新高一數(shù)學(xué)銜接教材（教師版）

千里之行，始于足下朽木易折，金石可鏤Word-可編輯目錄第一章函數(shù)的基礎(chǔ)第一講乘法公式與因式分解第二講不等式的含義與解法-5第三講基本不等式?第四講元素與集合?第五講集合的關(guān)系與運(yùn)算?第六講邏輯用語(yǔ)?第一章章末總結(jié)?第七講函數(shù)概念與有界性?第八講函數(shù)單調(diào)性及其應(yīng)用?第九講函數(shù)奇偶性及其應(yīng)用?第十講函數(shù)對(duì)稱性?第二章章末總結(jié)?第十一講一次函數(shù)及其變換59第十二講反比例函數(shù)與一次分式函數(shù)66第十三講對(duì)勾函數(shù)和二次分式型函數(shù)72第十四講二次函數(shù)及其變換79第十五講函數(shù)零點(diǎn)與分段函數(shù)?第三章章末總結(jié)94第二章函數(shù)的個(gè)性第三章函數(shù)的變換第一章函數(shù)的基礎(chǔ)第一講乘法公式與因式分解模塊一整式的乘法公式保堂精講在初中,我們學(xué)習(xí)了整式的乘法運(yùn)算,知道了乘法公式可以使多項(xiàng)式的運(yùn)算變得更為簡(jiǎn)便。初中主要學(xué)習(xí)了兩個(gè)基本的乘法公式一一平方差公式和徹低平方公式。平方差公式a徹低平方公式a例1化簡(jiǎn):9解:原式=52+2×2==高中函數(shù)部分是以代數(shù)的運(yùn)算為基礎(chǔ)的,為研究函數(shù)的性質(zhì),需要學(xué)生們具有較強(qiáng)的代數(shù)恒等變形能力。也就是說,在高中學(xué)習(xí)中還會(huì)碰到更為復(fù)雜的多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算。因此,在本節(jié)中,我們將拓展乘法公式的內(nèi)容,補(bǔ)充一些高中常用的乘法公式。因?yàn)閍=于是有:徹低立方和公式a+b3=a3+3a2b+3ab2+b3由徹低立方和公式可得a+b3-3a2b-3ab模仿徹低立方差公式的推導(dǎo),請(qǐng)學(xué)生們思量立方差公式的由來。立方差公式?例2計(jì)算下列代數(shù)式(1)4(2)1解:(1)原式=(2)原式=以徹低平方公式為基礎(chǔ),可推導(dǎo)三項(xiàng)徹低平方和:(a+=于是有:三項(xiàng)和平方公式a將上式中的c所有換成-c得到如下公式a例3計(jì)算:x解:原式==+=隨堂練習(xí)[練1]若x+y=A.2B.-2C.4D.±解:∵x∴2∴∴[練2]若a2-ab=7-值為(D)A.2B.±2C.4D.解:將題目中的兩個(gè)式子相加,得a2-ab+b∴a-b=±4[練3]計(jì)算:(1)a(2)x解:(1)原式==(2)原式=+=[練&4]已知x2-3x-1=解:∵原式==模塊二因式分解課堂精講1.因式分解的概念把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式積的形式,叫做因式分解,也叫分解因式。2.提公因式法分解因式多項(xiàng)式的各項(xiàng)中都含有相同的因式,那么這個(gè)相同的因式就叫做公因式。把ma+mb+mc=m3.公式法分解因式利用我們前面講解的整式的乘法公式舉行因式分解的主意稱為公式法分解因式。例4已知ab=-2,a-解:a=∵∴原式=-24.十字相乘法分解二次三項(xiàng)式利用十字交錯(cuò)線來分解系數(shù),把二次三項(xiàng)式分解因式的主意叫做十字相乘法。舉例:35.主元法分解因式形如Ax2+Bm主元法分解因式===6.雙(長(zhǎng))十字相乘法形如Am2步驟：(1)運(yùn)用十字相乘法分解前的二次三項(xiàng)式;(2)在這個(gè)十字相乘圖右邊再畫一個(gè)十字,把常數(shù)項(xiàng)分解為兩個(gè)因數(shù),填在第二個(gè)十字右端,使這兩因數(shù)與含k的項(xiàng)交錯(cuò)之積的和等于原多項(xiàng)式中含k的一次項(xiàng)Ek,同時(shí)這兩個(gè)因數(shù)與含m的項(xiàng)的交錯(cuò)之積的和等于原多項(xiàng)式中含m的一次項(xiàng)Dm.7.試根待定系數(shù)法對(duì)于一元三次代數(shù)式Ax3+Bx2+Cx+D先將其化簡(jiǎn)為系數(shù)為1的形式:A(1)10的因子±1,±入原式可得:x=2原式=0,得因式:x(2)待定系數(shù)設(shè)出剩余因式=x-2?x2+ax-(3)檢查一元二次代數(shù)式能否繼續(xù)因式分解例5(2023年年.湖南模擬改編)設(shè)x3+ax+b=A.a=-3C.a=-4解:A中,方程為x-1x2x+2=0,可得方程有兩個(gè)根B中,方程為x-2x2+x-2=0,可得方程有兩個(gè)根中,方程為x-1x2x-2=0D中,方程為x+1x2-x+2[練5]分解因式x解:x[練6]利用十字相乘法分解因式:(1)x2+解:(1)∵2∴2∴[練7]分解因式:(1)xy(2)2(3)x3解:(1)xy+(2)22=-(3)x1)-=[練8](2023年年春?邯鄲高一期中)已知在底面半徑為3、母線長(zhǎng)為5的圓雉中內(nèi)接一個(gè)高為2的圓柱。(1)求圓柱的體積;(2)在該圓雉中是否存在另外一個(gè)內(nèi)接的圓柱與(1)中圓柱體積相等?若存在,求出另一個(gè)圓柱的高;若不存在,請(qǐng)說明理由。解:(1)如圖,已知OA=圓錐的高OP=∴BC=12OP∴AB=12OA=故圓柱的體積V=(2)假設(shè)存在另一個(gè)符合題意的圓柱,設(shè)其高為h,底面半徑為r,則hOP即h4則π×收拾得h2解得h=2或故不符合題意,舍去,故存在另外一個(gè)內(nèi)接的圓柱與(1)中圓柱體積相等,該圓柱的高為3-[鞏固1]分解因式(1)x2+3解:(1)因?yàn)?=2×1所以x2(2)因?yàn)?15=5×-所以x2[鞏固2]已知a+b=(1)a2+b2的值;(2)解:(1)∵a∴∴a(2)∵a[鞏固3]分解因式:(1)x3+解:(1)原式====(2)當(dāng)x=1時(shí),∴原式=[鞏固4]把下列各式分解因式:(1)x(2)x+解:(1)由題意x2(2)由題意,得x=[鞏固5]分解因式:(1)x3(2)2解:(1)x+252)x+y25=[鞏固6]如圖,將一張長(zhǎng)方形紙板按圖中虛線裁剪成九塊,其中有兩塊是邊長(zhǎng)都為m的大正方形,兩塊是邊長(zhǎng)都為n的小正方形,五塊是長(zhǎng)為m,寬為n的全等小長(zhǎng)方形,且m>n.(以上長(zhǎng)度單位:cm)(1)用含m剪線(虛線部分)的長(zhǎng)度之和;(2)看見圖形,可以發(fā)現(xiàn)代數(shù)式25mn+(3)若每塊小長(zhǎng)方形的面積為10?cm個(gè)正方形的面積和為58?cm2,試求解:(1)題圖中所有裁剪線(虛線部分)長(zhǎng)度之和為2(2)2m2+5mn故答案為m+(3)依題意:2m∴m∵∴模塊一一元二次不等式/課堂精講初中階段我們比較系統(tǒng)的學(xué)習(xí)了一元二次方程與二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),了解了一元二次方程與二次函數(shù)之間的關(guān)系:一元二次方程是二次函數(shù)與x軸相交的一種異常情況,方程的解是函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。今天我們將探尋二次函數(shù)、二次方程與一元二次不等式的關(guān)系。我們先往返顧一次函數(shù)與一次不等式的關(guān)系:kx+n>0的解集表示的是一次函數(shù)y=kx由此,我們可以知道:隨意一個(gè)一元不等式,其含義是:不等式>0的解集表示不等式對(duì)應(yīng)的函數(shù)在x軸上方時(shí)對(duì)應(yīng)自變量取值范圍的集合;不等式<0的解集表示不等式對(duì)應(yīng)的函數(shù)在x1.一元二次不等式形如:ax22.一元二次不等式的解法(1)令ax2+bx當(dāng)Δ>0時(shí),解出方程兩根:(2)令y=ax(3)按照不等式的含義翻譯不等式,讀取解集。注:作草圖時(shí)只需畫x軸。無數(shù)學(xué)生作函數(shù)草圖習(xí)慣第一步就畫坐標(biāo)系,二次函數(shù)因?yàn)槠洚惓Ｐ?應(yīng)先畫拋物線,再按照題意加x軸和y軸第二講不等式的含義與解法以a>0ΔΔΔyx<x1x全體實(shí)數(shù)yx無解集無解集例1解不等式:3解:不等式化為x2-2x令y=x2:.