同志學(xué)黨史、悟思想、辦實(shí)事、開(kāi)新局”.某單位為了

解該單位黨員開(kāi)展學(xué)習(xí)黨史學(xué)問(wèn)活動(dòng)狀況，隨機(jī)抽取了部分黨員，對(duì)他們一周的黨史學(xué)習(xí)時(shí)

間進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示：

黨史學(xué)習(xí)時(shí)間（小時(shí)）7891011

黨員人數(shù)610987

則該單位黨員一周學(xué)習(xí)黨史時(shí)間的眾數(shù)及第40百分位數(shù)分別是（)

A.8,8.5B.8,8C.9,8D.8,9

2.（2024?上海?高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）某校從高一新生中隨機(jī)抽取了一個(gè)容量為20的身高

樣本，數(shù)據(jù)從小到大排序如下（單位：cm）.

152,155,158,164,164,165,165,165,166,167,168,168,169,170,170,170,

171,x,174,175,若樣本數(shù)據(jù)的第90百分位數(shù)是173,則x的值為.

3.（2024春?湖北?高三湖北省紅安縣第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在我市今年高三年級(jí)期

中聯(lián)合考試中，某校數(shù)學(xué)單科前10名的學(xué)生成果依次是：

143,140,144,142,142,145,148,147,147,150,

這10名同學(xué)數(shù)學(xué)成果的60%分位數(shù)是.

題型五：線(xiàn)性回來(lái)

【典例分析】

例題1.（2024秋?北京朝陽(yáng)?高二統(tǒng)考期末）已知一組樣本數(shù)據(jù)（占,%）,（%，%），'（%，％），

依據(jù)這組數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖分析龍與V之間的線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，若求得其線(xiàn)性回來(lái)方程為

夕=0.85元-85.7,則在樣本點(diǎn)（165,57）處的殘差為（）

A.-2.45B.2.45C.3.45D.54.55

例題2.（2024秋?江蘇鹽城?高二鹽城市田家炳中學(xué)校考期中）已知某種商品的廣告費(fèi)支

出x（單位：萬(wàn)元）與銷(xiāo)售額y（單位：萬(wàn)元）之間有如下對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)：

X24568

y3040506070

依據(jù)上表可得回來(lái)方程§=鼠+）計(jì)算得6=7,則當(dāng)投入10萬(wàn)元廣告費(fèi)時(shí)，銷(xiāo)售額的預(yù)報(bào)

值為

A.75萬(wàn)元B.85萬(wàn)元

C.99萬(wàn)元D.105萬(wàn)元

例題3.（2024秋?河南洛陽(yáng)?高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知變量V與無(wú)（尤＞0）的一組數(shù)據(jù)如

表所示，依據(jù)數(shù)據(jù)得到y(tǒng)關(guān)于X的回來(lái)方程為y=—4尤+4.

X23456

y2030506070

若y=152,貝”=

【提分秘籍】

回來(lái)直線(xiàn)方程y=Z?x+a肯定經(jīng)過(guò)樣本中心（x,y）.

【變式演練】

1.（2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）某公交公司推出掃碼支付乘車(chē)實(shí)惠活動(dòng)，活動(dòng)為期兩周,

活動(dòng)的前五天數(shù)據(jù)如下表：

第X天12345

運(yùn)用人數(shù)（y）151734578421333

由表中數(shù)據(jù)可得y關(guān)于x的回來(lái)方程為9=55/+機(jī)，則據(jù)此回來(lái)模型相應(yīng)于點(diǎn)（2,173）

的殘差為（）

A.-5B.-6C.3D.2

2.（2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知變量x,，的關(guān)系可以用模型y=cb擬合，設(shè)z=lny,

其變換后得到一組數(shù)據(jù)如下：

X46810

Z2356

由上表可得線(xiàn)性回來(lái)方程z=0.7尤+a，則。.

3.（2024秋?四川成都?高三四川省成都市鄲都區(qū)第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）2024年3

月成都市連續(xù)5天的日平均氣溫如下表所示：

日期尤89101112

平均氣溫y（℃）20.521.521.52222.5

由表中數(shù)據(jù)得這5天的日平均氣溫，關(guān)于日期方的線(xiàn)性回來(lái)方程為夕=045x+&,據(jù)此預(yù)料3

月15日成都市的平均氣溫為℃.

