2023年中考人教版數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第4章 三角形

第四章三角形

第一節(jié)幾何初步、相交線與平行線

考點(diǎn)

易錯(cuò)自糾

易錯(cuò)點(diǎn)1因不理解點(diǎn)到直線的距離的定義而致錯(cuò)

1.點(diǎn)P為直線】外一點(diǎn)，點(diǎn)ABC為直線I上三點(diǎn),PA=4cm/PB=5cm,PC=2cm,則點(diǎn)P到直線1的距離是（D）

A.2cmB.4cmC.5cmD.不超過2cm

易錯(cuò)點(diǎn)2未給出圖形求線段長或角度大小時(shí)忽略分類討論致錯(cuò)

2.已知線段AB=8cm.在直線AB上畫線段AC=5cm,則BC的長是.”“或句門n.

3.已知NAOB=35°,以0為頂點(diǎn)作射線0C若/A0C=2NAOB,則40035：或105”.

易錯(cuò)點(diǎn)3誤認(rèn)為同位角（或內(nèi)錯(cuò)角）一定相等

4.如圖，與/2一定相等的角是（C）

A.21

B.Z3

C.Z4

D.Z5

真題

考法速覽

考法1角的度量（10年1考）

考法2垂線（10年1考）

考法3角及角平分線（10年2考）

考法4平行線的判定與性質(zhì)（10年4考；

考法1角的度量

1.［河北用用量角器測(cè)量NM0N?的度數(shù)下列操作正確的是（C）

AB

CD

考法2垂線

2.［2020河北川如圖,在平面內(nèi)作已知直線m的垂線，可作垂線的條數(shù)有（D）

A.0條B.1條C.2條D.無數(shù)條

考法3角及角平分線

3」河北,2］如圖,/1十/2等于(B)

A.60°B.90°

C.110°D.180°

考法4平行線的判定與性質(zhì)

4.［河北,8］如圖,AB〃EF￡D1EF,NBAC=5O°，則/ACD二

A.120°B.130°

C.140°D.150°

5」河北,7］下面是投影屏上出示的搶答題,需要回答橫線上符號(hào)代表的內(nèi)容.

已知:如圖，Z_BEC=Z.B+Z.C.

求證:AB//CD.

證明:筵長BE交滌于點(diǎn)F,

則乙即6=9+乙C（三角形的外角等于與它柳鄰兩個(gè)內(nèi)角之和〉

又乙BEC=LB+CC,

：?4B=A,故4B〃CD（旦相等,兩直線平行）,

則回答正確的是(C)

A.。代表/FECB.酰表同位角

C.▲代表/EFCD.※代表AB

第二節(jié)三角形及其性質(zhì)

考點(diǎn)

易錯(cuò)自糾

易錯(cuò)點(diǎn)1誤認(rèn)為三角形的高一定在三角形內(nèi)部

1.已知AD是AABC中BC邊上的高,41）=5,0）=4出1）=2,則△?《長的面積等于，或行.

易錯(cuò)點(diǎn)2忽略三角形的三邊關(guān)系致錯(cuò)

2.［2020貴州黔南州］已知等腰三角形的一邊長等于1,一邊長等于9,則它的周長為

A.9B.17或22C.17D.22

3.在AABC中,AC=2BC,BC邊上的中線AD把ZXABC的周長分成60和40兩部分，則AC48.

方法

命題角度I三角形的三邊關(guān)系

口提分特訓(xùn)

1.［石家莊12中一模］如圖,長度為10m的木條，從兩邊各截取長度為xm的木條，若得到的三根木條能組成三

角形，則x可以取的值為（C）

10m

A.2mB.m

C.3mD.6m

2.［2020浙江紹興］長度分別為2,334的四根細(xì)木棒首尾相連，圍成一個(gè)三角形（木棒允許連接，但不允許折斷），

得到的三角形的最長邊長為（B）

A.4B.5C.6D.7

命題角度2三角形的內(nèi)角和外角

D提分特訓(xùn)

3.［2020遼寧錦州］如圖，在aABC中,,/B=50°,CD平分/ACB廁/ADC的度數(shù)是（C）

A.80°B.90°C.100°D.110°

4.［內(nèi)蒙古赤峰］如圖在AABC中點(diǎn)D在的延長線上，過點(diǎn)D作DE1AB于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)F.若

4=35°/D=15°,則/ACB的度數(shù)為（B）

A.65°B.70°

C.75°D.85°

命題角度3三角形中的重要線段

。提分特訓(xùn)

5.［2020四川宜賓］如圖點(diǎn)那分別是的邊AB,AC的中點(diǎn)，若/A=65。，/ANM=45。廁/B=（D）

A,20°B.45°C,65°D,70°

6.［2020陜西］如圖，在3X3的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為1,點(diǎn)W'都在格點(diǎn)上.若BD是aABC的高，則

BD的長為（D）

A.^/13C.4713

13131313.

真題

考法速覽

考法1三角形的穩(wěn)定性（10年1考）

考法2三角形的三邊關(guān)系（10年2考）

考法3三角形的內(nèi)角與外角（10年2考）

考法4三角形的中位線（10年3考）

考法1三角形的穩(wěn)定性

1.［河北川下列圖形具有穩(wěn)定性的是（A）

C￡7+C

ABCD

考法2三角形的三邊關(guān)系

2.［河北⑹如圖⑴,M是鐵絲AD的中點(diǎn)，將該鐵絲首尾相接折成AABC,且4=30。/C=100。，如圖⑵.則下列說

法正確的是（C）

C

.__________________

AMDA（D}B

圖⑴圖⑵

A.點(diǎn)M在AB上

B.點(diǎn)V在BC的中點(diǎn)處

C.點(diǎn)M在BC上,且距點(diǎn)B較近，距點(diǎn)C較遠(yuǎn)

D.點(diǎn)M在BC上，目距C較近，距點(diǎn)B較遠(yuǎn)

3.［河北10］已知三角形三邊長分別為2禺13,若x為正整數(shù)則這樣的三角形個(gè)數(shù)為（B）

A.2個(gè)B.3個(gè)C.5個(gè)D.13個(gè)

考法3三角形的內(nèi)角與外角

4.［河北4］平面上直線a,b分別過線段0K兩端點(diǎn)（數(shù)據(jù)如圖），則a,b相交所成的銳角是（B）

A.20°B.30°

C.70°D.80°

Kb

考法4三角形的中位線

5.［河北⑹如圖點(diǎn)A,B為定點(diǎn)，定直線1〃岫P是1上一動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)M,X分別為PA,PB的中點(diǎn)，對(duì)于下列各值：

①線段MN的長；

?APAB的周長；

③△PMN的面積；

④直線M'AB之間的距離；

⑤NAPB的大小.