不等式的解集是{x3.成立與恒成立按照上面解一元二次不等式的主意,我們可知:ax2+bxax2+bx4.一元二次不等式的代數(shù)解讀若一個(gè)一元二次不等式能舉行因式分解,則可以按照“同號(hào)得正,異號(hào)得負(fù)”的原則,將其轉(zhuǎn)化為一元一次不等式組求解。例2解不等式x解:不等式左邊可以因式分解,按照“正正(負(fù)負(fù))得正、正負(fù)得負(fù)”的原則，將其轉(zhuǎn)化為一元一次不等式組原不等式可以化為:x+x+3<0∴原不等式的解是x<-3或隨堂練習(xí)[練1]解下列不等式(1)2x2解:(1)不等式可化為2∴不等式的解是x?(2)不等式可化為2x∴不等式的解集是x?[練2]研究不等式x2-原不等式可以化為:x解:(1)若a>-a-1即a>12則x>a或x<1-ax(3)若a<-a-1即a<12[練3]已知對(duì)于隨意實(shí)數(shù)x,kx2-2x+解:顯然k=0時(shí),kx2-2x+6=-2[練4]已知不等式ax2+bx+c<0a≠0的解是解:由不等式ax2+bx+cx>3可知:a<0a∴-ba=5,因?yàn)閍<0,∴可變?yōu)?ba即-5x2+x+6∴不等式bx2+ax-c>0[練5](2023年年秋?惠州高一期末)已知不等式1-ax2-4(1)求常數(shù)a的值;(2)若關(guān)于x的不等式ax2+mx+3≥0解:(1)∵不等式1-ax2∴-3和1是方程1-a把x=1代入方程得解得a=(2)若關(guān)于x的不等式ax2+mx+即3x2+mx+∴△=m2-36≤∴m的取值范圍是[-[練6](2023年年秋?瀘州高一期末)已知函數(shù)y=(1)若y<b的解集為-1<x<2(2)解關(guān)于x的不等式y(tǒng)>解:(1)∵fx<b?2x2-∴a(2)關(guān)于x的不等式f?令2x2-2a-1x-(1)當(dāng)a=-12時(shí),則(2)當(dāng)a>-12時(shí),則x>a(3)當(dāng)a<-12時(shí),則x>-1綜上,當(dāng)a=-12時(shí),解集為當(dāng)a>-12時(shí),解集為x∣x當(dāng)a<-12時(shí),解集為x?x’課堂精講1.分式不等式形如ax+b2.分式不等式的解法將分式不等式轉(zhuǎn)化為一元二次不等式求解,需要注重分式存心義的條件:分母不為0。轉(zhuǎn)化主意:axaxaxax例3解不等式:x-解:":"兩個(gè)式相除異號(hào),那么這兩個(gè)式相乘也異號(hào),:.可將分式不等式直接轉(zhuǎn)化為整式不等式求解?！摺嘣坏仁降慕饧莧x[練7]解下列不等式(1)2x-解:(1)原不等式可化為:2?-1<x<(2)原不等式可化為:1????3x∴原不等式的解集為x∣x<-2[練&8]解不等式:x解:∵x原不等式可化為:x+∴原不等式的解集為{x模塊三容易高次不等式(選講)課堂精講1.高次不等式:定義:形如x-x變形:分式fxg2.數(shù)軸穿根法求解高次不等式(1)將不等式化為x-x1x-x2?x(2)求根,并在數(shù)軸上表示出來;(3)由右上方穿線,經(jīng)過數(shù)軸上表示各根的點(diǎn);(4)若不等式x找“線”在x軸上方的區(qū)間;若不等式是“<0”,則找“線”在x注:因式x-x1n中,n為奇數(shù)時(shí),曲線在x1點(diǎn)處穿過數(shù)軸;n為偶數(shù)時(shí),曲線在x1點(diǎn)處不穿過數(shù)軸例4解不等式:x-解:(1)x-1x+2(2)令x0-3>0,即x=0時(shí)函數(shù)值為正,圖像畫在x軸上方,由奇穿偶不穿知:在x=-2時(shí),x+21的次數(shù)為1次是奇數(shù),∴圖像會(huì)穿過根x=-2,同理圖像也會(huì)穿過隨堂練習(xí)[練9]解不等式:x解:(1)檢查各因式中x的符號(hào)均正;(2)求得相應(yīng)方程的根為:-(3)在數(shù)軸上表各根并穿線,每根穿一次如下圖:∴不等式的解集為:{x∣-1<x[練10]解不等式:x解:(1)將原不等式化為:x-3x+1x+22(4)∴原不等式的解集是{x∣-1≤x[練11]解不等式(1)x(2)x解:(1)x?x<-1或∴原不等式的解集為x?x<-1(2)x?∴原不等式的解集為{x∣-2<x課后提升[鞏固1]解下列不等式:(1)x2-2(3)x2-解:(1)不等式可化為x:.不等式的解集是{x(2)不等式可化為x:.不等式的解集是{2(3)不等式可化為x-12(4)不等式可化為x:.不等式的解集是{x∣x≤-[鞏固2]解下列不等式(1)5x>解:(1)5-∴原不等式的解集為{x(2)2x∴原不等式的解集為{x[鞏固3]已知對(duì)于隨意實(shí)數(shù)x,kx2-2x+解:顯然k=0時(shí),不合題意,k?[鞏固4]已知不等式ax2+bx<13,求a和b的值,并解不等式解:題意-12和13是方程a主意1:韋達(dá)定理:-解得a=-主意2:直接代入方程得:a∴不等式bx2-5x解得x>1或x<-6.∴不等式解集為[鞏固5](2023年年秋?順義區(qū)高一期末)已知不等式ax(1)若1是不等式的一個(gè)解,求a的取值范圍;(2)若ax2-5x+等式-ax解:(1)不等式ax2-5x由1∈M,∴a?1∴a的取值范圍是-∞(2)若M=則12和2是方程ax2由根與系數(shù)的關(guān)系知12+2=5∴不等式-a即為:-2∴2x2-7x+6>∴不等式的解集為x?x<32[鞏固6]已知關(guān)于x的不等式ax(1)當(dāng)a>0時(shí),解關(guān)于x(2)當(dāng)2≤x≤3時(shí),不等式成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解:(1)ax2-x+1-a≤0可化為x-(1)當(dāng)1-aa>1,即0(2)當(dāng)1-aa=1,即a=1(3)當(dāng)1-aa<1,即a>1綜上:當(dāng)0<a<12當(dāng)a=12時(shí),不等式的解集為當(dāng)a>12時(shí),不等式的解集為(2)由題意不等式ax2-x+1-a≤0化為ax2-1≤x-1,當(dāng)x∈[2,3]時(shí),x-1∈[1,2],[鞏固7]已知fx(1)當(dāng)a=-1,b=2,c=(2)當(dāng)f1=f3=0,且當(dāng)恒成立,求實(shí)數(shù)a的最小值.解:(1)當(dāng)a=-1,b=2,則fx≤1即∴x-3x+1≥0,所以不等式fx≤1的解集為{x∣(II)因?yàn)閒1所以fx=ax-1x-3,fx=ax-1x-3而0<x僅當(dāng)x-1=3-x,∴1所以-a≤1,即所以a的最小值是-1;(II)或解:fx=ax-1x-3即ax-1x-3-令gx=(1)當(dāng)a=0時(shí),gx=-1<0在x(2)當(dāng)a>0時(shí),易知在x∈1,(3)當(dāng)a<0時(shí),則-a-1綜上所述,a≥-1所以a模塊一基本不等式1課堂精講我們知道,乘法公式在代數(shù)式的運(yùn)算中有重要作用。那么,是否也有一些不等式,它們?cè)诮鉀Q不等式問題時(shí)有著與乘法公式類似的重要作用呢?下面就來研究這個(gè)問題。由徹低平方公式:a我們知道,平方具有非負(fù)性,所以上面的代數(shù)式滿意:a2+b2-2ab≥0?a2+b2≥2ab,該不等式在數(shù)學(xué)中具有重要的作用,我們把:a2+b1.基本不等式對(duì)于隨意兩個(gè)正實(shí)數(shù)a,b有:a+b2≥ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立。我們稱不等式a+b2≥ab為基本不等式,也稱均值不等式。其中a+2.基本不等式的幾何解釋作一圓,直徑為AB,過C作垂線,銜接AC設(shè)AD=a,BD由△ACD～△BCD?由圖可得不等式:OH≥CD恒成立,當(dāng)且僅當(dāng)CD=OH,即第三講基本不等式3.基本不等式的變形應(yīng)用應(yīng)用條件:一正、二定、三相等變式一:a+b≥2ab,變式二:a2+b2≥ab例1當(dāng)x>0時(shí),求x解:∵當(dāng)且僅當(dāng)x=1x時(shí)取等,即x∴x+1隨堂練習(xí)[練&1](2023年年秋?閻良區(qū)高一期末)函數(shù)y=x+4x-A.3B.4C.5D.6解:∵=當(dāng)且僅當(dāng)x-1=4x-1∴函數(shù)y=x+[練2](2023年年秋?高要區(qū)校級(jí)期中)若x>1,則函數(shù)y=xA.6B.7C.8D.9解:∵x>1,x-1>0∴x+9x-1=x-1+A.3B.3C.