函數(shù)模型的應(yīng)用教案 高三數(shù)學一輪復習

函數(shù)模型的應(yīng)用【課標要求】了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)增長速度的差異.理解“指數(shù)爆炸”“對數(shù)增長”“直線上升”等術(shù)語的含義.能選擇合適的函數(shù)模型刻畫現(xiàn)實問題的變化規(guī)律，了解函數(shù)模型在社會生活中的廣泛應(yīng)用．教學目標：1.了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的增長特征，知道直線上升、指數(shù)增長、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義。2.了解函數(shù)模型（如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會生活中普遍使用的函數(shù)模型）的廣泛應(yīng)用。教學重點：能選擇合適的函數(shù)模型刻畫現(xiàn)實問題的變化規(guī)律教學難點：能選擇合適的函數(shù)模型刻畫現(xiàn)實問題的變化規(guī)律教學過程：環(huán)節(jié)1：知識檢測：1.有幾個零點？2.（2023新課標1）噪聲污染問題越來越受到重視．用聲壓級來度量聲音的強弱，定義聲壓級，其中常數(shù)是聽覺下限閾值，是實際聲壓．下表為不同聲源的聲壓級：聲源與聲源的距離聲壓級燃油汽車10混合動力汽車10電動汽車1040已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車處測得實際聲壓分別為，則（）．A.B.C.D.環(huán)節(jié)2：知識梳理1．三種函數(shù)模型的性質(zhì)函數(shù)性質(zhì)y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增減性是增加的是增加的是增加的增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)圖像的變化隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與y軸平行隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與x軸平行隨n值變化而各有不同2.常見的函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)＝ax＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)反比例函數(shù)模型f(x)＝eq\f(k,x)＋b(k，b為常數(shù)且k≠0)指數(shù)函數(shù)模型f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)對數(shù)函數(shù)模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)冪函數(shù)模型f(x)＝axα＋b(a，b，α為常數(shù)，a≠0，α≠0)環(huán)節(jié)3：考點強化：考點一.用函數(shù)圖象刻畫變化過程例1.中國茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān)．經(jīng)驗表明，某種綠茶用85℃的水泡制，再等到茶水溫度降至60℃時飲用，可以產(chǎn)生最佳口感．為分析泡制一杯最佳口感茶水所需時間，某研究人員每隔1min測量一次茶水的溫度，根據(jù)所得數(shù)據(jù)做出如圖所示的散點圖．觀察散點圖的分布情況，下列哪個函數(shù)模型可以近似地刻畫茶水溫度y隨時間x變化的規(guī)律()A．y＝mx2＋n(m>0)B．y＝max＋n(m>0,0<a<1)C．y＝max＋n(m>0，a>1)D．y＝mlogax＋n(m>0，a>0，a≠1)答案B解析由函數(shù)圖像可知符合條件的只有指數(shù)函數(shù)模型，并且m>0,0<a<1.方法梳理：判斷函數(shù)圖象與實際問題變化過程相吻合的兩種方法(1)構(gòu)建函數(shù)模型法：當根據(jù)題意易構(gòu)建函數(shù)模型時，先建立函數(shù)模型，再結(jié)合模型選擇函數(shù)圖象．