三角函數(shù)模型及解三角形的實(shí)際應(yīng)用 高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第四章三角函數(shù)、解三角形第8節(jié)三角函數(shù)模型及解三角形的實(shí)際應(yīng)用INNOVATIVEDESIGN1.會(huì)用三角函數(shù)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題，體會(huì)利用三角函數(shù)構(gòu)建刻畫事物周期變化的數(shù)學(xué)模型.2.能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)以及方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題.目

錄CONTENTS知識(shí)診斷自測(cè)01考點(diǎn)聚焦突破02課時(shí)分層精練03知識(shí)診斷自測(cè)1ZHISHIZHENDUANZICE1.仰角和俯角在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線上方叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線______叫俯角(如圖1).下方2.方位角從正北方向起按順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線之間的水平夾角叫做方位角.如B點(diǎn)的方位角為α(如圖2).3.方向角正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角，如南偏東30°，北偏西45°等.4.坡度：坡面與水平面所成的二面角的正切值.1.不要搞錯(cuò)各種角的含義，不要把這些角和三角形內(nèi)角之間的關(guān)系弄混.2.解決與平面幾何有關(guān)的計(jì)算問題關(guān)鍵是找清各量之間的關(guān)系，從而應(yīng)用正、余弦定理求解.常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒√××√解析(2)α＝β；(3)俯角是視線與水平線所構(gòu)成的角.2.如圖，在高速公路建設(shè)中需要確定隧道的長(zhǎng)度，工程技術(shù)人員已測(cè)得隧道兩端的兩點(diǎn)A，B到點(diǎn)C的距離AC＝BC＝1km，且C＝120°，則A，B兩點(diǎn)間的距離為________km.解析在△ABC中，易得A＝30°，

3.如圖，在塔底D的正西方A處測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?5°，在塔底D的南偏東60°的B處測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?0°，A，B間的距離是84m，則塔高CD＝________m.4.(必修一P241T6改編)某時(shí)鐘的秒針端點(diǎn)A到中心點(diǎn)O的距離為5cm，秒針繞點(diǎn)O勻速旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時(shí)間t＝0時(shí)，點(diǎn)A與鐘面上標(biāo)12的點(diǎn)B重合，將A，B兩點(diǎn)間的

距離d(單位：cm)表示成t(單位：s)的函數(shù)，則d＝_____________，t∈[0，60].解析如圖，設(shè)∠AOB＝α，考點(diǎn)聚焦突破2KAODIANJUJIAOTUPO考點(diǎn)一三角函數(shù)模型ABC感悟提升三角函數(shù)模型的應(yīng)用體現(xiàn)在兩方面：一是已知函數(shù)模型求解數(shù)學(xué)問題；二是把實(shí)際問題抽象轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，利用三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)解決問題.BC解析因?yàn)閒(x)＝Asin(ωx＋φ)，所以f′(x)＝Aωcos(ωx＋φ).因?yàn)楫?dāng)x＝2π時(shí)，兩潮有一個(gè)交叉點(diǎn)，所以Asin(2ωπ＋φ)＝Aωcos(2ωπ＋φ)，因?yàn)锳∈N*，所以tan(2ωπ＋φ)＝ω，因?yàn)棣亍蔔*，所以tan(2ωπ＋φ)＝tanφ＝ω，考點(diǎn)二解三角形應(yīng)用舉例DB角度3測(cè)量角度問題例4

已知島A南偏西38°方向，距島A3海里的B處有一艘緝私艇.島A處的一艘走私船正以10海里/時(shí)的速度向島嶼北偏西22°方向行駛，問緝私艇朝何方向以多大速度行駛，恰好用0.5小時(shí)能截住該走私船？解如圖，設(shè)緝私艇在C處截住走私船，D為島A正南方向上一點(diǎn)，緝私艇的速度為每小時(shí)x海里，則BC＝0.5x，AC＝5，依題意，AB＝3，∠BAC＝180°－38°－22°＝120°，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos120°，所以BC2＝49，所以BC＝0.5x＝7，解得x＝14.所以∠ABC＝38°，又∠BAD＝38°，所以BC∥AD，故緝私艇以每小時(shí)14海里的速度向正北方向行駛，恰好用0.5小時(shí)截住該走私船.感悟提升解三角形應(yīng)用問題的要點(diǎn)(1)從實(shí)際問題中抽象出已知的角度、距離、高度等條件，作為某個(gè)三角形的元素.(2)利用正弦定理、余弦定理解三角形，得到實(shí)際問題的解.14解析在△ABD中，A=45°，∠ABD=180°－75°=105°，∠ADB=30°，265解析由題意可知∠PAB＝30°，∠PBH＝75°，AB＝388，所以∠BPA＝45°.課時(shí)分層精練3KESHIFENCENGJINGLIAN1.如圖所示是某彈簧振子做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的部分圖象，則下列判斷錯(cuò)誤的是(