4.（2024?高二課時(shí)練習(xí)）某工廠為探討某種產(chǎn)品產(chǎn)量x（噸）與所需某種原材料y（噸）

的相關(guān)性，在生產(chǎn)過(guò)程中收集4組對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)（尤,y）如下表所示：

題型六：獨(dú)立性檢驗(yàn)

【典例分析】

例題1.（2024秋?北京朝陽(yáng)?高二統(tǒng)考期末）為了了解居家學(xué)習(xí)期間性別因素是否對(duì)學(xué)生

體育熬煉的常常性有影響，某校隨機(jī)抽取了40名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，依據(jù)性別和體育熬煉狀況

整理出如下的2x2列聯(lián)表：

熬煉狀況

性別合計(jì)

不常常常常

女生/人14721

男生/人81119

合計(jì)/人221840

n(ad-be)2

注：/獨(dú)立性檢驗(yàn)中,n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值如下表:

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

依據(jù)這些數(shù)據(jù)，給出下列四個(gè)結(jié)論：

①依據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理，可以認(rèn)為性別對(duì)體育熬煉的常常性有影響；

②依據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理，可以認(rèn)為性別對(duì)體育熬煉的常常性沒(méi)有影響；

③依據(jù)小概率值c=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為性別對(duì)體育熬煉的常常性有影響，這個(gè)推

斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05；

④依據(jù)小概率值e=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒(méi)有充分證據(jù)推斷性別對(duì)體育熬煉的常常性有影

響，因此可以認(rèn)為性別對(duì)體育熬煉的常常性沒(méi)有影響.

其中，正確結(jié)論的序號(hào)是（）

A.①③B.①④C.②③D.②④

例題2.（2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）某市實(shí)行了首屆閱讀大會(huì)，為調(diào)查市民對(duì)閱讀大會(huì)

的滿(mǎn)足度，相關(guān)部門(mén)隨機(jī)抽取男女市民各50名，每位市民對(duì)大會(huì)給出滿(mǎn)足或不滿(mǎn)足的評(píng)價(jià),

得到下面列聯(lián)表：

n(ad-be)2

附：/其中

(Q+Z?)(c+d)(a+c)(Z?+d)，n=a+b+c+d.

a=尸（1.左）0.100.050.005

k2.7063.8417.879

【提分秘籍】

①能正確計(jì)算/=7

［a+b）［c+d）［a+c）［b+d）

②能讀對(duì)表中對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)，并能正確回答出結(jié)論

【變式演練】

1.（2024秋?廣東梅州?高二統(tǒng)考期末）經(jīng)探討表明健康的飲食和科學(xué)的運(yùn)動(dòng)能夠有效削

減低密度脂蛋白濃度.為了調(diào)查某地青年人的低密度脂蛋白濃度是否與肥胖有關(guān)，隨機(jī)調(diào)查

該地100名青年大，得到2X2列聯(lián)表如下：

肥胖不肥胖總計(jì)

低密度脂蛋白不高于3.Immol/L106575

低密度脂蛋白高于3.Immol/L101525

總計(jì)2080100

由此得出的.聲結(jié)論是（）

A.在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.5%的前提下，認(rèn)為“該地青年人的低密度脂蛋白濃度與肥胖有

關(guān)”

B.在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.5%的前提下，認(rèn)為“該地青年人的低密度脂蛋白濃度與肥胖無(wú)

關(guān)”

C.在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.1%的前提下，認(rèn)為“該地青年人的低密度脂蛋白濃度與肥胖有

關(guān)”

D.在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.1%的前提下，認(rèn)為“該地青年人的低密度脂蛋白濃度與肥胖無(wú)

關(guān)”

2.（2024秋?重慶九龍坡?高二四川外國(guó)語(yǔ)高校附屬外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考階段練習(xí)）在一次聯(lián)

考后，某校對(duì)甲、乙兩個(gè)文科班的數(shù)學(xué)考試成果進(jìn)行分析，規(guī)定：大于或等于120分為優(yōu)秀,

120分以下為非優(yōu)秀，統(tǒng)計(jì)成果后，得到如下2X2列聯(lián)表：

優(yōu)秀非優(yōu)秀合計(jì)

甲班人數(shù)50

乙班人數(shù)20

合計(jì)30110

其中〃=，+/?+c+d.

