46-2024年黑龍江省龍東地區(qū)中考數(shù)學(xué)試卷

第1頁（共1頁）2024年黑龍江省龍東地區(qū)中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每小題3分，共30分）1．（3分）下列計(jì)算正確的是（）A．a(chǎn)3?a2＝a6 B．（a2）5＝a7 C．（﹣2a3b）3＝﹣8a9b3 D．（﹣a+b）（a+b）＝a2﹣b22．（3分）下列圖形既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．3．（3分）一個(gè)由若干個(gè)大小相同的小正方體搭成的幾何體，它的主視圖和左視圖如圖所示，那么組成該幾何體所需小正方體的個(gè)數(shù)最少是（）A．6 B．5 C．4 D．34．（3分）一組數(shù)據(jù)2，3，3，4，則這組數(shù)據(jù)的方差為（）A．1 B．0.8 C．0.6 D．0.55．（3分）關(guān)于x的一元二次方程（m﹣2）x2+4x+2＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是（）A．m≤4 B．m≥4 C．m≥﹣4且m≠2 D．m≤4且m≠26．（3分）已知關(guān)于x的分式方程﹣2＝無解，則k的值為（）A．k＝2或k＝﹣1 B．k＝﹣2 C．k＝2或k＝1 D．k＝﹣17．（3分）國家“雙減”政策實(shí)施后，某班開展了主題為“書香滿校園”的讀書活動(dòng)．班級(jí)決定為在活動(dòng)中表現(xiàn)突出的同學(xué)購買筆記本和碳素筆進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)（兩種獎(jiǎng)品都買）．其中筆記本每本3元，碳素筆每支2元，共花費(fèi)28元，則共有幾種購買方案（）A．5 B．4 C．3 D．28．（3分）如圖，雙曲線y＝（x＞0）經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，連接OA、AB，過點(diǎn)B作BD⊥y軸，垂足為D，BD交OA于點(diǎn)E，且E為AO的中點(diǎn)，則△AEB的面積是（）A．4.5 B．3.5 C．3 D．2.59．（3分）如圖，菱形ABCD中，點(diǎn)O是BD的中點(diǎn)，AM⊥BC，垂足為M，AM交BD于點(diǎn)N，OM＝2，BD＝8，則MN的長為（）A． B． C． D．10．（3分）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)H在AD邊上（不與點(diǎn)A、D重合），∠BHF＝90°，HF交正方形外角的平分線DF于點(diǎn)F，連接AC交BH于點(diǎn)M，連接BF交AC于點(diǎn)G，交CD于點(diǎn)N，連接BD．則下列結(jié)論：①∠HBF＝45°；②點(diǎn)G是BF的中點(diǎn)；③若點(diǎn)H是AD的中點(diǎn)，則sin∠NBC＝；④BN＝BM；⑤若AH＝HD，則S△BND＝S△AHM．其中正確的結(jié)論是（）A．①②③④ B．①③⑤ C．①②④⑤ D．①②③④⑤二、填空題（每小題3分，共30分）11．（3分）國家統(tǒng)計(jì)局公布數(shù)據(jù)顯示，2023年我國糧食總產(chǎn)量是13908億斤，將13908億用科學(xué)記數(shù)法表示為．12．（3分）在函數(shù)y＝中，自變量x的取值范圍是．13．（3分）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件，使得菱形ABCD為正方形．14．（3分）七年一班要從2名男生和3名女生中選擇兩名學(xué)生參加朗誦比賽，恰好選擇1名男生和1名女生的概率是．15．（3分）關(guān)于x的不等式組恰有3個(gè)整數(shù)解，則a的取值范圍是．16．（3分）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AD是直徑，若∠B＝25°，則∠CAD＝°．17．（3分）若圓錐的底面半徑為3，側(cè)面積為36π，則這個(gè)圓錐側(cè)面展開圖的圓心角是°．18．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，tan∠BAC＝，BC＝2，AD＝1，線段AD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)P為CD的中點(diǎn)，則BP的最大值是．19．（3分）矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，將AB沿過點(diǎn)A的一條直線折疊，折痕交直線BC于點(diǎn)P（點(diǎn)P不與點(diǎn)B重合），點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)落在矩形對(duì)角線所在的直線上，則PC長為．20．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OMNP頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，0），△OAB是等邊三角形，點(diǎn)B坐標(biāo)是（1，0），△OAB在正方形OMNP內(nèi)部緊靠正方形OMNP的邊（方向?yàn)镺→M→N→P→O→M（→…）做無滑動(dòng)滾動(dòng)，第一次滾動(dòng)后，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為A1，A1的坐標(biāo)是（2，0）；第二次滾動(dòng)后，A1的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為A2，A2的坐標(biāo)是（2，0）；第三次滾動(dòng)后，A2的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為A3，A3的坐標(biāo)是（3﹣，）；如此下去，……，則A2024的坐標(biāo)是．三、解答題（滿分60分）21．（5分）先化簡(jiǎn)，再求值：÷（﹣1），其中m＝cos60°．22．（6分）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長都是1個(gè)單位長度，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（﹣1，1），B（﹣2，3），C（﹣5，2）．（1）畫出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的△A1B1C1，并寫出點(diǎn)B1的坐標(biāo)；（2）畫出△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到的△AB2C2，并寫出點(diǎn)B2的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，求點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)B2的過程中所經(jīng)過的路徑長（結(jié)果保留π）．