空間向量的數(shù)量積運(yùn)算 高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊(cè)

1.1.2空間向量的數(shù)量積運(yùn)算思考：類比平面向量的數(shù)量積，你能得出空間向量的數(shù)量積相關(guān)知識(shí)嗎？

已知兩個(gè)非零向量a，b,在空間任取一點(diǎn)O、作=a，=b,則∠AOB叫做向量a，b的夾角，記作<a，b>.ba（1）<a,b>=<b,a>（4）如果<a，b>=,那么向量a，b互相垂直，記作a⊥b.（2）<a,b>+<a,-b>=π（3）<a,b>的范圍：0≤<a,b>≤π注：

已知兩個(gè)非零向量a，b，則|a||b|cos<a，b>叫做a，b的數(shù)量積，記作a·b.特別地，零向量與任意向量的數(shù)量積為0.a·a=|a||a|cos<a,a>=|a|2.a⊥b

a?b=0;即a·b=|a||b|cos<a，b>.求長(zhǎng)度空間向量數(shù)量積的定義證垂直

求夾角性質(zhì)(λa)?b=λ(a?b)，λ∈Ra?(b+c)=a?b+a?c(分配律)a?b=b?a(交換律)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律思考1:對(duì)于向量a,b,c,由a?b=a?c能得到b=c嗎?如果不能,請(qǐng)舉出反例.不能.數(shù)量積運(yùn)算不滿足消去律，例如a=0思考2:對(duì)于向量a,b,若a·b=k,能否寫成(或

)的形式?不能.數(shù)量積不是單純的乘法，向量沒有除法.思考3:對(duì)于向量a,b,c,(a?b)c=a(b?c)成立嗎?也就是說,向量的數(shù)量積滿足結(jié)合律嗎?不滿足.(a?b)和(b?c)都是數(shù)，而a和c方向也不一定相同.辨析:對(duì)于非零向量a,b,c,由a?b=a?c能得到b=c嗎?不一定.只能得到|b|cos<

a,

b

>=|

c

|cos<a,

c

>思考：類比平面向量的投影，在空間，向量a向向量b的投影有什么意義？向量a向直線l的投影呢？向量a向平面β的投影呢？

在空間,向量a向向量b投影,由于它們是自由向量,因此可以將它們平移到同一個(gè)平面α內(nèi),進(jìn)而利用平面上向量的投影,得到與向量b共線的向量c，向量c稱為向量a在向量b上的投影向量.空間向量的投影向量類似地,可以將向量a向直線l投影.只要將b看成是l的方向向量.

向量a向平面β投影：1.分別由向量a的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B作平面β的垂線,垂足分別為A',B',得到向量

,2.向量

稱為向量a在平面β上的投影向量.這時(shí),向量a,

的夾角就是向量a所在直線與平面β所成的角.例1.如圖所示，在空間四面體OABC中，OA，OB，OC兩兩成60°角，且OA＝OB＝OC＝2，E為OA的中點(diǎn)，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，試求E，F(xiàn)間的距離.例題講解解：求模長(zhǎng)求夾角例3.如圖，正四棱錐P－ABCD的各棱