附：小…黑

a0.050.010.0050.001

Xa3.8416.6357.87910.828

依據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為數(shù)學(xué)考試成果與班級(jí)有關(guān)系的把握為（）

A.95%B.99.5%C.99.9%D.99%

3.（2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）針對(duì)“中學(xué)生追星問(wèn)題”，某校團(tuán)委對(duì)“學(xué)生性別和中

學(xué)生追星是否有關(guān)”作了一次調(diào)查，其中女生人數(shù)是男生人數(shù)的《，男生追星的人數(shù)占男生

人數(shù)的巳，女生追星的人數(shù)占女生人數(shù)的彳，若有95%的把握認(rèn)為中學(xué)生追星與性別有關(guān)，

則男生至少有A.

參考數(shù)據(jù)及公式如下:

P〈K』）0.0500.0100.001

k。3.8416.63510.828

2n(ad-bc\

K=------————------------,n=a+b+c+d.

(Q+b)(c+d)(a+c)(/?+d)

4.（2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）針對(duì)時(shí)下的“韓劇熱”，某校團(tuán)委對(duì)“學(xué)生性別和喜愛(ài)

韓劇是否有關(guān)”作了一次調(diào)查，其中女生人數(shù)是男生人數(shù)的g,男生喜愛(ài)韓劇的人數(shù)占男生

1?

人數(shù)的：，女生喜愛(ài)韓劇的人數(shù)占女生人數(shù)的才若有95%的把握認(rèn)為是否喜愛(ài)韓劇和性別

03

有關(guān)，求男生至少有一人

2

P(K>k0)0.0500.0100.001

k。3.8416.63510.828

題型七：排列組合

【典例分析】

例題1.（2024?安徽蚌埠?統(tǒng)考一模）為實(shí)行《中共中央國(guó)務(wù)院關(guān)于全面深化新時(shí)代老師

隊(duì)伍建設(shè)改革的看法》精神，加強(qiáng)義務(wù)教化老師隊(duì)伍管理，推動(dòng)義務(wù)教化優(yōu)質(zhì)均衡發(fā)展，

安徽省全面實(shí)施中小學(xué)老師“縣管校聘”管理改革，支持建設(shè)城鄉(xiāng)學(xué)校共同體.2024年暑

期某市教體局支配支配市區(qū)學(xué)校的6名骨干老師去4所鄉(xiāng)鎮(zhèn)學(xué)校工作一年，每所學(xué)校至少支

配1人，則不同支配方案的總數(shù)為（）

A.2640B.1440C.2160D.1560

例題2.（2024?江蘇鹽城?鹽城中學(xué)?？寄M預(yù)料）設(shè)集合A={。,仇c},其中"c為自

然數(shù)且a+b+c=100,則符合條件的集合A的個(gè)數(shù)為（）

A.833B.884C.5050D.5151

例題3.（2024?河南?統(tǒng)考模擬預(yù)料）將中國(guó)古代四大名著一一《紅樓夢(mèng)》《西游記》《水

滸傳》《三國(guó)演義》，以及《詩(shī)經(jīng)》等12本書(shū)依據(jù)如圖所示的方式擺放，其中四大名著要

求放在一起，且必需豎放，《詩(shī)經(jīng)》《楚辭》《呂氏春秋》要求橫放，若這12本書(shū)中7本

豎放5本橫放，則不同的擺放方法共有種.

例題4.（2024?山東濟(jì)南?山東省試驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)料）支配高二年級(jí)一、二兩個(gè)班一

天的數(shù)、語(yǔ)、外、物、體，一班的化學(xué)及二班的政治各六節(jié)課.要求體育課兩個(gè)班一起上，但不

能排在第一節(jié)；由于選課之故，一班的化學(xué)和二班的政治要支配在同一節(jié)；其他語(yǔ)、數(shù)、外、

物四科由同一任課老師分班上課，則不同的排課表方法共有種.