23．（6分）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其中B（1，0），C（0，3）．（1）求拋物線的解析式；（2）在第二象限的拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使得△APC的面積最大．若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P坐標(biāo)和△APC的面積最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由．24．（7分）為貫徹落實(shí)教育部辦公廳關(guān)于“保障學(xué)生每天校內(nèi)、校外各一小時(shí)體育活動(dòng)時(shí)間”的要求，某學(xué)校要求學(xué)生每天堅(jiān)持體育鍛煉．學(xué)校從全體男生中隨機(jī)抽取了部分學(xué)生，調(diào)查他們的立定跳遠(yuǎn)成績，整理如下不完整的頻數(shù)分布表和統(tǒng)計(jì)圖，結(jié)合圖解答下列問題：（1）頻數(shù)分布表中m＝，扇形統(tǒng)計(jì)圖中n＝；（2）本次調(diào)查立定跳遠(yuǎn)成績的中位數(shù)落在組別；（3）該校有600名男生，若立定跳遠(yuǎn)成績大于200cm為合格，請(qǐng)估計(jì)該校立定跳遠(yuǎn)成績合格的男生有多少人？組別分組（cm）頻數(shù)A50＜x≤1003B100＜x≤150mC150＜x≤20020D200＜x≤25014E250＜x≤300525．（8分）甲、乙兩貨車分別從相距225km的A、B兩地同時(shí)出發(fā)，甲貨車從A地出發(fā)途經(jīng)配貨站時(shí)，停下來卸貨，半小時(shí)后繼續(xù)駛往B地，乙貨車沿同一條公路從B地駛往A地，但乙貨車到達(dá)配貨站時(shí)接到緊急任務(wù)立即原路原速返回B地，結(jié)果比甲貨車晚半小時(shí)到達(dá)B地．如圖是甲、乙兩貨車距A地的距離y（km）與行駛時(shí)間x（h）之間的函數(shù)圖象，結(jié)合圖象回答下列問題：（1）甲貨車到達(dá)配貨站之前的速度是km/h，乙貨車的速度是km/h；（2）求甲貨車在配貨站卸貨后駛往B地的過程中，甲貨車距A地的距離y（km）與行駛時(shí)間x（h）之間的函數(shù)解析式；（3）直接寫出甲、乙兩貨車在行駛的過程中，出發(fā)多長時(shí)間甲、乙兩貨車與配貨站的距離相等．26．（8分）已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠MAN＝∠BAC，∠MAN在∠BAC的內(nèi)部，點(diǎn)M、N在BC上，點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)，探究線段BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系．（1）如圖①，當(dāng)∠BAC＝90°時(shí)，探究如下：由∠BAC＝90°，AB＝AC可知，將△ACN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABP，則CN＝BP且∠PBM＝90°，連接PM，易證△AMP≌△AMN，可得MP＝MN，在Rt△PBM中，BM2+BP2＝MP2，則有BM2+NC2＝MN2．（2）當(dāng)∠BAC＝60°時(shí)，如圖②：當(dāng)∠BAC＝120°時(shí)，如圖③，分別寫出線段BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系，并選擇圖②或圖③進(jìn)行證明．27．（10分）為了增強(qiáng)學(xué)生的體質(zhì)，某學(xué)校倡導(dǎo)學(xué)生在大課間開展踢毽子活動(dòng)，需購買甲、乙兩種品牌毽子．已知購買甲種品牌毽子10個(gè)和乙種品牌毽子5個(gè)共需200元；購買甲種品牌毽子15個(gè)和乙種品牌毽子10個(gè)共需325元．（1）購買一個(gè)甲種品牌毽子和一個(gè)乙種品牌毽子各需要多少元？（2）若購買甲、乙兩種品牌毽子共花費(fèi)1000元，甲種品牌毽子數(shù)量不低于乙種品牌毽子數(shù)量的5倍且不超過乙種品牌毽子數(shù)量的16倍，則有幾種購買方案？（3）若商家每售出一個(gè)甲種品牌毽子利潤是5元，每售出一個(gè)乙種品牌毽子利潤是4元，在（2）的條件下，學(xué)校如何購買毽子商家獲得利潤最大？最大利潤是多少元？28．（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等邊三角形OAB的邊OB在x軸上，點(diǎn)A在第一象限，OA的長度是一元二次方程x2﹣5x﹣6＝0的根，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)以每秒2個(gè)單位長度的速度沿折線OA﹣AB運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)以每秒3個(gè)單位長度的速度沿折線OB﹣BA運(yùn)動(dòng)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，相遇時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0＜t＜3.6），△OPQ的面積為S．（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）求S與t的函數(shù)關(guān)系式；（3）在（2）的條件下，當(dāng)S＝6時(shí)，點(diǎn)M在y軸上，坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使得以點(diǎn)O、P、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形．若存在，直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

