方程組求解的代數(shù)方法

22/28方程組求解的代數(shù)方法第一部分線性方程組的概念及其結(jié)構(gòu)。 2第二部分消元法求解線性方程組的步驟。 4第三部分代入法求解線性方程組的步驟。 7第四部分克拉默法則求解線性方程組的步驟。 9第五部分矩陣法求解線性方程組的步驟。 13第六部分線性規(guī)劃的建模過程。 16第七部分單純形法求解線性規(guī)劃的步驟。 18第八部分對偶單純形法求解線性規(guī)劃的步驟。 22

第一部分線性方程組的概念及其結(jié)構(gòu)。關鍵詞關鍵要點【線性方程組的概念】：

1.線性方程組由多個線性方程組成，每一個線性方程包含多個未知數(shù)。

2.線性方程組的解是指一組未知數(shù)的值，使每個線性方程都成立。

3.線性方程組的求解方法有很多，包括消元法、代入法、矩陣法等。

【線性方程組的結(jié)構(gòu)】：

一、線性方程組的概念

線性方程組是指由一個或多個線性方程構(gòu)成的方程組。線性方程的形式為：

$$a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n=b$$

其中，$a_1,a_2,\cdots,a_n,b$是常數(shù)，$x_1,x_2,\cdots,x_n$是未知數(shù)。

線性方程組的解是指一組數(shù)值$(x_1,x_2,\cdots,x_n)$，使方程組中的每個方程都成立。如果方程組有解，則稱其為相容的；如果方程組無解，則稱其為矛盾的。

二、線性方程組的結(jié)構(gòu)

線性方程組的結(jié)構(gòu)是指方程組中各方程的排列方式。線性方程組的結(jié)構(gòu)可以分為以下幾種：

*三角形結(jié)構(gòu)：方程組中的方程按照從上到下的順序，其未知數(shù)的個數(shù)逐次減少，形成一個三角形的結(jié)構(gòu)。三角形結(jié)構(gòu)的方程組容易求解，可以使用消元法或代入法求解。

*對角線結(jié)構(gòu)：方程組中的方程按照從左到右的順序，其未知數(shù)的個數(shù)逐次增加，形成一條對角線的結(jié)構(gòu)。對角線結(jié)構(gòu)的方程組也容易求解，可以使用消元法或代入法求解。

*一般結(jié)構(gòu)：方程組中的方程沒有特定的排列方式，形成一般結(jié)構(gòu)的方程組。一般結(jié)構(gòu)的方程組求解起來比較困難，可以使用高斯消元法或克拉默法則求解。

三、線性方程組的解法

線性方程組的解法有多種，常用的解法包括：

*消元法：消元法是求解線性方程組最常用的方法之一。消元法通過對方程組中的方程進行代數(shù)運算，將方程組化簡成一個或多個三角形結(jié)構(gòu)或?qū)蔷€結(jié)構(gòu)的方程組，然后求解這些簡化后的方程組即可得到線性方程組的解。

*代入法：代入法是求解線性方程組的另一種常用的方法。代入法通過將一個方程中的一個未知數(shù)代入另一個方程中，將方程組化簡成一個或多個含有一個或多個未知數(shù)的方程組，然后求解這些簡化后的方程組即可得到線性方程組的解。

*高斯消元法：高斯消元法是求解線性方程組的一種高效的數(shù)值方法。高斯消元法通過對方程組中的方程進行一系列的初等行變換，將方程組化簡成一個對角線結(jié)構(gòu)的方程組，然后求解該對角線結(jié)構(gòu)的方程組即可得到線性方程組的解。

*克拉默法則：克拉默法則是一種求解線性方程組的代數(shù)方法?？死▌t通過計算方程組中未知數(shù)的系數(shù)行列式和增廣矩陣的行列式，得到未知數(shù)的解?？死▌t適用于求解系數(shù)行列式非零的線性方程組。

