正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的概念及其性質(zhì)教學(xué)設(shè)計 高一下學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版（2019）必修第二冊

§4正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的概念及其性質(zhì)一、單元內(nèi)容及內(nèi)容解析內(nèi)容本單元內(nèi)容包括任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義、利用單位圓研究其性質(zhì)、判斷正弦函數(shù)值和余弦函數(shù)值的符號.由三角函數(shù)的定義及終邊的對稱性和旋轉(zhuǎn)得到誘導(dǎo)公式.內(nèi)容框圖如下：本單元建議教學(xué)用時為4課時，第1課時:單位圓與任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義;第2課時：單位圓與正余弦函數(shù)的基本性質(zhì)；第3課時：誘導(dǎo)公式與對稱；第4課時：誘導(dǎo)公式與旋轉(zhuǎn).內(nèi)容解析（1）內(nèi)容的本質(zhì)任意角的三角函數(shù)是三角學(xué)內(nèi)容的基礎(chǔ)，是后續(xù)內(nèi)容學(xué)習的思維起點，是整個三角學(xué)認知結(jié)構(gòu)的生長點.它的學(xué)習既是學(xué)科系統(tǒng)內(nèi)部知識發(fā)展的需要，又是坐標思想、數(shù)形結(jié)合思想的載體，更是對函數(shù)概念理解和認識的一次升華.本單元內(nèi)容是在前面角的擴充和弧度制引入的基礎(chǔ)上，先通過初中三角函數(shù)的推廣得出任意角的三角函數(shù)，再利用單位圓研究正余弦函數(shù)的性質(zhì)及誘導(dǎo)公式.（2）蘊含的數(shù)學(xué)思想和方法三角函數(shù)的概念及基本性質(zhì)：這兩節(jié)是概念的形成課，應(yīng)按“事實—概念”的路徑，即學(xué)生要經(jīng)歷“背景—研究對象—對應(yīng)關(guān)系的本質(zhì)—定義”的過程．學(xué)生在經(jīng)歷這個過程而形成三角函數(shù)概念的同時，得到值域、函數(shù)值的符號、誘導(dǎo)公式一及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系等性質(zhì)．在三角函數(shù)定義形成的過程中體現(xiàn)了抽象與概括、特殊與一般、對應(yīng)等思想.誘導(dǎo)公式：借助其內(nèi)容本質(zhì)分析可知，研究路徑可以歸結(jié)為：圓的對稱性——角的終邊的對稱性——點的坐標間的關(guān)系——三角函數(shù)的關(guān)系。從整體上看，各種各樣的三角函數(shù)關(guān)系式所研究的問題是：角的終邊具有某種特殊關(guān)系時，相應(yīng)的三角函數(shù)值之間具有怎樣的特殊關(guān)系，本質(zhì)上都是圓的幾何性質(zhì)（主要是對稱性）的直接反映.在推導(dǎo)誘導(dǎo)公式的過程中，蘊含這著對稱、坐標變換、函數(shù)變換等數(shù)學(xué)思想.（3）知識的上下位關(guān)系三角函數(shù)的概念及基本性質(zhì)：在此之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)過銳角三角函數(shù)，它是用直角三角形邊長的比來刻畫的，任意角的三角函數(shù)看成是銳角三角函數(shù)的推廣，利用象限角終邊上點的坐標比定義三角函數(shù)．后續(xù)的內(nèi)容，特別是在微積分中，最常用的是弧度制以及弧度制下的三角函數(shù)，從定義可以方便地推導(dǎo)任意角三角函數(shù)的性質(zhì)、誘導(dǎo)公式，為公式的記憶提供了圖形支持.