2024年黑龍江省龍東地區(qū)中考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（每小題3分，共30分）1．（3分）下列計(jì)算正確的是（）A．a(chǎn)3?a2＝a6 B．（a2）5＝a7 C．（﹣2a3b）3＝﹣8a9b3 D．（﹣a+b）（a+b）＝a2﹣b2【分析】利用同底數(shù)冪乘法法則，冪的乘方與積的乘方法則，平方差公式逐項(xiàng)判斷即可．【解答】解：a3?a2＝a5，則A不符合題意；（a2）5＝a10，則B不符合題意；（﹣2a3b）3＝﹣8a9b3，則C符合題意；（﹣a+b）（a+b）＝b2﹣a2，則D不符合題意；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查同底數(shù)冪乘法，冪的乘方與積的乘方，平方差公式，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．2．（3分）下列圖形既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形的概念判斷即可．【解答】解：A、既是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；B、是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，符合題意；C、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；D、既是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，符合題意；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念．軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩部分重合．3．（3分）一個(gè)由若干個(gè)大小相同的小正方體搭成的幾何體，它的主視圖和左視圖如圖所示，那么組成該幾何體所需小正方體的個(gè)數(shù)最少是（）A．6 B．5 C．4 D．3【分析】易得這個(gè)幾何體共有2層，由俯視圖可得第一層立方體的個(gè)數(shù)，由主視圖可得第二層立方體的可能的個(gè)數(shù)，相加即可．【解答】解：由主視圖和左視圖可確定所需正方體個(gè)數(shù)最少時(shí)俯視圖為：則組成該幾何體所需小正方體的個(gè)數(shù)最少是1+2+1＝4（個(gè)）．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了由三視圖判斷幾何體，根據(jù)主視圖和左視圖畫出所需正方體個(gè)數(shù)最少的俯視圖是關(guān)鍵．4．（3分）一組數(shù)據(jù)2，3，3，4，則這組數(shù)據(jù)的方差為（）A．1 B．0.8 C．0.6 D．0.5【分析】根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算公式先算出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，再根據(jù)方差公式進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是：（2+3+3+4）÷4＝3，則這組數(shù)據(jù)的方差為：[（2﹣3）2+2×（3﹣3）2+（4﹣3）2]＝0.5．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平均數(shù)和方差：一般地設(shè)n個(gè)數(shù)據(jù)，x1，x2，…xn的平均數(shù)為，則方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小，方差越大，波動(dòng)性越大，反之也成立．5．（3分）關(guān)于x的一元二次方程（m﹣2）x2+4x+2＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是（）A．m≤4 B．m≥4 C．m≥﹣4且m≠2 D．m≤4且m≠2【分析】由根的判別式可得Δ＝b2﹣4ac≥0，從而可以列出關(guān)于m的不等式，求解即可，還要考慮二次項(xiàng)的系數(shù)不能為0．【解答】解：根據(jù)題意得，解得m≤4且m≠2．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程根的判別式的應(yīng)用．切記不要忽略一元二次方程二次項(xiàng)系數(shù)不為零這一隱含條件．6．（3分）已知關(guān)于x的分式方程﹣2＝無解，則k的值為（）A．k＝2或k＝﹣1 B．k＝﹣2 C．k＝2或k＝1 D．k＝﹣1【分析】先按照解分式方程的一般步驟解分式方程，再根據(jù)分式方程無解時(shí)分式方程中的分母為0，列出關(guān)于k的分式方程，解分式方程即可．【解答】解：，kx﹣2（x﹣3）＝﹣3，kx﹣2x+6＝﹣3（k﹣2）x＝﹣9，x＝，∵關(guān)于x的分式方程無解，∴x﹣3＝0，解得：x＝3，＝3，∴3k﹣6＝﹣9且k﹣2＝0，解得：k＝﹣1或2，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了解分式方程和分式方程的解，解題關(guān)鍵是熟練掌握解分式方程的一般步驟和分式方程無解的條件．7．（3分）國家“雙減”政策實(shí)施后，某班開展了主題為“書香滿校園”的讀書活動(dòng)．班級(jí)決定為在活動(dòng)中表現(xiàn)突出的同學(xué)購買筆記本和碳素筆進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)（兩種獎(jiǎng)品都買）．其中筆記本每本3元，碳素筆每支2元，共花費(fèi)28元，則共有幾種購買方案（）A．5 B．4 C．3 D．2【分析】設(shè)購買筆記本x件，筆y支，根據(jù)總價(jià)＝單價(jià)×數(shù)量，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，結(jié)合x，y均為正整數(shù)，即可得出購買方案的數(shù)量．【解答】解：設(shè)購買筆記本x件，筆y支，根據(jù)題意得：3x+2y＝28，∴y＝14﹣x，又∵x，y均為正整數(shù)，∴或或或，∴共有4種購買方案．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系“共花費(fèi)28元”列出二元一次方程是解題的關(guān)鍵．8．（3分）如圖，雙曲線y＝（x＞0）經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，連接OA、AB，過點(diǎn)B作BD⊥y軸，垂足為D，BD交OA于點(diǎn)E，且E為AO的中點(diǎn)，則△AEB的面積是（）A．4.5 B．3.5 C．3 D．2.5【分析】根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義以及三角形中位線定理、相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：如圖，過點(diǎn)A作AM⊥y軸，垂足為M，連接OB，則S△AOM＝S△OBD＝|k|＝×12＝6，∵E是OA的中點(diǎn)，即OE＝AE，而DE∥AM，∴DE＝AM，OD＝OM，∵S△AOM＝S△OBD＝6，即AM?OM＝OD?BD＝6，∴AM?OD＝BD?OD，∴BD＝2AM，∴DE＝AM＝BD，∴DE＝BE，∵S△ODE＝S△AOM＝×6＝，∴S△ABE＝3S△ODE＝3×＝4.5，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，掌握反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，相似三角形的性質(zhì)是正確解答的關(guān)鍵．