四、線性方程組的應用

線性方程組在科學、工程、經(jīng)濟、管理等領域有著廣泛的應用。例如：

*在物理學中，線性方程組可以用來求解電路中的電流和電壓，以及機械系統(tǒng)中的力學平衡問題。

*在工程學中，線性方程組可以用來求解結(jié)構(gòu)分析中的應力分布問題，以及流體力學中的流體流動問題。

*在經(jīng)濟學中，線性方程組可以用來求解經(jīng)濟模型中的均衡價格和數(shù)量。

*在管理學中，線性方程組可以用來求解運籌學中的優(yōu)化問題。第二部分消元法求解線性方程組的步驟。關鍵詞關鍵要點求解線性方程組的步驟

1.將方程組化為參數(shù)變量分離的形式。

2.分別求出每個參數(shù)變量的值。

3.將參數(shù)變量的值代入原方程組，可得到方程的解。

消元法求解步驟

1.將相應的行元素相加或相減，得到三角形或?qū)蔷€形式的方程組。

2.由新方程組的第一行開始，若第一行無主元，則與下面一行的元素依次交換，直到出現(xiàn)主元。

3.將所有變量的系數(shù)都除以主元的系數(shù)，得到主元系數(shù)為1的行。

4.將所有非主元系數(shù)都變?yōu)?，得到指標形式的方程組。

5.由指標形式的方程組可知，變量的值。

消元法的優(yōu)點

1.簡便：消元法是一種簡便的方法，可以直接得到方程組的解，無需使用其他復雜的數(shù)學方法。

2.適用范圍廣：消元法適用于任意線性方程組，包括有解、無解和無窮多解的方程組。

3.容易理解：消元法的步驟簡單易懂，即使是數(shù)學基礎較弱的學生也能輕松掌握。

消元法的缺點

1.計算量大：對于規(guī)模較大的方程組，消元法需要進行大量的計算，容易出錯。

2.精度不高：由于計算機的有限精度，消元法可能會產(chǎn)生舍入誤差，導致解的精度下降。

3.穩(wěn)定性差：消元法對系數(shù)矩陣的順序很敏感，不同的系數(shù)矩陣順序可能會導致不同的解，甚至導致計算不收斂。消元法求解線性方程組的步驟

2.選擇主元：選擇方程組中的一個方程作為主元方程，主元方程應滿足以下條件：

*主元方程的未知數(shù)\(x_j\)在其他方程中出現(xiàn)的次數(shù)較少。

3.消元：利用主元方程對其他方程進行消元，消元步驟如下：

*將主元方程兩邊同時乘以一個常數(shù)，使得主元系數(shù)變?yōu)?。

*將主元方程減去其他方程，使得其他方程中含有主元未知數(shù)的項都變?yōu)?。

4.回代求解：消元完成后，方程組變?yōu)橐粋€上三角方程組，可以從最后一個方程開始，依次回代求解未知數(shù)\(x_j\)。

消元法的具體步驟如下：

1.整理方程組，使其成為標準形式。

2.選擇主元。主元通常選擇系數(shù)最大的未知數(shù)對應的系數(shù)，或者選擇第一個非零系數(shù)對應的未知數(shù)。

3.利用主元消元其他方程中的未知數(shù)。從主元所在方程向下，依次用主元方程減去其他方程，使其他方程中含有主元未知數(shù)的項都變?yōu)?。

4.當所有未知數(shù)都被消元后，就可以利用回代法求解未知數(shù)的值?；卮◤淖詈笠粋€方程開始，依次向上，將未知數(shù)的值代入前面的方程，求出未知數(shù)的值。