(2)驗證法：根據(jù)實際問題中兩變量的變化快慢等特點，結(jié)合函數(shù)圖象的變化趨勢，驗證是否吻合，從中排除不符合實際的情況，選擇出符合實際情況的答案．對點練習：(多選)血藥濃度是指藥物吸收后在血漿內(nèi)的總濃度．藥物在人體內(nèi)發(fā)揮治療作用時，該藥物的血藥濃度應(yīng)介于最低有效濃度和最低中毒濃度之間．已知成人單次服用1單位某藥物后，體內(nèi)血藥濃度及相關(guān)信息如圖所示：根據(jù)圖中提供的信息，下列關(guān)于成人服用該藥物的說法中，正確的是()A．首次服用1單位該藥物，約10分鐘后藥物發(fā)揮治療作用B．每次服用1單位該藥物，兩次服藥間隔小于2小時時，一定會產(chǎn)生藥物中毒C．首次服用1單位該藥物，約5.5小時后第二次服用1單位該藥物，可使藥物持續(xù)發(fā)揮治療作用D．首次服用1單位該藥物，3小時后再次服用1單位該藥物，不會發(fā)生藥物中毒答案ABC解析從圖象中可以看出，首次服用1單位該藥物，約10分鐘后藥物發(fā)揮治療作用，A正確；根據(jù)圖象可知，首次服用1單位該藥物，約1小時后血藥濃度達到最大值，由圖象可知，當兩次服藥間隔小于2小時時，一定會產(chǎn)生藥物中毒，B正確；服藥5.5小時時，血藥濃度等于最低有效濃度，此時再服藥，血藥濃度增加，可使藥物持續(xù)發(fā)揮治療作用，C正確；首次服用1單位該藥物4小時后與再次服用1單位該藥物1小時后，血藥濃度之和大于最低中毒濃度，因此一定會發(fā)生藥物中毒，D錯誤．考點二：已知函數(shù)模型的實際問題例2目前人類還無法準確預報地震，但科學家通過研究，發(fā)現(xiàn)地震時釋放的能量E(單位：焦耳)與地震里氏震級M之間的關(guān)系為lgE＝4.8＋1.5M.則里氏8.0級地震所釋放出來的能量是里氏6.0級地震所釋放出來的能量的()A．6倍B．102倍C．103倍D．106倍答案C解析設(shè)里氏8.0級地震所釋放出來的能量為E1，里氏6.0級地震所釋放出來的能量為E2，則lgE1＝4.8＋1.5×8＝16.8，E1＝1016.8；lgE2＝4.8＋1.5×6＝13.8，E2＝1013.8，eq\f(E1,E2)＝eq\f(1016.8,1013.8)＝103.方法梳理：已知函數(shù)模型解決實際問題的關(guān)鍵(1)認清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù)．(2)根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù)．(3)利用該函數(shù)模型，借助函數(shù)的性質(zhì)、導數(shù)等求解實際問題，并進行檢驗．對點練習：某化工企業(yè)為了響應(yīng)并落實國家污水減排政策，加裝了污水過濾排放設(shè)備，在過濾過程中，污染物含量M(單位：mg/L)與時間t(單位：h)之間的關(guān)系為M＝M0e－kt(其中M0，k是正常數(shù))．已知經(jīng)過1h，設(shè)備可以過濾掉20%的污染物，則過濾掉60%的污染物所需的時間約為(參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.301)()A．3hB．4hC．5hD．6h答案B解析由題意可知(1－20%)M0＝M0e－k，所以e－k＝0.8，由(1－60%)M0＝M0e－kt，得0.4＝e－kt＝(e－k)t＝0.8t，所以t＝log0.80.4＝eq\f(lg0.4,lg0.8)＝eq\f(lg\f(2,5),lg\f(4,5))＝eq\f(lg2－lg5,2lg2－lg5)＝eq\f(lg2－1－lg2,2lg2－1－lg2)＝eq\f(2lg2－1,3lg2－1)≈eq\f(2×0.301－1,3×0.301－1)＝eq\f(－0.398,－0.097)≈4.103，比較接近4.考點三構(gòu)造函數(shù)模型的實際問題例3.某地西紅柿上市后，通過市場調(diào)查，得到西紅柿種植成本Q(單位：元/100kg)與上市時間t(單位：天)的數(shù)據(jù)如下表：時間t60100180種植成本Q11684116根據(jù)上表數(shù)據(jù)，從下列函數(shù)中選取一個函數(shù)描述西紅柿種植成本Q與上市時間t的變化關(guān)系：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·logbt.