其中會(huì)隨點(diǎn)P的移動(dòng)而變化的是（B）

A,②③B,②?C.④D.④?

6.［河北,2］如圖,ZkABC中DE分別是邊AB,AC的中點(diǎn)若DE=2,則BC=（C）

A.2B.3C.4D.5

二［河北,17］如圖,A,B兩點(diǎn)被池塘隔開,不能直接測(cè)量其距離.于是，小明在岸邊選一點(diǎn)C,連接CA,CB,并分別延長

到點(diǎn)M,N,使AM點(diǎn)C,BN=BC,測(cè)得MN=200m,則AfB間的距離為100陽.

高分突破-微專項(xiàng)3與角平分線相關(guān)的三大模型

口強(qiáng)化訓(xùn)練

L［湖南張家界］如圖在△ABC中,/C=90。，BD平分/AB&AC=8,DC=|AD,則點(diǎn)D到AB的距離等于（C）

A.4B,3C.2D.1

CD4

2.［2020貴州貴陽］如圖,RSABC中,NC=%°,利用尺規(guī)在BC,BA上分別截取BE,BD,使BE=BD汾別以點(diǎn)D,E為圓

心、以大于刎的長為半徑作弧,兩弧在

ZCBA內(nèi)交于點(diǎn)F；作射線BF交AC于點(diǎn)G,若CG=1,P為AB上一動(dòng)點(diǎn)，則GP的最小值為（C）

A.無法確定

C.1D.2

AB

3」唐山開平區(qū)一模］如圖，在RtAABC中,/ACB=90°,/BAC=30\/BAC的平分線交BC于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作DE1AB,

垂足為％連接CE交AD于點(diǎn)F.有以下結(jié)論:①AM2CE；②AO4CD；③CE1AD；④ZkDBE與aABC的面積比是

1：（7+4商

其中正確結(jié)論是（A）

A.③④B.②③C.①@D.①④

葭

4.［湖南永州］如圖/AOB=60°,0C是/AOB的平分線，點(diǎn)D為0C上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作直線DE1OA,垂足為點(diǎn)F,且直

愛DE交0B于點(diǎn)F.若DE=2,則DF=1.

5.［石家莊42中三模］如圖，在RtAABC中,/ACB=90°,AC=4,BC=3.將RtAABC平移到RtAA*B*C的位置，使得點(diǎn)

C,與4ABC的內(nèi)心重合，則圖中陰影部分的面積為（D）

6.如圖，直線MN〃PQ,直線AB分別與MN,PQ相交于點(diǎn)A,B.小宇同學(xué)利用尺規(guī)按以下步驟作圖:①以點(diǎn)A為圓心,

以任意長為半徑作弧交AN于點(diǎn)C,交AB亍點(diǎn)I）；②分別以點(diǎn)C,D為圓心、大于fl）的長為半徑作弧,兩弧在

ZNAB內(nèi)交于點(diǎn)E；③作射線AE,交PQ于點(diǎn)F,若AB=2,/ABP=601則線段AF的長為一

7湖北荊州］如圖，矩形ABCD的頂點(diǎn)A,B,C分別落在/MON的邊0\i,0\上若OA=OC,要求只用無刻度的直尺作

ZMON的平分線，小明的作法如下:連接AC,BD交于點(diǎn)E,作射線0E廁射線0E平分有以下幾條幾何性質(zhì):①

矩形的四個(gè)角都是直角啟）矩形的對(duì)角線互相平分，③等腰三角形的“三線合一"小明的作法依據(jù)是（C）

A.①②B.??C.②③D.①②③

8.如圖所示對(duì)是aABC的邊BC的中點(diǎn),AN平分/BAC,BNJ_AN于點(diǎn)'連接帆著AB咻MN=2廁AC的長是

12.

9.如圖,ED是/BEA的平分線,/B=NEAC,EDJ_AD.求證:AD平分/BAC

證明:如圖，延長AD交歡于點(diǎn)F,

1ED是/BEA的平雒

:.ZAED=ZFED.

又NFDE=180°-ZADE=90°=ZADE,DE=DE,

,,.△EHD^AEAD,

ZDAE=ZDFE,

ZFAC+ZCAE=ZBAF+ZB.

又NBNEAC,,?，/FACNBAF,

AAD平分/BAC.

10.如圖，在AABC中,NABC=3NC,NBAC的平分線AD交BC于點(diǎn)D.BE1AD于點(diǎn)E.求證:ALAB=2BE.

證明:如圖，延長BE交AC于點(diǎn)F,易證△ABE0ZXAFE,

AF=AB,BE=EF,ZAFB=/ABF,

；.ZFBC+ZC=ZABC-ZFBC.

又NABC=3NC,.?.ZFBC+ZC=3ZC-ZFBC,

.,.ZFBC=ZCf.*.FC=FB=2BE；

AAC-AB=AC-AF=CF=2BE.

第三節(jié)等腰三角形和直角三角形

考點(diǎn)

易錯(cuò)自糾

易錯(cuò)點(diǎn)1已知等腰三角形一個(gè)角的度數(shù)求頂角(或底角)的度數(shù)時(shí)忽略分類討論

1.若等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為50°，則該三角形頂角的度數(shù)是一前或m.