消元法求解線性方程組的示例：

已知方程組：

1.整理方程組，使其成為標準形式。

2.選擇主元。選擇第一個方程的未知數(shù)\(x\)作為主元。

3.利用主元消元其他方程中的未知數(shù)。

$$-3(2x+3y-z=1)\rightarrow-6x-9y+3z=-3$$

$$-(x-y+2z=5)\rightarrow-x+y-2z=-5$$

$$-2(3x+2y-z=8)\rightarrow-6x-4y+2z=-16$$

4.回代法求解未知數(shù)。

$$-3x-9y+3z=-3\rightarrow3x+9y-3z=3$$

$$-x+y-2z=-5\rightarrowx-y+2z=5$$

$$-6x-4y+2z=-16\rightarrow6x+4y-2z=16$$

$$-(x-y+2z=5)+(-x+y-2z=-5)\rightarrow-2x=0$$

$$x=0$$

$$-(2x+3y-z=1)+(3x+9y-3z=3)\rightarrowy=2$$

$$-(2x+3y-z=1)+(6x+4y-2z=16)\rightarrowz=5$$

因此，方程組的解為：\(x=0,y=2,z=5\)。第三部分代入法求解線性方程組的步驟。關鍵詞關鍵要點【代入法求解線性方程組的步驟】：

1.首先，將其中一個方程中的一個未知數(shù)代入到另一個方程中，并進行化簡和運算。

2.其次，得到一個新的方程，其中只有一個未知數(shù)。

3.接著，求出這個未知數(shù)的值。

4.最后，將求出的未知數(shù)的值代入到其他方程中，求出其他未知數(shù)的值。

【消元法求解線性方程組的步驟】：

代入法求解線性方程組的步驟

1.選擇一個方程作為主方程。主方程通常是方程組中變量最少或最容易求解的方程。

2.將主方程中的一個變量表示為另一個變量的函數(shù)。這是通過代數(shù)運算來完成的，通常涉及到將方程乘以一個常數(shù)或?qū)蓚€方程加在一起。

3.將這個表達式代入方程組中的其他方程。這將產(chǎn)生一個新的方程組，變量更少，更容易求解。

4.重復步驟2和3，直到只剩下一個方程。這是方程組的最終方程，它只含有一個變量。

5.求解最終方程，得到該變量的值。

6.將該變量的值代入方程組中的其他方程，求出其他變量的值。

這里有一個例子，說明如何使用代入法求解線性方程組：

已知方程組：

```

2x+3y=7

x-y=1

```

1.選擇方程\(x-y=1\)作為主方程。

2.將主方程中的\(x\)表示為\(y\)的函數(shù)：

```

x=1+y

```

3.將這個表達式代入方程組中的另一個方程：

```

2(1+y)+3y=7

```

4.化簡這個方程：

```

2+2y+3y=7

```

```

5y=5

```

5.求解最終方程：

```

y=1

```

6.將\(y\)的值代入主方程，求出\(x\)的值：

```

x=1+1=2

```

因此，方程組的解為\((x,y)=(2,1)\)。第四部分克拉默法則求解線性方程組的步驟。關鍵詞關鍵要點【克拉默法則求解線性方程組的步驟】：

1.將線性方程組寫成矩陣形式：

-系數(shù)矩陣A=[a_ij]，其中a_ij是方程組中系數(shù)的值。

-常數(shù)向量b=[b_i]，其中b_i是方程組中常數(shù)項的值。

-未知向量x=[x_j]，其中x_j是方程組中未知變量的值。

2.計算增廣矩陣：

-將系數(shù)矩陣A和常數(shù)向量b水平連接起來，得到增廣矩陣[Ab]。

3.計算子矩陣：

-對每個未知變量x_j，計算子矩陣A_j，它是通過從增廣矩陣[Ab]中刪除第j列得到的。

4.計算行列式：

-計算系數(shù)矩陣A的行列式det(A)和每個子矩陣A_j的行列式det(A_j)。

5.計算解向量：

-求解向量x=[x_j]的每個元素x_j，如下：

-x_j=det(A_j)/det(A)

6.驗證解向量：

-將解向量x=[x_j]代入原始方程組，檢查是否滿足所有方程?？死▌t求解線性方程組的步驟

1.寫出增廣矩陣

將系數(shù)矩陣與常數(shù)向量連接在一起，形成增廣矩陣。

2.計算代數(shù)余子式

對于增廣矩陣的每個元素，計算其代數(shù)余子式。代數(shù)余子式是將該元素所在的行和列從增廣矩陣中刪除后，剩下的矩陣的行列式，再乘以-1的該元素所在行的行號加該元素所在列的列號的指數(shù)。