誘導(dǎo)公式：前面已經(jīng)研究“角的終邊相同”時同名三角函數(shù)，而誘導(dǎo)公式研究的是直角坐標系下“角的終邊具有某種特殊對稱性”時三角數(shù)之間的關(guān)系.如果在誘導(dǎo)公式的基礎(chǔ)上，把2kπ+α(k∈Z),α,α±π,2π±α與α的三角函數(shù)關(guān)系進行擴充，可得出和（差）角的三角函數(shù)，從而使所有三角公式形成一個有機整體.（4）育人價值本單元的學(xué)習有助于學(xué)生學(xué)會合乎邏輯地、有條理地、嚴謹精確地思考和解決問題，有助于發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算、直觀想象等方面的素養(yǎng).（5）教學(xué)重點基于以上分析，確定本單元的教學(xué)重點:利用單位圓探究正余弦函數(shù)的定義、性質(zhì)及誘導(dǎo)公式.二、單元目標及目標解析目標第一課時：單位圓與任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義（1）了解三角函數(shù)的背景，體會三角函數(shù)與現(xiàn)實世界的密切聯(lián)系；（2）經(jīng)歷三角函數(shù)概念的抽象過程，借助單位圓理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦）的定義，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)；第二課時：單位圓與任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)（1）引導(dǎo)學(xué)生借助單位圓推導(dǎo)正弦函數(shù)的基本性質(zhì)（2）類比得出余弦函數(shù)的基本性質(zhì)（3）利用正余弦函數(shù)基本性質(zhì)解決相關(guān)問題第三課時：誘導(dǎo)公式與對稱（1）借助單位圓的對稱性，利用定義推導(dǎo)出前四組誘導(dǎo)公式；（2）能綜合運用誘導(dǎo)公式將任意給定的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)值，第四課時：誘導(dǎo)公式與旋轉(zhuǎn)（1）根據(jù)角的終邊的旋轉(zhuǎn)關(guān)系，推導(dǎo)并掌握對應(yīng)的誘導(dǎo)公式.（2）能運用誘導(dǎo)公式解決三角函數(shù)式的化簡、求值和證明.目標解析第一、二課時：單位圓與任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義、性質(zhì)達成上述目標的標志是：（1）學(xué)生在經(jīng)歷“銳角三角函數(shù)終邊上一點定義—銳角三角函數(shù)在單位圓上定義—任意角三角函數(shù)在單位圓上定義”的抽象活動中，明確研究的問題，使研究對象簡單化、本質(zhì)化；學(xué)生能類比初中三角函數(shù)定義，抽象出任意角正余弦函數(shù)概念；能根據(jù)定義求給定角的正余弦函數(shù)值；（2）學(xué)生能根據(jù)定義得出三角函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性等性質(zhì)；能根據(jù)定義，結(jié)合終邊相同的角的表示，得出一組誘導(dǎo)公式，并能據(jù)此描述三角函數(shù)周而復(fù)始的取值規(guī)律，求某些特殊角的三角函數(shù)值；第三、四課時：誘導(dǎo)公式達成上述目標的標志是：（1）能利用定義，借助單位圓上關(guān)于原點、x軸、y軸、直線y=x對稱的點的橫、縱坐標之間的關(guān)系，推導(dǎo)誘導(dǎo)公式；（2））能歸納運用誘導(dǎo)公式解題的基本步驟：先確定角的象限，再選擇恰當?shù)恼T導(dǎo)公式，并按照一定的順序進行運算，求得運算結(jié)果.