易錯(cuò)點(diǎn)2解決特殊三角形的存在性問題時(shí)忽略分類討論

2.在△ABC中,AB=AC/BAC=100°,點(diǎn)D在BC邊上，連接AD,若ZXABD為直角三角形，則ZADC的度數(shù)為90或

130°.

方法

命題角度！等腰三角形的性質(zhì)與判定

D提分特訓(xùn)

1.［2020湖北黃岡］已知如圖在△ABC中點(diǎn)D在邊BC±,AB=AD=DCfZC=35°，則NBAD=10度.

2.［重慶A卷］如圖，在aABC中,AB=AC,D是3c邊上的中點(diǎn)，連接AD,BE平分/ABC交AC于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作即〃BC

交AB于點(diǎn)F.

(1)若NC=36。，求NBAD的腐蜘

(2)求證:FB=FE.

⑴解:=AB=AC,點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)

/.ZABC=ZC=36°,AD1BC,

；.ZBAD=90°-NABC=90°-36°=54°.

⑵證明:???BE平分NABC,EF〃BC,

ZABE=ZEBCfZFEB=ZEBC,

ZFEB=ZABEf

AFB=FE.

命題角度2等邊三角形的性質(zhì)與判定

口提分特訓(xùn)

3.如圖,AABC是等邊三角形,P是三角形內(nèi)任意一點(diǎn),D,E,F分別是AC,AB,BC邊上的三點(diǎn)，且PF〃AB,PD〃BC,PE〃

AC.若PF+PD+PE=a，則AABC的邊長為

A.V2aB.V3a

C.-aD.a

4.［2020江蘇常州］如圖，在AABC中,BC的垂直平分線分別交BC,AB于點(diǎn)E,F.若AAFC是等邊三角形，則NB二

30°.

命題角度3直角三角形的性質(zhì)與判定

口提分特訓(xùn)

5.［2020浙江寧波］如圖在RtAABC中,4CB=90°,CD為中線，延長CB至點(diǎn)E,使RE啡C,連接DE,F為DE的中點(diǎn),

連接BF.若AC=8,BC=6,則BF的長為

A.2B.2.5C.3D.4

6」陜西］如圖，在AABC中,/B=30°,/C=45°,AD平分/BAC交BC于點(diǎn)D,DE_LAB,垂足為E.若DE=1,則BC的長

A.2+V2B.V2+V3C.2+V3D.3

真題

考法速覽

考法1等腰三角形的性質(zhì)與判定（10年3考）

考法2等邊三角形的性質(zhì)與判定（10年2考）

考法3直角三角形的性質(zhì)與判定（10年3考）

考法1等腰三角形的性質(zhì)與判定

1.［河北⑻已知:如圖，點(diǎn)P在線段AB外且MhPB.求證點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上.在證明該結(jié)論時(shí)，需添

加輔助線，則下列作法不正確的是

A.作/APB的平分線PC,交AB于點(diǎn)C

B.過點(diǎn)P作1P_LAB于點(diǎn)。且AC=BC

C.取AB中點(diǎn)C,連接PC

D.過點(diǎn)P作PC_LAB,垂足為點(diǎn)C

考法2等邊三角形的性質(zhì)與判定

2.［河北J6］如圖,/A0B=120。，0P平分/A嗎且0P=2.若點(diǎn)M,N分別在OA,OB上且△PMN為等邊三角形，則滿足

上述條件的有（D）

A.1個(gè)B.2個(gè)

C.3個(gè)D.3個(gè)以上

3.［河北13］一個(gè)正方形和兩個(gè)等邊三角形的位置如圖所示若/3=50°,則〃+/2二

A.90°

B.100°

C.130°

D.1809

考法3直角三角形的性質(zhì)與判定

4.［2020河北［6］如圖是用三塊正方形紙片以頂點(diǎn)相連的方式設(shè)計(jì)的“畢達(dá)哥拉斯”圖案.現(xiàn)有五種正方形紙

片，面積分別是123A5,選取其中三塊何重復(fù)選取）按如圖所示的方式組成圖案，使所圍成的三角形是面積最大

的直角三角形，則選取的三塊紙片的面積分別是

A.1,4,5B.2,3,5

C.3,4,5D.2,2,4

5」河北,14］如圖,AB￡D相交于點(diǎn)0,ACJ_CD于點(diǎn)C,若NB0D=38。廁NA等于52'.

K

c

B

6」河北J9］勘測(cè)隊(duì)按實(shí)際需要構(gòu)建了平面直角坐標(biāo)系，并標(biāo)示了A,B,C三地的坐標(biāo)，數(shù)據(jù)如圖(單位;km).筆直鐵

路經(jīng)過A,B兩地.

(1)A,B間的距離為20km；

⑵計(jì)劃修一條從C到鐵路AB的購公蹲1,并在1上建一個(gè)維修站D,使D到A,C的距離相等，則C,D間的距離

為13km.

?C(0,-17)

高分突破?微專項(xiàng)6與中點(diǎn)相關(guān)的五大模型

口強(qiáng)化訓(xùn)練

1.如圖，已知在△ABC中,/B=251點(diǎn)D在邊CB上，目/DAB=9Q\ACWBD,則ZBAC的度數(shù)為1050.

BDC

2.［山東臨沂］如圖在AABC中/ACB=120'，BC=4,點(diǎn)D為AB的中點(diǎn),DC1BC,則4ABC的面積是」V5_.

C

4DH

3.如圖，在△ABC中度=18阿件是高點(diǎn)F,G分別為BC.DE的中點(diǎn)若ED=10,則FC的長為，VH_,

4.［2020山東德州中考節(jié)選］問題探究：

小紅遇到這樣一個(gè)問題:如圖⑴,△ABC中,但6聲＞4押是中線求AD的取值范圍.她的做法是:延長AD到E,使

DE=AD,連接1覽,證明aBED以△CAD,經(jīng)過推理和計(jì)算使問題得到解決.

請(qǐng)回答；

⑴小紅證明ABEDg/XCAD的判定定理是一S.'d.