-1D.3解:∵x>0,∴3x+1x≥23x?[練4]當(dāng)直線在x軸上和y軸上的截距(直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)離原點(diǎn)的距離)分離為a,b時(shí),直線的解析式可以用xa+yb=1表示。已知直線l過點(diǎn)P(1,2),與兩坐標(biāo)軸的正半軸(1)若△OAB的面積為254,求直線l(2)求ΔOAB的面積的最小值。解:(1)由題意設(shè)直線l則1a+2b=1S=1∴直線l:x+2y(2)∵1∴ab∴S=12ab∴△ABC面積最小值為4,此時(shí)直線[練5](2023年年-新課標(biāo)II改編)△ABC中角A,B,C所對(duì)邊為a,b,c解:由題意A=120°,a=3,可知:三角形ABC其中:b由均值不等式可知:b∴b+c2=b2+c2+2bc≥4bc,當(dāng)且僅當(dāng)由圖可得:a2b=sin由△構(gòu)成條件:b∴模塊二構(gòu)造法解決二元最值課堂精講由模塊一的知識(shí),我們知道了:在隨意的正二項(xiàng)式中,我們可以通過套用基本不等式來解決正二項(xiàng)式的最值。倘若我們現(xiàn)在把正二項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為二元代數(shù)式,是否也能通過基本不等式來求解二元代數(shù)式的最值呢?例2(2023年年春?渝中區(qū)校級(jí)月考)已知正實(shí)數(shù)x,y滿意xy+2x-2A.2B.4C.43解:∵正實(shí)數(shù)x,y滿意∴xy∴4x且僅當(dāng)4x=2x,即上面的例題,利用代入消元的主意,消去了一個(gè)未知數(shù),從而使二元問題轉(zhuǎn)化為單元問題,然后再對(duì)其結(jié)構(gòu)使用了均值不等式求最值。但并非所有的二元結(jié)構(gòu)都可以通過消元來解決,偶爾通過消元還有可能使其結(jié)構(gòu)變得更復(fù)雜。接下來我們將推薦幾類改寫二元代數(shù)式的主意。1.數(shù)字“1”的構(gòu)造題目給定二元變量關(guān)系mx+ny=t時(shí),我們可以將不等式化為:mtx+nty=1.然后在問題所涉及的二元代數(shù)式中構(gòu)造“1”,再將上面改寫的“1”代ax例3(2023年年秋?涼州區(qū)期末)已知ab>0,a+b=A.0.5B.1C.2D.4解:∵1a(當(dāng)且僅當(dāng)ba=ab,即a=2.結(jié)構(gòu)化構(gòu)造通過看見所給二元代數(shù)式的結(jié)構(gòu),以及問題的二元代數(shù)式結(jié)構(gòu)出發(fā),對(duì)一些結(jié)構(gòu)舉行容易改寫。例4若正實(shí)數(shù)x,y滿意x+y=1,則解:∵x4=121+4+3.初識(shí)成立與恒成立我們常常會(huì)碰到一些成立與恒成立的問題,對(duì)于成立與恒成立的翻譯如下:設(shè)詞結(jié)論a恒成立a有解a成立aa恒成立a有解a成立a例5(2023年年秋?蘭山期中)已知a>0,b>0,a+2b=ab,若A.1B.2C.3D.7解:2≥5+22ba?2ab=9,當(dāng)且僅當(dāng)2ba=2ab且1b+隨堂練習(xí)[練&6]已知正實(shí)數(shù)x,y滿意x+y=2,則A.92解:1x+4y=121x+4yx+值是(C)A.1B.2C.4D.6解:1x+2y=1x+2y2x+y×12=yx+4xy+4×12≥24+A.8B.9C.10D.11解:2a+b=2a+b2a+1b=2bm+n=1,則1A.1B.5C.32+解:∵m+n=1,∴m+n+1=2,[練&10]設(shè)a>0,b>0,1a+4b=2,A.-∞,9C.-∞,9解:a+b=12a+b1a+4b=125+ba+4ab≥125+2ba?4[練13]已知函數(shù)y=(1)若m=1,求當(dāng)x>(2)當(dāng)x<1時(shí),函數(shù)有最大值-3,求m解:(1)m=1時(shí),∵x∴y當(dāng)且僅當(dāng)x-1=1x-1∴當(dāng)x>1(2)∵x∴-2當(dāng)且僅當(dāng)1-x=m1-x即函數(shù)的最大值為-2m+1,∴-[練&11]若x>0,y7m恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是A.-8<m<1B.C.m<-1或m解:x+2y=x+2y2x+1y=4+4yx+xy≥4+24yx?xy=8,0,y>0),且1(1)求m;(2)若關(guān)于x的不等式ax2-ax+m≥0解:(1)∵x∴1x+1+1y=1x+1+1y(2)關(guān)于x的不等式ax2-ax+m≥0的解集R?關(guān)于x(1)當(dāng)a=0時(shí),47(2)當(dāng)a>0△=a2-16綜上,a的取值范圍為0,167.模塊三初中階段我們學(xué)習(xí)了用函數(shù)主意解決實(shí)際生活中的應(yīng)用,并且求出其最優(yōu)解的主意,今天我們將學(xué)習(xí)如何用基本不等式來解決實(shí)際生活中的最優(yōu)解。例6某化工廠生產(chǎn)的某種化工產(chǎn)品,當(dāng)年產(chǎn)量在150噸至250噸之間時(shí),其生產(chǎn)的總成本y(萬元)與年產(chǎn)量(噸)之間的函數(shù)關(guān)系式近似地表示為y=x210-(1)每噸平均出廠價(jià)為16萬元,年產(chǎn)量為多少噸時(shí),可獲得最大利潤(rùn)?并求出最大利潤(rùn);(2)年產(chǎn)量為多少噸時(shí),每噸的平均成本最低?并求出最低成.解:(1)年產(chǎn)量為x,年利潤(rùn)為z萬元,按照題意得:z230當(dāng)x=230時(shí),zmax(2)年產(chǎn)量為x噸時(shí),每噸的平均成本為W萬元,為y3030∵∴x=200時(shí)年產(chǎn)量為200噸時(shí),每噸的平均成本最低為10萬元.[練14]在交通繁忙的時(shí)段內(nèi),某馬路段汽車的車流量y(千輛/小時(shí))與汽車的平均速度v(千米/小時(shí))之間的函數(shù)關(guān)系為:y=(1)在該時(shí)段內(nèi),當(dāng)汽車的平均速度v為多少時(shí),車流量最大?最大車流量為多少?(2)若要求在該時(shí)段內(nèi)車流量超過10千輛/小時(shí),則汽車的平均速度應(yīng)在什么范圍內(nèi)?解:(1)y=當(dāng)且僅當(dāng)v=1600v,即v=40∴ymax=92083當(dāng)v=40?km/h時(shí),車流量最大,約為92083(2)由條件得920v收拾得v2即v-25v-64∴倘若要求在該時(shí)段內(nèi)車流量超過10千輛/時(shí),則汽車的平均速度應(yīng)大于25?km/h[練15]某產(chǎn)品的年銷售量(即該廠的年產(chǎn)量)x萬件與年促銷費(fèi)用m萬元m≥0滿意:x=3-km+1(k為常數(shù)),不搞促銷,該產(chǎn)品年銷售量是1萬件。已知2023年年年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬元,每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入16(1)求產(chǎn)品利潤(rùn)y與年促銷費(fèi)用m的函數(shù);(2)促銷費(fèi)用投入多少萬元時(shí),廠家利潤(rùn)最大?解:(1)當(dāng)m=0時(shí),x=1,∴∴x=3-∴==-16(2)∵利潤(rùn)函數(shù)y=-∴當(dāng)m≥0時(shí),∴y≤-8+29=21,當(dāng)且僅當(dāng)16m+1=m+廠家促銷費(fèi)用投入3萬元時(shí),利潤(rùn)最大為21萬4課后提升[鞏固1](2023年年秋?南陽(yáng)期中)設(shè)x>0,y>0,2x+1A.7B.8C.9D.10解:2x+y=2x+y2x+1y=5+2yx+2xy≥5+22xy?2yx=A.2+1C.2-1解:1x+1y=1x+[鞏固3](2023年年秋?湖北月考)若正實(shí)數(shù)m,n滿意2m+1n=1A.42B.6C.2解:2m+n=2m+n2m+1n=2mn+2nm+5≥22mn?2nm+A.(-∞,8]C.(-∞,7]解:a+b=a+b1a+9b=1+9ab+ba+9[鞏固5]若實(shí)數(shù)x+2y=4x>1,A.12B.1C.4解:令m=x-1,n=2y-1,∴m+n=2,∴[鞏固6]已知x>0,y>0,且x+2y=1A.