2023-2024學年北京市海淀區(qū)清華附中上地學校八年級（上）期中數(shù)學試卷【含解析】

第1頁（共1頁）2023-2024學年北京市海淀區(qū)清華附中上地學校八年級（上）期中數(shù)學試卷一、選擇題（每題3分）1．（3分）下列命題是假命題的是（）A．三角形具有穩(wěn)定性 B．周長相等的兩個三角形全等 C．全等三角形的對應邊相等 D．等腰三角形的兩個底角相等2．（3分）若一個多邊形的內(nèi)角和為540°，則這個多邊形是（）A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形3．（3分）如圖，△ABC≌△DEC，B、C、D在同一直線上，且CE＝5，AC＝7，則BD長（）A．12 B．7 C．2 D．144．（3分）點M（4，2）關(guān)于x軸對稱的點的坐標是（）A．（4，﹣2） B．（﹣4，2） C．（﹣4，﹣2） D．（2，4）5．（3分）如圖，四邊形ABCD中，AD＝CD，AB＝CB，我們把這種兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”，根據(jù)所學知識，下列選項中正確的一項是（）A．AC與BD互相垂直平分 B．AC垂直平分BD C．BD平分一組對角 D．AC平分一組對角6．（3分）如圖所示，點O是△ABC內(nèi)一點，BO平分∠ABC，OD⊥BC于點D，連接OA，若OD＝5，AB＝20，則△AOB的面積是（）A．20 B．30 C．50 D．1007．（3分）剪紙是我國傳統(tǒng)的民間藝術(shù)．將一張紙片按圖中①，②的方式沿虛線依次對折后，再沿圖③中的虛線裁剪，最后將圖④中的紙片打開鋪平，所得圖案應該是（）A． B． C． D．8．（3分）在平面直角坐標系xOy中，已知點A（0，8），點B（6，8），若點P同時滿足下列條件：①點P到A，B兩點的距離相等；②點P到∠xOy的兩邊距離相等．則點P的坐標為（）A．（3，5） B．（6，6） C．（3，3） D．（3，6）9．（3分）如圖，某市的三個城鎮(zhèn)中心A、B、C構(gòu)成△ABC，該市政府打算修建一個大型體育中心P，使得該體育中心到三個城鎮(zhèn)中心A、B、C的距離相等，則P點應設(shè)計在（）A．三個角的角平分線的交點 B．三角形三條高的交點 C．三條邊的垂直平分線的交點 D．三角形三條中線的交點10．（3分）在平面直角坐標系xOy中，點A（0，3），B（a，0），C（m，n）（n＞0）．若△ABC是等腰直角三角形，且AB＝BC，當0＜a＜2時，點C的橫坐標m的取值范圍是（）A．0＜m＜3 B．2＜n＜3 C．3＜m＜5 D．n＞3二、填空題（每題3分）11．（3分）一個多邊形的每個外角都是60°，則這個多邊形邊數(shù)為．12．（3分）已知三條線段的長分別是5，5，m，它們能構(gòu)成三角形，則整數(shù)m的最大值是．13．（3分）已知：如圖，D、E分別在AB、AC上，若AB＝AC，AD＝AE，∠A＝60°，∠B＝25°．則∠BDC的度數(shù)是．14．（3分）如圖中的每個小方格都是邊長為1的正方形，那么∠ABC的度數(shù)是．15．（3分）如圖，在△ABC中∠B＝40°，三角形ABC的內(nèi)角∠BAC和∠BCA的平分線交于點E，則∠AEC＝．16．（3分）如圖，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，DE垂直平分AC交BC于D，垂足為E，若DE＝2cm，則BC＝cm．17．（3分）如圖中的每個小方格都是邊長為1的正方形，點A、B、C、D、E、F、G在小正方形的格點上，則表示△ABC三條中線的交點是．18．（3分）如果一條線段將一個三角形分割成2個小等腰三角形，我們把這條線段叫做這個三角形的“好線”；如果兩條線段將一個三角形分割成3個小等腰三角形，我們把這兩條線段叫做這個三角形的“好好線”．（1）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D在AC邊上，且AD＝BD＝BC，則∠A＝度；（2）在△ABC中，∠B＝27°，AD和DE是△ABC的“好好線”，點D在BC邊上，點E在AC邊上，且AD＝BD，DE＝CE，則∠C的度數(shù)為．三、解答題（共46分，第19，20，21題各5分，22，23，24，25題各6分，26題7分）19．（5分）如圖，AD是△ABC的BC邊上的高，AE平分∠BAC，若∠B＝42°，∠C＝70°，求∠BAE和∠DAE的度數(shù)．20．（5分）如圖，點A，B，C，D在同一條直線上，AB＝DC，∠E＝∠F，EC∥FB．