2024年秋新北師大版七年級上冊數(shù)學(xué)教學(xué)課件 第五章 一元一次方程 第3節(jié) 一元一次方程的應(yīng)用 第1課時 幾何圖形問題

第五章一元一次方程5.3.1幾何圖形問題北師大版·七年級上冊學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能根據(jù)幾何圖形問題中的數(shù)量關(guān)系列出方程，感悟數(shù)學(xué)模型的思想.2.通過對幾何圖形問題的解決，體會利用方程解決問題的關(guān)鍵是尋找等量關(guān)系.3.經(jīng)歷運(yùn)用方程解決幾何圖形問題的過程，感受數(shù)學(xué)與實(shí)際的聯(lián)系，加強(qiáng)應(yīng)用意識.素養(yǎng)目標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo)尋找?guī)缀螆D形問題中的等量關(guān)系，建立方程.學(xué)習(xí)難點(diǎn)抓住幾何圖形變化中的不變量，確定等量關(guān)系.學(xué)習(xí)重點(diǎn)如圖，用一塊橡皮泥先捏出一個“瘦高”的圓柱，然后再讓這個“瘦高”的圓柱“變矮”，變成一個“矮胖”的圓柱，請思考下列幾個問題：(1)在你操作的過程中，圓柱由“高”變“矮”，圓柱的底面直徑是否變化了?還有哪些量改變了?(2)在這個變化過程中，什么量沒有變化呢?創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課探究點(diǎn)利用一元一次方程解決幾何圖形問題1.圖形的等積變化某飲料公司有一種底面直徑和高分別為6.6cm，12cm的圓柱形易拉罐飲料.經(jīng)市場調(diào)研決定對該產(chǎn)品外包裝進(jìn)行改造，計(jì)劃將它的底面直徑減少為6cm.那么在容積不變的前提下，易拉罐的高度將變?yōu)槎嗌倮迕?(1)這個問題中包含哪些量?它們之間有怎樣的等量關(guān)系?包含的量：圓柱形易拉罐改造前后的底面半徑、

高、容積活動引入，合作探究“容積不變”等量關(guān)系：改造前易拉罐容積=改造后易拉罐容積

容積不變，但直徑(半徑)和高有變改造前改造后直徑(半徑)減少，高如何變化？

(2)設(shè)新包裝的高度為xcm，借助下面的表格梳理問題中的信息

(3)根據(jù)等量關(guān)系，列出方程設(shè)新包裝的高度為xcm根據(jù)等量關(guān)系列出方程

解得x=14.52答：新包裝的高度為14.52cm1.列方程的關(guān)鍵找出問題中的等量關(guān)系2.解決實(shí)際問題的基本步驟理解題意，尋找等量關(guān)系，設(shè)未知數(shù)列方程，解方程，作答.有關(guān)量舊包裝新包裝底面半徑/cm高/cm12x容積/cm32.圖形的等長變化用一根長為10m的鐵絲圍成一個長方形.(1)如果該長方形的長比寬多1.4m，那么此時長方形的長、寬各為多少米?(2)如果該長方形的長比寬多0.8m，那么此時長方形的長、寬各為多少米?此時的長方形與(1)中的長方形相比，面積有什么變化?(3)如果該長方形的長與寬相等，即圍成一個正方形，那么此時正方形的邊長是多少米?正方形的面積與(2)中長方形的面積相比又有什么變化?②如圖，題中圍長方形的過程中有什么沒有發(fā)生變化?長方形的周長(或長與寬的和)不變①本題涉及哪些量?鐵絲的長，長方形的長、寬、周長、面積.例題分析④如圖，結(jié)合(1)(2)問題意，若設(shè)長方形的寬為xm，則長方形的長可怎么表示?試用含x

的代數(shù)式在下面圖中表示出來.③題中有怎樣的等量關(guān)系?等量關(guān)系：(長＋寬)×2＝周長(周長就是鐵絲的長度)xm(x+1.4)mxm(x+0.8)m(1)(2)解：(1)設(shè)此時長方形的寬為xm，則它的長為(x+1.4)m.根據(jù)題意，得2(x+1.4)+2x＝10解得

x=1.81.8+1.4=3.2此時長方形的長為3.2m，寬為1.8m.(1)如果該長方形的長比寬多1.4m，那么此時長方形的長、寬各為多少米?xm(x+1.4)m解：設(shè)此時長方形的寬為xm，則它的長為(x+0.8)m.根據(jù)題意，得2(x+0.8)＋2x＝10解得：x＝2.1，2.1+0.8=2.9此時長方形的長為2.9m，寬為2.1m，

長方形面積為2.9×2.1＝6.09(m2)(1)中長方形的面積為3.2×1.8＝5.76(m2)，6.09-5.76＝0.33(m2)此時(2)中長方形的面積比(1)中長方形的面積增大0.33m2(2)如果該長方形的長比寬多0.8m，那么此時長方形的長、寬各為多少米?此時的長方形與(1)中的長方形相比，面積有什么變化?xm(x+0.8)m(3)設(shè)正方形的邊長為xm根據(jù)題意，得4x=10解得x=2.5正方形的邊長為2.5m，面積為2.5×2.5＝6.25(m2)，比(2)中長方形的面積增大6.25-6.09＝0.16(m2)(3)如果該長方形的長與寬相等，即圍成一個正方形，那么此時正方形的邊長是多少米?正方形的面積與(2)中長方形的面積相比又有什么變化?所列方程的兩邊分別表示長方形的周長和鐵絲的長度列方程的思路先設(shè)一邊長為未知數(shù)，再用含未知數(shù)的代數(shù)式表示出周長，根據(jù)周長等于鐵絲的長度10m這個等量關(guān)系列出方程.思考在前面的問題中，所列方程的兩邊分別表示什么量?列方程的思路是什么?