9．（3分）如圖，菱形ABCD中，點(diǎn)O是BD的中點(diǎn)，AM⊥BC，垂足為M，AM交BD于點(diǎn)N，OM＝2，BD＝8，則MN的長為（）A． B． C． D．【分析】先由菱形性質(zhì)可得對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半可得OA＝OC＝OM＝2，進(jìn)而由菱形對(duì)角線求出邊長，由sin∠MAC＝sin∠OBC＝解三角形即可求出MC＝ACsin∠MAC＝，MN＝BMtan∠OBC＝．【解答】解：連接AC，如圖，∵菱形ABCD中，AC與BD互相垂直平分，又∵點(diǎn)O是BD的中點(diǎn)，∴A、O、C三點(diǎn)在同一直線上，∴OA＝OC，∵OM＝2，AM⊥BC，∴OA＝OC＝OM＝2，∵BD＝8，∴OB＝OD＝BD＝4，∴BC＝＝＝2，tan∠OBC＝＝＝，∵∠ACM+∠MAC＝90°，∠ACM+∠OBC＝90°，∴∠MAC＝∠OBC∴sin∠MAC＝sin∠OBC＝＝＝，∴MC＝ACsin∠MAC＝，∴BM＝BC?MC＝2?＝，∴MN＝BMtan∠OBC＝×＝，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形，菱形的性質(zhì)、直角三角形斜邊中線等于斜邊一半．熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．10．（3分）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)H在AD邊上（不與點(diǎn)A、D重合），∠BHF＝90°，HF交正方形外角的平分線DF于點(diǎn)F，連接AC交BH于點(diǎn)M，連接BF交AC于點(diǎn)G，交CD于點(diǎn)N，連接BD．則下列結(jié)論：①∠HBF＝45°；②點(diǎn)G是BF的中點(diǎn)；③若點(diǎn)H是AD的中點(diǎn)，則sin∠NBC＝；④BN＝BM；⑤若AH＝HD，則S△BND＝S△AHM．其中正確的結(jié)論是（）A．①②③④ B．①③⑤ C．①②④⑤ D．①②③④⑤【分析】連接DG，可得，AC垂直平分BD，先證明點(diǎn)B、H、D、F四點(diǎn)共圓，即可判斷①；根據(jù)AC垂直平分BD，結(jié)合互余可證明DG＝FG，即有DG＝FG＝BG，則可判斷②正確；證明△ABM∽△DBN，即有，可判斷④；根據(jù)相似有，根據(jù)可得3AH＝AD，再證明△AHM﹣△CBM，可得，即可判斷⑤；根據(jù)點(diǎn)H是AD的中點(diǎn)，設(shè)AD＝2，即求出，同理可證明△AHM∽△CBM，可得，即可得，進(jìn)而可判斷③．【解答】解：連接DG，如圖，∵四邊形ABCD是正方形，∠BDC＝∠BAC＝∠ADB＝45°，，∠BAD＝∠ADC＝90°，AC垂直平分BD，∴∠CDP＝90°，∵DF平分∠CDP，∴，∴∠BDF＝∠CDF+∠CDB＝90°，∠BHF＝90°＝∠BDF，∴點(diǎn)B、H、D、F四點(diǎn)共圓，∴∠HFB＝∠HDB＝45°，∠DHF＝∠DBF，∴∠HBF＝180°﹣∠HFB﹣∠FHB＝45°，故①正確，∵AC垂直平分BD，∴BG＝DG，∴∠BDG＝∠DBG，∵∠BDF＝90°，∴∠BDG+∠GDF＝90°＝∠DBG+∠DFG，∴∠GDF＝∠DFG，∴DG＝FG，∴DG＝FG＝BG，∴點(diǎn)G是BF的中點(diǎn)，故②正確，∵∠BHF＝90°＝∠BAH，∴∠AHB+∠DHF＝90°＝∠AHB+∠ABH，∴∠DHF＝∠ABH，∵∠DHF＝∠DBF，∴∠ABH＝∠DBF，又∵∠BAC＝∠DBC＝45°，∴△ABM∽△DBN，∴，∴，故④正確，∴，若，則，∴3AH＝AD，∴，即，∵AD∥DC，∴△AHM∽△CBM，∴，∵，∴S△ABM＝3S△AHM，∴，∴S△BND＝2S△ABM＝6S△AHM，故⑤錯(cuò)誤，如圖，③若點(diǎn)H是AD的中點(diǎn)，設(shè)AD＝2，即AB＝BC＝AD＝2，∴，∴，同理可證明△AHM∽△CBM，∴，，∵，∴，∵BC＝2，在Rt△BNC中，，故③正確，則正確的有：①②③④，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，正弦，圓周角定理以及勾股定理等知識(shí)，證明點(diǎn)B、H、D、F四點(diǎn)共圓，△ABM∽△DBN，是解答本題的關(guān)鍵．二、填空題（每小題3分，共30分）11．（3分）國家統(tǒng)計(jì)局公布數(shù)據(jù)顯示，2023年我國糧食總產(chǎn)量是13908億斤，將13908億用科學(xué)記數(shù)法表示為1.3908×1012．【分析】將一個(gè)數(shù)表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，這種記數(shù)方法叫做科學(xué)記數(shù)法，據(jù)此即可求得答案．【解答】解：13908億＝1390800000000＝1.3908×1012，故答案為：1.3908×1012．【點(diǎn)評(píng)】本題考查科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)，熟練掌握其定義是解題的關(guān)鍵．12．（3分）在函數(shù)y＝中，自變量x的取值范圍是x≥3．【分析】由題意可得x﹣3≥0且x+2≠0，解得x的取值范圍即可．【解答】解：由題意可得x﹣3≥0且x+2≠0，解得：x≥3，故答案為：x≥3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)自變量的取值范圍，結(jié)合已知條件列得正確的不等式是解題的關(guān)鍵．13．（3分）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件AC＝BD（答案不唯一），使得菱形ABCD為正方形．【分析】根據(jù)正方形的判定定理得到結(jié)論．【解答】解：添加AC＝BD，∵四邊形ABCD是菱形，AC＝BD，∴菱形ABCD為正方形．故答案為：AC＝BD（答案不唯一）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的判定，菱形的性質(zhì)，熟練掌握正方形的判定定理是解題的關(guān)鍵．14．（3分）七年一班要從2名男生和3名女生中選擇兩名學(xué)生參加朗誦比賽，恰好選擇1名男生和1名女生的概率是．