(2)AD的取值范圍是1/AIX5,

方法運(yùn)用：

⑶如圖⑵,AD是AABC的中線，在AD上取一點(diǎn)F,連接BF并延長交AC于點(diǎn)E,使AE=EF,求證:BFAC.

//?

Rfc

圖⑴圖⑵

⑴SAS

(2)1<AD<5

解法提示:'?'△BEDgaCAD,

；.BE=AC=4,

^EAABE中，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得AB-BE〈AE〈AB+BE,

.*.2<2AD<10,

1<AD<5.

⑶證明:如圖，延長AD至A',使DA'二AD,連接B.V,

VADgAABC的中線，

7.BD=CD.

R7ZADC=ZBDA,押=DA',

/.AADC^AA*DB,

；.AC=BA\ZCAD=ZA\

,.,AE=EF,

:.NEAF;NAFE,又NAFE二NBFA',

.?.NA'=NBFA',

,\BF=BA\

,*.BF=AC.

5.如圖在△ABC中,AB=A。點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),DEL也于點(diǎn)匕若DE=2,則點(diǎn)D到AC的距離為2.

6.[2020貴州黔西南州中考改編]如圖，在EtAABC中,NACB=90°,AC=BCM點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，以點(diǎn)D為圓心作扇

形DEF,且/EDF=90°,分經(jīng)過點(diǎn)C.將扇形DEF繞點(diǎn)0旋轉(zhuǎn)使點(diǎn)C始終在命上（不與點(diǎn)印重合）,DE,AC交于點(diǎn)

G,DF,BC交于點(diǎn)H,求四邊形DGCH周長的最小值.

弊如圖，連接CD.

???/ACB=90°,點(diǎn)D為AB的中點(diǎn),AOBC,

1.NA=NDCH=45°,AD=CD,CD_LAB.

又/EDF=90°/?ZADG=ZCDH,AADG^ACDH,

ADG=DH,AG=CH,.,.CG+CH=CG+AG=AC=4.

故當(dāng)DH+DG取最小值，即DH1BC時(shí),四邊形DGCH的周長最小，

又此時(shí)DH?DG=2DH=2X；.四邊形DGCH周長的最小值為什4二8.

R

7.如圖，在aABC中，點(diǎn)D,E,F分別是AB,AC,BC的中點(diǎn)，已知/ADE=45°,則/CFE的度數(shù)為（B）

A.40°B.45°C.50°D.55°

8.如圖，在四邊形ABCD中,AD=BC,點(diǎn)E,F,G分別是AB￡D,AC的中點(diǎn)連接EF,EG,SZDAC=15°,ZACB=87°，則/FEG

的度數(shù)為招’

9.如圖在KtAABC中,NB=90°,AB=2匹B，=3,E是AC的中點(diǎn)，延長BC至點(diǎn)F,使中鄧。連接EF,求EF的長.

解:如圖，取AB的中點(diǎn)D,連接DEQ,

則DE#BC,DE|BC,

又VCF4BC,.,.DE=CF,，四邊形DCFI-是平行四邊形,

.\EF=CD.

在RtABCD中；/B=90°,BDgAB二遮BC二3,

ACD=VBD2+BC2714,；.EE=CD-/i4.

10.如圖在RtAABC中,/O90°,邊AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)N,交AB于點(diǎn)'，若AO跖MB=2MC,則AB的長度

為，代

1L如圖,在菱形ABCD中,按以下步驟作圖以點(diǎn)A,D為圓心、大于的長為半徑作弧兩弧交于點(diǎn)P,Q,作直線

PQ.已知直線PQ恰好經(jīng)過點(diǎn)B,若AB=4,則點(diǎn)B到CD的距離為二V5_.

第四節(jié)全等三角形

考點(diǎn)

易錯(cuò)自糾

易錯(cuò)點(diǎn)1不能靈活運(yùn)用全等三角形的判定定理解決問題致錯(cuò)

1.小明不慎將一塊三角形玻璃摔碎成如圖所示的四塊（分別標(biāo)有①?③④）,若帶著其中一塊去配與原來一樣大

小的三角形玻璃,應(yīng)該帶（D）

A.?B.@C.③D.?

易錯(cuò)點(diǎn)2誤用"SSA”判定三角形全等

2.如圖,/BDA:/BDC,現(xiàn)添加以下條件不能判定△ABDg/XCBD的是（C）

A.ZA=ZC

B.ZABD=ZCBD

C.AB=CB

D.AD=CD

易錯(cuò)點(diǎn)3忽略“A與△全等”和“△色△?”的區(qū)別

3.如圖，在△ABC中,AB=AC=12cm,BC=8cm,點(diǎn)D為AB的中點(diǎn).點(diǎn)P在線段BC上以2cm/s的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)

運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CA上由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng).若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為vcm冷廁當(dāng)ABPD與ACQI）全等時(shí),v的

值為2或3.

方法

命題角度全等三角形的判定與性質(zhì)

口提分特訓(xùn)

1」貴州安順］如圖，點(diǎn)B,F,C,E在一條直線上,,叫九師（：/^,那么添力嚇列—?條件后仍無法判定4483加￡尸

的是(1)

A.ZA=ZDB.AC=DF

C.AB二EDD.BF=EC

2.［2020遼寧遼陽］如圖，在AABC中M、分別是AB和AC的中點(diǎn)，連接MN,點(diǎn)I:是CN的中點(diǎn)，連接ME并延長，交BC

的延長線于點(diǎn)。若BO4,則CD的長為2.

B

3.［2020江蘇常州］已知如圖，點(diǎn)A,B￡D在f直線上坪〃FB,EA邙B,AB二CD.

⑴求證：/E=NF；

⑵若4=40°,ND=80"求/E的度數(shù).

(1)證明?.?EA〃FB,

ZA=ZFBD.

VAB=CDf

.,.AB+BC=CD+BC,BPAC=BD.

EA=FB,

5AEAC與4/8口中，LA=ZFBD,

AC=BD,

:■△EACWZXFBD,

：?NE二NF.

(2)7AEAC^AFBDr

AZECA=ZD=80a.