求證：EA＝FD．21．（5分）如圖所示，邊長為1的正方形網(wǎng)格中，△ABC的三個頂點A、B、C都在格點上．（1）作關(guān)于△ABC關(guān)于x軸的對稱圖形△DEF，（其中A、B、C的對稱點分別是D、E、F），并寫出點D坐標；（2）P為x軸上一點，請在圖中畫出使△PAB的周長最小時的點P，并直接寫出此時點P的坐標．22．（6分）如圖，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，F(xiàn)為AB延長線上一點，點E在BC上，且AE＝CF．（1）求證：∠BAE＝∠BCF；（2）若∠CAE＝25°，求∠ACF的度數(shù)．23．（6分）已知：如圖，點B是∠MAN邊AM上的一定點（其中∠MAN＜45°），求作：△ABC，使其滿足：①點C在射線AN上，②∠ACB＝2∠A．下面是小兵設(shè)計的尺規(guī)作圖過程．作法：①作線段AB的垂直平分線l，直線l交射線AN于點D；②以點B為圓心，BD長為半徑作弧，交射線AN于另一點C；③連接BC，則△ABC即為所求三角形．根據(jù)小兵設(shè)計的尺規(guī)作圖過程，（1）使用直尺和圓規(guī)，補全圖形；（保留作圖痕跡）（2）完成下面的證明．證明：∵直線l為線段AB的垂直平分線，∴AD＝BD（），（填推理的依據(jù)）∴∠A＝∠，∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝2∠A；∵BC＝BD，∴∠ACB＝∠BDC（），（填推理的依據(jù)）∴∠ACB＝2∠A．24．（6分）如圖，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，點D是AB上一點，過點D作DE⊥BC交BC于點E，交CA延長線于點F．（1）證明：△ADF是等腰三角形；（2）若∠B＝60°，BD＝4，AD＝2，求EC的長，25．（6分）在學習完全等三角形及軸對稱的知識后，小明經(jīng)過思考得出猜想：“如果一個三角形一邊上的中點到另兩條邊的距離相等，那么這個三角形是等腰三角形”．老師說小明的猜想是正確的．請你幫助小明完成以上猜想的證明．已知：求證：證明：26．（7分）已知：在△ABC中，作∠ABC的平分線BM，在BM上找一點D，使得DA＝DC，過點D作DE⊥BC，交直線BC于點E．（1）依題意補全圖形；（2）用等式寫出AB，BC，BE之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；（3）如果把作∠ABC的平分線BM，改為作∠ABC的外角∠PBA的平分線BM，其他條件不變，直接用等式寫出AB，BC，BE之間的數(shù)量關(guān)系．附加題（共20分）27．（3分）如圖，△ABC中，∠A＝40°，AB的垂直平分線分別交AB，AC于點D，E，連接BE，則∠BEC的大小為．28．（3分）等腰三角形的一個內(nèi)角是50°，則它的底角是．29．（3分）若am＝2，an＝3，則am+2n＝．30．（3分）如圖，△ABC是等邊三角形，AD是BC邊上的高，E是AC的中點，P是AD上的一個動點，當PC與PE的和最小時，∠CPE的度數(shù)是．31．（8分）已知∠BAM+∠MDC＝180°，AB＝AM，DC＝DM，連接BC，N為BC的中點．（1）如圖1，若A、M、D共線，求∠ANB+∠DNC的值；（2）如圖2，若A、M、D不共線時，上述結(jié)論是否依然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．

2023-2024學年北京市海淀區(qū)清華附中上地學校八年級（上）期中數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（每題3分）1．（3分）下列命題是假命題的是（）A．三角形具有穩(wěn)定性 B．周長相等的兩個三角形全等 C．全等三角形的對應邊相等 D．等腰三角形的兩個底角相等【分析】利用三角形的穩(wěn)定性、全等三角形的判定方法及性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識分別判斷后即可確定正確的選項．【解答】解：A、三角形具有穩(wěn)定性，正確，是真命題，不符合題意；B、周長相等的兩個三角形不一定全等，故原命題錯誤，是假命題，符合題意；C、全等三角形的對應邊相等，正確，是真命題，不符合題意；D、等腰三角形的兩個底角相等，正確，是真命題，不符合題意．故選：B．