函數(shù)模型的應(yīng)用教案 高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

函數(shù)模型的應(yīng)用【課標(biāo)要求】了解指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)增長(zhǎng)速度的差異.理解“指數(shù)爆炸”“對(duì)數(shù)增長(zhǎng)”“直線上升”等術(shù)語(yǔ)的含義.能選擇合適的函數(shù)模型刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的變化規(guī)律，了解函數(shù)模型在社會(huì)生活中的廣泛應(yīng)用．教學(xué)目標(biāo)：1.了解指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的增長(zhǎng)特征，知道直線上升、指數(shù)增長(zhǎng)、對(duì)數(shù)增長(zhǎng)等不同函數(shù)類(lèi)型增長(zhǎng)的含義。2.了解函數(shù)模型（如指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會(huì)生活中普遍使用的函數(shù)模型）的廣泛應(yīng)用。教學(xué)重點(diǎn)：能選擇合適的函數(shù)模型刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的變化規(guī)律教學(xué)難點(diǎn)：能選擇合適的函數(shù)模型刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的變化規(guī)律教學(xué)過(guò)程：環(huán)節(jié)1：知識(shí)檢測(cè)：1.有幾個(gè)零點(diǎn)？2.（2023新課標(biāo)1）噪聲污染問(wèn)題越來(lái)越受到重視．用聲壓級(jí)來(lái)度量聲音的強(qiáng)弱，定義聲壓級(jí)，其中常數(shù)是聽(tīng)覺(jué)下限閾值，是實(shí)際聲壓．下表為不同聲源的聲壓級(jí)：聲源與聲源的距離聲壓級(jí)燃油汽車(chē)10混合動(dòng)力汽車(chē)10電動(dòng)汽車(chē)1040已知在距離燃油汽車(chē)、混合動(dòng)力汽車(chē)、電動(dòng)汽車(chē)處測(cè)得實(shí)際聲壓分別為，則（）．A.B.C.D.環(huán)節(jié)2：知識(shí)梳理1．三種函數(shù)模型的性質(zhì)函數(shù)性質(zhì)y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增減性是增加的是增加的是增加的增長(zhǎng)速度越來(lái)越快越來(lái)越慢相對(duì)平穩(wěn)圖像的變化隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與y軸平行隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與x軸平行隨n值變化而各有不同2.常見(jiàn)的函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)＝ax＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)反比例函數(shù)模型f(x)＝eq\f(k,x)＋b(k，b為常數(shù)且k≠0)指數(shù)函數(shù)模型f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)對(duì)數(shù)函數(shù)模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)冪函數(shù)模型f(x)＝axα＋b(a，b，α為常數(shù)，a≠0，α≠0)環(huán)節(jié)3：考點(diǎn)強(qiáng)化：考點(diǎn)一.用函數(shù)圖象刻畫(huà)變化過(guò)程例1.中國(guó)茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類(lèi)型和水的溫度有關(guān)．經(jīng)驗(yàn)表明，某種綠茶用85℃的水泡制，再等到茶水溫度降至60℃時(shí)飲用，可以產(chǎn)生最佳口感．為分析泡制一杯最佳口感茶水所需時(shí)間，某研究人員每隔1min測(cè)量一次茶水的溫度，根據(jù)所得數(shù)據(jù)做出如圖所示的散點(diǎn)圖．觀察散點(diǎn)圖的分布情況，下列哪個(gè)函數(shù)模型可以近似地刻畫(huà)茶水溫度y隨時(shí)間x變化的規(guī)律()A．y＝mx2＋n(m>0)B．y＝max＋n(m>0,0<a<1)C．y＝max＋n(m>0，a>1)D．y＝mlogax＋n(m>0，a>0，a≠1)答案B解析由函數(shù)圖像可知符合條件的只有指數(shù)函數(shù)模型，并且m>0,0<a<1.方法梳理：判斷函數(shù)圖象與實(shí)際問(wèn)題變化過(guò)程相吻合的兩種方法(1)構(gòu)建函數(shù)模型法：當(dāng)根據(jù)題意易構(gòu)建函數(shù)模型時(shí)，先建立函數(shù)模型，再結(jié)合模型選擇函數(shù)圖象．