3.計算行列式

計算增廣矩陣的行列式。行列式是一個數(shù)字，它可以用來判斷線性方程組是否有唯一解。

4.計算未知數(shù)的值

對于每個未知數(shù)，將該未知數(shù)所在列的代數(shù)余子式除以增廣矩陣的行列式。

示例：

求解以下線性方程組：

```

x+2y=1

3x-y=4

```

1.寫出增廣矩陣

```

[121]

[3-14]

```

2.計算代數(shù)余子式

A11的代數(shù)余子式：

```

A11=-1

```

A12的代數(shù)余子式：

```

A12=-3

```

A21的代數(shù)余子式：

```

A21=4

```

A22的代數(shù)余子式：

```

A22=3

```

3.計算行列式

```

|A|=(1)(-1)-(2)(-3)=1-6=-5

```

4.計算未知數(shù)的值

x的值：

```

x=A11/|A|=-1/-5=0.2

```

y的值：

```

y=A12/|A|=-3/-5=0.6

```

因此，線性方程組的解為：

```

x=0.2,y=0.6

```

克拉默法則的優(yōu)點和缺點

優(yōu)點：

*克拉默法則是一種直接求解線性方程組的方法，不需要使用迭代方法。

*克拉默法則可以用來求解任意階的線性方程組。

缺點：

*克拉默法則的計算量很大，不適用于求解大規(guī)模的線性方程組。

*克拉默法則不能用來求解齊次線性方程組。第五部分矩陣法求解線性方程組的步驟。關鍵詞關鍵要點矩陣

1.矩陣是具有特定結(jié)構(gòu)的數(shù)字數(shù)組，其元素排列成行和列，可用于表示線性方程組的系數(shù)和常數(shù)。

2.矩陣可以進行各種運算，如加、減、乘、轉(zhuǎn)置、逆和行列式求解等，這些運算使得矩陣法成為求解線性方程組的有力工具。

3.矩陣法求解線性方程組的步驟包括：構(gòu)造增廣矩陣、化為階梯形、利用初等行變換化為最簡形、利用回代法求解變量值等。

增廣矩陣

1.增廣矩陣是將線性方程組的系數(shù)和常數(shù)組合而成的矩陣，其每一行對應一個方程，每一列對應一個變量。

2.構(gòu)造增廣矩陣時，將方程組的系數(shù)按順序排列在矩陣中，常數(shù)項作為最后一列添加到矩陣中。

3.增廣矩陣可以直觀地表示線性方程組的結(jié)構(gòu)和信息，便于進行后續(xù)的運算和變換。

階梯形

1.階梯形是指矩陣的一種特殊形式，其中每一行第一個非零元素所在的列比上一行第一個非零元素所在的列更靠右。

2.將增廣矩陣化為階梯形可以簡化矩陣結(jié)構(gòu)，便于后續(xù)的運算和變換，并可以清晰地看到方程組的解的情況。

3.將矩陣化為階梯形可以通過初等行變換（如行交換、數(shù)乘行、行加減行）實現(xiàn)，這些變換不會改變方程組的解。

最簡形

1.最簡形是指階梯形矩陣的一種特殊形式，其中對角線上的元素都是1，并且其他位置的元素都是0。

2.將階梯形矩陣化為最簡形可以進一步簡化矩陣結(jié)構(gòu)，便于求解變量值。

3.將階梯形矩陣化為最簡形可以通過初等行變換實現(xiàn)，這些變換不會改變方程組的解。

回代法

1.回代法是利用最簡形矩陣求解變量值的方法，從最后一個方程開始，依次求出各變量的值。

2.回代法適用于求解具有唯一解或無解的線性方程組，當方程組存在多個解時，回代法不適用。

3.回代法計算簡單，易于理解和操作，是求解線性方程組的常用方法之一。

線性方程組的解

1.線性方程組的解是指滿足方程組所有方程的變量值的集合，即使得方程組等式成立的變量值。

2.線性方程組可能存在唯一解、無解或多個解，這取決于方程組的系數(shù)和常數(shù)的情況。

3.利用矩陣法求解線性方程組可以方便地確定方程組的解的情況，并求出變量的值。#矩陣法求解線性方程組的步驟