【點評】本題考查了命題與定理的知識，解題的關(guān)鍵是了解三角形的穩(wěn)定性、全等三角形的判定方法及性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識，難度不大．2．（3分）若一個多邊形的內(nèi)角和為540°，則這個多邊形是（）A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式（n﹣2）?180°列方程即可求解．【解答】解：（n﹣2）?180°＝540°，故n＝5．所以這個多邊形為五邊形．故選：C．【點評】本題難度簡單，主要考查的是多邊形內(nèi)角和的相關(guān)知識．3．（3分）如圖，△ABC≌△DEC，B、C、D在同一直線上，且CE＝5，AC＝7，則BD長（）A．12 B．7 C．2 D．14【分析】由全等三角形的性質(zhì)得到AC＝DC＝7，CB＝CE＝5，再根據(jù)BD＝DC+CB即可得解．【解答】解：∵△ABC≌△DEC，∴AC＝DC，CB＝CE，∵CE＝5，AC＝7，∴CB＝5，DC＝7，∴BD＝DC+CB＝7+5＝12．故選：A．【點評】此題考查了全等三角形的性質(zhì)，熟記全等三角形的對應邊相等是解題的關(guān)鍵．4．（3分）點M（4，2）關(guān)于x軸對稱的點的坐標是（）A．（4，﹣2） B．（﹣4，2） C．（﹣4，﹣2） D．（2，4）【分析】根據(jù)“關(guān)于x軸對稱的點，橫坐標相同，縱坐標互為相反數(shù)”解答．【解答】解：點M（4，2）關(guān)于x軸對稱的坐標是（4，﹣2）．故選：A．【點評】本題考查了關(guān)于x軸、y軸對稱的點的坐標，解決本題的關(guān)鍵是掌握好對稱點的坐標規(guī)律：（1）關(guān)于x軸對稱的點，橫坐標相同，縱坐標互為相反數(shù)；（2）關(guān)于y軸對稱的點，縱坐標相同，橫坐標互為相反數(shù)；（3）關(guān)于原點對稱的點，橫坐標與縱坐標都互為相反數(shù)．5．（3分）如圖，四邊形ABCD中，AD＝CD，AB＝CB，我們把這種兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”，根據(jù)所學知識，下列選項中正確的一項是（）A．AC與BD互相垂直平分 B．AC垂直平分BD C．BD平分一組對角 D．AC平分一組對角【分析】由線段垂直平分線的判定可知BD是AC的垂直平分線，AC不一定是BD的垂直平分線，從而可判斷A、B選項錯誤；通過證明△ADB≌△CDB（SSS）可得∠ADB＝∠CDB，∠ABD＝∠CBD，可判定C選項正確；根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可判定D選項錯誤．【解答】解：∵AD＝CD，∴點D在線段AC的垂直平分線上，∵AB＝CB，∴點B在線段AC的垂直平分線上，∴BD是AC的垂直平分線，∴AC垂直但不平分BD，∵AD和AB不一定相等，CD和BC不一定相等，∴AC不一定是BD的垂直平分線，故A，B選項錯誤；在△ADB和△CDB中，，∴△ADB≌△CDB（SSS），∴∠ADB＝∠CDB，∠ABD＝∠CBD，∴對角線BD平分∠ABC，∠ADC，故C選項正確；直線BD是箏形的對稱軸，AC不是，故D選項錯誤．故選：C．【點評】此題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，垂直平分線的判定，對稱性，解本題的關(guān)鍵是判斷出△ADB≌△CDB（SSS）．6．（3分）如圖所示，點O是△ABC內(nèi)一點，BO平分∠ABC，OD⊥BC于點D，連接OA，若OD＝5，AB＝20，則△AOB的面積是（）A．20 B．30 C．50 D．100【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出OE，最后用三角形的面積公式即可解答．【解答】解：過O作OE⊥AB于點E，∵BO平分∠ABC，OD⊥BC于點D，∴OE＝OD＝5，∴△AOB的面積＝，故選：C．【點評】此題考查角平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出OE＝OD解答．7．（3分）剪紙是我國傳統(tǒng)的民間藝術(shù)．將一張紙片按圖中①，②的方式沿虛線依次對折后，再沿圖③中的虛線裁剪，最后將圖④中的紙片打開鋪平，所得圖案應該是（）A． B． C． D．【分析】對于此類問題，只要依據(jù)翻折變換，將圖（4）中的紙片按順序打開鋪平，即可得到一個圖案．【解答】解：按照圖中的順序，向右對折，向上對折，從斜邊處剪去一個直角三角形，從直角頂點處剪去一個等腰直角三角形，展開后實際是從原菱形的四邊處各剪去一個直角三角形，從菱形的中心剪去一個正方形，可得：．