【分析】畫樹狀圖得出所有等可能的結(jié)果數(shù)和所選的2人恰好是1名男生和1名女生的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：畫樹狀圖如下：共有20種等可能的結(jié)果，其中所選的2人恰好是1名男生和1名女生的結(jié)果有12種，∴所選的2人恰好是1名男生和1名女生的概率為＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查列表法與樹狀圖法、，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關(guān)鍵．15．（3分）關(guān)于x的不等式組恰有3個(gè)整數(shù)解，則a的取值范圍是﹣≤a＜0．【分析】分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)不等式組的整數(shù)解個(gè)數(shù)可得答案．【解答】解：解不等式4﹣2x≥0，得：x≤2，解不等式x﹣a＞0，得：x＞2a，∵不等式組恰有3個(gè)整數(shù)解，∴﹣1≤2a＜0，即﹣≤a＜0．故答案為：﹣≤a＜0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次不等式組的整數(shù)解，求不等式組的解集，應(yīng)遵循以下原則：同大取較大，同小取較小，小大大小中間找，大大小小解不了．16．（3分）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AD是直徑，若∠B＝25°，則∠CAD＝65°．【分析】連接CD，先根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等可得∠B＝∠D＝25°，再根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角可得∠ACD＝90°，然后利用直角三角形的兩個(gè)銳角互余進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解答】解：連接CD，∵∠B＝25°，∴∠B＝∠D＝25°，∵AD是⊙O的直徑，∴∠ACD＝90°，∴∠CAD＝90°﹣∠D＝65°，故答案為：65．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．17．（3分）若圓錐的底面半徑為3，側(cè)面積為36π，則這個(gè)圓錐側(cè)面展開圖的圓心角是90°．【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式S＝πrl得出圓錐的母線長，再結(jié)合扇形面積公式即可求出圓心角的度數(shù)．【解答】解：設(shè)圓錐的母線長為l，圓錐側(cè)面展開圖的圓心角是n°，∵側(cè)面積為36π，∴π×3×l＝36π，解得：l＝12，∴扇形面積為36π＝，解得：n＝90，∴圓錐側(cè)面展開圖的圓心角是90度．故答案為：90．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了圓錐的計(jì)算，熟練掌握?qǐng)A錐的側(cè)面積公式以及與展開圖扇形面積關(guān)系，求出圓錐的母線長是解決問題的關(guān)鍵．18．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，tan∠BAC＝，BC＝2，AD＝1，線段AD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)P為CD的中點(diǎn)，則BP的最大值是2．【分析】作AC的中點(diǎn)Q．連結(jié)PQ，作以Q為圓心PQ為半徑的圓．PQ是△ACD的中位線，PQ＝．點(diǎn)P是圓Q上的點(diǎn)，可求BP的最大值．【解答】解：作AC的中點(diǎn)Q．連結(jié)PQ，作以Q為圓心PQ為半徑的圓．∵P是CD的中點(diǎn)，Q是AC的中點(diǎn)，∴PQ是△ACD的中位線，∴PQ＝AD＝．∴線段AD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)時(shí)，點(diǎn)P在以Q為圓心PQ為半徑的圓上移動(dòng)，∴當(dāng)BP經(jīng)過點(diǎn)Q時(shí)BP的值最大．∵BC＝2，tan∠BAC＝，∴AC＝4，∴AQ＝CQ＝2．∵BQ2＝BC2+CQ2＝8，∴BQ＝2（負(fù)數(shù)不合題意舍去）．∴BP的最大值為2．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，勾股定理．關(guān)鍵是得到點(diǎn)P所在的圓，利用點(diǎn)和圓的位置關(guān)系可以得到BP的最大值．19．（3分）矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，將AB沿過點(diǎn)A的一條直線折疊，折痕交直線BC于點(diǎn)P（點(diǎn)P不與點(diǎn)B重合），點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)落在矩形對(duì)角線所在的直線上，則PC長為、或10．【分析】先根據(jù)點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)落在矩形對(duì)角線所在的直線上的不同位置分三種情況，畫出對(duì)應(yīng)的圖形，再根據(jù)矩形性質(zhì)，利用解直角三角形求出PC即可．【解答】解：①點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)落在矩形對(duì)角線BD上，如圖，∵在矩形ABCD中，AB＝CD＝3，BC＝AD＝4，由折疊性質(zhì)可知BB'⊥AP，∴∠BAP+∠BPA＝∠BPA+∠CBD，∴∠BAP＝∠CBD，∴tan∠BAP＝tan∠CBD＝＝，∴BP＝ABtan∠BAP＝3×＝，∴PC＝BC﹣BP＝4﹣＝；②點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)B′落在矩形對(duì)角線AC上，如圖∵在矩形ABCD中，AB＝CD＝3，BC＝AD＝4，∠B＝90°，∴AC＝＝＝5，∴cos∠ACB＝＝，由折疊性質(zhì)可知：∠ABP＝∠AB'P＝90°，AB＝AB'＝3，∴B′C＝AC﹣AB'＝5﹣3＝2，∴PC＝＝2÷＝；③點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)B′落在矩形對(duì)角線CA延長線上，如圖，在矩形ABCD中，AB＝CD＝3，BC＝AD＝4，∠B＝90°，∴AC＝√＝＝5，∴cos∠ACB＝＝，由折疊性質(zhì)可知：∠ABP＝∠AB'P＝90°，AB＝AB'＝3，∴B′C＝AC+AB'＝5+3＝8，∴PC＝＝8÷＝10，綜上所述：、或10．故答案為：、或10．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形與折疊問題，矩形的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．20．