河北省部分高中2024屆高考一模數(shù)學(xué)含答案

數(shù)學(xué)試卷本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試時(shí)間120分鐘.第Ⅰ卷（選擇題共58分）一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.2.已知復(fù)數(shù)z滿足，，則（）A.1 B.2 C. D.3.已知向量，，且與方向相反，若，則在方向上的投影向量的坐標(biāo)是（）A. B. C. D.4.函數(shù)的部分圖像可能為（）A． B． C． D．5.某校開展憲法宣傳日活動(dòng)，邀請了法制專家楊教授為廣大師生做《大力弘揚(yáng)憲法精神，建設(shè)社會主義法制文化》的法制報(bào)告，報(bào)告后楊教授與四名男生、兩名女生站成一排合影留念，要求楊教授必須站中間，他的兩側(cè)均為兩男一女，則總的站排方法共有（）A.300種 B.432種 C.600種 D.864種6.2006年5月20日，蹴鞠作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國務(wù)院批準(zhǔn)列入第一批國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄.“蹴”有用腳蹴、踢的含義，“鞠”最早是外包皮革、內(nèi)飾米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以腳蹴、踢皮球的活動(dòng).如圖所示，若將“鞠”的表面視為光滑的球面，已知某“鞠”的表面上有四個(gè)點(diǎn)P，A，B，C，滿足，平面ABC，，若的面積為2，則制作該“鞠”的外包皮革面積的最小值為（）A. B. C. D.7.若數(shù)列滿足（且），則與的比值為（）A. B. C.2 D.38.已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，P為C上一點(diǎn)，滿足，以C的短軸為直徑作圓O，截直線的弦長為，則C的離心率為（）A. B. C. D.二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.下列說法正確的是（）A.數(shù)據(jù)2，1，3，4，2，5，4，1的第45百分位數(shù)是4B.若數(shù)據(jù)，，，…，的標(biāo)準(zhǔn)差為s，則數(shù)據(jù)，，，…，的標(biāo)準(zhǔn)差為2sC.隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，若，則D.隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，若方差，則10.已知三棱錐，則下列論述正確的是（）A.若點(diǎn)S在平面ABC內(nèi)的射影點(diǎn)為的外心，則B.若點(diǎn)S在平面ABC內(nèi)的射影點(diǎn)為A，則平面SBC與平面ABC所成角的余弦值為C.若，點(diǎn)S在平面ABC內(nèi)的射影點(diǎn)為BC的中點(diǎn)H，則S，A，B，C四點(diǎn)一定在以H為球心的球面上D.若，S，A，B，C四點(diǎn)在以BC中點(diǎn)H為球心的球面上，且S在平面ABC內(nèi)的射影點(diǎn)的軌跡為線段BC（不包含B，C兩點(diǎn)），則點(diǎn)S在球H的球面上的軌跡為以BC為直徑的圓（不包括B，C兩點(diǎn)）11.投擲一枚質(zhì)地不均勻的硬幣，已知出現(xiàn)正面向上的概率為p，記表示事件“在n次投擲中，硬幣正面向上出現(xiàn)偶數(shù)次”，則下列結(jié)論正確的是（）A.與是互斥事件 B.C. D.第Ⅱ卷（非選擇題共92分）三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.若，則曲線在處的切線方程為______.13.在的展開式中含的系數(shù)為______.14.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，AB的中點(diǎn)為P，以AB為直徑的圓與y軸交于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)取最大值時(shí)，此時(shí)______.四、解答題（本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.（13分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求的極值；（2）若在區(qū)間上單調(diào)遞減，求a的取值范圍.16.（15分）已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.（1）求證：；（2）若的面積為，且，求b.17.（15分）為了研究學(xué)生每天整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題情況，某課題組在某市中學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生調(diào)查了他們期中考試的數(shù)學(xué)成績和平時(shí)整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題情況，并繪制了下列兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖表，圖①為學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖，圖②為學(xué)生一個(gè)星期內(nèi)整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題天數(shù)的扇形圖.若本次數(shù)學(xué)成績在110分及以上視為優(yōu)秀，將一個(gè)星期有4天及以上整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題視為“經(jīng)常整理”，少于4天視為“不經(jīng)常整理”.已知數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的學(xué)生中，經(jīng)常整理錯(cuò)題的學(xué)生占70%.（1）根據(jù)圖①、圖②中的數(shù)據(jù)，畫出列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀與經(jīng)常整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題是否有關(guān)？（2）用頻率估計(jì)概率，在全市中學(xué)生中按經(jīng)常整理錯(cuò)題與不經(jīng)常整理錯(cuò)題進(jìn)行分層隨機(jī)抽樣，隨機(jī)抽取5名學(xué)生，再從這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行座談，求這2名同學(xué)中經(jīng)常整理錯(cuò)題且數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的人數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望.附：，其中.0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82818.（17分）已知在一個(gè)不透明的盒中裝有一個(gè)白球和兩個(gè)紅球（小球除顏色不同，其余完全相同），某抽球試驗(yàn)的規(guī)則如下：試驗(yàn)者在每一輪需有放回地抽取兩次，每次抽取一個(gè)小球，從第一輪開始，若試驗(yàn)者在某輪中的兩次均抽到白球，則該試驗(yàn)成功，并停止試驗(yàn)，否則再將一個(gè)黃球（與盒中小球除顏色不同，其余完全相同）放入盒中，然后繼續(xù)進(jìn)行下一輪試驗(yàn).（1）若規(guī)定試驗(yàn)者甲至多可進(jìn)行三輪試驗(yàn)（若第三輪不成功，也停止試驗(yàn)），記甲進(jìn)行的試驗(yàn)輪數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）若規(guī)定試驗(yàn)者乙至多可進(jìn)行輪試驗(yàn)（若第n輪不成功，也停止試驗(yàn)），記乙在第輪使得試驗(yàn)成功的概率為，則乙能試驗(yàn)成功的概率為，證明：.19.（17分）已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，經(jīng)過點(diǎn)且傾斜角為的直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)（其中點(diǎn)A在x軸上方），的周長為8.（1）求C的方程；（2）如圖，將平面xOy沿x軸折疊，使y軸正半軸和x軸所確定的半平面（平面）與y軸負(fù)半軸和x軸所確定的半平面（平面）互相垂直.（i）若，求異面直線和所成角的余弦值；（ii）是否存在，使得折疊后的周長為？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.