故選：A．【點評】本題主要考查了剪紙問題，解決這類問題要熟知軸對稱圖形的特點，關(guān)鍵是準確地找到對稱軸．一般方法是動手操作，拿張紙按照題目的要求剪出圖案，展開即可得到正確的圖案．8．（3分）在平面直角坐標系xOy中，已知點A（0，8），點B（6，8），若點P同時滿足下列條件：①點P到A，B兩點的距離相等；②點P到∠xOy的兩邊距離相等．則點P的坐標為（）A．（3，5） B．（6，6） C．（3，3） D．（3，6）【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到點P在線段AB的垂直平分線x＝3上，根據(jù)角平分線的性質(zhì)解答即可．【解答】解：∵點A（0，8），點B（6，8），點P到A，B兩點的距離相等，∴點P在線段AB的垂直平分線x＝3上，∵點P到∠xOy的兩邊距離相等，∴點P的坐標為（3，3）故選：C．【點評】本題考查的是角平分線的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、坐標與圖形性質(zhì)，掌握角平分線的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（3分）如圖，某市的三個城鎮(zhèn)中心A、B、C構(gòu)成△ABC，該市政府打算修建一個大型體育中心P，使得該體育中心到三個城鎮(zhèn)中心A、B、C的距離相等，則P點應設(shè)計在（）A．三個角的角平分線的交點 B．三角形三條高的交點 C．三條邊的垂直平分線的交點 D．三角形三條中線的交點【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)解答即可．【解答】解：∵體育中心到城鎮(zhèn)中心A、B的距離相等，∴PA＝PB，∴點P在線段AB的垂直平分線上，同理，點P在線段AC的垂直平分線上，∴P點應設(shè)計在三條邊的垂直平分線的交點，故選：C．【點評】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關(guān)鍵．10．（3分）在平面直角坐標系xOy中，點A（0，3），B（a，0），C（m，n）（n＞0）．若△ABC是等腰直角三角形，且AB＝BC，當0＜a＜2時，點C的橫坐標m的取值范圍是（）A．0＜m＜3 B．2＜n＜3 C．3＜m＜5 D．n＞3【分析】過點C作CH⊥x軸于點H，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)易證△AOB≌△BHC（AAS），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得BH＝OA＝3，進一步可得m的取值范圍．【解答】解：過點C作CH⊥x軸于點H，如圖所示，則有∠BHC＝90°，∵△ABC是等腰直角三角形，且AB＝BC，∴∠ABC＝90°，∴∠OBA+∠CBH＝90°，∵∠OBA+∠OAB＝90°，∴∠OAB＝∠CBH，在△OAB和△HBC中，，∴△AOB≌△BHC（AAS），∴BH＝OA，∵點A坐標為（0，3），∴AO＝3，∴BH＝3，∴m＝OH＝OB+BH＝3+a，∴0＜a＜2，∴3＜m＜5，故選：C．【點評】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．二、填空題（每題3分）11．（3分）一個多邊形的每個外角都是60°，則這個多邊形邊數(shù)為6．【分析】利用外角和除以外角的度數(shù)即可得到邊數(shù)．【解答】解：360÷60＝6．故這個多邊形邊數(shù)為6．故答案為：6．【點評】此題主要考查了多邊形的外角和，關(guān)鍵是掌握任何多邊形的外角和都360°．12．（3分）已知三條線段的長分別是5，5，m，它們能構(gòu)成三角形，則整數(shù)m的最大值是9．【分析】利用三角形三邊關(guān)系求出m的取值范圍，從中找出最大的整數(shù)即可．【解答】解：三條線段的長分別是5，5，m，若它們能構(gòu)成三角形，則5﹣5＜m＜5+5，即0＜m＜10，因此整數(shù)m的最大值是9．故答案為：9．【點評】本題考查三角形的三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊．13．（3分）已知：如圖，D、E分別在AB、AC上，若AB＝AC，AD＝AE，∠A＝60°，∠B＝25°．則∠BDC的度數(shù)是85°．【分析】先證明三角形全等，再利用外交定理求解．