三、教學(xué)問題診斷分析三角函數(shù)概念的學(xué)習，其認知基礎(chǔ)是函數(shù)的一般觀念及對指、對、冪函數(shù)的研究經(jīng)驗，另外還有圓的集合知識，對于分析周期函數(shù)能夠起到引領(lǐng)作用.但是之前的函數(shù)定義都以“運算”為基礎(chǔ)，而三角函數(shù)的定義是建立在對應(yīng)的基礎(chǔ)之上，以前的學(xué)習經(jīng)驗無法直接遷移，特別是對三角函數(shù)的本質(zhì)特征：任意角的三角函數(shù)是研究一個實數(shù)集(角的弧度數(shù)構(gòu)成的集合)到另一個實數(shù)集(角的終邊與單位圓交點的坐標或其比值構(gòu)成的集合)的對應(yīng)關(guān)系，會形成認知難點.在利用單位圓抽象出正余弦函數(shù)性質(zhì)可能稍有困難，不能從“數(shù)”出發(fā)，準確和諧地將“數(shù)”與“形”進行轉(zhuǎn)化。因此性質(zhì)探究過程中借助單位圓、角的終邊以及二者的交點這些幾何圖形的直觀幫助,激發(fā)學(xué)生從“數(shù)”與“形”的角度思考，從學(xué)生已有的經(jīng)驗出發(fā)，環(huán)環(huán)緊扣提出問題，讓學(xué)生經(jīng)歷由特殊到一般、一般到特殊的認知過程，初步形成運用函數(shù)思想解決問題的習慣。誘導(dǎo)公式內(nèi)容較多，推導(dǎo)過程基于三角函數(shù)的定義，借助于單位圓的對稱性，以及平面直角坐標系內(nèi)點的坐標的特點，以定義為紐帶進行轉(zhuǎn)化理解.會形成理解上的難點，教學(xué)中要強調(diào)標題的作用，如“誘導(dǎo)公式與對稱”“誘導(dǎo)公式與旋轉(zhuǎn)”等，再次強化學(xué)生對三角函數(shù)這種“對應(yīng)”式定義的理解，會更好的服務(wù)于后續(xù)的三角函數(shù)基礎(chǔ)性質(zhì)的發(fā)現(xiàn).基于以上的分析，確立本單元教學(xué)中正余弦概念及性質(zhì)的抽象、誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)及應(yīng)用為教學(xué)難點.四、單元教學(xué)支持條件分析在本單元的教學(xué)中，充分發(fā)揮信息技術(shù)的作用，特別利用單位圓探究正余弦函數(shù)的定義、性質(zhì)及誘導(dǎo)公式等問題中都起到重要的作用.五、課時教學(xué)設(shè)計課題：4.1單位圓與任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)定義一．課時教學(xué)內(nèi)容利用單位圓抽象出任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義二．課時教學(xué)目標1.了解三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式的意義和作用，理解誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)過程；2.經(jīng)歷自主探究發(fā)現(xiàn)問題（任意角的三角函數(shù)值與銳角三角函數(shù)值之間的內(nèi)在聯(lián)系），提出研究方法（利用坐標的對稱關(guān)系，從三角函數(shù)的定義得出相應(yīng)的關(guān)系式）并完成推導(dǎo)過程，并對任意角三角函數(shù)化簡、求值；3.在探究活動中，學(xué)生通過獨立思考和合作交流，發(fā)展思維，從探索中獲得成功的體驗，落實數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算、邏輯推理素養(yǎng).三．教學(xué)重點與難點教學(xué)重點：借助單位圓認識和理解任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義；教學(xué)難點：借助終邊上一點的坐標理解任意角正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義.