第05講 函數及其表示（解析版）

第05講函數及其表示1、函數與映射的概念函數映射兩個集合A、B設A、B是兩個非空數集設A、B是兩個非空集合對應關系按照某種確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應按某一個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應名稱稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數稱f：A→B為從集合A到集合B的一個映射記法y＝f(x)，x∈Af：A→B注意：判斷一個對應關系是否是函數關系，就看這個對應關系是否滿足函數定義中“定義域內的任意一個自變量的值都有唯一確定的函數值”這個核心點．2、函數的定義域、值域在函數y＝f(x)，x∈A中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域，與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數的值域．3、構成函數的三要素函數的三要素為定義域、值域、對應關系.4、函數的表示方法函數的表示方法有三種：解析法、列表法、圖象法.解析法：一般情況下，必須注明函數的定義域；列表法：選取的自變量要有代表性，應能反映定義域的特征；圖象法：注意定義域對圖象的影響.5、函數的定義域函數的定義域是使函數解析式有意義的自變量的取值范圍，常見基本初等函數定義域的要求為：(1)分式函數中分母不等于零.(2)偶次根式函數的被開方式大于或等于0.(3)一次函數、二次函數的定義域均為R.(4)y＝x0的定義域是{x|x≠0}.(5)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sinx，y＝cosx的定義域均為R.(6)y＝logax(a>0且a≠1)的定義域為(0，＋∞).(7)y＝tanx的定義域為.考點一函數的定義域1．（邵東市第一中學高三月考）函數的定義域是（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：，故，解得：，故選：B2．（浙江高三學業(yè)考試）函數的定義域是（）A． B．C． D．【答案】C【詳解】根據題意可得，所以.故選：C.3．（陜西高三月考（文））函數的定義域是（）A． B．C． D．【答案】B【詳解】由題意可得，解得或．因此，函數定義域為.故選：B.4．（江西鷹潭市·鷹潭一中高三月考（文））函數的定義域是（）A． B． C． D．R【答案】A【詳解】要使f(x)有意義，則滿足，得到x>0.故選A.5．（河南高二期末（文））已知集合，，則（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】函數有意義，必有，即，于是得，而，所以.故選：C6．（浙江師范大學附屬東陽花園外國語學校）函數的定義域是（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由解析式有意義可得，故，故函數的定義域為故選：D.7．（懷化市辰溪博雅實驗學校高二月考）函數的定義域為（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：要使函數有意義，則，即，解得或.所以函數的定義域為故選：D考點二抽象函數定義域1．（沙坪壩·重慶八中高三開學考試）已知函數定義域為，則函數定義域為（）．A． B．C． D．【答案】A【詳解】函數需滿足，解得．故選：A2．（巴楚縣第一中學高二月考（文））已知函數定義域是，則的定義域是（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題意，解得．故選：A．3．（河南開封·高一期末）已知函數的定義域為，則函數的定義域為（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：由題意可知，，解得，即函數的定義域為；故選：A4．（安徽蚌埠·）已知函數的定義域是，則函數的定義域是（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為函數的定義域是，所以有：.故選：A5．（全國）已知函數的定義域為，則函數的定義域為（）A． B．C． D．【答案】B【詳解】由于函數的定義域為，對于函數，有，解得.因此，函數的定義域為.故選：B.6．（江蘇高一）已知函數的定義域為，則函數的定義域為（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為函數的定義域為且分式的分母不等于零，所以，解得，故函數的定義域為，，故選：．7．（全國高一）已知函數的定義域為，則的定義域是（）A． B．C． D．【答案】D【詳解】由題意可得：，解得：且，故的定義域是，故選：D8．（全國高一課時練習）已知函數定義域是，則的定義域是（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】函數y=f（x+1）定義域是[-2，3]，則，所以，解得，所以函數的定義域為[0，].故選：A9．（全國高一課時練習）已知函數的定義域為，則函數的定義域為（）A． B．C． D．【答案】C【詳解】∵的定義域為[－1，2)，∴－1≤x<2，由抽象函數的定義域求法可得：－1≤x－1<2，解得0≤x<3，∴的定義域為[0，3)，故選：C.10．（全國）已知的定義域為，則函數的定義域為A． B． C． D．【答案】B【詳解】試題分析：因為函數的定義域為，故函數有意義只需即可，解得，選B．考點三函數的解析式1．（新疆五家渠市兵團二中金科實驗中學高一開學考試）已知是一次函數，，則（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意，設函數，因為，可得，解得，所以.故選：B.2．（全國高一專題練習）已知是一次函數，且，則（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】設一次函數，則，由得，即，解得，.故選：A．3．（全國）一次函數g(x)滿足，則的解析式是（）A．B．C．或D．【答案】C【詳解】因為g(x)是一次函數，所以設g(x)=kx+b(k≠0)，所以g[g(x)]=k(kx+b)+b，又因為g[g(x)]=9x+8，所以解得或所以g(x)=3x+2或g(x)=-3x–4.故選：C4．（全國高一課時練習）已知一次函數的圖象過點(1，0)和(0，1)，則此一次函數的解析式為（）A． B．C． D．【答案】D【詳解】設f(x)=ax+b(a≠0)，則有所以a=-1，b=1，所以f(x)=-x+1．故選：D5．（全國高一課時練習）若函數y=的圖象經過點(2，3)，則該函數的圖象一定經過A．(1，6) B．(–1，6)C．(2，–3) D．(3，–2)【答案】A【詳解】將代入函數解析式得，故，也即，經驗證知A選項正確，故選A.6．（江西省靖安中學高一月考）二次函數滿足，且，（1）求的解析式；【答案】（1）；【詳解】（1）由題設∵∴又∴∴∴，∴∴7．（江西高安中學高一月考）已知二次函數滿足，且，（1）求二次函數的解析式；【答案】（1）；【詳解】（1）設二次函數．∵，∴．把的表達式代入，有．∴．∴，．∴．（2）的單調增區(qū)間為，函數的值域為．8．（全國高一課時練習）已知為二次函數，且，求的表達式．【答案】【詳解】由題意可設，則，，于是，又，所以解得所以．考點四抽象函數解析式1．（全國高三專題練習）已知函數滿足，則A． B．C． D．【答案】C【詳解】由,可得(2),將(1)+(2)得:,故選C．2．（全國高一課時練習）若對于任意實數恒有，則A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為，所以，解得選A.3．（重慶市巫山中學高一月考）若函數對于任意實數恒有，則等于（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為，所以，聯(lián)立方程組，解得，故選A.4．（全國高一專題練習）（1）已知，求的解析式．【答案】（1）；【詳解】（1）由，把代替代入可得，聯(lián)立消去可得：．5．（上海）（1）已知，求.（2）已知函數滿足，求.【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）令則..（2）①②.聯(lián)立①式，②式則.6．（全國高一課時練習）（1）已知，求的解析式；（2）已知，求的解析式．【答案】（1）；（2）【詳解】（1）由題意得：定義域為設，則（2）由…①得：…②①②聯(lián)立消去得：考點五分段函數1．（荊門市龍泉中學高一月考）已知函數，則的值為（）A． B． C．3 D．0【答案】D【詳解】故選：D.2．（黑龍江大慶中學高一月考）已知函數，則（）A． B． C． D．1【答案】D【詳解】由題意，函數，可得，所以．故選：D．3．（全國高三開學考試（文））已知函數，則（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因為，則.故選：D．4．（全國高一專題練習）函數則等于（）A．－1 B．0 C．1 D．2【