【提分秘籍】

排列、組合問(wèn)題的求解方法與技巧

（1）特殊元素優(yōu)先支配；（2）合理分類(lèi)與精確分步；（3）排列、組合混合問(wèn)題先選后排；（4）

相鄰問(wèn)題捆綁處理；（5）不相鄰問(wèn)題插空處理；（6）定序問(wèn)題解除法處理；（7）分排問(wèn)題直排

處理；

（8）“小集團(tuán)”排列問(wèn)題先整體后局部；（9）構(gòu)造模型；（10）正難則反，等價(jià)條件.

【變式演練】

1.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)料）將6盆不同的花卉擺放成一排，其中46兩盆花卉均擺放在

C花卉的同一側(cè)，則不同的擺放種數(shù)為（）

A.360B.480C.600D.720

2.（2024?湖北武漢?華中師大一附中?？寄M預(yù)料）某地區(qū)支配4B,C,D,E,F六名

黨員志愿者同志到三個(gè)基層社區(qū)開(kāi)展防詐騙宣揚(yáng)活動(dòng)，每個(gè)地區(qū)至少支配一人，至多支配三

人，且46兩人支配在同一個(gè)社區(qū)，C,。兩人擔(dān)心排在同一個(gè)社區(qū)，則不同的安排方法總

數(shù)為（）

A.72B.84C.90D.96

3.（2024?四川成都?成都七中?？既＃┯屑?、乙、丙三項(xiàng)任務(wù)，甲、乙各需1人擔(dān)當(dāng)，

丙需2人擔(dān)當(dāng)且至少1人是男生，現(xiàn)有2男2女共4名學(xué)生擔(dān)當(dāng)這三項(xiàng)任務(wù)，不同的支配方

法種數(shù)是.（用詳細(xì)數(shù)字作答）

題型八：二項(xiàng)式定理

【典例分析】

例題1.（2024?青海西寧?涅川中學(xué)?？家荒＃?+x）,石-{J的綻開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)

是（）

A.-160B.-100C.-20D.20

例題2.（2024?安徽蕪湖?統(tǒng)考模擬預(yù)料）綻開(kāi)式中，/項(xiàng)的系數(shù)為（）

A.5B.-5C.15D.-15

例題3.（2024?山東濱州?山東省北鎮(zhèn)中學(xué)?？寄M預(yù)料）已知

23456

（無(wú)+1）（x—I），—a0+OyX+&X+a3x+a4x+a5x+a6x,則4+q的值為.

例題4.（2024?陜西寶雞?寶雞中學(xué)校考模擬預(yù)料）（f+x-2）7的綻開(kāi)式中V的系數(shù)是

（用數(shù)字作答）

【提分秘籍】

二項(xiàng)式定理中，三項(xiàng)綻開(kāi)式中詳細(xì)某項(xiàng)，兩個(gè)式子相乘綻開(kāi)式中詳細(xì)某項(xiàng)是考試的重點(diǎn)，通

項(xiàng)公式是重要解題工具.

【變式演練】

1.（2024?江蘇鹽城?鹽城中學(xué)?？寄M預(yù)料）（x+l）5［：+l］的綻開(kāi)式中，一次項(xiàng)的系數(shù)

與常數(shù)項(xiàng)之和為（）

A.33B.34C.35D.36

2.（2024?黑龍江大慶?大慶試驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)料）已知

（2%—3）+1）++%（%—1）,則。3二（）

A.280B.35C.-35D.-280

3.（2024?重慶沙坪壩?重慶八中?？寄M預(yù)料）已知+-的綻開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)

為121,則實(shí)數(shù)。=.

4.（2024?廣東廣州?統(tǒng)考一模）已知（a+x）（l+x）5的綻開(kāi)式中一的系數(shù)是20,則實(shí)數(shù)

d—.

5.（2024?河南安陽(yáng)?模擬預(yù)料）已知（工-2公）”（。＞0）的綻開(kāi)式中只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系

X

數(shù)最大，且全部項(xiàng)的系數(shù)和為1,則綻開(kāi)式中/的系數(shù)為.