四．教學(xué)過程設(shè)計（一）創(chuàng)設(shè)情境?明確對象赴九天、探蒼穹，神州十四號載人飛船出征，中國空間站迎來第三批訪客。中國空間站每90分鐘繞地球運行一周，每天繞地球約15至16圈。必修一我們學(xué)習了函數(shù)，知道函數(shù)是刻畫客觀世界變化的數(shù)學(xué)模型。中國空間站圍繞地球是周而復(fù)始的圓周運動，我們已有的函數(shù)模型可以刻畫這種周期變化嗎？從剛才的視頻，我們抽象出天宮繞地球旋轉(zhuǎn)的數(shù)學(xué)模型，為動點P繞圓做圓周運動?？梢?，點P在旋轉(zhuǎn)過程中，OP與x非負半軸形成角α，所以，刻畫圓周運動的函數(shù)模型一定與角α有關(guān)。設(shè)計意圖：用數(shù)學(xué)的觀點、函數(shù)的視角看待自然現(xiàn)象和客觀世界運行規(guī)律，體現(xiàn)函數(shù)的重要性，定義新函數(shù)的必要性，經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題→尋求方案→明確方向的過程。復(fù)習銳角三角函數(shù)的定義問題1：在初中，我們借助直角三角形學(xué)習了銳角三角函數(shù)，你能回憶初中銳角的正弦、余弦是如何定義的？它們自變量是什么？以什么為函數(shù)值？自變量的范圍是什么？函數(shù)值的范圍是什么？設(shè)計意圖：溫故知新，尋找新知識的生長點，讓學(xué)生體會知識的產(chǎn)生、發(fā)展過程，就要從源頭上開始，從學(xué)生現(xiàn)有認知狀況開始，因此對銳角三角函數(shù)的復(fù)習是必不可少的.將銳角三角函數(shù)融入學(xué)生已有的函數(shù)知識結(jié)構(gòu)中，容易為學(xué)生建立起任意角的三角函數(shù)獲取心理邏輯的自然.當α為鈍角或者任意角時，提出問題問題2：在高中，隨著角的概念的推廣和弧度制的引入，角的范圍變成了全體實數(shù)R，那么對于任意角α，比如當α為鈍角時，角α的“斜邊”這種說法還存在嗎？三角函數(shù)不能用邊長的比值來定義。那么任意角的三角函數(shù)該如何定義呢？這是我們本節(jié)課研究重點設(shè)計意圖：制定方案：類比反思→結(jié)合經(jīng)驗→知識遷移。問題1到問題2是溫故知新化過程，利用角a的變化作為思維的切入點，打破學(xué)生已有的認知結(jié)構(gòu)的平衡，感受學(xué)習新知識的必要性，即角的范圍擴大了，初中銳角三角函數(shù)的定義也應(yīng)該與時俱進，這有利于將探究的主動權(quán)交給學(xué)生.（二）探究新知?構(gòu)建定義終邊上點坐標表示的銳角三角函數(shù)問題3：（定義坐標化）要想研究任意角的三角函數(shù)，中國有句古話：“工欲善其事，必先利其器”.隨著角的概念推廣和弧度制的引入，我們一般借助什么工具來研究角？設(shè)計意圖：依托學(xué)生已有的經(jīng)驗，啟發(fā)學(xué)生聯(lián)想，觸發(fā)學(xué)生的靈感，為坐標法的實施奠定研究的基礎(chǔ).師：平面直角坐標系是聯(lián)系幾何與代數(shù)的橋梁，是實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想的關(guān)鍵。我們先研究哪種角的三角函數(shù)？是直接研究任意角的情形還是先研究銳角的情形呢？追問：我們把一個銳角放在直角坐標系內(nèi)。由于任意角α都有始邊和終邊.在直角坐標系中，如何放置銳角α可以方便研究？設(shè)計意圖：以銳角三角函數(shù)的研究為本節(jié)課知識的“生長點”，這樣的研究符合學(xué)生的認知規(guī)律，學(xué)生有思考的落腳點，更能夠激發(fā)學(xué)生的求知欲，由特殊到一般的思想突破本節(jié)課任意角三角函數(shù)概念的建構(gòu)這一教學(xué)難點.