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OMNP頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，0），△OAB是等邊三角形，點(diǎn)B坐標(biāo)是（1，0），△OAB在正方形OMNP內(nèi)部緊靠正方形OMNP的邊（方向?yàn)镺→M→N→P→O→M（→…）做無滑動(dòng)滾動(dòng)，第一次滾動(dòng)后，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為A1，A1的坐標(biāo)是（2，0）；第二次滾動(dòng)后，A1的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為A2，A2的坐標(biāo)是（2，0）；第三次滾動(dòng)后，A2的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為A3，A3的坐標(biāo)是（3﹣，）；如此下去，……，則A2024的坐標(biāo)是（1，3）．【分析】根據(jù)所給滾動(dòng)方式，依次求出點(diǎn)An（n為正整數(shù)）的坐標(biāo)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問題．【解答】解：由題知，點(diǎn)A1的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)A2的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)A3的坐標(biāo)為（），點(diǎn)A4的坐標(biāo)為（3，2），點(diǎn)A5的坐標(biāo)為（3，2），點(diǎn)A6的坐標(biāo)為（），點(diǎn)A7的坐標(biāo)為（1，3），點(diǎn)A8的坐標(biāo)為（1，3），點(diǎn)A9的坐標(biāo)為（），點(diǎn)A10的坐標(biāo)為（0，1），點(diǎn)A11的坐標(biāo)為（0，1），點(diǎn)A12的坐標(biāo)為（），點(diǎn)A13的坐標(biāo)為（2，0），…，由此可見，點(diǎn)An的坐標(biāo)每12個(gè)循環(huán)一次，因?yàn)?024÷12＝168余8，所以點(diǎn)A2024的坐標(biāo)為（1，3）．故答案為：（1，3）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律，能根據(jù)題意發(fā)現(xiàn)點(diǎn)An的坐標(biāo)每12個(gè)循環(huán)一次是解題的關(guān)鍵．三、解答題（滿分60分）21．（5分）先化簡(jiǎn)，再求值：÷（﹣1），其中m＝cos60°．【分析】先根據(jù)分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則化簡(jiǎn)原式，再利用特殊銳角的三角函數(shù)值得出m的值，代入計(jì)算可得．【解答】解：原式＝＝＝1﹣m，當(dāng)m＝cos60°＝時(shí)，原式＝1﹣＝．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分式的化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是掌握分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則．22．（6分）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長都是1個(gè)單位長度，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（﹣1，1），B（﹣2，3），C（﹣5，2）．（1）畫出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的△A1B1C1，并寫出點(diǎn)B1的坐標(biāo)；（2）畫出△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到的△AB2C2，并寫出點(diǎn)B2的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，求點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)B2的過程中所經(jīng)過的路徑長（結(jié)果保留π）．【分析】（1）根據(jù)題意畫出即可；關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)不變；（2）根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點(diǎn)B、C以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，然后順次連接即可；（3）先求出AB＝，再由旋轉(zhuǎn)角等于90°，利用弧長公式即可求出．【解答】解：（1）△A1B1C1如圖所示，B1的坐標(biāo)為（2，3）；（2）△AB2C2如圖所示，B2的坐標(biāo)為（﹣3，0）；（3）∵AB＝＝，∠BAB2＝90°，∴點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)B2的過程中所經(jīng)過的路徑長為：＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用軸對(duì)稱變換和旋轉(zhuǎn)變換作圖，弧長公式等知識(shí)，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)準(zhǔn)確找出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．23．（6分）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其中B（1，0），C（0，3）．（1）求拋物線的解析式；（2）在第二象限的拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使得△APC的面積最大．若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P坐標(biāo)和△APC的面積最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【分析】（1）將B（1，0），C（0，3）代入拋物線y＝﹣x2+bx+c中，即可得出答案；（2）過點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，設(shè)P（x，﹣x2﹣2x+3），且在第二象限內(nèi)，根據(jù)S△APC＝S△APE+S梯形PCOE﹣S△AOC可得二次函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案．