題型九：古典概型

【典例分析】

例題1.（2024?江蘇連云港?江蘇省贛榆高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)料）某校為落實(shí)“雙減”政

策；在課后服務(wù)時(shí)間開(kāi)展了豐富多彩的體育愛(ài)好小組活動(dòng)，現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四名同學(xué)擬參

與籃球、足球、乒乓球、羽毛球四項(xiàng)活動(dòng)，由于受個(gè)人精力和時(shí)間限制，每人只能等可能的選

擇參與其中一項(xiàng)活動(dòng)，則恰有兩人參與同一項(xiàng)活動(dòng)的概率為（）

例題2.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)料）2024年2月4日，北京冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)開(kāi)幕式于當(dāng)

晚20點(diǎn)整在國(guó)家體育場(chǎng)隆重實(shí)行.在開(kāi)幕式入場(chǎng)環(huán)節(jié)，91個(gè)國(guó)家（地區(qū)）按依次入場(chǎng).入場(chǎng)

依次除奧林匹克發(fā)祥地希臘（首先入場(chǎng)）、東道主中國(guó)（最終入場(chǎng)）、下屆2026年冬季奧

運(yùn)會(huì)主辦國(guó)意大利（倒數(shù)其次位入場(chǎng)）外，其余代表團(tuán)依據(jù)簡(jiǎn)體中文的筆劃依次入場(chǎng)，詮釋

了中文之美.現(xiàn)若以抽簽的方式確定入場(chǎng)依次（希臘、中國(guó)、意大利依據(jù)傳統(tǒng)出場(chǎng)依次，不

參與抽簽），已知前83位出場(chǎng)的國(guó)家（地區(qū)）均已確定，僅剩烏茲別克斯坦、北馬其頓、

圣馬力諾、安道爾、阿根廷、泰國(guó)末抽簽，求烏茲別克斯坦、安道爾能緊挨出場(chǎng)的概率

（）

例題3.（2024?內(nèi)蒙古赤峰?統(tǒng)考模擬預(yù)料）鍋中煮有芝麻餡湯圓6個(gè)，花生餡湯圓5個(gè)，

豆沙餡湯圓4個(gè)，這三種湯圓的外部特征完全相同.從中隨意舀取4個(gè)湯圓，則每種湯圓都

至少取到1個(gè)的概率為.（用分?jǐn)?shù)作答）

例題4.（2024?山東聊城?統(tǒng)考一模）第24屆冬奧會(huì)于2024年2月4日至20日在北京

和張家口實(shí)行，中國(guó)郵政接連發(fā)行了多款紀(jì)念郵票，其圖案包括“冬夢(mèng)”“飛躍”“冰墩墩”

“雪容融”等，小明現(xiàn)有“冬夢(mèng)”“飛躍”“冰墩墩”〃雪容融”郵票各2張，他準(zhǔn)備從這8

張郵票中任選3張贈(zèng)送給同學(xué)小紅，則在選中的3張郵票中既有“冰墩墩”郵票又有“雪容

融”郵票的概率為.

【提分秘籍】

一般地，設(shè)試驗(yàn)E是古典概型，樣本空間。包含〃個(gè)樣本點(diǎn)，事務(wù)A包含其中的左個(gè)樣本

點(diǎn)，則定義事務(wù)A的概率尸（人）=工=黑".

nn（￡2）

其中，H（A）和“（Q）分別表示事務(wù)A和樣本空間。包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù).

【變式演練】

1.（2024?山東煙臺(tái)?統(tǒng)考三模）屈原是中國(guó)歷史上第一位宏大的愛(ài)國(guó)詩(shī)人，中國(guó)浪漫主

義文學(xué)的奠基人，“楚辭”的創(chuàng)立者和代表作者，其主要作品有《離騷》、《九歌》、《九

章》、《天問(wèn)》等.某校于2024年6月第一周舉辦“國(guó)學(xué)經(jīng)典誦讀”活動(dòng)，支配周一至周四

誦讀屈原的上述四部作品，要求每天只誦讀一部作品，則周一不讀《天問(wèn)》，周三不讀《離

騷》的概率為（）

2.（2024?陜西西安?長(zhǎng)安一中校考模擬預(yù)料）李生素?cái)?shù)猜想是數(shù)學(xué)家希爾伯特在1900

年提出的23個(gè)問(wèn)題中的第8個(gè)：存在無(wú)窮多個(gè)素?cái)?shù)0,使得。+2是素?cái)?shù)，素?cái)?shù)對(duì)（p,p+2）