-8≤m≤1B.C.-1≤m≤8D.解:2x+1y=x+2y2x+1y=4yx+xy+4≥4+24=8(當(dāng)4yx=xy即x=2y=12時(shí)取等)∵A.{x∣x≤-B.{x∣x≤-C.{D.{解:3x+2y=2x+3y3x+2y=4yx+9xy+12≥24yx?9xy[鞏固8](1)x<54,求(2)求函數(shù)y=x解:(1)y=4x-2+14x-5=-5-4x+15-4x+3≤-25-4x[鞏固9]函數(shù)y(1)求y1的最大值與最小值(2)當(dāng)1≤x≤5時(shí),y1≥y2解:(1)∵x>0,∴fx=x2∴函數(shù)fx的值域?yàn)閇(2)當(dāng)x∈[2,5]時(shí),fx≥gx恒成立又x∴-6≥m,即實(shí)數(shù)m的取值范圍為[鞏固10]某旅游公司在相距為100?km的兩景點(diǎn)間開設(shè)了一個(gè)游船觀光項(xiàng)目。游船最大時(shí)速為50?km/h,游船每小時(shí)的燃料費(fèi)用與速度的平方成正比例,當(dāng)游船速度為20?km/h時(shí),燃料費(fèi)用為每小時(shí)(1)當(dāng)游船以30?km/h航行時(shí),旅游公司單程獲得的利潤(rùn)是多少?(利潤(rùn)=收入(2)游船的航速為何值時(shí),旅游公司單程獲得的利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)是多少?解:(1)設(shè)游船的速度為v?km/h,旅游公司單程獲得的利潤(rùn)為**游船的燃料費(fèi)用為每小時(shí)k?v2元,依題意k?202=60,∴y=6000v=30km/h時(shí),y=(2)y=6000-15v-24000v≤6000-215v?24000v=4800,當(dāng)且僅當(dāng)15v模塊一集合的概念與表示1課堂精講情境1,說到集合,相信學(xué)生對(duì)這個(gè)名詞并不陌生,我們一定在某個(gè)場(chǎng)合下聽到過“集合”這個(gè)詞?！饐栴}:軍訓(xùn)時(shí),我們常常聽到教官下達(dá)“集合”的口令,eg:“高一(1)班全體學(xué)生,集合!”這里所談到的“集合”有什么特點(diǎn)?“高一(1)班的高個(gè)子男生,集合!”這樣的口令教官能下達(dá)嗎?為什么※設(shè)計(jì)意圖:讓學(xué)生理解集合中元素的特征:決定性。(1)情境2,請(qǐng)模仿下列講述,推薦你初中畢業(yè)的小學(xué)及年級(jí)情況:我來自第三十一中學(xué)初三(2)班,全班共有學(xué)生45人,其中男生22人,女生23人?！瑔栴}:情景中的“小學(xué)”“年級(jí)”“男生”“女生”等概念有什么共同的特征?○設(shè)計(jì)意圖:通過對(duì)這些概念,感知集合含義:“一定范圍內(nèi)可以決定的,不同對(duì)象的全體”。(5)情境3:高一(1)班全體學(xué)生參加校運(yùn)會(huì)進(jìn)場(chǎng)方陣.●問題:學(xué)生們會(huì)通過變換方陣展示高一(1)班風(fēng)采。方陣變換前后,高一(1)班學(xué)生只是位置改變了是嗎?※設(shè)計(jì)意圖:通過同班學(xué)生位置的改變,讓學(xué)生理解集合中元素的特征:無序性。1.元素與集合的概念元素:普通地,把研究的對(duì)象統(tǒng)稱為元素,常用小寫拉丁字母a,b,集合:把一些元素組成的總體叫做集合(簡(jiǎn)稱集).用大寫拉丁字母A、B、集合中元素具有的特性:決定性、無序性、互異性。第四講元素與集合2.常用數(shù)集常用數(shù)集天然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集記法NN*或ZQR例1判斷下列各組能否構(gòu)成一個(gè)集合,說明理由。(1)所有聞名的數(shù)學(xué)家;(2)全校身高明過185?cm(3)方程x2-1(4)大于-5的所有負(fù)數(shù).解:(1)不能,集合具有決定性,“聞名的數(shù)學(xué)家”無明確標(biāo)準(zhǔn),故不能構(gòu)成一個(gè)集合(2)不能,集合具有決定性,“部分女生”無明確范圍,故不能構(gòu)成一個(gè)集合.(3)能,x2-1=0的解為x=±1,有(4)能,大于-5的所有負(fù)數(shù)即-5<x<0,有決定的范圍3.天然語(yǔ)言法描述集合定義:用文字講述的形式描述集合的主意叫做天然語(yǔ)言法。典例:云南昆明海拔1000?m以上的山有五華山、盤龍區(qū)長(zhǎng)蟲山、西山區(qū)西山、金殿、碧雞山4.圖示法(Veen圖)表示集合定義:在數(shù)學(xué)中,我們常常用平面上封閉曲線的內(nèi)部表示集合,這種圖稱為Veen圖。5.列舉法表示集合定義:把集合的所有元素一一列舉出來,并用花括號(hào)“{?}”括起來表示集合的典例:“地球上的四大洋”組成的集合可以表示為{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋};“方程x2-3x+2=0○使用列舉法時(shí),需要注重以下幾點(diǎn):(1)元素間用“,”分隔開并且元素不能重復(fù);(2)元素?zé)o順序,如集合{1,3,5,7(3)對(duì)于含較多元素的集合,倘若構(gòu)成該集合的元素有顯然邏輯,可用列舉法,但是必須把元素間的邏輯表述清晰后才干用省略號(hào)。4.描述法表示集合定義:普通地,設(shè)A是一個(gè)集合,我們把集合A中所有具有共同特征Px的元素x所組成的集合表示為{x∈A典例:不等式x-7<3的解集{x∈R∣x-7<3};奇數(shù)集(1)若集合中x屬于天然數(shù)集時(shí),可以簡(jiǎn)寫,即{x∈R∣x(2)寫簡(jiǎn)明、確切的語(yǔ)言舉行描述,如方程、不等式、集合圖形等;(3)不能浮上未被說明的字母,如{x∈Z∣x=2m}中(4)所有描述的內(nèi)容都要寫在花括號(hào)內(nèi),如“{x∈Z∣x=2m},m∈N”不符合要求,應(yīng)將“(5)多層描述時(shí),應(yīng)該確切適用“且”“或”等表示元素之間關(guān)系的詞語(yǔ),如{x∣x>1例2用適當(dāng)?shù)闹饕獗硎鞠铝屑?(1)方程組2x-3解:2x-3y=143x+(2)1000以內(nèi)被3除余2的正整數(shù)所構(gòu)成的集合;解:集合的代表元素是數(shù)x,用描述法表示為{x∣x=3k(3)直角坐標(biāo)平面上第二象限內(nèi)的點(diǎn)構(gòu)成的集合;解:集合的代表元素是點(diǎn)x,y,用描述法表示為x,y)|(4)所有三角形構(gòu)成的集合.解:集合用描述法表示為{x∣x是三角形},簡(jiǎn)寫為{三角形5.數(shù)集與點(diǎn)集(1)對(duì)于集合A=x∣x2+x-1=0,A中的元素是方程(2)對(duì)于集合N={x,y∣2x-y+4=隨堂練習(xí)[練1](多選)下列各組不能構(gòu)成集合的是(BC)A.數(shù)學(xué)必修一課本中所有的難題;B.本班16歲以下的全體學(xué)生;C.方程x-4D.2的近似值的全體.解:A不能,集合具有決定性,而“難題”無法決定詳細(xì)范圍,不構(gòu)成集合.B能,能決定詳細(xì)范圍,且元素之間可區(qū)別,滿意集合要求,能構(gòu)成集合.C能,x-4解為x=4,是決定的,能組成集合.D不能,集合具有決定性,對(duì)“近似”確實(shí)切[練2]下列四組對(duì)象中能構(gòu)成集合的是(D)A.昆明八中學(xué)習(xí)好的學(xué)生B.在數(shù)軸上與原點(diǎn)異常近的點(diǎn)C.很小的實(shí)數(shù)D.倒數(shù)等于本身的數(shù)解:"."集合中的元素具有決定性,而對(duì)于A,B,C,學(xué)習(xí)好、異常近、很小都是含糊的概念，沒有明確的標(biāo)準(zhǔn)，不符合決定性;∴A,B,C錯(cuò)誤,對(duì)于D,符合集合的定義,D準(zhǔn)確,故選A.10以內(nèi)的質(zhì)數(shù)組成的集合是{B.由1,2,3組成集合可為{C.方程x2-2x+1=0的所有解的集合是解:10以內(nèi)質(zhì)數(shù)的集合是{2,3,5,7由集合中元素的無序性知{1,2,3}和{3,2方程x2-2x+1由集合的表示主意知0不是集合,故D錯(cuò)誤[練&4]下列集合表示x+y=A.{2,C.{2,解:∵則方程組x+y=3x-y=1[練5]用另一種主意表示下列集合(1){x(2){0(3){平面直角坐標(biāo)系中第二象限內(nèi)的點(diǎn)}.