利用你選取的函數(shù)，求：①西紅柿種植成本最低時的上市天數(shù)是______；②最低種植成本是________元/100kg.答案①120②80解析因為隨著時間的增加，種植成本先減少后增加，而且當t＝60和t＝180時種植成本相等，再結(jié)合題中給出的四種函數(shù)關(guān)系可知，種植成本與上市時間的變化關(guān)系應(yīng)該用二次函數(shù)Q＝at2＋bt＋c，即Q＝a(t－120)2＋m描述，將表中數(shù)據(jù)代入可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a60－1202＋m＝116，,a100－1202＋m＝84，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0.01，,m＝80，))所以Q＝0.01(t－120)2＋80，故當上市天數(shù)為120時，種植成本取到最低值80元/100kg.方法梳理構(gòu)建函數(shù)模型解決實際問題的步驟(1)建模：抽象出實際問題的數(shù)學模型．(2)推理、演算：對數(shù)學模型進行邏輯推理或數(shù)學運算，得到問題在數(shù)學意義上的解．(3)評價、解釋：對求得的數(shù)學結(jié)果進行深入討論，作出評價、解釋，然后返回到原來的實際問題中去，得到實際問題的解．對點練習：國慶期間，某旅行社組團去風景區(qū)旅游，若每團人數(shù)在30或30以下，飛機票每張收費900元；若每團人數(shù)多于30，則給予優(yōu)惠：每多1人，機票每張減少10元，直到達到規(guī)定人數(shù)75為止．每團乘飛機，旅行社需付給航空公司包機費15000元．(1)寫出飛機票的價格關(guān)于人數(shù)的函數(shù)；(2)每團人數(shù)為多少時，旅行社可獲得最大利潤？解設(shè)該旅行團的人數(shù)為x，飛機票的價格為y元．旅行社可獲得的利潤為w元．①當0≤x≤30時，y＝900，②當30<x≤75時，y＝900－10(x－30)＝－10x＋1200，綜上有y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(900，0≤x≤30，,－10x＋1200，30<x≤75.))(2)當0≤x≤30時，w＝900x－15000，當x＝30時，wmax＝900×30－15000＝12000(元)；當30<x≤75時，w＝(－10x＋1200)·x－15000＝－10x2＋1200x－15000＝－10(x－60)2＋21000，當x＝60時，w最大為21000元，∴每團人數(shù)為60時，旅行社可獲得最大利潤．環(huán)節(jié)4課后鞏固練習1.有幾個零點？2.(2020·全國Ⅰ)某校一個課外學習小組為研究某作物種子的發(fā)芽率y和溫度x(單位：℃)的關(guān)系，在20個不同的溫度條件下進行種子發(fā)芽實驗，由實驗數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，20)得到下面的散點圖：由此散點圖，在10℃至40℃之間，下面四個回歸方程類型中最適宜作為發(fā)芽率y和溫度x的回歸方程類型的是()A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx2C．y＝a＋bex D．y＝a＋blnx3.視力檢測結(jié)果有兩種記錄方式，分別是小數(shù)記錄與五分記錄，其部分數(shù)據(jù)如下表：小數(shù)記錄x0.10.120.15…11.21.52.0五分記錄y4.04.14.2…55.15.25.3現(xiàn)有如下函數(shù)模型：①y＝5＋lgx，②y＝5＋eq\f(1,10)lg

eq\f(1,x)，x表示小數(shù)記錄數(shù)據(jù)，y表示五分記錄數(shù)據(jù)，請選擇最合適的模型解決如下問題：小明同學檢測視力時，醫(yī)生告訴他的視力為4.7，則小明同學的小數(shù)記錄數(shù)據(jù)為(附100.3＝2，5－0.22＝0.7，10－0.1＝0.8)()A．0.3B．0.5C．0.7D．0.84.某生物研究者于元旦在湖中放入一些鳳