稱(chēng)為攣生素?cái)?shù).2013年華人數(shù)學(xué)家張益唐發(fā)表的論文《素?cái)?shù)間的有界距離》第一次證明白存

在無(wú)窮多組間距小于定值的素?cái)?shù)對(duì)，那么在不超過(guò)16的素?cái)?shù)中隨意取出不同的兩個(gè)，則不

能組成攣生素?cái)?shù)的概率為（）

3.（2024?上海?統(tǒng)考模擬預(yù)料）小明給摯友發(fā)拼手氣紅包，1毛錢(qián)分成三份（不定額數(shù),

每份是1分的正整數(shù)倍），若這三個(gè)紅包被甲、乙、丙三位同學(xué)搶到，則甲同學(xué)搶到5分錢(qián)

的概率為.

4.（2024?上海徐匯?統(tǒng)考二模）上海某高校哲學(xué)專(zhuān)業(yè)的4名探討生到指定的4所高級(jí)中

學(xué)宣講習(xí)近平新時(shí)代中國(guó)特色社會(huì)主義思想.若他們每人都隨機(jī)地從4所學(xué)校選擇一所，則

4人中至少有2人選擇到同一所學(xué)校的概率是.（結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示）

題型十：條件概率

【典例分析】

例題1.（2024?湖南長(zhǎng)沙?長(zhǎng)沙縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)料）“雙減”政策落實(shí)下提倡學(xué)生

參與戶(hù)外活動(dòng)，增加體育熬煉，甲、乙、丙三位同學(xué)在觀看北京冬奧會(huì)后，支配從冰球、短

道速滑、花樣滑冰三個(gè)項(xiàng)目中各自隨意選一項(xiàng)進(jìn)行學(xué)習(xí)，每人選擇各項(xiàng)運(yùn)動(dòng)的概率均為:，

且每人選擇相互獨(dú)立，則至少有兩人選擇花樣滑冰的前提下甲同學(xué)選擇花樣滑冰的概率為

（）

A.-B.-C.-D.-

7637

例題2.（2024?北京東城?統(tǒng)考三模）若某地區(qū)60歲及以上人群的新冠疫苗全程（兩針）

接種率為60%,加強(qiáng)免疫接種（第三針）的接種率為36%,則在該地區(qū)完成新冠疫苗全程接

種的60歲及以上人群中隨機(jī)抽取一人，此人完成了加強(qiáng)免疫接種的概率為（）

A.0.6B.0.375C.0.36D.0.216

例題3.（2024?天津南開(kāi)?南開(kāi)中學(xué)?？寄M預(yù)料）一獵人帶著一把獵槍到山里去打獵，

獵槍每次可以裝3發(fā)子彈，當(dāng)他遇見(jiàn)一只野兔時(shí)，開(kāi)第一槍命中野兔的概率為0.8,若第一

槍沒(méi)有命中，獵人開(kāi)其次槍?zhuān)幸巴玫母怕蕿?.4,若其次槍也沒(méi)有命中，獵人開(kāi)第三槍,

命中野兔的概率為0.2,若3發(fā)子彈都沒(méi)打中，野兔就逃跑了，則已知野兔被擊中的條件下,

是獵人開(kāi)其次槍命中的概率為.

例題4.（2024?重慶九龍坡?重慶試驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？家荒＃├钊A應(yīng)聘一家上市公司，規(guī)

則是從備選的10道題中抽取4道題測(cè)試,答對(duì)3道題及以上就可以進(jìn)入面試.李華可以答對(duì)

這10道題目中的6道題.若李華第一道題就答對(duì)了，則李華進(jìn)入面試的概率為.

【提分秘籍】

一般地，設(shè)A，8為兩個(gè)隨機(jī)事務(wù)，且P（A）＞0,我們稱(chēng)尸（3|4）=二里=里"為

P(A)“(A)

在事務(wù)A發(fā)生的條件下，事務(wù)6發(fā)生的條件概率，簡(jiǎn)稱(chēng)條件概率.