解:(1){x0,4};(2)(3){平面直角坐標(biāo)系中第二象限內(nèi)的點(diǎn)}={x,y[練6]用描述法表示下列集合:(1){2(2)13(3)正偶數(shù)集;(4)被3除余2的正整數(shù)組成的集合;(5)平面直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)軸上的點(diǎn)組成的集合;解:(6)1,(1){x∈N∣2≤x≤12,且(2)x?(3)x(4)x∈(5){x(6)x∣[練7]已知集合A=(1)當(dāng)k=-3時(shí),求集合(2)若A=R,求實(shí)數(shù)k解:(1)k=-3時(shí),由得x-∴x<-1或∴A={x|x(2)依題意x2-2x+k>則△=-22-4k<即實(shí)數(shù)k的取值范圍是1,+∞’課堂精講1.元素與集合的關(guān)系關(guān)系概念記法讀法屬于a是集合A的元素,就說a屬于集合Aaa屬于集合A不屬于a不是集合A中的元素,就說a不屬于集合Aaa不屬于集合A例3設(shè)集合A={x∣A.2∈AC.3?A解:∵A中元素范圍為-∞,2,則AC錯(cuò)誤,D準(zhǔn)確,而選項(xiàng)B,符號(hào)?表示集合與集合的關(guān)系,∴2.元素的特性性質(zhì)含義示例決定性對(duì)于隨意一個(gè)元素,要么它屬于某個(gè)指定集合,要么它不屬于該集合,二者必居其一集合A={1,2,3互異性同一個(gè)集合中的元素是互不相同的,相同的元素只浮上一次方程x2-2x+1=0的根構(gòu)成的集合惟獨(dú)一個(gè)無序性集合中的元素沒有先后順序,隨意改變集合中元素的羅列順序,它們依然表示同一集合集合{1,2}和{例A=x,x2x∈R解:集合A=x,x2x∈R,∵1∈A,即x=1或x2=1,得例5若2∈1,aA.2B.1或-1C.1D.-1解:2∈1,a2+1,a+1,則a+1=2或a2+1=2,∴a=1或-1,隨堂練習(xí)[練&1]給出關(guān)系:(1)12∈R;(2)2∈Q;(3)-3∈NA.1B.2C.3D.4解:(1)12∈R,準(zhǔn)確;(2)2∈Q,錯(cuò)誤;(3)-3∈N,正確:(4)-3∈Z,錯(cuò)誤;(5)0?N,錯(cuò)誤,A.2?RC.13∈Q解:A.2∈實(shí)數(shù),∴A錯(cuò);B.N*是正整數(shù)集,可知0?N*,∴B錯(cuò),C.13是有理數(shù),[練3]已知集合M=a,2a-1,2a2-A.3B.1C.-3D.-1解:若a=1,則2a-1=1,不滿意集合的互異性,舍去.若2a性,舍去.若2a2-1=1,則a=-1,或a=1,由(1)可知a=1不合題意,當(dāng)a=-1時(shí),2a-1=-3,此時(shí)M={-1,-3,1},故MA.4B.5C.6D.7解:∵A={1,2,3},B={z∣z=x-y,x∈A,y∈A},∴x=1,2,3,y=1,2,3當(dāng)x=1時(shí),x-y=0,-1,-2當(dāng)A.-12C.-12解:因?yàn)榧螾=-1,2a+1,a2-1,0∈P,∴2a+1=0或a2-1=0,∴a=-12或a=±1;當(dāng)[練6]用符號(hào)“∈”或“?”填空(1)0_∈∈Q解:(1)∵0是天然數(shù),∴0∈N;∵5不是天然數(shù),∴5?N;∵162∴2-3+2[練7]含有三個(gè)實(shí)數(shù)的集合既可表示為b,ba,0,也可表示為{a解:∵集合b,因?yàn)閎a中a≠0,∴a+b一定等于0,即a+b=0,a=-b;∴ba=-1,在后一種表示的集合中有一個(gè)元素是1,只能是b,∴b=1,∴a解:A中至少有一元素,則ax2-3x+2=0至少有一解當(dāng)a=0時(shí),方程ax當(dāng)a≠0,判別式Δ=9-8a≥0綜上,a的取值范圍為a≤98,[練9]設(shè)集合A中含有三個(gè)元素3,(1)求實(shí)數(shù)x應(yīng)滿意的條件;(2)若-2也是集合A的一個(gè)元素,求實(shí)數(shù)x.由集合中元素的互異性,有:x≠解:解得:x≠-1且x≠0∵-2也是集合A的一個(gè)元素,故由元素的互異性可舉行分類研究(1)當(dāng)x=-2,(2)當(dāng)x2-2綜上所述,x=-[練10]已知集合A=(1)集合A中的方程無解,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(2)若A是單元素集,求a的值及集合A.解:(1)若A=?,則集合A無真子集這時(shí)關(guān)于x的方程ax2-則a≠0,且△=9-8(2)若A是單元素集,則集合A中僅有一個(gè)元素.可分為兩種情況:(1)a=0時(shí),(2)a≠0時(shí),則解得a=4課后提升[鞏固1]下面給出的選項(xiàng)中,能組成集合的是(D)A.高一某班個(gè)子較高的學(xué)生B.比較聞名的科學(xué)家C.無限臨近于4的實(shí)數(shù)D.到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的全體解:選項(xiàng)A,B,C所描述的對(duì)象沒有一個(gè)明確的標(biāo)準(zhǔn),故不能構(gòu)成一個(gè)集合,選項(xiàng)D的標(biāo)準(zhǔn)唯一,故能組成集合.[鞏固2]A={x∈Z∣-A.1B.2C.3D.4解:"."集合A={x∈Z∣-1<x<3}={[鞏固3]設(shè)集合A={x∣A.3?AC.2∈A解:∵集合A={x∣x>2},∴3∈A,A錯(cuò)誤;5∈[鞏固4]若集合x∣ax2-x+1=0A.14B.0C.4D.0或解:分類研究(1)當(dāng)a=0時(shí),方程的解為x=1,符合題意;(2)當(dāng)a≠0時(shí),由△=1-4a=0得a=14(1)設(shè)A為所有亞洲國(guó)家組成的集合,則中國(guó)∈A,美國(guó)????A(2)若A=x∣x2(3)若A=x∣x2(4)若A={x∈N∣9.1?[鞏固6]方程的解集為x∈R∣2x2解:2x2-3x-2=0得x=-12或x=2,故-解:∵1∈B,B=a,a2,2,∴a2=1(1)A=(2)B={(3)C={解:(1)由xx2-4=0解得x=0,或(2)由x+y=52x-y=1,解得x=2,y=3,則[鞏固9]集合A=(1)若12∈A,用列舉法表示(2)若A中有且僅有一個(gè)元素,求a的值組成的集合B.解:(1)∵12∈A,∴12是方程ax2+2x∴x1=12(2)若a=0,則方程為2x+1若a≠0,A中僅有一個(gè)元素,則△=4-4a=0,即[鞏固10]已知A=(1)若1∈A,用列舉法表示(2)當(dāng)A中有且惟獨(dú)一個(gè)元素時(shí),求a的值組成的集合B.解:A=(1)當(dāng)1∈A時(shí),ax∴a+2+1∴方程為-3解得x=1或(2)當(dāng)a=0時(shí),2x+1A=當(dāng)a≠0時(shí),若集合A惟獨(dú)由一元二次方程a判別式△=4-4a=綜上,當(dāng)a=0或a=1時(shí),集合∴a的值組成的集合B模塊一集合的關(guān)系1課堂精講(1)情境1看見集合:E為第一中學(xué)高二(5)班全體女生組成的集合,F為這個(gè)班全體學(xué)生組成的集合.○問題:集合F都包含集合E的元素嗎?※設(shè)計(jì)意圖:通過實(shí)際生活,體味集合關(guān)系中一個(gè)集合中的“隨意一個(gè)元素”與另一集合中元素的關(guān)系。(1)情境2我們知道,實(shí)數(shù)可以比較大小,如1<2.類比實(shí)數(shù)比較大小,集合是否也可以“比較大小”○問題1:數(shù)學(xué)中,我們常用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合,這種圖稱為Veen圖。集合A={1,2,3},B={1,2,3},C={1○問題2:已知集合A={xx>0},B={xx>-1},嘗試用數(shù)軸表示集合○設(shè)計(jì)意圖:讓學(xué)生在看見過程中對(duì)集合關(guān)系與元素的關(guān)系有初步的感知。1.子集普通地,兩個(gè)集合A,B,若集合A中隨意一個(gè)元素都是集合B中的元素,我們就說這兩個(gè)集合有包含關(guān)系,稱集合A為集合B的子集,記作A?B(或B?A)讀作“A含于B”(或第五講集合的關(guān)系與運(yùn)算異常提醒:″“A是B的子集”含義是:A的任何一個(gè)元素都是B的元素,即由隨意的x∈A,能推出○當(dāng)A不是B的子集時(shí),我們記作“A?或B≠”,讀作:“A不包含于B”(或“B2.