又二/八制。。，

：?NE=180°-40°-80°=60°.

真題

考法全等三角形的性質(zhì)與判定（必考）

1.［河北23⑴］如圖，在AABCWAADE4>,AB=AD=6,BC=DEfZB=ZD=30°，邊AD與邊BC交于點(diǎn)P杯與點(diǎn)B,C重合）,

點(diǎn)B,E在AD異側(cè),【為AAPC的內(nèi)心.求證NBAK/CAE.

證明:VAB=AD,ZB=ZD3C=DE,

.,.△ABC^AADE,

AZBAC=ZDAEf

：?ZBAC-ZDAC=ZDAE-ZDAC,

：?ZBAD=ZCAE.

2」河北,21］如圖，點(diǎn)B,F,C,E在直線1上(F,C之間不能直接測(cè)量)，點(diǎn)A,D在1異側(cè)，測(cè)得AB=DE,AC=DF,BF=EC.

(1)求證:△ABCgaDEF；

(2)指出圖中所有平行的線段,并說明理由，

⑴證明:???BF=EC,

.\BF+FC=EC+CFfBPBC=EF.

又AB=DE,AC=DP,

/.△ABC^ADEF,

(2)AB〃DE,AC〃DF.

理由:??,△ABC色△口￡&

：?ZABC=ZDEFrZACB=ZDFE,

；,AB〃DE,AC〃DF.

3.［河北23］如圖,/A=/B=50°,P為AB中點(diǎn)點(diǎn)M為射線AC上(不與點(diǎn)A重合)的任意一點(diǎn)，連接MP,并使MP的

延長線交射線BD于點(diǎn)N,設(shè)/BPN=a.

⑴求證:ZUPM且ABPN;

(2)當(dāng)MN=2BN時(shí)，求a的值；

⑶若aBPN的外心在該三角形的內(nèi)部，請(qǐng)直接寫出a的取值范圍，

⑴證明:為AB中點(diǎn)

,*.PA=PB=iAB.

2

ZA=ZB,

在AWM和△BPX中，PA=PB,

ZAPM=ZBPN,

.,.△APM^ABPN.

(2)由⑴得,△APM經(jīng)Z\BPN,

;PV=PN」MN.

2

VMN=2BN,

.*.BN=1MN=PN,

a=ZB=50°.

(3)40°<a<90°.

解法提示:二.銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部,

:.△BPN是銳角三角形，

.(00<a<90°,

■(0°<180°-50°-a<90°,

解得40°<a<90°.

高分突破-微專項(xiàng)7構(gòu)造全等三角形中的兩大輔助線技巧

技巧一利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等三角形

口強(qiáng)化訓(xùn)練

1.如圖點(diǎn)P為等邊三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且點(diǎn)P到△ABC三個(gè)頂點(diǎn)A,B,C的距離分別為1,四祗則△ABC的面

汩夫3a+3Q

2.如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E為BC上一點(diǎn)，點(diǎn)F為CD上一點(diǎn),BE十DF=EF,則NEAF的度數(shù)為5.

3.如圖，在△ABC中,/C=90°,點(diǎn)D,E,F分別在邊CA,AB,BC上且四邊形CDEF是正方形，已知BE=2.2,EA=4.1,則

△BFE和AAED的面積之和為1.31.

4.如圖,0A=0D,0A_L0D,0B=0C,0B_L0C,經(jīng)過點(diǎn)0的直線1分別交AB,CD于點(diǎn)E,F.

11)求證:

(2)若直線1平分CD,求證：0仁今電

⑴證明:?；0A=0D,

二可將△AOB以點(diǎn)0為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)至△DOG的位置，如圖所示，則△AORqaDOG,

A-B

AZA0B=ZDOG,OB=OG.

,.?OA_LOD,OB=OC,OB_LOC,

ZCOD+ZAOB=ZCOD+/DOG=180°,OC=CG,

；，C,O,G三點(diǎn)共線,OD為ACDG中CG邊上的中線，

==

SAOOCSAOCtifSA<IAHSA0C0.

⑵證明：.直線］平分CD,

.,.CF=DF,

由⑴可知,OC=0G,

AOF為ZXCDG的中雌，。呻。

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得DG=AB,

.\OE=iAB.

技巧二利用截長補(bǔ)短法構(gòu)造全等三角形

口強(qiáng)化訓(xùn)練

5.如圖，在AABC中,NCAB=NCBA=45°,點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，CN1AE.

⑴求證/1=/2;

(2)求證:AEXN+EN.

⑴證明:???/CAB=NCBA=45°,

.,.ZACB=90°,.\ZACN+Z1=9O°.

VAE1CN,.*.Z2+ZACN=90d,AZ1=Z2.

⑵證明：

方法一（截長法）:如圖⑴，在線段AE上截取AM=CN,連接CM.

易知AC=BC,又/1=N2,AM=CN,

「.△ACM且△CBN,

.*.CM=BN,ZACM=ZB=45°,

.?.ZMCE=45°,AZB=ZMCE.

「CM=RN,

在ZXMCE和AXBE中，ZMCE=ZB,

CE=BE,

*

,'.△MCE^ANBE,..EM=ENI

.\AE=AM+EM=CN+EN.

方法二（補(bǔ)短法）:如圖⑵，延長CN到點(diǎn)M,使CM=AE，連接BM.

易知CB=CA,5JZl=Z2fCM=AE,

,,.△ACE^ACBM,

ACE=BM=BE,ZCBM=ZACE=90fl,

,'./MBN=45°=ZNBEf

BN=BN,

5ANBM和△\BE中，ZNBM=Z.NBE,

BM=B&

.\ANBM^ANBE,.\NM=EN,

Z.AE=CM=CN+NM=CN+EN.

6.如圖在aABC中,AB=AC,點(diǎn)D是邊BC下方一點(diǎn).

⑴如圖⑴，若NBAC=60°,NBDC=120°,求證:AD=BD+CD；

(2)如圖⑵，若/BAC=90°ZBDC=90°,求證:AD=^(BD+CD).