【變式演練】

1.（2024?江西?校聯(lián)考二模）有甲乙丙丁4名人學(xué)生志愿者參與2024年北京冬奧會(huì)志愿

服務(wù)，志愿者指揮部隨機(jī)派這4名志愿者參與冰壺，短道速滑、花樣滑冰3個(gè)競(jìng)賽項(xiàng)目的志

愿服務(wù)，假設(shè)每個(gè)項(xiàng)目至少支配一名志愿者，且每位志愿者只能參與其中一個(gè)項(xiàng)目，求在甲

被支配到了冰壺的條件下，乙也被支配到冰壺的概率（）

2.（2024?江蘇南京?南京市第五高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)料）有四位同學(xué)參與校內(nèi)文化活動(dòng),

活動(dòng)共有四個(gè)項(xiàng)目，每人限報(bào)其中一項(xiàng).已知甲同學(xué)報(bào)的項(xiàng)目其他同學(xué)不報(bào)，則4位同學(xué)所

報(bào)選項(xiàng)各不相同的概率等于（）

3.（2024?湖南?校聯(lián)考模擬預(yù)料）某武裝部在預(yù)備役民兵的集訓(xùn)中，開(kāi)設(shè)了移動(dòng)射擊科

目，移動(dòng)射擊科目規(guī)則如下：每人每次移動(dòng)射擊訓(xùn)練只有3發(fā)子彈，每次連續(xù)向快速移動(dòng)的

目標(biāo)射擊，每射擊一次消耗一發(fā)子彈，若目標(biāo)被擊中，則停止射擊，若目標(biāo)未被擊中，則接

著射擊，3發(fā)子彈都沒(méi)打中，移動(dòng)目標(biāo)消逝.通過(guò)統(tǒng)計(jì)分析該武裝部的預(yù)備役民兵李好以往

的訓(xùn)練成果發(fā)覺(jué)，李好第一槍命中目標(biāo)的概率為0.8,若第一槍沒(méi)有命中，其次槍命中目標(biāo)

的概率為0.4,若其次槍也沒(méi)有命中，第三槍命中目標(biāo)的概率為0.2.則目標(biāo)被擊中的條件下,

李好其次槍命中目標(biāo)的概率是

題型十一：正態(tài)分布

【典例分析】

例題1.（2024?江蘇?江蘇省木瀆高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)料）2012年國(guó)家起先實(shí)施法定節(jié)

假日高速馬路免費(fèi)通行政策，某收費(fèi)站統(tǒng)計(jì)了2024年中秋節(jié)前后車(chē)輛通行數(shù)量，發(fā)覺(jué)該站

近幾天車(chē)輛通行數(shù)量自?N（1OOO,〃），若PC>1200）=a,P（800<J<1200）=6,則當(dāng)

8必之b+2a時(shí)下列說(shuō)法正確的是（）

1131

A.a=—B.b=—C.a+b=—D.a—b=—

2442

例題2.（2024?江蘇揚(yáng)州?統(tǒng)考模擬預(yù)料）山東煙臺(tái)蘋(píng)果因“果形端正、色澤明麗、果肉活

脆、香氣濃郁”享譽(yù)國(guó)內(nèi)外據(jù)統(tǒng)計(jì)，煙臺(tái)蘋(píng)果（把蘋(píng)果近似看成球體）的直徑（單位：mm））

聽(tīng)從正態(tài)分布N%,52）,則直徑在（70,85］內(nèi)的概率為（）

附：若X吟,貝!JP（〃一b<XW〃+b）=0.6826,P（〃-2cr<X<"+2b）=0.9544

A.0.6826B.0.8413C.0.8185D.0.9544

例題3.（2024?河北?校聯(lián)考模擬預(yù)料）已知隨機(jī)變量X聽(tīng)從正態(tài)分布N（2,〃），且

P（X2-4X+3<0）=0.6827,則尸（X<-1）=.（附：若XN出吟,則

-er<X<〃+b）=0.6827,P（/z-2（J<X<//+2cr）=0.9545,

尸（4—3b?XK〃+3b）=0.9973）

例題4.（2024?廣東汕頭?統(tǒng)考三模）某省2024年起先將全面實(shí)施新高考方案.在6門(mén)