【解答】解：∵AB＝AC，AD＝AE，∠A＝∠A，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴∠C＝∠B＝25°，∴∠BDC＝∠A+∠C＝60°+25°＝85°，故答案為：85°．【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，全等的判定是解題的關(guān)鍵．14．（3分）如圖中的每個小方格都是邊長為1的正方形，那么∠ABC的度數(shù)是45°．【分析】根據(jù)勾股定理即可求得△ABC的三邊的長，由勾股定理的逆定理即可判斷△ABC的形狀，進而可得答案．【解答】解：根據(jù)勾股定理即可得到：AB2＝22+42＝20，BC2＝12+32＝10，AC2＝12+32＝10，∵BC2+AC2＝10+10＝20＝AB2，∴△ACB是直角三角形，∵AC＝BC，∴∠ABC＝45°，故答案為：45°．【點評】此題主要考查了勾股定理和勾股定理逆定理，利用勾股定理求得△ABC的三邊的長是解決本題的關(guān)鍵．15．（3分）如圖，在△ABC中∠B＝40°，三角形ABC的內(nèi)角∠BAC和∠BCA的平分線交于點E，則∠AEC＝110°．【分析】利用△ABC與△ACE的內(nèi)角和，再結(jié)合可建立∠AEC與∠B之間的等式關(guān)系，即可求解．【解答】解：∵三角形的內(nèi)角∠BAC和∠ACB的平分線交于點E，∴∴＝，∴∠AEC＝180°﹣（∠EAC+∠ACE）＝110°．故答案為：110°．【點評】本題考查了三角形內(nèi)角和定理與角平分線的定義，從解題的過程中可以推導出：解題的關(guān)鍵是建立∠AEC與∠B之間的關(guān)系式．16．（3分）如圖，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，DE垂直平分AC交BC于D，垂足為E，若DE＝2cm，則BC＝12cm．【分析】首先連接AD，由DE垂直平分AC，可得AD＝CD，由△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，可求得∠B＝∠C＝∠DAC＝30°，繼而求得AD與CD的長，則可求得BD的長，繼而求得答案．【解答】解：連接AD，∵△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，∵DE垂直平分AC，∴AD＝CD，∴∠DAC＝∠C＝30°，∴AD＝CD＝2DE＝2×2＝4（cm），∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝90°，∴BD＝2AD＝8（cm），∴BC＝BD+CD＝12（cm）．故答案為：12．【點評】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及含30°角的直角三角形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應用．17．（3分）如圖中的每個小方格都是邊長為1的正方形，點A、B、C、D、E、F、G在小正方形的格點上，則表示△ABC三條中線的交點是點D．【分析】由三角形中線、重心的定義，即可得到答案．【解答】解：由勾股定理得：BN＝CN＝＝，∴AN是△ABC的中線，∵AM＝MB，∴CM是△ABC的中線，∴表示△ABC三條中線的交點是點D．故答案為：點D．【點評】本題考查三角形的重心，三角形的中線，關(guān)鍵是掌握三角形中線，重心的定義．18．（3分）如果一條線段將一個三角形分割成2個小等腰三角形，我們把這條線段叫做這個三角形的“好線”；如果兩條線段將一個三角形分割成3個小等腰三角形，我們把這兩條線段叫做這個三角形的“好好線”．（1）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D在AC邊上，且AD＝BD＝BC，則∠A＝36度；（2）在△ABC中，∠B＝27°，AD和DE是△ABC的“好好線”，點D在BC邊上，點E在AC邊上，且AD＝BD，DE＝CE，則∠C的度數(shù)為18°或42°．【分析】（1）利用等邊對等角得到三對角相等，設(shè)∠A＝∠ABD＝x，表示出∠BDC與∠C，列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可確定出∠A的度數(shù)．（2）設(shè)∠C＝x．①當AD＝AE時，利用三角形外角的性質(zhì)得到2x+x＝27+27，解得x＝18°；②當AD＝DE時，利用三角形內(nèi)角和定理得到27°+27°+2x+x＝180°，解得x＝42°．