集合相等若集合A是集合B的子集A?B,且集合B是集合A的子集B?A,則此時(shí)兩集合元素一樣,那么就說集合A與集合B相等,3.真子集若A?B且A≠B,就說集合A真包含于集合B(或集合B真包含集合A),那么集合A是集合B的真子集,記作A?4.空集定義:不含任何元素的集合叫空集,用符號(hào)?表示規(guī)定:空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,空集本身沒有真子集。例1已知集合A=x?x=A.A?BC.A∩B解:集合A=x?x=2n,n∈N*=例2下列各組中M、PA.M={B.M={C.M=D.M解:在A中,M={3,-1}是數(shù)集,P={3,-1}是點(diǎn)集,二者不是同一集合,A錯(cuò);在B中,M={3,1},P={1,3}表示不同點(diǎn),B錯(cuò);在C中,M=y∣y=x2-1=[-隨堂練習(xí)[練1]下列集合與集合A={1,3}A.1B.{C.xD.{解:∵x∣x2-4x+3=0={1,3[練2]若集合M={x∣x≤A.{a}?C.{a}∈M解:∵集合M={x∣x≤6},a=5,∴{a}?M[練3]A.M=PB.P∈MC.M?PD.P?M解:∵y=x[練4]若A={1,2},B={xA.4B.8C.16D.32解:∵A={1,2},∴B={x,[練5]已知集合A=2,4,a2,B={A.-3B.-2C.3D.-2或3解:因?yàn)锽?A,若a+6=4,則a=-2,a2=4,集合A中的元素不滿意互異性,舍去;若a+6=a2,則a=3或(1)若A惟獨(dú)一個(gè)元素,求a值,并求出這個(gè)元素;(2)若A是空集,求a的取值范圍;(3)若A中至多有一個(gè)元素,求a的取值范圍.解:(1)若A中惟獨(dú)一個(gè)元素,則方程ax2+2x+1=0有且惟獨(dú)一個(gè)實(shí)根,當(dāng)a=0當(dāng)a≠0,此時(shí)△=4-4a=0,得:a=1,此時(shí)x=-1(2)若A是空集,則方程ax2+2x+1=0無解此時(shí)△=4-4a<0,解得:a>1.(3)若A中至多惟獨(dú)一個(gè)元素,則A(1)若y≤0的解集為空集,求m(2)若A={x∣1≤x≤2}是B=解:(1)∵y≤0∴△=解得:-1<m<1(2)設(shè)函數(shù)fx∵A是B的子集∴解得:m≥∴m的取值范圍為:5課堂精講我們知道,實(shí)數(shù)有加、減、乘、除等運(yùn)算。集合是否也有類似的運(yùn)算呢?看見下面的集合,類比實(shí)數(shù)的加法運(yùn)算,你能說出集合A與集合B之間的關(guān)系嗎?(1)A(2)A={x/x是有理數(shù)},BC={x/x在上述兩個(gè)問題中,集合A,B與集合C之間都具有這樣一種關(guān)系:集合C是由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧1.并集普通地,由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合,稱為集合A與B的并集,記作A∪B(讀作“A并B”),即A∪B例3若集合M={-2,-1,1},∪N等于A.{-2,-C.{-2,-解:∵M(jìn)={-2,-1,1},A∪AA若x∈A∪B,則x∈A∪B=??x3.交集普通地,由屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合稱為集合A與B的交集,記作A∩B(讀作“A交B”),即A∩B例4已知集合A={則AA.?B.{C.{3,解:由題意:∵集合A={x2x-1>5}={A∩AA∩若x∈A∩B,則x例5(2023年年.荔灣區(qū)校級(jí)模擬)已知集合A={x,y|x+ay-a=A.3B.-1C.3或-1D.-3或1解:若A∩B=?,則1×在研究問題時(shí),我們常常需要決定研究對(duì)象的范圍。例如,從小學(xué)到初中,數(shù)的研究范圍逐步地由天然數(shù)到正分?jǐn)?shù),再到有理數(shù),引進(jìn)無理數(shù)后,數(shù)的研究范圍擴(kuò)充到實(shí)數(shù)。在不同范圍研究同一個(gè)問題,可能有不同的結(jié)果。例如:方程x-2x2-3=0的解集x在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有三個(gè)解:2,3,-x5.全集普通地,一個(gè)集合含有所研究問題中涉及的所有元素,那么就稱這個(gè)集合為全集,通常記作U.6.補(bǔ)集對(duì)于一個(gè)集合A,由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對(duì)于全集U的補(bǔ)集,簡(jiǎn)稱為集合A的補(bǔ)集,記作?UA,?例6集合A={x∣1A.-∞,1C.-∞,1∪[解:’:集合A={x∣1<隨堂練習(xí)[練1](2023年年.北京卷)已知集合A={x∣-1<xA.{x∣C.{x∣解:∵A={x-1<x<1},B={x0≤x≤2},∴A∪B={A.{B.{x∣x<-C.{x∣x≤-D.{解:由題意:∵集合A≤x≤2},∴[練3](2023年年.湖北模擬)設(shè)集合A=x∣x2-A.{x∣-C.{x∣-解:由題意:∵A={x-4<[練4](2023年年.5月份模擬)集合A=x∈N∣xA.{0,C.{1,解:由題意:A={B[練5](2023年年?河北模擬)集合M={x∣0<xA.0,4B.[1,5)C.0,5D.[1,4)[練6](2023年年.新高考II)全集U={1,2,3A.{3}C.{5,解:∵U={[練7](2023年年.畢節(jié)市模擬)已知全集U=N,集合A=x?A.{2}C.{2,解:由x-3x-1≥0,得x<1或x≥[練8]設(shè)集合A={2,3,5A.{2,C.{2,解:∵A∩B={3},B=x∈Z∣x2-6x+m<0,∴3是x2-6x+[練9]已知集合A={x∣2≤x≤3},集合B={x∣a解:A={要使A∩B=?,需滿意a≥3即a≥3或∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是-∞,-[練&10]已知A=且A∩B=B,求實(shí)數(shù)解:A=因?yàn)锳∩B=B,所以B?A,當(dāng)無解,得a=當(dāng)B≠?時(shí),B={x∣ax--3<1a<2,解得綜上:a的取值范圍是-∞,-[練11]設(shè)全集是R,集合A=x(1)若a=1,求(2)問題:已知______,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。從下面的三個(gè)條件中選一個(gè)填在上面舉行解答。(1)A∩B=B解:(1)A={x∣x<-∴?RA={x|-1≤{x∣0<(2)選(1):A∩B=B,當(dāng)B=?時(shí),則有1-a≥2當(dāng)B≠?時(shí),則有1-a<2a的取值范圍是-∞,-選(2):A∪B=R有1-a<-12a+3>選(3):A∩當(dāng)B=?時(shí),則有1-a≥2當(dāng)B≠?時(shí),則有1-a<2a述,所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,01.課后提升[鞏固1]設(shè)集合A=x∣x2A.A?BC.A?B解:設(shè)集合A=x?x2-2x-3≤0=x?-1≤x≤3},B={[鞏固2](2023年年.河南模擬)已知集合A≤0},B={xA.[-3,-C.[1,解:由題意:∵A={x-3≤x[鞏固3](2023年年.北侖區(qū)校級(jí)模擬)已知A={4,5,6A.{1,C.{3,解:由題":"B={y∣y<3},∴?RB={y∣y≥3},又A={1,2,3,4A.a<2B.a>2解:由已知可得M=[0,2],N=-∞,a,因?yàn)镸?[鞏固5]集合A=x∣x2+x-6≤0A.2B.0C.-1D.1解:∵A={x∣-3≤x-1},B=A.[0,C.{0}解:由題意:A=[1,+∞),?RA=-∞,[鞏固7](2023年年.廣州二模)已知集合P={x∣-3≤xA.[-3,-C.(-∞,-1]解:∵集合P={x-3≤x≤1[鞏固8]集合A={x∣-2≤x≤5}?,?B=解:題意得:當(dāng)B=?時(shí),m+1≥2mB≠?時(shí),m+1<2m-1m[鞏固9]若集合A=x∣x個(gè),求實(shí)數(shù)a的取值范圍為-1解:":"A的子集惟獨(dú)一個(gè),∴A=?,∴方程x2+2ax+1=0無解,∴△=4a2-[鞏固10]設(shè)全集U=R,集合A={(1)求B及?U(2)若集合C={x∣2x求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解:(1)∵B∴∴CUA∩(2)由B∪C=C又因?yàn)镃所以-a解得a>-4.