1.建立系數(shù)矩陣和常數(shù)向量。

將線性方程組的系數(shù)寫成矩陣形式，常數(shù)項寫成向量形式。例如，對于如下線性方程組：

```

2x+3y=7

4x-5y=9

```

可以將其寫成矩陣形式和常數(shù)向量形式如下：

```

2&3\\

4&-5

x\\

y

7\\

9

```

其中，系數(shù)矩陣為

```

2&3\\

4&-5

```

常數(shù)向量為

```

7\\

9

```

2.求系數(shù)矩陣的逆矩陣。

如果系數(shù)矩陣是可逆的，則可以求出其逆矩陣。逆矩陣可以表示為

```

```

3.將常數(shù)向量與系數(shù)矩陣的逆矩陣相乘。

將常數(shù)向量與系數(shù)矩陣的逆矩陣相乘，即可得到解向量。即

```

```

4.將解向量中的元素代入原方程組，檢驗解的正確性。

將解向量中的元素代入原方程組，檢驗解的正確性。如果解滿足原方程組的所有方程，則解是正確的。

矩陣法求解線性方程組的優(yōu)勢：

*矩陣法是一種系統(tǒng)的方法，可以有效地求解線性方程組。

*矩陣法可以很容易地推廣到求解高階線性方程組。

*矩陣法可以與其他數(shù)學方法相結(jié)合，如行列式和向量空間，從而更深入地理解線性方程組的性質(zhì)和求解方法。第六部分線性規(guī)劃的建模過程。關鍵詞關鍵要點【線性規(guī)劃的建模步驟】：

1.首先，將現(xiàn)實世界的決策問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型。

2.接下來，找到要優(yōu)化的目標函數(shù)，它可以是收益、成本、效率或其他可以被量化的目標。

3.然后，需要建立決策變量，它們是影響目標函數(shù)的值的未知數(shù)。

【線性規(guī)劃的約束條件】：

線性規(guī)劃的建模過程

線性規(guī)劃建模過程主要分為以下五個步驟：

1.確定決策變量和目標函數(shù)

決策變量是線性規(guī)劃模型中未知的變量，目標函數(shù)是線性規(guī)劃模型中要優(yōu)化的目標。決策變量和目標函數(shù)一般由實際問題中決策者的目標和相關因素決定。

2.建立約束條件

約束條件是線性規(guī)劃模型中對決策變量的限制，約束條件一般由實際問題中的資源限制、技術限制等因素決定。

3.將問題標準化為線性規(guī)劃形式

標準化的線性規(guī)劃模型一般由目標函數(shù)、約束條件和非負性約束組成。

4.建立數(shù)學模型

數(shù)學模型是線性規(guī)劃模型的數(shù)學形式。數(shù)學模型一般由目標函數(shù)、約束條件和非負性約束組成。

5.求解數(shù)學模型

求解數(shù)學模型一般可以使用單純形法、內(nèi)點法等方法。

以下是一個具體的例子：

一個公司生產(chǎn)兩種產(chǎn)品A和B，產(chǎn)品的利潤分別是10元和15元。公司的資源有限，生產(chǎn)一種產(chǎn)品A需要的原料為1單位，生產(chǎn)一種產(chǎn)品B需要的原料為2單位。公司的原料總量為100單位?，F(xiàn)在公司想要知道如何分配原料，才能使總利潤最大。

1.確定決策變量和目標函數(shù)

決策變量是分配給產(chǎn)品A和產(chǎn)品B的原料數(shù)量，分別用變量x1和x2表示。目標函數(shù)是總利潤，用函數(shù)f(x)表示，f(x)=10x1+15x2。

2.建立約束條件

約束條件是原料總量的限制，用不等式表示，x1+2x2≤100。

3.將問題標準化為線性規(guī)劃形式

標準化的線性規(guī)劃模型如下：

```

目標函數(shù)：f(x)=10x1+15x2

約束條件：x1+2x2≤100

非負性約束：x1≥0,x2≥0