圖⑴圖⑵

⑴證明:如圖⑴，延長DC到點(diǎn)E,使CE=BD,連接AE.

圖⑴

VZBAC=60<,,ZBDC=120°,

ZABD+ZACD=180°.

Ji7ZACE+ZACD=180°,

ZABD=ZACE.

RVAB=ACfCE=BDf

AAABD^AACE,

1?AD二AE,/BAD二/CAE,

.,.ZDAE=ZBAC=60fl,

.??△ADE是等邊三角形，

.'.AD=DE=CE4CD=BD+CD.

(2)證明加圖⑵，延長DC到點(diǎn)E,使CE=BD,連接AE.

圖⑵

7ZBAC=90°,ZBDC=900,

AZABD+ZACD=180°,

R7ZACE+ZACD=180°,

:.ZABD=ZACE.

又「ABA二C￡E二DB,

,'.△/\BD^AACE,

,

..AD=AE/ZBAD=ZCAE,

ZDAE=ZBAC=90°,

必爭(zhēng)呼CE+CD）4（BD+CD）.

第五節(jié)相似三角形(含位似)

考點(diǎn)

易錯(cuò)自糾

易錯(cuò)點(diǎn)1求兩條線段的比時(shí)因長度單位不統(tǒng)一而致錯(cuò)

L一幅地圖中甲、乙兩地的圖上距離：？cm表示實(shí)際距離150km,這幅地圖的比例尺是I：3000000.

易錯(cuò)點(diǎn)2弄錯(cuò)相似三角形的面積比與相似比的關(guān)系

2.[2020四川內(nèi)江]如圖，在aABC中,D,E分別是AB和AC的中點(diǎn),S四邊形題=15,則%餌=

A.30B.25C.22.5D.20

易錯(cuò)點(diǎn)3未找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)線段

3.如圖，在△ABC中,DE〃BC,DE分別與ABfAC相交于點(diǎn)D￡若AD=4,DB=2,則DE:BC的值為

易錯(cuò)點(diǎn)4忽略與△，相似”和的區(qū)別

易錯(cuò)點(diǎn)5求位似變換后點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)易漏解

5.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(W2),B(-6,-4),以原點(diǎn)0為位似中心相似比為，把AAB0縮小，則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)

A’的坐標(biāo)是

A.(-2,1)B.(-8,4)

C(-8,4)或(8,-4)D.(-2,lM(2f-l)

方法

命題角度1相似三角形的判定與性質(zhì)

D提分特訓(xùn)

1.［2020貴州銅仁］已知△FHBs/XEAD,它們的周長分別為30和15,且川=6,則EA的長為（A）

A.3B.2C.4D.5

2.［2020石家莊新華區(qū)一模］如圖，在AABC中，點(diǎn)D在AB上,AD=5,CE是aBCD的角平分線，且CE=6.當(dāng)ZBCD=2ZA

時(shí),DE的長為（B）

A.3B,4C.5D,6

工［2020石家莊一模］如圖,RtZXABC是一塊鐵板余料，已知/A=90°,AB=6cm,AC=8cm,要把它加口￡一個(gè)形狀為

平行四邊形9DEFG）的工件，使GF在邊BC上DE兩點(diǎn)分別在邊AB,AC上，目DE=5cm,則沖EFG的面積為（B）

4.［2020四川遂寧］如圖,在平行四邊形ABCD中,/ABC的平分線交AC于點(diǎn)E,交AD于點(diǎn)F,交CD的延長線于點(diǎn)G,

若A42FD狽喈的值為（C）

bu

A.1B,1C-D「

2334

5.［2020江蘇蘇州］如圖,在矩形ABCD電E是BC的中點(diǎn)DFJ_AE,垂足為F.

⑴求證:△ABES^DFA；

(2)若AB=6,BC=4,求DF的長.

1l

8匚—1--C

⑴證明四邊形ABCD是矩形，

：?NB=90°,AD〃BC,

ZAEB=ZDAF,

VDFIAE,.,.ZDFA=90a,

ZB=ZDFA,

/.△ABE^ADFA.

（2）解:：AABE^ADFA,端黑

VBC=bE是BC的中點(diǎn),BE』BC』X4=2,

二在RSABE中,AE7AB2+BE2后午1

又??"D二BCM.?.強(qiáng)邛，

Ur4

.6同

..nDrb=---.

命題角度2圖形的位似

口提分特訓(xùn)

6.[2020唐山路北區(qū)二模]如圖，以點(diǎn)0為位似中心，把AABC放大為原圖形的2倍得到AA'B'C'以下說法中借

誤的是（C）

A.AABC-AA1B'C'

B.點(diǎn)&OC三點(diǎn)在同一直線上

C.AO：AA'=1:2

D.AB〃A'B,

乙方格紙中每個(gè)小正方形的邊長都是單位L^OAB在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示.

⑴請(qǐng)按要求對(duì)A0AB作變換:以點(diǎn)0為位似中心，位似比為2：l,^A0AB在位似中心的異側(cè)進(jìn)行放大得到

△0A*B'（點(diǎn)A,B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)A'B）.

⑵寫出點(diǎn)A'的坐標(biāo).

⑶求△OA'B'的面積.

解:⑴如圖所示,△OA'B'即為所求.

（2）點(diǎn)A'的坐標(biāo)為（-6「2）.

(3)A0A，B,的面積為6X4-1X2X4-1X2X4-1X2X610.