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是a>-4[鞏固11]集合(1)若B?A,求實(shí)數(shù)m(2)當(dāng)x∈R時(shí),沒有元素x使x∈A與x∈B同時(shí)成立解:(1)∵B∴(1)B=?時(shí),m+1>2(2)B≠?時(shí),m≥2m+綜上,實(shí)數(shù)m的取值范圍為-∞,(2)由題意知,A∩(1)B=?時(shí),(2)B≠?時(shí),m≥2m+1>7∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為-∞,模塊一充要條件1課堂精講在初中,我們已經(jīng)對(duì)命題有了初步的認(rèn)識(shí)。普通地,我們把用語(yǔ)言、符號(hào)或式子表達(dá)的,可以判斷真假的陳述句叫做命題。判斷為真的語(yǔ)句是真命題,判斷為假的語(yǔ)句是假命題。中學(xué)數(shù)學(xué)中的許多命題可以寫成“若p,則q”或“倘若p,那么q”等形式。其中p稱為命題的條件,q稱為命題的結(jié)論。本節(jié)主要研究這種形式的命題。下面我們將進(jìn)一步考察“若p,則q”形式的命題中p和q的關(guān)系,學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中的三個(gè)常用的邏輯用語(yǔ)一一充足條件、須要條件和充要條件。下列“若p,則q”形式的命題中,哪些是真命題?哪些是假命題?(1)若平行四邊形的對(duì)角線互相垂直,則這個(gè)平行四邊形是菱形;(2)若兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)相等,則這兩個(gè)三角形全等;(3)若x2-4x+(4)若平面內(nèi)兩條直線a和b均垂直于直線l,則a在命題(1)(4)中,由條件p通過推理可以得出結(jié)論q,所以它們是真命題。在命題(2)(3)中,由條件p不能得出結(jié)論q,所以它們是假命題。第六講邏輯用語(yǔ)1.充足條件與須要條件普通地,“若p,則q”為真命題,是指由p通過推理可以得出q.這時(shí),我們就說,由p可以推出q,記作p?q,并且說,p是q的充足條件,q是p的須要條件。倘若“若p,則q”為假命題,那么由條件p不能推出結(jié)論q,記作p?q.此時(shí),我們就說p不是q的充足條件,q不是p(唯一性:給定條件p,由p推出q成立時(shí),q推出的結(jié)果不唯一,則須要性不成立。eg:x=1?x=1,x=1?x=±1○不等式推論:小范圍不等式成立?大范圍不等式成立,反之不成立(小可推大,大不可推小)例&1設(shè)p:x>2,q:A.充要條件B.充足不須要條件C.須要不充足條件D.既不充足也不須要條件解:q:x2>2,解得x>2或x<-2;若p:x>2成立,則q:x2>2成立,反之,若q:x2>2成立,則p:下列“若p,則q”形式的命題中,哪些命題與它們的逆命題都是真命題?(1)若兩個(gè)三角形的兩角和其中一角所對(duì)的邊分離相等,則這兩個(gè)三角形全等;(2)若兩個(gè)三角形全等,則兩個(gè)三角形周長(zhǎng)相等;(3)若一元二次方程ax2+bx+c=(4)若A∪B是空集,則A與B將命題“若p,則q”中的條件p和結(jié)論q互換,就得到一個(gè)新的命題“若q,則p”,稱這個(gè)命題為原命題的逆命題。不難發(fā)現(xiàn),上述命題中的命題(1)(4)和它們的逆命題都是真命題;命題(2)是真命題,但它的逆命題是假命題;命題(3)是假命題,但它的逆命題是真命題.倘若“若p,則q”和它的逆命題“若q,則p”均是真命題,即既有p?q,又有q?p此時(shí),p既是q的充足條件,也是q的須要條件,我們說p是q的充足須要條件,簡(jiǎn)稱為充要條件.隨堂練習(xí)[練1]設(shè)a,b,c是實(shí)數(shù),則“a>b(B)A.充足不須要條件B.須要不充足條件C.充要條件D.不充足也不須要條件解:由“ac2>bc2”?“a>b”,反之不成立,例如c=0時(shí),“a>b”是“ac2>bc2須要不A.充足不須要條件B.須要不充足條件C.充要條件D.既不充足也不須要條件解:由x-1<2,可得-[練3]已知p:x≥k,q:x+12-x<0,倘若p是A.[2,+∞)C.[1,+∞)解:由q:x+12-x<0,得x<-1或x>2,又p是q的充足[練4](多選)若x2-x-2<0不須要條件,則實(shí)數(shù)a的值可以是(BCD)A.1B.2C.3D.4解:由x2-x-2<0,解得-1<x<2.∵x2-x-2<0是[練5]一元二次方程ax2正根和一個(gè)負(fù)根的充足不須要條件是(C)A.a<0C.a<-1解:ax2+2x+1=0,a而a<0的一個(gè)充足不須要條件是a<-1故選:C。[練6]x∈R,則“x-A.充足不須要條件B.須要不充足條件C.充要條件D.既不充足也不須要條件解:x-2<1,得1<x<3,x2+2x-3>0,得x<-3或x>1,“1<x<3”成立,則“x<-3或x>1[練7]“一元二次方程x2+x+m=0A.m<-1C.m>1解:若一元二次方程x2+x則判別式△=1-4m≥0分不須要條件是m<-14,故選:[練8]已知集合Ax∣x(1)若A∩B=?,求實(shí)數(shù)m(2)若“x∈A”是“x∈B”的充足不須要條件,求實(shí)數(shù)解:(1)集合A=x由A∩B=?A=?,則m-1≥m?,或m≥3綜上可得:實(shí)數(shù)m的取值范圍是[3,+∞)(2)若“x∈A”是“x∈B”的充足則A?B,∴解得:-1<m≤1,∴實(shí)數(shù)m[練9]已知集合A={x∣2-a≤x(1)當(dāng)a=3時(shí),求(2)若a>0,且“x∈A”是“x∈?RB”的充足不解:(1)當(dāng)a=3時(shí),集合AB={xx≤1(2)∵若a>0,且“x∈A”是“x∈?RA={∴A??RB,則2-a>12范圍是:0,1模塊二邏輯用語(yǔ)’課堂精講1.命題用語(yǔ)言、符號(hào)或式子表達(dá)的,可以判斷真假的陳述語(yǔ)句叫做命題。分類:真命題、假命題.命題的真假即為語(yǔ)句描述內(nèi)容的對(duì)與錯(cuò)。形式:“若p,則q.”2.四種命題原命題:若p則q?逆命題:若q則否命題:若??p則??q?逆否命題:若原命題逆命題否命題逆否命題真真真真真假假真假真真假假假假假3.全稱量詞與存在量詞(1)全稱量詞與全稱命題:短語(yǔ)“所有的”“隨意一個(gè)”在邏輯中通常叫做全稱量詞,并用符號(hào)“?”表示.含有全稱量詞的命題,叫做全稱命題。(2)存在量詞與特稱命題:短語(yǔ)“存在一個(gè)”“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫做存在量詞,并用符號(hào)“3”表示.含有存在量詞的命題,叫做特稱命題。(3)全稱命題與特稱命題的符號(hào)表示及一定(1)全稱命題p:?x∈M,px,它的一定?p(2)特稱命題p:?x0∈M,px0,它的[練10]下列命題為真命題的是(B)A.?x0∈R,使x02C.?x∈R,有x2>0D.解:∵x∈R,∴x2≥0,∴?x∈R,有A.對(duì)?a,b∈B.菱形的兩條對(duì)角線相等C.?D.一次函數(shù)在定義域上是單調(diào)函數(shù)解:A中含有全稱量詞“?”,∵a2+b2-2a-2b+2=a-12+b-12≥0,所以是假命題:B,D中在講述上沒有全稱量詞假命題,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(C)A.(-∞,3]C.[-1,解:命題“?x∈[0,3],有x2-2x-m≠0“是假命題則命題因?yàn)閤∈[0,3],所以m∈[-[練13]已知命題p:?x∈R是假命題,則a的取值范圍為CA.a<1C.a>14D.a>解:命題p:?x∈R,ax2+x+1≤0的一定為?p:?x∈R,ax2+x+1>0,∵命題[練14]給出下列四個(gè)命題中:(1)命題“若x≥2且y≥3,則(2)命題“若x2-4x+3為:“若x≠3,則x(3)“x>1”是“x>0”的(4)關(guān)于x的不等式x+1R,則m≤4其中所有準(zhǔn)確命題的序號(hào)是解:對(duì)于(1),顯然為假命題:對(duì)于(2),逆否命題,條件和結(jié)論都一定,準(zhǔn)確;對(duì)于(3),若x>1,則x>0。