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵BD＝BC＝AD，∴∠A＝∠ABD，∠C＝∠BDC，設(shè)∠A＝∠ABD＝x，則∠BDC＝2x，∠C＝，可得2x＝，解得：x＝36°，則∠A＝36°；故答案為：36；（2）設(shè)∠C＝x．①當AD＝AE時，∵2x+x＝27°+27°，∴x＝18°．②當AD＝DE時，∵27°+27°+2x+x＝180°，∴x＝42°．所以∠C的度數(shù)是18°或42°．故答案為：18°或42°．【點評】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．三、解答題（共46分，第19，20，21題各5分，22，23，24，25題各6分，26題7分）19．（5分）如圖，AD是△ABC的BC邊上的高，AE平分∠BAC，若∠B＝42°，∠C＝70°，求∠BAE和∠DAE的度數(shù)．【分析】由三角形內(nèi)角和定理可求得∠BAC的度數(shù)，因AE是角平分線，有，在Rt△ABD中，可求得∠BAD的度數(shù)，再由∠DAE＝∠BAD﹣∠BAE可求∠DAE的度數(shù)．【解答】解：∵∠B＝42°，∠C＝70°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝68°，∵AE是角平分線，∴．∵AD是高，∠B＝42°，∴∠BAD＝90°﹣∠B＝48°，∴∠DAE＝∠BAD﹣∠BAE＝48°﹣34°＝14°．【點評】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、角平分線的定義，屬于簡單題，熟悉三角形的內(nèi)角和是180°是解題關(guān)鍵．20．（5分）如圖，點A，B，C，D在同一條直線上，AB＝DC，∠E＝∠F，EC∥FB．求證：EA＝FD．【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)得出AC＝DB，利用平行線的性質(zhì)得出∠ECA＝∠FBD，再根據(jù)AAS證明△AEC≌△DFB，進而解答即可．【解答】證明：∵AB＝DC（已知），∴AC＝DB（等量加等量，和相等）．∵EC∥FB（已知），∴∠ECA＝∠FBD（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）．在△AEC和△DFB中，∴△AEC≌△DFB（AAS）．∴EA＝FD（全等三角形的對應邊相等）．【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)的應用，注意：①全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，②全等三角形的對應邊相等，對應角相等．21．（5分）如圖所示，邊長為1的正方形網(wǎng)格中，△ABC的三個頂點A、B、C都在格點上．（1）作關(guān)于△ABC關(guān)于x軸的對稱圖形△DEF，（其中A、B、C的對稱點分別是D、E、F），并寫出點D坐標；（2）P為x軸上一點，請在圖中畫出使△PAB的周長最小時的點P，并直接寫出此時點P的坐標．【分析】（1）分別作出點A，B，C關(guān)于x軸的對稱點，再順次連接即可得；（2）由AB是定值知△PAB的周長最小即PA+PB最小，據(jù)此連接BD，與x軸的交點即為所求．【解答】解：（1）如圖所示，△DEF即為所求，其中點D坐標為（﹣2，﹣4）．（2）如圖所示，點P即為所求，其坐標為（2，0）．【點評】此題主要作圖﹣軸對稱變換，關(guān)鍵是正確確定組成圖形的關(guān)鍵點的對稱點位置及軸對稱變換的性質(zhì)．22．（6分）如圖，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，F(xiàn)為AB延長線上一點，點E在BC上，且AE＝CF．（1）求證：∠BAE＝∠BCF；（2）若∠CAE＝25°，求∠ACF的度數(shù)．【分析】（1）由HL證明Rt△ABE≌Rt△CBF，即可解決問題；（2）由等腰直角三角形的性質(zhì)得∠BAC＝∠BCA＝45°，再求出∠BAE＝20°，即可解決問題．【解答】（1）證明：∵∠ABC＝90°，∴∠CBF＝90°，在Rt△ABE與Rt△CBF中，，∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL），∴∠BAE＝∠BCF；（2）解：∵AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠BAC＝∠BCA＝45°，∵∠CAE＝25°，∴∠BAE＝∠BAC﹣∠CAE＝45°﹣25°＝20°，由（1）可知，∠BAE＝∠BCF，∴∠BCF＝20°，∴∠ACF＝∠BCA+∠BCF＝45°+20°＝65°，即∠ACF的度數(shù)為65°．