【解答】解：（1）將B（1，0），C（0，3）代入拋物線y＝﹣x2+bx+c中，，解得：，∴拋物線y＝﹣x2﹣2x+3．（2）令y＝0，則0＝﹣x2﹣2x+3，解得：x1＝﹣3，x2＝1，∴A（﹣3，0），∴OA＝3，∵C（0，3），∴OC＝3，過點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，設(shè)P（x，﹣x2﹣2x+3），且在第二象限內(nèi)，∴OE＝﹣x，AE＝3+x，∴S△APC＝S△APE+S梯形PCOE﹣S△AOC＝AE×PE（OC+PE）×OE﹣×OA×OC＝（3+x）（﹣x2﹣2x+3）+（3﹣x2﹣2x+3）（﹣x）×3×3＝（x+）2+∵＜0，∴S有最大值，∴當(dāng)x＝時(shí)，S有最大值，最大值為，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查拋物線與x軸的交點(diǎn)、二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值、待定系數(shù)法求解析式等，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．24．（7分）為貫徹落實(shí)教育部辦公廳關(guān)于“保障學(xué)生每天校內(nèi)、校外各一小時(shí)體育活動(dòng)時(shí)間”的要求，某學(xué)校要求學(xué)生每天堅(jiān)持體育鍛煉．學(xué)校從全體男生中隨機(jī)抽取了部分學(xué)生，調(diào)查他們的立定跳遠(yuǎn)成績，整理如下不完整的頻數(shù)分布表和統(tǒng)計(jì)圖，結(jié)合圖解答下列問題：（1）頻數(shù)分布表中m＝50，扇形統(tǒng)計(jì)圖中n＝40；（2）本次調(diào)查立定跳遠(yuǎn)成績的中位數(shù)落在C組別；（3）該校有600名男生，若立定跳遠(yuǎn)成績大于200cm為合格，請(qǐng)估計(jì)該校立定跳遠(yuǎn)成績合格的男生有多少人？組別分組（cm）頻數(shù)A50＜x≤1003B100＜x≤150mC150＜x≤20020D200＜x≤25014E250＜x≤3005【分析】（1）根據(jù)A組的頻數(shù)和百分比求出抽取總數(shù)，用總數(shù)減其他的頻數(shù)可得求出m的值，求出C組所占百分比，即可求解；（2）根據(jù)中位數(shù)的定義即可求解；（3）用樣本估計(jì)總體即可．【解答】解：（1）由題意可得，3÷6%＝50，m＝50﹣3﹣20﹣14﹣5＝8，扇形統(tǒng)計(jì)圖中C組所在的百分比＝＝40%，∴n＝40，故答案為：50，40；（2）被抽取的50名學(xué)生立定跳遠(yuǎn)成績按從小到大的順序排列第25個(gè)和第26個(gè)的平均數(shù)，3+8＜25，3+8+20＝31＞25被抽取的50名學(xué)生這一天的體育活動(dòng)時(shí)間數(shù)據(jù)的中位數(shù)在C組；（3）600×＝228（名），答：估計(jì)該校立定跳遠(yuǎn)成績合格的男生有228人．【點(diǎn)評(píng)】本題考查頻數(shù)分布表、扇形統(tǒng)計(jì)圖、用樣本估計(jì)總體，解答本題的關(guān)鍵是求出樣本容量，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．25．（8分）甲、乙兩貨車分別從相距225km的A、B兩地同時(shí)出發(fā)，甲貨車從A地出發(fā)途經(jīng)配貨站時(shí)，停下來卸貨，半小時(shí)后繼續(xù)駛往B地，乙貨車沿同一條公路從B地駛往A地，但乙貨車到達(dá)配貨站時(shí)接到緊急任務(wù)立即原路原速返回B地，結(jié)果比甲貨車晚半小時(shí)到達(dá)B地．如圖是甲、乙兩貨車距A地的距離y（km）與行駛時(shí)間x（h）之間的函數(shù)圖象，結(jié)合圖象回答下列問題：（1）甲貨車到達(dá)配貨站之前的速度是30km/h，乙貨車的速度是40km/h；（2）求甲貨車在配貨站卸貨后駛往B地的過程中，甲貨車距A地的距離y（km）與行駛時(shí)間x（h）之間的函數(shù)解析式；（3）直接寫出甲、乙兩貨車在行駛的過程中，出發(fā)多長時(shí)間甲、乙兩貨車與配貨站的距離相等．【分析】（1）分別根據(jù)“速度＝路程÷時(shí)間”求出甲貨車到達(dá)配貨站之前的速度及乙貨車的速度即可；（2）根據(jù)題意分別求出點(diǎn)E、F的橫坐標(biāo)，從而寫出其坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求解即可；（3）根據(jù)“路程＝速度×?xí)r間”分別寫出線段CM、MN、OD對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，討論3種情況：當(dāng)0≤x≤3、3＜x≤3.5時(shí)，分別寫出甲、乙兩貨車與配貨站的距離，二者相等列方程并求解；當(dāng)乙貨車返回B地過程中與甲貨車相遇時(shí)，兩車與A地距離相等，列方程并求解即可．【解答】解：（1）甲貨車到達(dá)配貨站之前的速度是105÷3.5＝30（km/h）；乙貨車的速度是（225﹣105）×2÷6＝40（km/h）．故答案為：30，40．（2）∵3.5+0.5＝4（h），6﹣0.5＝5.5（h），∴點(diǎn)E（4，105），F(xiàn)（5.5，225）．設(shè)線段對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y＝kx+b（k、b為常數(shù)，且k≠0）．將坐標(biāo)E（4，105）和F（5.5，225）分別代入y＝kx+b，得，解得，∴甲貨車在配貨站卸貨后駛往B地的過程中，甲貨車距A地的距離y與行駛時(shí)間x之間的函數(shù)解析式為y＝80x﹣215（4≤x≤5.5）．（3）線段CM對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y＝225﹣40x＝﹣40x+225（0≤x≤3），線段MN對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y＝105+40（x﹣3）＝40x﹣15（3＜x≤6），線段OD對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y＝30x（0≤x≤3.5）．