真題

考法速覽

考法1相似三角形的性質(zhì)與判定（10年4考）

考法2圖形的位似（10年3考）

考法1相似三角形的性質(zhì)與判定

1.［河北用若△ABC的每條邊長增加各自的lOM^AA1B'C',則/B'的度數(shù)與其對(duì)應(yīng)角/B的度數(shù)相比（D）

A.增加了10%B.減少了10$

（'.增加了（1+10%）D.沒有改變

2.［河北,15］如圖,Z\ABC中,/A=78°,ABMK=6.將AABC沿圖示中的虛線剪開，剪下的陰影三角形與原三角形不

里似的是（C）

3」河北13］在研究相似問題時(shí)，甲、乙同學(xué)的觀點(diǎn)如下;

對(duì)于兩人的觀點(diǎn)，下列說法正確的是

甲;將邊長為3,4的三角形按幽1）的方式向

外獷張,整到新三角形,它們的對(duì)應(yīng)邊同

距均為1*斷三角拶與原三角號(hào)相似

L：將鄰邊為3和5的短彩按期2）的方式向外

，張,得到新轉(zhuǎn)形,它們的對(duì)應(yīng)邊間距均

為1,則新姬形與原矩形不板

A.兩人都對(duì)B.兩人都不對(duì)

C.甲對(duì),乙不對(duì)D.甲不對(duì)，乙對(duì)

4.［河北,9］如圖在aABC中,/C=90°,BC=6,D,E分別在AB,AC上將AABC沿DE折曲使點(diǎn)A落在點(diǎn)A'處若A'為

CE的中點(diǎn)，則折痕DE的長為

B.2C.3D.4

考法2圖形的位似

5.［2020河北⑻在如圖所示的網(wǎng)格中，以點(diǎn)0為位似中心,四邊形ABCD的位似圖形是

H

A.四邊形NPMQB.四邊形\PMR

C.四邊形NHMQD.四邊形NHMR

6.［河北,20］如圖，在6乂8的網(wǎng)格圖中，每個(gè)小正方形的邊長均為L點(diǎn)。和△ABC的頂點(diǎn)均為小正方形的頂點(diǎn).

⑴以0為位似中心,在網(wǎng)格圖中作B'C'，使B'C'和AABC位似，目位似比為1:2；

⑵連接⑴中的AA',求四邊形AA'C'C的周長(結(jié)果保留根號(hào)).

解:⑴如圖:

(2)由⑴可知,AA'=CC'=2.

在RtAOA*C中,0A'=0C'=2,得A*C*=2近,

故AC=2AC1夜，

,四邊形AA'CC的周長=AA'M'I■C+AC=2+2A/2+2+4V2=4+6V5.

二［河北,23］如圖⑴，點(diǎn)I:是線段BC的中點(diǎn)分別以B,C為直角頂點(diǎn)的AEAB和AEDC均是等腰直角三角形，且在

BC的同側(cè).

⑴AE和ED的數(shù)量關(guān)系為AE二ED；

AE和ED的位詈關(guān)系為M1ED.

⑵在圖⑴中，以點(diǎn)E為位似中心，作AEGF與AEAB位似，點(diǎn)H是BC所在直線上的一點(diǎn)，連接GRID,分別得到了圖

(2)和圖⑶.

①在圖⑵中點(diǎn)F在BE±,AEGF與ZSEAB的相似比是1：2』是EC的中點(diǎn).求證:GH=HD,GH1HD.

②在圖(3)中，點(diǎn)V在BE的延長線上,AEGF與AEAB的相似比是k：1若BC=2,請(qǐng)直接寫出CH的長為多少時(shí)，恰

好使得GH=HD且GHLID(用含k的代數(shù)式表示).

圖⑴圖⑶

(1)AE=EDAE1ED

(2)①證明曲題意即/B=ZC=90°,AB=BE=EC=DC.

'??△EGF與AEAB位似目相似比是1:2.

：.ZGFE=ZB=90°

1212

又“是EC的中點(diǎn)，

;,EH=HC=1EC,

:.GF=HC/ZGFH=ZHCD,FH=CD,

.,.△IIGF^ADHC,

.\GH=HD,ZGHF=ZHDC.

又'.?/HDC+/DHC=90°,，/GHF+NDHC=90°,

：?NGHD=90°,；.GH_LHD.

②CH的長為k.

高分突破?微專項(xiàng)8“一線三等角”模型、“手拉手”模型、

“半角”模型和“對(duì)角互補(bǔ)”模型

模型一“一線三等角”模型

口強(qiáng)化訓(xùn)練

1.如圖，在四邊形ABCD中,/RAD=/ACR=901AB=AD,AC=4BC,若CD的長為5,則四邊形ABCD的面積為10.

2.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角三角形0AB的一個(gè)頂點(diǎn)在原點(diǎn)處/AB0=90。，0B=AB,已知點(diǎn)A(2,4),則點(diǎn)

B的坐標(biāo)為(3,1).

3.⑴探索發(fā)現(xiàn)

如圖⑴，在AABC中，點(diǎn)D在邊BC上,AABD與AADC的面積分別記為Si與S&試判斷，與黑的數(shù)量關(guān)系，并說明理

曲

⑵閱讀分析

小東遇到這樣一個(gè)問題:如圖(2),在RtAABC中,AB=AC,/BAC=90°,射線AM交BC于點(diǎn)D,點(diǎn)E,F在AM上，且

/CEM=/BFM=901試判斷BF,CEfEF三條線段之間的數(shù)量關(guān)系.

小東利用一對(duì)全等三角形,經(jīng)過推理使問題得以解決.

填空:①圖⑵中的一對(duì)全等三角形為上曳竺①_；

②BF,CE,EF三條線段之間的數(shù)量關(guān)系為CE二訐?15.

(3)類比探究

如圖⑶，在四邊形ABCD中,AB二AD,AC與BD交于點(diǎn)0,點(diǎn)E,F在射線AC上，且/BC4/DEF二/BAD.

①判斷BC,DE,CE三條線段之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由；

②若0D=30B,AAED的面積為2,直接寫出四邊形ABCD的面積.

理由如下：

過點(diǎn)A作AE_LBC于點(diǎn)E.

7SF>-AE,S^D-AE,.*A黑

//2>2

⑵①△AECgZ\BFA

@CE=EF+BF

(3)①DE=BC+CE.

理由如下：

VZBCF=ZDEF=ZBAD,

.*.ZACB=180°-ZBCF=180a-ZDEF=ZAED,

ZBAC+ZDAE=ZADE+ZDAE,

?'?ZBAC=ZADE.

又；AB=AD,

AABAC^AADE,

.\BC=AE,AC=DEf

；.DE=AC=AE+CE=BC+CE.