)A.該彈簧振子的振幅為2cmB.該彈簧振子的振動(dòng)周期為1.6sC.該彈簧振子在0.2s和1.0s時(shí)振動(dòng)速度最大D.該彈簧振子在0.6s和1.4s時(shí)的位移為零C解析由圖象及簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的有關(guān)知識(shí)得，該彈簧振子的振幅為2cm，振動(dòng)周期為2×(1.0－0.2)＝1.6s.當(dāng)t＝0.2s或1.0s時(shí)，振動(dòng)速度為零，該彈簧振子在0.6s和1.4s時(shí)的位移為零.A，B，D正確，C錯(cuò)誤.A解析如圖，在△ABC中，A解析設(shè)山頂為A，塔底為C，塔頂為D，BDA解得2k≤t≤2k＋1，k∈N，故s(t)的單調(diào)遞增區(qū)間是[2k，2k＋1]，k∈N，則其單調(diào)遞減區(qū)間是[2k＋1，2k＋2]，k∈N，所以s(t)的單調(diào)區(qū)間是[k，k＋1]，k∈N.6.(2024·貴陽(yáng)診斷)鏡面反射法是測(cè)量建筑物高度的重要方法，在如圖所示的模型中，已知人眼距離地面高度h＝1.5m，某建筑物高h(yuǎn)1＝4.5m，將鏡子(平面鏡)置于平地上，人后退至從鏡中能夠看到建筑物頂部的位置，測(cè)量人與鏡子間的距離a1＝1.2m，將鏡子后移am，重復(fù)前面的操作，測(cè)量人與鏡子間的距離a2＝3.2m，則a＝(

)AA.6 B.5

C.4

D.3解析如圖，設(shè)建筑物最高點(diǎn)為A，建筑物底部為O，第一次觀察時(shí)鏡面位置為B，第一次觀察時(shí)人眼睛位置為C，第二次觀察時(shí)鏡面位置為D，設(shè)O到B之間的距離為a0m，由光線反射性質(zhì)得∠ABO＝∠CBD，所以tan∠ABO＝tan∠CBD，BCD當(dāng)t＝1時(shí)，p(t)＝138，所以當(dāng)天早晨7點(diǎn)時(shí)李華的血壓為138mmHg；因?yàn)閜(t)的最大值為116＋22＝138，最小值為116－22＝94＞90，所以李華的收縮壓為138mmHg，舒張壓為94mmHg，因此李華有高血壓，且他的收縮壓與舒張壓之差為44mmHg.故選BCD.8.江岸邊有一炮臺(tái)高30m，江中有兩條船，船與炮臺(tái)底部在同一水平面上，在炮臺(tái)頂部測(cè)得兩條船的俯角分別為45°和60°，而且兩條船與炮臺(tái)底部所連的線成30°角，則兩條船相距______m.解析由題意畫示意圖，如圖，50π解析連接OC，因?yàn)镃D∥OA，所以∠DCO＝∠COA，∠CDO＝180°－∠DOA＝60°.在△OCD中，由正弦定理可得BCDA因?yàn)樵摻ㄖP(guān)于房梁所在鉛垂面(垂直于水平面的面)對(duì)稱，P1，P2，P3是AT的四等分點(diǎn)，Q1，Q2，Q3是BT的四等分點(diǎn)，所以AP2＝BQ2＝2L，P2P3＝L.15.如圖，某湖有一半徑為100m的半圓形岸邊，現(xiàn)決定在圓心O處設(shè)立一個(gè)水文監(jiān)測(cè)中心(大小忽略不計(jì))，在其正東方向相距200m的點(diǎn)A處安裝一套監(jiān)測(cè)設(shè)備.為了監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)更加準(zhǔn)確，在半圓弧上的點(diǎn)B以及湖中的點(diǎn)C處再分別安裝一套監(jiān)測(cè)設(shè)備，且滿足AB＝AC，∠BAC＝90°.定義：四邊形OACB及其內(nèi)部區(qū)域?yàn)椤爸苯颖O(jiān)測(cè)覆蓋區(qū)域”.設(shè)∠AOB＝θ，則“直接監(jiān)測(cè)覆蓋區(qū)域”面積的最大值為__________________m2.解析在△OAB中，∵∠AOB＝θ，OB＝100，OA＝200，∴AB2＝O