當(dāng)0≤x≤3時(shí)，甲貨車離配貨站的距離為（105﹣30x）km，乙貨車離配貨站的距離為﹣40x+225﹣105＝（﹣40x+120）km，根據(jù)“甲、乙兩貨車與配貨站的距離相等”，得105﹣30x＝﹣40x+120，解得x＝；當(dāng)3＜x≤3.5時(shí)，甲貨車離配貨站的距離為（105﹣30x）km，乙貨車離配貨站的距離為40x﹣15﹣105＝（40x﹣120）km，根據(jù)“甲、乙兩貨車與配貨站的距離相等”，得105﹣30x＝40x﹣120，解得x＝；當(dāng)乙貨車返回B地過程中與甲貨車相遇時(shí)，兩車與配貨站的距離相等，根據(jù)“相遇時(shí)兩車與A地距離相等”，80x﹣215＝40x﹣15，解得x＝5；∴出發(fā)h或h或5h甲、乙兩貨車與配貨站的距離相等．【點(diǎn)評(píng)】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，掌握速度、時(shí)間、路程之間的數(shù)量關(guān)系及待定系數(shù)法求函數(shù)表達(dá)式是解題的關(guān)鍵．26．（8分）已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠MAN＝∠BAC，∠MAN在∠BAC的內(nèi)部，點(diǎn)M、N在BC上，點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)，探究線段BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系．（1）如圖①，當(dāng)∠BAC＝90°時(shí)，探究如下：由∠BAC＝90°，AB＝AC可知，將△ACN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABP，則CN＝BP且∠PBM＝90°，連接PM，易證△AMP≌△AMN，可得MP＝MN，在Rt△PBM中，BM2+BP2＝MP2，則有BM2+NC2＝MN2．（2）當(dāng)∠BAC＝60°時(shí)，如圖②：當(dāng)∠BAC＝120°時(shí)，如圖③，分別寫出線段BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系，并選擇圖②或圖③進(jìn)行證明．【分析】類比（1）中示例方法在圖②③中構(gòu)造輔助線，先證△ACN≌△ABQ（SAS），再證△AQM≌△ANM，最后利用勾股定理轉(zhuǎn)化等線段即可．【解答】解：圖②的結(jié)論是BM2+NC2+BM?NC＝MN2．證明：∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，以點(diǎn)B為頂點(diǎn)在△ABC外作∠ABK＝60°，在BK上截取BQ＝CN，連接QA、QM，過點(diǎn)Q作QH⊥BC，垂足為H，∵AB＝AC，∠C＝∠ABQ，CN＝BQ，∴△ACN≌△ABQ（SAS），∴AN＝AQ，∠CAN＝∠QAB，又∵∠CAN+∠BAM＝30°，∴∠BAM+∠QAB＝30°，即∠QAM＝∠MAN，又∵AM＝AM，∴△AQM≌△ANM（SAS），∴MN＝QM；∵ABQ＝60°，∠ABC＝60°，∴∠QBH＝60°，∴∠BQH＝30°，∴BH＝BQ，QH＝BQ，∴HM＝BM+BH＝BM+BQ，在Rt△QHM中，可得：QH2+HM2＝QM2，即（BQ）2+（BM+BQ）2＝QM2，整理得BM2+BQ2+BM?BQ＝QM2．∴BM2+NC2+BM?NC＝MN2．圖③的結(jié)論是：BM2+NC2﹣BM?NC＝MN2．證明：以點(diǎn)B為頂點(diǎn)在△ABC外作∠ABK＝30°，在BK上截取BQ＝CN，連接QA、QM，過點(diǎn)Q作QH⊥BC，垂足為H，∵AB＝AC，∠C＝∠ABQ，CN＝BQ，∴△ACN≌△ABQ（SAS），∴AN＝AQ，∠CAN＝∠QAB，又∵∠CAN+∠BAM＝60°，∴∠BAM+∠QAB＝60°，即∠QAM＝∠MAN，又∵AM＝AM，∴△AQM≌△ANM（SAS），∴MN＝QM，在Rt△BQH中，∠QBH＝60°，∠BQH＝30°，∴BH＝BQ，QH＝BQ，HM＝BM﹣BH＝BM﹣BQ，在Rt△QHM中，可得：QH2+HM2＝QM2，即（BQ）2+（BM﹣BQ）2＝QM2，整理得BM2+BQ2﹣BM?BQ＝QM2．∴BM2+NC2﹣BM?NC＝MN2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查全等三角形得判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)和添加合適的輔助線是解題關(guān)鍵．27．（10分）為了增強(qiáng)學(xué)生的體質(zhì)，某學(xué)校倡導(dǎo)學(xué)生在大課間開展踢毽子活動(dòng)，需購買甲、乙兩種品牌毽子．已知購買甲種品牌毽子10個(gè)和乙種品牌毽子5個(gè)共需200元；購買甲種品牌毽子15個(gè)和乙種品牌毽子10個(gè)共需325元．（1）購買一個(gè)甲種品牌毽子和一個(gè)乙種品牌毽子各需要多少元？（2）若購買甲、乙兩種品牌毽子共花費(fèi)1000元，甲種品牌毽子數(shù)量不低于乙種品牌毽子數(shù)量的5倍且不超過乙種品牌毽子數(shù)量的16倍，則有幾種購買方案？（3）若商家每售出一個(gè)甲種品牌毽子利潤是5元，每售出一個(gè)乙種品牌毽子利潤是4元，在（2）的條件下，學(xué)校如何購買毽子商家獲得利潤最大？最大利潤是多少元？【分析】（1）設(shè)購買一個(gè)甲種品牌毽子需要x元，一個(gè)乙種品牌毽子需要y元，根據(jù)“購買甲種品牌毽子10個(gè)和乙種品牌毽子5個(gè)共需200元；購買甲種品牌毽子15個(gè)和乙種品牌毽子10個(gè)共需325元”，可列出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)購買m個(gè)甲種品牌毽子，則購買（100﹣m）個(gè)乙種品牌毽子，根據(jù)購買甲種品牌毽子數(shù)量不低于乙種品牌毽子數(shù)量的5倍且不超過乙種品牌毽子數(shù)量的16倍，可列出關(guān)于m的一元一次不等式組，解之可得出m的取值范圍，再結(jié)合m，（100﹣m）均為正整數(shù)，即可得出各購買方案；（3）利用商家獲得的總利潤＝每個(gè)甲種品牌毽子的利潤×購進(jìn)甲種品牌毽子的數(shù)量+每個(gè)乙種品牌毽子的利潤×購進(jìn)乙種品牌毽子的數(shù)量，可分別求出學(xué)校選擇各方案商家可獲得的總利潤，比較后即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)購買一個(gè)甲種品牌毽子需要x元，一個(gè)乙種品牌毽子需要y元，根據(jù)題意得：，解得：．答：購買一個(gè)甲種品牌毽子需要15元，一個(gè)乙種品牌毽子需要10元；（2）設(shè)購買m個(gè)甲種品牌毽子，則購買＝（100﹣m）個(gè)乙種品牌毽子，根據(jù)題意得：，解得：≤m≤64，又∵m，（100﹣m）均為正整數(shù)，∴m可以為60，62，64，∴學(xué)校共有3種購買方案，方案1：購買60個(gè)甲種品牌毽子，10個(gè)乙種品牌毽子；方案2：購買62個(gè)甲種品牌毽子，7個(gè)乙種品牌毽子；方案3：購買64個(gè)甲種品牌毽子，4個(gè)乙種品牌毽子；（3）學(xué)校選擇方案1商家可獲得的總利潤為5×60