(2)驗(yàn)證法：根據(jù)實(shí)際問(wèn)題中兩變量的變化快慢等特點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象的變化趨勢(shì)，驗(yàn)證是否吻合，從中排除不符合實(shí)際的情況，選擇出符合實(shí)際情況的答案．對(duì)點(diǎn)練習(xí)：(多選)血藥濃度是指藥物吸收后在血漿內(nèi)的總濃度．藥物在人體內(nèi)發(fā)揮治療作用時(shí)，該藥物的血藥濃度應(yīng)介于最低有效濃度和最低中毒濃度之間．已知成人單次服用1單位某藥物后，體內(nèi)血藥濃度及相關(guān)信息如圖所示：根據(jù)圖中提供的信息，下列關(guān)于成人服用該藥物的說(shuō)法中，正確的是()A．首次服用1單位該藥物，約10分鐘后藥物發(fā)揮治療作用B．每次服用1單位該藥物，兩次服藥間隔小于2小時(shí)時(shí)，一定會(huì)產(chǎn)生藥物中毒C．首次服用1單位該藥物，約5.5小時(shí)后第二次服用1單位該藥物，可使藥物持續(xù)發(fā)揮治療作用D．首次服用1單位該藥物，3小時(shí)后再次服用1單位該藥物，不會(huì)發(fā)生藥物中毒答案ABC解析從圖象中可以看出，首次服用1單位該藥物，約10分鐘后藥物發(fā)揮治療作用，A正確；根據(jù)圖象可知，首次服用1單位該藥物，約1小時(shí)后血藥濃度達(dá)到最大值，由圖象可知，當(dāng)兩次服藥間隔小于2小時(shí)時(shí)，一定會(huì)產(chǎn)生藥物中毒，B正確；服藥5.5小時(shí)時(shí)，血藥濃度等于最低有效濃度，此時(shí)再服藥，血藥濃度增加，可使藥物持續(xù)發(fā)揮治療作用，C正確；首次服用1單位該藥物4小時(shí)后與再次服用1單位該藥物1小時(shí)后，血藥濃度之和大于最低中毒濃度，因此一定會(huì)發(fā)生藥物中毒，D錯(cuò)誤．考點(diǎn)二：已知函數(shù)模型的實(shí)際問(wèn)題例2目前人類(lèi)還無(wú)法準(zhǔn)確預(yù)報(bào)地震，但科學(xué)家通過(guò)研究，發(fā)現(xiàn)地震時(shí)釋放的能量E(單位：焦耳)與地震里氏震級(jí)M之間的關(guān)系為lgE＝4.8＋1.5M.則里氏8.0級(jí)地震所釋放出來(lái)的能量是里氏6.0級(jí)地震所釋放出來(lái)的能量的()A．6倍B．102倍C．103倍D．106倍答案C解析設(shè)里氏8.0級(jí)地震所釋放出來(lái)的能量為E1，里氏6.0級(jí)地震所釋放出來(lái)的能量為E2，則lgE1＝4.8＋1.5×8＝16.8，E1＝1016.8；lgE2＝4.8＋1.5×6＝13.8，E2＝1013.8，eq\f(E1,E2)＝eq\f(1016.8,1013.8)＝103.方法梳理：已知函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵(1)認(rèn)清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù)．(2)根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù)．(3)利用該函數(shù)模型，借助函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)等求解實(shí)際問(wèn)題，并進(jìn)行檢驗(yàn)．對(duì)點(diǎn)練習(xí)：某化工企業(yè)為了響應(yīng)并落實(shí)國(guó)家污水減排政策，加裝了污水過(guò)濾排放設(shè)備，在過(guò)濾過(guò)程中，污染物含量M(單位：mg/L)與時(shí)間t(單位：h)之間的關(guān)系為M＝M0e－kt(其中M0，k是正常數(shù))．已知經(jīng)過(guò)1h，設(shè)備可以過(guò)濾掉20%的污染物，則過(guò)濾掉60%的污染物所需的時(shí)間約為(參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.301)()A．3hB．4hC．5hD．6h答案B解析由題意可知(1－20%)M0＝M0e－k，所以e－k＝0.8，由(1－60%)M0＝M0e－kt，得0.4＝e－kt＝(e－k)t＝0.8t，所以t＝log0.80.4＝eq\f(lg0.4,lg0.8)＝eq\f(lg\f(2,5),lg\f(4,5))＝eq\f(lg2－lg5,2lg2－lg5)＝eq\f(lg2－1－lg2,2lg2－1－lg2)＝eq\f(2lg2－1,3lg2－1)≈eq\f(2×0.301－1,3×0.301－1)＝eq\f(－0.398,－0.097)≈4.103，比較接近4.考點(diǎn)三構(gòu)造函數(shù)模型的實(shí)際問(wèn)題例3.某地西紅柿上市后，通過(guò)市場(chǎng)調(diào)查，得到西紅柿種植成本Q(單位：元/100kg)與上市時(shí)間t(單位：天)的數(shù)據(jù)如下表：時(shí)間t60100180種植成本Q11684116根據(jù)上表數(shù)據(jù)，從下列函數(shù)中選取一個(gè)函數(shù)描述西紅柿種植成本Q與上市時(shí)間t的變化關(guān)系：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·logbt.