```

4.建立數(shù)學模型

數(shù)學模型如下：

```

maxf(x)=10x1+15x2

s.t.x1+2x2≤100

x1≥0,x2≥0

```

5.求解數(shù)學模型

可以使用單純形法或內(nèi)點法求解數(shù)學模型，得到最優(yōu)解x1=50,x2=25，即分配給產(chǎn)品A50個單位原料，分配給產(chǎn)品B25個單位原料，此時總利潤最大，為1000元。第七部分單純形法求解線性規(guī)劃的步驟。關鍵詞關鍵要點單純形法基本原理

1.單純形法解決線性規(guī)劃示意圖。

2.迭代過程：解決線性規(guī)劃問題步驟。

3.線性規(guī)劃的基本概念包括可行域、可行解、最優(yōu)解。

單純形法步驟

1.將線性規(guī)劃問題變換為標準形式。

2.找到初始可行解、基變量和非基變量。

3.構(gòu)造初始單純形表。

4.確定進基變量：從非基變量中選擇進基變量。

5.確定離基變量：從基變量中選擇離基變量。

6.依據(jù)進基變量和離基變量進行換基，更新單純形表。

7.重復步驟4-6，直到找到最優(yōu)解。

單純形法的收斂性

1.單純形法的收斂性：若目標函數(shù)是線性的，并且約束條件也是線性的，那么單純形法一定能找到最優(yōu)解。

2.單純形法的終止判別：如果目標函數(shù)系數(shù)都為非負，則找到最優(yōu)解；否則，目標函數(shù)無界。

單純形法的復雜度

1.單純形法的復雜度：單純形法的最壞情況復雜度為指數(shù)級，但實際中通常收斂速度很快。

2.單純形法的平均復雜度：單純形法的平均復雜度通常是多項式級的。

單純形法的改進

1.單純形法改進方法包括變量定界法、分支定界法、切割平面法、外點法等。

2.單純形法的改進方向包括提高收斂速度、解決大規(guī)模問題、提高數(shù)值穩(wěn)定性等。

單純形法的應用

1.單純形法被廣泛應用于經(jīng)濟學、運籌學、工業(yè)工程、管理科學等領域。

2.單純形法用于生產(chǎn)計劃、資源分配、運輸問題、投資組合優(yōu)化、金融衍生品定價等。單純形法求解線性規(guī)劃的步驟

單純形法求解線性規(guī)劃的步驟如下：

1.將線性規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為標準型線性規(guī)劃問題

標準型線性規(guī)劃問題是指滿足以下條件的線性規(guī)劃問題：

*目標函數(shù)是關于n個變量的自變量的線性函數(shù)。

*約束條件是m個關于n個變量的線性不等式。

*變量是非負的。

如果原線性規(guī)劃問題不是標準型線性規(guī)劃問題，則需要將其轉(zhuǎn)化為標準型線性規(guī)劃問題。轉(zhuǎn)化方法如下：

*將目標函數(shù)轉(zhuǎn)化為最小化目標函數(shù)。

*將變量轉(zhuǎn)化為非負變量。

*將不等式約束條件轉(zhuǎn)化為等式約束條件。

*將等式約束條件轉(zhuǎn)化為兩個不等式約束條件。

2.構(gòu)造初始單純形表

初始單純形表是根據(jù)標準型線性規(guī)劃問題的目標函數(shù)和約束條件構(gòu)造的。初始單純形表的形式如下：

```

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初始單純形表的第一列是目標函數(shù)的變量，第二列是約束條件的變量，第三列是目標函數(shù)的常數(shù)項，第四列是約束條件的常數(shù)項，第五列是目標函數(shù)的系數(shù)，第六列是約束條件的系數(shù)，第七列是目標函數(shù)的變量的符號，第八列是約束條件的變量的符號，第九列是目標函數(shù)的變量的取值，第十列是約束條件的變量的取值，第十一列是目標函數(shù)的變量的取值，第十二列是約束條件的變量的取值。