【點評】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識；熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．23．（6分）已知：如圖，點B是∠MAN邊AM上的一定點（其中∠MAN＜45°），求作：△ABC，使其滿足：①點C在射線AN上，②∠ACB＝2∠A．下面是小兵設(shè)計的尺規(guī)作圖過程．作法：①作線段AB的垂直平分線l，直線l交射線AN于點D；②以點B為圓心，BD長為半徑作弧，交射線AN于另一點C；③連接BC，則△ABC即為所求三角形．根據(jù)小兵設(shè)計的尺規(guī)作圖過程，（1）使用直尺和圓規(guī)，補全圖形；（保留作圖痕跡）（2）完成下面的證明．證明：∵直線l為線段AB的垂直平分線，∴AD＝BD（線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點距離相等），（填推理的依據(jù)）∴∠A＝∠ABD，∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝2∠A；∵BC＝BD，∴∠ACB＝∠BDC（等邊對等角），（填推理的依據(jù)）∴∠ACB＝2∠A．【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形即可．（2）利用線段的垂直平分線的性質(zhì)，以及等腰三角形的性質(zhì)解決問題即可．【解答】解：（1）如圖，△ABC即為所求．（2）∵直線l為線段AB的垂直平分線，∴AD＝BD（線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點距離相等），∴∠A＝∠ABD，∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝2∠A，∵BC＝BD，∴∠ACB＝∠BDC（等邊對等角），∴∠ACB＝2∠A．故答案為：線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點距離相等，∠ABD，等邊對等角．【點評】本題考查作圖﹣復雜作圖，線段的垂直平分線，等腰三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握五種基本作圖，屬于中考?？碱}型．24．（6分）如圖，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，點D是AB上一點，過點D作DE⊥BC交BC于點E，交CA延長線于點F．（1）證明：△ADF是等腰三角形；（2）若∠B＝60°，BD＝4，AD＝2，求EC的長，【分析】（1）由AB＝AC，可知∠B＝∠C，再由DE⊥BC，可知∠F+∠C＝90°，∠BDE+∠B＝90，然后余角的性質(zhì)可推出∠F＝∠BDE，再根據(jù)對頂角相等進行等量代換即可推出∠F＝∠FDA，于是得到結(jié)論；（2）根據(jù)解直角三角形和等邊三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵FE⊥BC，∴∠F+∠C＝90°，∠BDE+∠B＝90°，∴∠F＝∠BDE，而∠BDE＝∠FDA，∴∠F＝∠FDA，∴AF＝AD，∴△ADF是等腰三角形；（2）∵DE⊥BC，∴∠DEB＝90°，∵∠B＝60°，BD＝4，∴BE＝BD＝2，∵AB＝AC，∴△ABC是等邊三角形，∴BC＝AB＝AD+BD＝6，∴EC＝BC﹣BE＝4．【點評】本題主要考查等腰三角形的判定與性質(zhì)、余角的性質(zhì)、對頂角的性質(zhì)等知識點，關(guān)鍵根據(jù)相關(guān)的性質(zhì)定理，通過等量代換推出∠F＝∠FDA，即可推出結(jié)論．25．（6分）在學習完全等三角形及軸對稱的知識后，小明經(jīng)過思考得出猜想：“如果一個三角形一邊上的中點到另兩條邊的距離相等，那么這個三角形是等腰三角形”．老師說小明的猜想是正確的．請你幫助小明完成以上猜想的證明．已知：求證：證明：【分析】根據(jù)題意寫出已知，求證，然后根據(jù)題意，作出合適的輔助線，再根據(jù)HL可以證明Rt△DEB≌Rt△DFC，從而可以得到∠B＝∠C，再根據(jù)等角對等邊得到AB＝AC，從而可以判段△ABC的形狀．