總結(jié)：周長一定的長方形，長和寬的差值越小，長方形的面積越大；當(dāng)長和寬相等時(即為正方形時)，長方形(正方形)的面積最大.針對練習(xí)一個梯形的下底比上底多6cm，高是8cm，面積為88cm2，求這個梯形的上底和下底的長度.解：設(shè)梯形的上底為xcm，則下底為(x+6)cmxcm(x+6)cm8cm

解得x=8x+6=14答：梯形的上底為8cm，下底為14cm.【選自教材P149隨堂練習(xí)】1.直徑為30cm、高為50cm的圓柱形瓶里裝滿了飲料，現(xiàn)將飲料倒入底面直徑為10cm的圓柱形水杯，剛好倒?jié)M30杯，則水杯的高度是多少?解：設(shè)水杯的高度為xcm

解得x=15答：水杯的高度為15cm知識延伸，鞏固升華針對訓(xùn)練一個長方形的周長是40cm，若將長減少6cm，寬增加2cm，長方形就變成了正方形，則長方形的長、寬各為多少厘米?

解得x=14

答：長方形的長為14cm，則寬為6cm.*利用一元一次方程解決一般幾何圖形問題(1)有一塊邊長為4cm的正方體形橡皮泥，要用它來捏一個長、寬分別為8cm，2cm的長方體橡皮泥，求它的高.解：設(shè)高為xcm43=8×2x解得x=4答：高為4cm(2)如圖，小明將一張正方形紙片剪去一個寬為6cm的長條后，再從剩下的長方形紙片上剪去一個寬為8cm的長條，如果兩次剪下的長條面積正好相等，那么每一個長條的面積為多少？解：設(shè)正方形的邊長為xcm6x=8(x-6)解得x=24答：每一個長條的面積為144cm26×24=144(3)用一根120cm長的鐵絲圍成一個長方形，使該長方形的長是寬的2倍，則這個長方形的長、寬分別為多少？解：設(shè)長方形的寬為xcm，則長為2xcm.2(x+2x)=120解得x=20答：長方形的寬為20cm，長為40cm2×20=40*培優(yōu)點(diǎn)利用一元一次方程解決拼接圖形問題如圖，周長為68的長方形ABCD

被分成7個相同的小長方形，則長方形ABCD

的面積為多少？

解得x=4答：長方形ABCD

的面積為280.5×4=20

1．兩個圓柱體容器如圖所示，它們的底面直徑分別為4cm和8cm，高分別為39cm和10cm.先在右側(cè)容器中倒?jié)M水，然后將其倒入左側(cè)容器中.倒完以后，左側(cè)容器中的水面離容器口有多少厘米?小剛是這樣做的：設(shè)倒完以后，左側(cè)容器中的水面離容器口有xcm.列方程π×22×(39-x)=π×42×10.解得x=-1.請你對他的結(jié)果作出合理的解釋.【選自教材P154習(xí)題5.3第1題】隨堂訓(xùn)練，課堂總結(jié)解：由題意可知，第一個容器的體積為22×39×π=156πcm2第二個容器的體積為42×10×π=160πcm2第二個容器的體積大于第一個容器的體積，因此將第二個容器裝滿水后再倒入第一個容器中，水會溢出，即方程π×22×（39－x）=π×42×10的解小于0.2.現(xiàn)有兩塊試驗(yàn)田，第一塊試驗(yàn)田的面積比第二塊試驗(yàn)田面積的3倍還多100m2，這兩塊試驗(yàn)田的面積共2900m2，兩塊試驗(yàn)田的面積分別是多少?解：設(shè)第二塊試驗(yàn)田的面積是xm2，則第一塊試驗(yàn)田的面積是（3x+100）m2根據(jù)題意，得x+3x+100=2900解得x=700所以3x+100=2200答：第一塊試驗(yàn)田的面積是2200m2，第二塊試驗(yàn)田的面積是700m2【選自教材P154習(xí)題5.3第3題】3.如圖，小強(qiáng)將一個正方形紙片剪去一個寬為4cm的長條后，再從剩下的長方形紙片上剪去一個寬為5cm的長條.如果兩次剪下的長條面積正好相等，那么每一個長條的面積為多少?解：設(shè)正方形的邊長為xcm根據(jù)題意，得4x=5（x－

4）解得x=20所以每一個長條的面積為4×20=80(cm2)答：每一個長條的面積為80cm2.【選自教材P154習(xí)題5.3第4題】4.如圖，某種卷筒紙的外直徑為14cm，內(nèi)直徑為6cm，每層紙的厚度為0.02cm.假如把這筒紙全部拉開，那么這筒紙的總長度大約是多少米（π取3.14)?【選自教材P154習(xí)題5.3第5題】解：設(shè)卷筒紙的寬度為xcm

40πx卷筒紙的總長度為：40πx÷0.02x≈6280(cm)=62.8(m)答：卷筒紙的總長度為62.8m課堂小結(jié)利用一元一次方程解