3.選擇主元素

主元素是指單純形表中某個位置的元素，該元素滿足以下條件之一：

*該元素是目標函數(shù)的目標系數(shù)的絕對值最大的元素。

*該元素是約束條件的約束系數(shù)的絕對值最大的元素。

選擇主元素后，主元素所在的行叫做主行，主元素所在的行叫做主列。

4.進行一次單純形迭代

進行一次單純形迭代是指根據(jù)主元素對單純形表進行以下操作：

*將主元素所在的行和主元素所在的行交換，使得主元素位于單純形表的左上角。

*將主元素所在的行和主元素所在的行乘以一個系數(shù)，使得主元素等于1。

*將主元素所在的行和主元素所在的行減去主元素所在的行和主元素所在的行乘以一個系數(shù)，使得主元素所在的行和主元素所在的行中，除了主元素之外的元素都為0。

5.檢查單純形表是否達到最優(yōu)解

如果單純形表中滿足以下條件之一，則說明單純形表已經(jīng)達到最優(yōu)解：

*目標函數(shù)的目標系數(shù)的絕對值都是非負的。

*約束條件的約束系數(shù)的絕對值都是非負的。

如果單純形表沒有達到最優(yōu)解，則需要繼續(xù)進行單純形迭代。

6.重復步驟3、4、5

重復步驟3、4、5，直到單純形表達到最優(yōu)解。第八部分對偶單純形法求解線性規(guī)劃的步驟。關鍵詞關鍵要點對偶變換

1.對偶性原理：給定一個線性規(guī)劃問題，如果該問題的目標函數(shù)是最大化，那么其對偶問題的目標函數(shù)是求解最小化，反之亦然。

2.對偶問題：對偶變換的基本思想是將原問題的變量替換為對偶變量，將原問題的約束條件替換為對偶變量的約束條件，從而形成一個新的最大化或最小化問題。

3.對偶變量：對偶變量是與原問題變量一一對應的非負變量，它們表示原問題目標函數(shù)中各個變量的系數(shù)。

構(gòu)造對偶問題

1.目標函數(shù)：對偶問題的目標函數(shù)是原問題的目標函數(shù)經(jīng)過對偶變換后的表達式，它是關于對偶變量的線性函數(shù)。

2.約束條件：對偶問題的約束條件是由原問題的約束條件經(jīng)過對偶變換得到的，它們是關于對偶變量的線性不等式。

3.非負約束條件：對偶問題的變量都是非負的，這與原問題的非負約束條件相對應。

對偶定理

1.弱對偶定理：對偶問題和原問題的最優(yōu)值之間存在著一定的聯(lián)系。若原問題的可行解和對偶問題的可行解都存在，那么原問題的最優(yōu)值不大于對偶問題的最優(yōu)值。

2.強對偶定理：如果原問題的目標函數(shù)是凸函數(shù)，且約束條件是凸的，那么對偶問題和原問題的最優(yōu)值相等，此時這兩個問題的最優(yōu)解也相對應。

對偶單純形法

1.原問題的基本可行解：基本可行解是指原問題中所有非負變量所組成的向量，并且其中有一些變量為非零，其他為零。

2.對偶問題的基本可行解：對偶問題的基本可行解是指對偶問題中所有非負變量所組成的向量，并且其中有一些變量為非零，其他為零。

3.單純形算法：單純形算法是一種求解線性規(guī)劃問題的迭代算法，它從一個基本可行解開始，通過不斷地交換基本變量，直到找到一個最優(yōu)解。

對偶單純形法的步驟

1.構(gòu)造對偶問題：首先需要構(gòu)造線性規(guī)劃問題的對偶問題，即根據(jù)原問題的目標函數(shù)和約束條件建立新的目標函數(shù)和約束條件。

2.求解對偶問題：利用單純形算法求解對偶問題，以確定對偶問題的最優(yōu)解和最優(yōu)值。

3.根據(jù)對偶定理，可以得到原問題的最優(yōu)解和最優(yōu)值。對偶單純形法求解線性