問題4：（表達式形式優(yōu)化）在銳角α的終邊上任取一點P(u,v)，它與原點O的距離為r，過點P做x軸的垂線，垂足為M,直角邊、斜邊有新的寓意嗎？你能用點P的坐標及r來表示銳角α的三角函數(shù)嗎？設(shè)計意圖：把銳角α放在直角坐標系下對學(xué)生來說比較簡單，構(gòu)造直角三角形也是一目了然的，這樣可以把初中銳角三角函數(shù)的定義納入直角坐標系，將邊長的比變成坐標關(guān)系，為任意角的三角函數(shù)定義的給出做好鋪墊.利用數(shù)形結(jié)合思想，完成長度和坐標的轉(zhuǎn)換。追問1：當銳角α確定，如果改變α的終邊上的P位置，角α的正弦值會發(fā)生改變嗎？原因是什么？設(shè)計意圖：問正弦值這一種情況，方便師生研究.余弦值可以類比得到，更方便學(xué)生理解（下面有類似問法也是同樣考慮）;由三角形相似，說明在終邊上任意取點不影響三角函數(shù)值.這是為單位圓定義的提出做好鋪墊,也為任意角的終邊定義法奠定基礎(chǔ)。追問：數(shù)學(xué)追求“簡潔美”，既然這個比值與終邊上點P的位置無關(guān)，那么當P點選在何處時，sinα和cosα的形式最簡單？設(shè)計意圖:通過問題的形式過渡，自然得出單位圓的概念.由此便可順勢得出sinα和cosα的簡化形式，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的“簡潔美”.同時也明確在單位圓的背景下，銳角和單位圓上P點有對應(yīng)關(guān)系.2．單位圓上的點坐標表示的銳角三角函數(shù)由上一環(huán)節(jié)得到單位圓上的點坐標表示的銳角三角函數(shù)：sina=v cosa=u由此可知：對于銳角α來說，P的縱坐標v是該角的正弦函數(shù)值，記作v=sinαP的橫坐標u是該角的正弦函數(shù)值，記作u=cosα問題5：(函數(shù)化過程)當銳角α發(fā)生變化時，P點的坐標會發(fā)生相應(yīng)的改變嗎？相應(yīng)的正弦、余弦函數(shù)值呢？也就是說：當銳角α確定了，P點的坐標是唯一確定（配合動畫演示）設(shè)計意圖：在初中，學(xué)生對函數(shù)理解還比較膚淺，這里提出的問題扣準了函數(shù)概念的內(nèi)涵，突出了變量之間的依賴關(guān)系及對應(yīng)關(guān)系，是從一般函數(shù)知識演繹到三角函數(shù)知識的重要環(huán)節(jié)，是準確理解三角函數(shù)概念的關(guān)鍵.追問1：通過上述演示，你能說出銳角α正弦v=sinα、余弦u=cosα的自變量嗎？以什么為函數(shù)值呢？我們在高一上學(xué)期學(xué)過了函數(shù)的概念，知道函數(shù)是兩個非空數(shù)集之間的對應(yīng)關(guān)系。追問2：你能從函數(shù)的觀點出發(fā)，給出銳角的正弦函數(shù)形如y=f(x)的定義嗎？對于任意一個銳角x（x弧度表示），都有唯一確定的正弦值sinx與之對應(yīng)，按照這個對應(yīng)法則所建立的函數(shù)，叫做銳角的正弦函數(shù)，記作y=sinx,函數(shù)的定義域是(0,2π)中間強調(diào)：初中的自變量是60進制的角度，不是10進制的實數(shù)，所以初中所學(xué)不符合函數(shù)定義，故角一定是弧度。設(shè)計意圖：用文字語言、圖形語言、符號語言分別描述概念，深入理解數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵與外延。只單問一個函數(shù)，可以方便學(xué)生思考，也方便師生共同總結(jié)，還可以讓學(xué)生在自行總結(jié)任意角的三角函數(shù)概念時有參照對象，為總結(jié)任意角三角函數(shù)定義打好基礎(chǔ).追問3：函數(shù)角度下的銳角三角函數(shù)概念和初中所學(xué)有什么區(qū)別？