參考答案及解析一、選擇題1.B2.C3.B4.A5.B6.C7.D8.A二、選擇題9.BCD10.ABD11.ACD三、填空題12.13.2414.四、解答題15.解：（1）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)椋瑒t.（2分）令，解得，令，解得，故在處取得極小值，，（4分）所以的極小值為，無極大值.（5分）（2）因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上，，所以，即.（8分）令，只需，（9分）顯然在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，（12分）所以，即a的取值范圍為.（13分）16.（1）證明：（解法一）由余弦定理得，因?yàn)?，所以，?分）所以，（2分）因?yàn)?，?分）所以，（4分）所以，（5分）又A，，所以.（6分）（解法二）由正弦定理得，所以，（2分）因?yàn)锳，B，C為的內(nèi)角，所以，所以，所以，（4分）即，（5分）又A，，所以.（6分）（2）解：（解法一）由（1）可知，因?yàn)?，所以，即，?分）所以，（10分）因?yàn)?，所以?（12分）記的面積為S，則，所以解得.（15分）（解法二）由正弦定理得，即，（7分）因?yàn)锳，，所以，且，所以，（8分）又，所以，所以，所以，所以，（10分）所以.（12分）記的面積為S，則，所以解得.（15分）17.解：（1）由題意可得，解得.（2分）數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的有人，不優(yōu)秀的有人，經(jīng)常整理錯(cuò)題的有人，不經(jīng)常整理錯(cuò)題的有人，經(jīng)常整理錯(cuò)題且成績優(yōu)秀的有人，則數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀數(shù)學(xué)成績不優(yōu)秀合計(jì)經(jīng)常整理352560不經(jīng)常整理152540合計(jì)5050100（4分）零假設(shè)為：數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀與經(jīng)常整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題無關(guān)，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到可得，（6分）根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀與經(jīng)常整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.05.（7分）（2）由分層隨機(jī)抽樣知隨機(jī)抽取的5名學(xué)生中，經(jīng)常整理錯(cuò)題的有3人，不經(jīng)常整理錯(cuò)題的有2人，則X的可能取值為0，1，2，經(jīng)常整理錯(cuò)題的3名學(xué)生中，恰抽到k人記為事件，則.（9分）由（1）知經(jīng)常整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題的學(xué)生中數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的學(xué)生占，數(shù)學(xué)成績不優(yōu)秀的學(xué)生占，參與座談的2名學(xué)生中，經(jīng)常整理錯(cuò)題且數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的恰好抽到m人記為事件，則，，，，，.，，，（13分）故X的分布列為X012P（14分）則數(shù)學(xué)期.（15分）18.（1）解：由題意得X的可能取值為1，2，3，在第一輪中，試驗(yàn)者每次抽到白球的概率為，所以，（2分）依題意，在第二輪中，盒中有一個(gè)白球、兩個(gè)紅球和一個(gè)黃球，每次摸到白球的概率為，所以，（4分）易知，（5分）所以X的分布列為X123P（6分）數(shù)學(xué)期望.（7分）（2）證明：當(dāng)時(shí)，不難知道，（8分）因?yàn)?，所?（11分）由（1）可知，又，所以，（14分）所以，即.（17分）19.解：（1）由橢圓的定義知，，所以的周長，所以.（1分）又C的離心率為，所以，所以，，（3分）所以C的方程為.（4分）（2）（i）聯(lián)立直線l：與，求得（因?yàn)辄c(diǎn)A在x軸上方）及.（5分）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，折疊后原y軸負(fù)半軸、原x軸、原y軸正半軸所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，.（7分）記異面直線和所成角為，