【解答】已知：在△ABC中，點D為BC的中點，點D到邊AB和AC的距離相等，求證：△ABC是等腰三角形．證明：作DE⊥AB于點E，作DF⊥AC于點F，則∠DEB＝∠DFC，由題意可得，BD＝CD，DE＝DE，在Rt△DEB和Rt△DFC中，，∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），∴∠B＝∠C，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形．【點評】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，寫出已知、求證和證明過程．26．（7分）已知：在△ABC中，作∠ABC的平分線BM，在BM上找一點D，使得DA＝DC，過點D作DE⊥BC，交直線BC于點E．（1）依題意補全圖形；（2）用等式寫出AB，BC，BE之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；（3）如果把作∠ABC的平分線BM，改為作∠ABC的外角∠PBA的平分線BM，其他條件不變，直接用等式寫出AB，BC，BE之間的數(shù)量關(guān)系．【分析】（1）由題意畫出圖形即可；（2）過點D作DF⊥AB于點F，證明Rt△ADF≌Rt△CDE（HL），得出AF＝CE，證明Rt△BDF≌Rt△BDE（HL），由全等三角形的性質(zhì)得出BF＝BE，則可得出結(jié)論；（3）過點D作DF⊥AB于點F，證明Rt△ADF≌Rt△CDE（HL），由全等三角形的性質(zhì)得出AF＝CE，證明Rt△BDF≌Rt△BDE（HL），由全等三角形的性質(zhì)得出BF＝BE，則可得出結(jié)論．【解答】解：（1）依題意補全圖形如下：（2）AB＝2BE﹣BC．證明：過點D作DF⊥AB于點F，∵BM平分∠ABC，DF⊥AB，DE⊥BC，∴DE＝DF，∵AD＝CD，∴Rt△ADF≌Rt△CDE（HL），∴AF＝CE，∵DE＝DF，BD＝BD，∴Rt△BDF≌Rt△BDE（HL），∴BF＝BE，∴AB＝BF+AF＝BE+CE＝BE+BE﹣BC＝2BE﹣BC．（3）AB＝BC+2BE．證明：過點D作DF⊥AB于點F，∵BM平分∠ABC，DF⊥AB，DE⊥BC，∴DE＝DF，∵AD＝CD，∴Rt△ADF≌Rt△CDE（HL），∴AF＝CE，∵DE＝DF，BD＝BD，∴Rt△BDF≌Rt△BDE（HL），∴BF＝BE，∴AB＝BF+AF＝BE+CE＝BE+BE+BC＝2BE+BC．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．附加題（共20分）27．（3分）如圖，△ABC中，∠A＝40°，AB的垂直平分線分別交AB，AC于點D，E，連接BE，則∠BEC的大小為80°．【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到EA＝EB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠EBA＝∠A＝40°，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)計算即可．【解答】解：∵DE是AB的垂直平分線，∴EA＝EB，∴∠EBA＝∠A＝40°，∴∠BEC＝∠EBA+∠A＝80°，故答案為：80°．【點評】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關(guān)鍵．28．（3分）等腰三角形的一個內(nèi)角是50°，則它的底角是50°或65°．【分析】等腰三角形的兩個底角相等，已知一個內(nèi)角是50°，則這個角可能是底角也可能是頂角．要分兩種情況討論．【解答】解：當50°的角是底角時，三角形的底角就是50°；當50°的角是頂角時，兩底角相等，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理易得底角是65°．故答案為：50°或65°．【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)；全面思考，分類討論是正確解答本題的關(guān)鍵．29．（3分）若am＝2，an＝3，則am+2n＝18．【分析】指數(shù)相加可以化為同底數(shù)冪的乘法，故am+2n＝am?a2n，指數(shù)相乘化為冪的乘方a2n＝（an）2，再根據(jù)已知條件可得到答案．【解答】解：am+2n＝am