選擇性考試科目中，物理、歷史這兩門(mén)科目采納原始分計(jì)分；思想政治、地理、化學(xué)、生物

這4門(mén)科目采納等級(jí)轉(zhuǎn)換賦分，將每科考生的原始分從高到低劃分為A,B，C,D,E

共5個(gè)等級(jí)，各等級(jí)人數(shù)所占比例分別為15%,35%,35%,13%和2%,并按給定的公式進(jìn)行

轉(zhuǎn)換賦分.該省組織了一次高一年級(jí)統(tǒng)一考試，并對(duì)思想政治、地理、化學(xué)、生物這4門(mén)科

目的原始分進(jìn)行了等級(jí)轉(zhuǎn)換賦分.假設(shè)該省此次高一學(xué)生化學(xué)學(xué)科原始分F聽(tīng)從正態(tài)分布

N（76.3,64）.若丫令”?，則〃?N（0,l）.請(qǐng)解決下列問(wèn)題：若以此次高

一學(xué)生化學(xué)學(xué)科原始分。等級(jí)的最低分為實(shí)施分層教學(xué)的劃線(xiàn)分，試估計(jì)該劃線(xiàn)分大約為

分（結(jié)果保留1位小數(shù)）

附：若〃~N(O,1),P(〃W2.05卜0.98.

【提分秘籍】

假設(shè)X~N（〃，/），可以證明：對(duì)給定的左eN*,尸（〃一發(fā)+

是一個(gè)只與上有關(guān)的定值.

特殊地，P（從—bWX<//+cr）?0.6827,

尸（〃一2b<X?〃+2b卜0.9545,

尸(〃一3b<X<〃+3b)a0.9973.

上述結(jié)果可用右圖表示.

【變式演練】

1.（2024?江蘇常州?統(tǒng)考模擬預(yù)料）已知隨機(jī)變量J聽(tīng)從正態(tài)分布N（〃,4）,若函數(shù)

f（x）=P（x<J<x+2）是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)〃=（）

A.0B"C.1D.2

2.（2024?河北石家莊?石家莊二中?？寄M預(yù)料）已知兩個(gè)隨機(jī)變量XK其中X~8，,；

（。>0）,若￡（?=￡（?,且尸陰<1）=0.3,則尸（y<-i）=（）

A.0.2B.0.3C.0.4D.0.1

3.（2024?重慶沙坪壩?重慶八中?？寄M預(yù)料）為了監(jiān)控某種食品的生產(chǎn)包裝過(guò)程，檢

驗(yàn)員每天從生產(chǎn)線(xiàn)上隨機(jī)抽取左（々eN*）包食品，并測(cè)量其質(zhì)量（單位：g）.依據(jù)長(zhǎng)期的生產(chǎn)

閱歷，這條生產(chǎn)線(xiàn)正常狀態(tài)下每包食品質(zhì)量聽(tīng)從正態(tài)分布假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記自

表示每天抽取的發(fā)包食品中其質(zhì)量在（〃-3b,〃+3b）之外的包數(shù)，若J的數(shù)學(xué)期望EG）>0.05,

則發(fā)的最小值為.

附：若隨機(jī)變量才聽(tīng)從正態(tài)分布N（〃,4）,則尸（〃-3b<X<〃+3b）=0.9973.

4.（2024?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)料）若隨機(jī)變量4的數(shù)學(xué)期望和方差分別為石信），0（4）,

則對(duì)于隨意￡>0,不等式P低-召團(tuán)泊卜曾成立.某次考試滿(mǎn)分150分，共有1200

名學(xué)生參與考試，全體學(xué)生的成果自?%（90,62）34,則分?jǐn)?shù)不低于110分的學(xué)生不超過(guò)

A.

題型十二：均值和方差

【典例分析】

例題1.（2024?山東濟(jì)南?統(tǒng)考二模）已知數(shù)據(jù)不，巧，X3,…，x”的平均數(shù)為4,方差

為2,則數(shù)據(jù)2占+3,2%+3,2%+3,…，2%+3的平均