②四邊形ABCD的面積為8.

模型二“手拉手”模型

口強(qiáng)化訓(xùn)練

4.［湖北荊州］如圖⑴，等腰直角三角形OEF的直角頂點(diǎn)0為正方形ABCD的中心，點(diǎn)C,D分別在OE,OF上，現(xiàn)將

△OEF繞點(diǎn)0逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。（0,＜晨90。），連接AF,DE（如圖⑵），

⑴在圖⑵中,/AOF=90,;傭含a的式子表示）

（2）在圖⑵中，猜想AF與DE的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

圖⑴圖⑵

⑴90。-a

解法提示:由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知ND0F二NC0E二a,

ZAOF=90°-a.

(2)AF=DE.

證明:???AOEF是等腰直角三角形，

：.OE=OF.

'?'四邊形ABCD是正方形，

：.0A=0D,ZC0D=90o.

VZA0F=90°-a,ZD0E=90°-a,

ZAOF=ZDOE.

5Z,V0A=0D,

.,.△AOF^ADOE,

,\AF=DE.

5.[2020山東威海]發(fā)現(xiàn)規(guī)律

⑴如圖⑴,ZXABC與AADE都是等邊三角形直線BD,CE交于點(diǎn)P.直線RD,AC交于點(diǎn)II,求/BFC的度數(shù).

(2)AABC與AADE的位置如圖(2)所示，直線BD￡E交于點(diǎn)F,直線BD,AC交于點(diǎn)H.若

ZABC=ZADE=a,ZACB=ZAED=B,求NBFC的度數(shù).

應(yīng)用結(jié)論

⑶如圖⑶，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)()的坐標(biāo)為(0,0),點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3,0),點(diǎn)N為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接MN,將線段

MX繞點(diǎn)V逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到線段MK,連接NK,OK,求線段OK長度的最小值.

解:⑴AABC,AADE都是等邊三角形，

AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=60°,

:.ZBAD=ZCAE,

ABAD^ACAE,:.ZABD=ZACE.

XVZAHB=ZFHC,

ZBFC=ZBAC=60°.

(2)VZABC=ZADE=a,ZACB=ZAED=B,

:?△ABCs△ADE,

?NBAO/DAE提嘴.NBAD=/CAE卷嘴

△ABDs△ACE,.?.NABD二NACE.

又二NBHANCH"ZBFC=ZBAC=1806-a-B.

(3)易知△MNK是等邊三角形,.?.MK=M\NK,/NMK=NNKM二/KNM=60°.

如圖，將△MOK繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△MQ;連接0Q,

則0K=NQ,M0=MQ,/0MQ=60。，

??.△M0Q是等邊三角形，

AZQ0M=60*,0Q=0M=3,

；?/N0Q=30°.

：OK=NQ,,??當(dāng)NQ最小時(shí),OK有最小值.

由“垂線段最短”可知，當(dāng)QNly軸時(shí)AQ有最小值，

此時(shí)NQ[(嗚,?.線段0K長度的最小值為

模型三“半角”模型

口強(qiáng)化訓(xùn)練

6.如圖，在AABC電NACB=90°,AC=BC=1￡F為邊AB上兩動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)E在點(diǎn)F下側(cè))，連接EC.FC,NECF=45°,過點(diǎn)E

作BC的垂線，過點(diǎn)F作AC的垂線，兩線交于點(diǎn)可垂足分別為點(diǎn)H,G.現(xiàn)有以下結(jié)論:①AB=&;②當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重

合時(shí),MH=1；③AF+BE啡F；④MG?MH=1.其中結(jié)論正確的為(C)

A.①②③B.①③④C.???D.①②③④

H?

工如圖,四邊形ABCD是正方形,ZEAP的兩邊分別與CBrDC的延長線交于點(diǎn)ER連接EF,若/FAE=45°,睇究線

段EF,BE,DF之間的數(shù)量關(guān)系,并加以證明.

BE+EF=DF.

證明:如圖所示，將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，使AB與AD重合彳導(dǎo)到aADE',

，

則DE'二BE,AE'=AE/ZEAD=ZEAB.

又?.?NFAE=45°,

ZE*AD+ZBAF=ZEAB+ZBAF=45fl,

；?NFAE'=45°,

；?ZFAE=ZFAE*.

又???AF=AF,

.,.△FAE^AFAE\

,??FE'=FE.

又；DE'+E'F=DF,

.\BE+EF=DF.

8.如圖，在APAB中，等邊三角形PCD的頂點(diǎn)C,D在線段AR上.

⑴當(dāng)AC；CD,DB滿足怎樣的關(guān)系時(shí),△ACPsAPDB?

(2)當(dāng)△ACPs^PDB時(shí)，求/APB的度數(shù)

解:⑴'.'△ACPS/DB,

.PCAC

"BD-RD*

.*.PC-PD=AC-BD.

'.'△PCD是等邊三角形,

.*.PC=CD=PDf

ACD^AC?BD.

故當(dāng)CD2=AC?BD時(shí),△ACPS^PDB.

(2)VAACP^APDB,

ZAPC=ZB/ZA=ZDPB.

又?.?NPCD=NAPC+NA=60°,

,'?/APC+/DPB=60",

ZAPB=ZAPC+ZDPB+ZCPD=120<,.

9.如圖，拋物線y=r?+2x+3與x軸交于A,B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，連接AD,點(diǎn)P為第一象限

的拋物線上一點(diǎn)，且/DAP=45°,求點(diǎn)P的坐標(biāo)，

解:拋物線的解析式可化為y=-(x-l)M,

,*.D(lf4).

令f2+2x+3=0,解得XF-1,X2=3,

,,.OA=1,OB=3,

:?AB=4.

過點(diǎn)A作x軸的垂線，過點(diǎn)D作y軸的垂線，兩線交于點(diǎn)E,過點(diǎn)B作ED的垂線，交ED的延長線于點(diǎn)F,交射線AP

于點(diǎn)N,連接DN加圖,