利用你選取的函數(shù)，求：①西紅柿種植成本最低時(shí)的上市天數(shù)是______；②最低種植成本是________元/100kg.答案①120②80解析因?yàn)殡S著時(shí)間的增加，種植成本先減少后增加，而且當(dāng)t＝60和t＝180時(shí)種植成本相等，再結(jié)合題中給出的四種函數(shù)關(guān)系可知，種植成本與上市時(shí)間的變化關(guān)系應(yīng)該用二次函數(shù)Q＝at2＋bt＋c，即Q＝a(t－120)2＋m描述，將表中數(shù)據(jù)代入可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a60－1202＋m＝116，,a100－1202＋m＝84，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0.01，,m＝80，))所以Q＝0.01(t－120)2＋80，故當(dāng)上市天數(shù)為120時(shí)，種植成本取到最低值80元/100kg.方法梳理構(gòu)建函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的步驟(1)建模：抽象出實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型．(2)推理、演算：對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行邏輯推理或數(shù)學(xué)運(yùn)算，得到問(wèn)題在數(shù)學(xué)意義上的解．(3)評(píng)價(jià)、解釋?zhuān)簩?duì)求得的數(shù)學(xué)結(jié)果進(jìn)行深入討論，作出評(píng)價(jià)、解釋?zhuān)缓蠓祷氐皆瓉?lái)的實(shí)際問(wèn)題中去，得到實(shí)際問(wèn)題的解．對(duì)點(diǎn)練習(xí)：國(guó)慶期間，某旅行社組團(tuán)去風(fēng)景區(qū)旅游，若每團(tuán)人數(shù)在30或30以下，飛機(jī)票每張收費(fèi)900元；若每團(tuán)人數(shù)多于30，則給予優(yōu)惠：每多1人，機(jī)票每張減少10元，直到達(dá)到規(guī)定人數(shù)75為止．每團(tuán)乘飛機(jī)，旅行社需付給航空公司包機(jī)費(fèi)15000元．(1)寫(xiě)出飛機(jī)票的價(jià)格關(guān)于人數(shù)的函數(shù)；(2)每團(tuán)人數(shù)為多少時(shí)，旅行社可獲得最大利潤(rùn)？解設(shè)該旅行團(tuán)的人數(shù)為x，飛機(jī)票的價(jià)格為y元．旅行社可獲得的利潤(rùn)為w元．①當(dāng)0≤x≤30時(shí)，y＝900，②當(dāng)30<x≤75時(shí)，y＝900－10(x－30)＝－10x＋1200，綜上有y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(900，0≤x≤30，,－10x＋1200，30<x≤75.))(2)當(dāng)0≤x≤30時(shí)，w＝900x－15000，當(dāng)x＝30時(shí)，wmax＝900×30－15000＝12000(元)；當(dāng)30<x≤75時(shí)，w＝(－10x＋1200)·x－15000＝－10x2＋1200x－15000＝－10(x－60)2＋21000，當(dāng)x＝60時(shí)，w最大為21000元，∴每團(tuán)人數(shù)為60時(shí)，旅行社可獲得最大利潤(rùn)．環(huán)節(jié)4課后鞏固練習(xí)1.有幾個(gè)零點(diǎn)？2.(2020·全國(guó)Ⅰ)某校一個(gè)課外學(xué)習(xí)小組為研究某作物種子的發(fā)芽率y和溫度x(單位：℃)的關(guān)系，在20個(gè)不同的溫度條件下進(jìn)行種子發(fā)芽實(shí)驗(yàn)，由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，20)得到下面的散點(diǎn)圖：由此散點(diǎn)圖，在10℃至40℃之間，下面四個(gè)回歸方程類(lèi)型中最適宜作為發(fā)芽率y和溫度x的回歸方程類(lèi)型的是()A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx2C．y＝a＋bex D．y＝a＋blnx3.視力檢測(cè)結(jié)果有兩種記錄方式，分別是小數(shù)記錄與五分記錄，其部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：小數(shù)記錄x0.10.120.15…11.21.52.0五分記錄y4.04.14.2…55.15.25.3現(xiàn)有如下函數(shù)模型：①y＝5＋lgx，②y＝5＋eq\f(1,10)lg

eq\f(1,x)，x表示小數(shù)記錄數(shù)據(jù)，y表示五分記錄數(shù)據(jù)，請(qǐng)選擇最合適的模型解決如下問(wèn)題：小明同學(xué)檢測(cè)視力時(shí)，醫(yī)生告訴他的視力為4.7，則小明同學(xué)的小數(shù)記錄數(shù)據(jù)為(附100.3＝2，5－0.22＝0.7，10－0.1＝0.8)()A．0.3B．0.5C．0.7D．0.84.某生物研究者于元旦在湖中放入一些鳳