設(shè)計意圖：加強學(xué)生對新的定義方式的理解，讓學(xué)生意識到任意角沒有“斜邊”，但是有“始邊”、“終邊”，從而發(fā)現(xiàn)對于任意角，如果始邊放在x軸非負半軸上，其終邊與單位圓有唯一交點，從而能形成函數(shù)關(guān)系.彌補初中銳角三角函數(shù)對“函數(shù)性”解釋，為歸納任意角三角函數(shù)概念掃清心理障礙.推廣至任意角三角函數(shù)的概念問題6：由特殊到一般的思想，結(jié)合銳角三角函數(shù)概念形成和發(fā)展的過程，你能給任意角的三角函數(shù)下一個定義嗎？任意角正弦函數(shù)定義：對于任意一個角x（x弧度表示），都有唯一確定的正弦值sinx與之對應(yīng)，按照這個對應(yīng)法則所建立的函數(shù)，叫做正弦函數(shù)，記作y=sinx,函數(shù)的定義域是R注1：任意角的三角函數(shù)是以角為自變量，單位圓上的點的縱坐標、橫坐標為函數(shù)值的函數(shù)注2：角α的弧度數(shù)與實數(shù)一一對應(yīng)，所以角α是R上的實數(shù)，與之對應(yīng)的函數(shù)值sinα是閉區(qū)間[?1,1]上的實數(shù)3：建立了兩個實數(shù)集的對應(yīng)關(guān)系（使三角函數(shù)抽象為一個與角無關(guān)的函數(shù)，只是刻畫周期變化規(guī)律的、實數(shù)到實數(shù)上的映射）設(shè)計意圖：利用類比、遷移的認知規(guī)律，學(xué)生容易給出任意角的三角函數(shù)定義.學(xué)生可以意識到銳角三角函數(shù)是任意角三角函數(shù)的特例，任意角三角函數(shù)是銳角三角函數(shù)的自然延伸.體現(xiàn)知識的螺旋上升，讓學(xué)生經(jīng)歷模型解構(gòu)與數(shù)學(xué)化的過程，突出用函數(shù)的觀點全面認識三角函數(shù)概念形成和發(fā)展過程，落實數(shù)學(xué)抽象和直觀想象的核心素養(yǎng)。（三）強化定義?鞏固新知我們利用坐標思想、數(shù)形結(jié)合思想實現(xiàn)了初中三角函數(shù)到銳角三角函數(shù)的拓展，并由特殊到一般得到任意角三角函數(shù)的概念，下面能不能利用“三角函數(shù)的本質(zhì)特征”過三關(guān)、斬六將。第一關(guān)：在單位圓中，α=?4π，你能畫出角α并求出角α的正弦、余弦函數(shù)值嗎？若α=7π4呢？設(shè)計意圖：從最簡單的問題入手，通過變式，讓學(xué)生學(xué)習如何利用定義來解決不同的問題，加深對定義的理解。第二關(guān)：已知角的終邊經(jīng)過點P(12,23)，你能求出角α的正弦、余弦值嗎？設(shè)計意圖：引起學(xué)生發(fā)現(xiàn)這兩個角的終邊是重合的，所以它們與單位圓的交點坐標相同，由任意角三角函數(shù)的定義可知，終邊相同的角的同一三角函數(shù)值是相等的.讓學(xué)生體驗到公式一的作用和三角函數(shù)的周期性.第三關(guān)：已知任意角α終邊上除原點外的一點Q(x,y)，求角α的正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值。師：以問題驅(qū)動學(xué)生思考：你對該問題有什么思路？可以用圖形語言和數(shù)學(xué)語言描述它嗎？怎樣利用三角函數(shù)概念輔助解決這個問題?角α在運動變化過程中，終邊有哪些特殊位置?怎樣求這些特殊位置上的正、余弦函數(shù)值？對于沒有思路小組，可以提出問題：若α=2π3終邊上作一點P且OP=2，你能求點P的坐標嗎？觀察橫、縱坐標分別除以2得到的值，與α=2π3的三角函數(shù)值有關(guān)系嗎？若OP=r,點P的坐標分別除以r后的值，與α=2π3的三角函數(shù)值有關(guān)系嗎？得出sinα=yr，cosα=xr，其中r= x2+y2,你能證明這個結(jié)論嗎？追問：當角α的終邊在坐標軸上，上述結(jié)論能成立嗎？也就是這個結(jié)論能一般化嗎？抽象概括：設(shè)角α終邊上除原點外的一點Q(x0,y0)，則sinα=y，cosα=x，其中r