若x>0,則x不一定大于1;對(duì)于(4),fx=x+1+[練15]已知命題p:?x∈R,m+1x2+1≤0,命題q:?xA.m≥2B.m≤-2C.m≤-2或m解:當(dāng)命題p為真時(shí),m+1≤0,當(dāng)命題q為真時(shí),Δ=m2-4×1×1<0,解得-2<m<2,當(dāng)命題p與命題q均為真時(shí),則有m≤-1-2<m<2?-2<m≤-1.命題p[練16]已知集合A={x∣0≤x≤a},集合B=x∣m2+3≤x≤m2解:命題“?m∈R,使得A∩B≠?”為假命題,則其當(dāng)a<0時(shí),集合A={x∣0≤x≤a}=?,符合A∩B=?,當(dāng)a≥0時(shí),∵m2+3>0,所以?m∈R,A∩B=?得a課后提升[鞏固1]下列命題是假命題的是(3)(1)命題“若x≠1,則x是“若x2-3x+(2)若命題p:?x∈RR,(3)若p∨q為真命題,則p(4)“x>2”是“x2-3x+2>0”的充足不須要條件解:(1)命題“若x≠1,則x2-3x+2≠0”的逆否命題是“若x2-3x+2=0,則x=1'',準(zhǔn)確;(2)若命題p:?x∈R,x2+x+1≠0,則?p[鞏固2](2023年年-呼和浩特一模)集合A={x∣x≥0},B={x∣xA.充足不要條件B.須要不充足條件C.充足須要條件D.既不充足他不要條件解:A={x∣x≥0},B:x-2>0,得x>2,即[鞏固3](2023年年-天津模擬)設(shè)x∈R,則“x≤3”是“x2A.充足不須要條件B.須要不充足條件C.充要條件D.既不充足也不須要條件解:∵x∴x≤3是x2≤3[鞏固4](2023年年.岳陽(yáng)樓區(qū)校級(jí)一模)“x=2022''-2022x+A.充足不須要條件B.須要不充足條件C.充足須要條件D.既不充足也不須要條件解:由x2-2022x+2021=0,解得:x=2021或x=1,故“[鞏固5](2023年年春?新羅區(qū)校級(jí)月考)已知集合Ax?(1)當(dāng)m=1時(shí),求(2)已知“x∈A”是“x∈B”的須要條件,求實(shí)數(shù)解:(1)由2x+1x-1<1,得當(dāng)m=1時(shí),B∴(2)∵“x∈A''是“x∈B”的若-m2>1,即m<-若-m2=1,即若-m2<1,即m-2≤-m2<綜上所述,m∈[-[鞏固6](2023年年秋?番禺區(qū)校級(jí)期中)已知命題P∈R,使x2-(1)求實(shí)數(shù)m的取值集合B;(2)設(shè)A={x∣3a<A是x∈B的充足不須要條件,求實(shí)數(shù)a解:(1)由題意,得關(guān)于x的方程x2-4所以△=16-4m<即B=(2)因?yàn)锳={x∣所以3a<a+4因?yàn)閤∈A是x∈B的充足所以A是B的真子集,則a<2且即43綜上所述,實(shí)數(shù)a的取值范圍為43[鞏固7](2023年年秋?三門峽期末)已知p:5x+1≥2(1)若p是q的充足條件,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;(2)是否存在m,使得?p是q的須要條件?若存在,求出m的值;若不存在,請(qǐng)說明理由解:(1)由5x+1≥2得2x-3x+1≤0,故有p:-1<x≤32.由x2-mx-2m2≤0得x-2m(2)因?yàn)閜:-1<x≤32,所以若?p是q的須要條件,則q??p則2m≤-1或顯然這兩個(gè)不等式均與m>0矛盾,故不存在的[鞏固8]設(shè)命題p:對(duì)隨意x∈[0,1],不等式2x-2≥m2-3m恒成立;命題(1)若p為真命題,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;(2)若命題p、q有且惟獨(dú)一個(gè)是真命題,求實(shí)數(shù)m解:(1)對(duì)于命題p:對(duì)隨意x∈[0,1],不等式2x-2≥m2-3所以p為真時(shí),實(shí)數(shù)m的取值范圍是1≤(2)命題q:存在x∈[-1,1],使得不等式x2-x+而x2-x即命題q為真時(shí),實(shí)數(shù)m的取值范圍是m≤54,依題意命題p若p為假命題,q為真命題,則m2m≤54若q為假命題,p為真命題,則1≤m≤2m>54,得54<m[鞏固9]p:?x0∈R,使得ax02-2x(1)寫出?p(2)若命題?p為真命題,求實(shí)數(shù)a的取值范圍(3)若命題“p或q”為真命題,且“p且q”為假命題,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解:(1)p:當(dāng)x0∈R,使得ax02-2x(2)a≥0時(shí)ax由a<0△≤0,即a<∴實(shí)數(shù)a的取值范圍:-∞,-(3)設(shè)方程x2+a-3命題q為真?Δ>0<由命題“p或q”為真,且“p且q”為假,得命題p、q一(1)當(dāng)p真q假時(shí),則a>-1a≤0或a≥(2)當(dāng)p假q真時(shí),則a≤-10∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是-1<a≤第一章章末總結(jié)1.本章內(nèi)容讓我們接觸了集合的基本概念與邏輯用語(yǔ)的基本學(xué)習(xí),這些內(nèi)容將在接下來的函數(shù)學(xué)習(xí)中對(duì)函數(shù)性質(zhì)的數(shù)學(xué)描述起到關(guān)鍵的作用;另外是初中和高中階段的一個(gè)灰色知識(shí):整式乘法公式的拓展和因式分解的主意,這些技能將在后面向于解析函數(shù)的分析與研究起到事半功倍的作用;而基本不等式則向我們推薦了關(guān)于二元最值的求解主意和技巧。請(qǐng)將本章內(nèi)容作一個(gè)容易的歸納總結(jié)。解:函數(shù)的基礎(chǔ)《解:函數(shù)的基礎(chǔ)定義函數(shù)的基礎(chǔ)2.完成以下知識(shí)填空3.(2023年年秋?滄州期末)已知集合A=(1)當(dāng)a=2時(shí),求(2)若B∩?RA=?,求實(shí)數(shù)解:(1)當(dāng)a=2時(shí),A=(1,(2)由B∩?RA=?當(dāng)B=?時(shí),a+1>2當(dāng)B≠?時(shí),2a≥a+12a≤4a+1>14.利用基本不等式的知識(shí)解決下列問題:(1)已知x>3,求4x(2)已知x,y是正實(shí)數(shù),且x+y=4,(3)已知正實(shí)數(shù)x,y滿意x+y=2,若不等式2x+12y≥m2+4m恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍。解(2)∵x,y∈R∴1當(dāng)且僅當(dāng)y=3x,即x=23-1,y=23(3)∵2當(dāng)且僅當(dāng)x=2y=23時(shí),2x+12y∴94≥m2+4m恒成立,∴-95.第一屆全國(guó)青年運(yùn)動(dòng)會(huì)將于2023年年年10月18日在福州舉行.主辦方在建造運(yùn)動(dòng)會(huì)主體育場(chǎng)時(shí)需建造隔熱層,并要求隔熱層的使用年限為15年.已知每厘米厚的隔熱層建造成本是4萬元,設(shè)每年的能源消耗費(fèi)用為C(萬元),隔熱層厚度為x(厘米),兩者滿意關(guān)系式:C=k2x+50≤x≤10,k為常數(shù).若無隔熱層,則每年的能源消耗費(fèi)用為6萬元.15年的總維修費(fèi)用為10萬元.記W為15(1)求W關(guān)于x的表達(dá)式;(2)請(qǐng)問當(dāng)隔熱層的厚度為多少厘米時(shí),15年的總費(fèi)用W最小,并求出最小值.解:(1)依題意,當(dāng)x=0時(shí),C=6f(2)f=當(dāng)且僅當(dāng)22x+5=4502∴隔熱層修建5厘米厚時(shí),總費(fèi)用達(dá)到最小值,最小值為60萬元.函數(shù)的個(gè)性模塊一函數(shù)的概念/課堂精講初中階段,我們學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念與容易的函數(shù)。初中階段函數(shù)的定義:普通的,在一個(gè)變化過程中,倘若有兩個(gè)變量x和y,并且對(duì)于x的每一個(gè)決定的值,y都有唯一決定的值與其對(duì)應(yīng),我們就把x稱為自變量,把y稱為因變量,y是x的函數(shù)。大家思量:由初中定義出發(fā),y=11.函數(shù)的概念設(shè)A,B是兩個(gè)非空的數(shù)集,倘若按某種決定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f,使對(duì)于集合A中的隨意一個(gè)元素x,在集合B中都有唯一決