1.2常用邏輯用語(yǔ)

1.2常用邏輯用語(yǔ)課標(biāo)要求精細(xì)考點(diǎn)素養(yǎng)達(dá)成1.理解命題、定理、定義和全稱(chēng)量詞與存在量詞的概念及意義,能正確地對(duì)含有一個(gè)量詞的命題進(jìn)行否定2.熟練掌握充要條件的判斷,并能根據(jù)充要條件確定參數(shù)的取值范圍3.能正確地對(duì)充要條件進(jìn)行證明,區(qū)分充分性和必要性命題、全稱(chēng)量詞與存在量詞通過(guò)判斷命題和對(duì)全稱(chēng)量詞命題、存在量詞命題的否定,提升邏輯推理素養(yǎng)充分條件、必要條件與充要條件通過(guò)判斷充分條件、必要條件,提升邏輯推理的素養(yǎng);根據(jù)充分條件、必要條件、命題的真假求參數(shù)的取值范圍,提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)充要條件的證明根據(jù)命題的條件與結(jié)論,證明充分性與必要性,提升邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)1.(概念辨析)(多選)下列結(jié)論正確的是().A.“x2>1”是“x>1”的充分不必要條件B.設(shè)M?N,則“x?M”是“x?N”的必要不充分條件C.“a,b都是偶數(shù)”是“a+b是偶數(shù)”的充分不必要條件D.“a>1且b>1”是“a+b>2且ab>1”的充要條件2.(對(duì)接教材)命題“?x∈R,1<f(x)≤2”的否定是.

3.(對(duì)接教材)“x1=0”是“(x1)(x+4)=0”的條件(選填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”).

4.(易錯(cuò)自糾)已知p:4xm<0,命題q:1≤3x≤4,若p是q的一個(gè)必要不充分條件,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為.

5.(真題演練)(2023·新高考天津卷)“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的().A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件全稱(chēng)量詞與存在量詞典例1(1)(多選)下列命題中是存在量詞命題且為真命題的有().A.中國(guó)所有的江河都流入太平洋B.有的四邊形既是矩形,又是菱形C.存在x∈R,使得x2+x+1=0D.有的數(shù)比它的倒數(shù)小(2)已知命題p是“?x∈R,ex+1eA.?x∈R,ex+1ex≥2 B.?x∈R,ex+1ex<2C.?x∈R,ex+1ex≤2(3)若命題“?x∈R,x2+(a1)x+1<0”的否定是假命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

含量詞命題的解題策略(1)判定全稱(chēng)量詞命題是真命題,需證明都成立;要判定存在量詞命題是真命題,只要找到一個(gè)成立即可.當(dāng)一個(gè)命題的真假不易判定時(shí),可以先判斷其否定的真假.(2)含量詞的命題的否定:修改全稱(chēng)量詞為存在量詞的同時(shí)對(duì)結(jié)論進(jìn)行否定,全稱(chēng)量詞命題的否定是存在量詞命題;修改存在量詞為全稱(chēng)量詞的同時(shí)對(duì)結(jié)論進(jìn)行否定,存在量詞命題的否定是全稱(chēng)量詞命題.(3)由命題真假求參數(shù)的取值范圍,一是直接由命題的真假求參數(shù)的取值范圍,二是可利用等價(jià)命題.訓(xùn)練1(1)下列命題是存在量詞命題且為真命題的是().A.?x∈R,x2x1>0B.所有的正方形都是矩形C.?x∈R,x2x+1=0D.?x∈R,使得x3+1=0(2)已知命題p:?x∈[1,+∞),x2a≥0,命題q:?x∈R,x2+2ax+2a=0,若命題p,q均為真命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

充分條件、必要條件與充要條件典例2(1)(多選)對(duì)任意實(shí)數(shù)a,b,c,下列命題為真命題的是().A.“a<5”是“a<3”的必要條件B.“a+5是無(wú)理數(shù)”是“a是無(wú)理數(shù)”的充要條件C.“a=b”是“ac=bc”的充要條件D.“a≥2且b≥2”是“a2+b2≥4”的充分不必要條件(2)(多選)若p:x2+x6=0是q:ax+1=0的必要不充分條件,則實(shí)數(shù)a的值為().A.2 B.12C.13 定義法:根據(jù)p?q,q?p進(jìn)行判斷,適用于用定義、定理判斷問(wèn)題.集合法:用集合的包含關(guān)系來(lái)研究充分條件、必要條件.訓(xùn)練2(1)王安石在《游褒禪山記》中寫(xiě)道:“而世之奇?zhèn)?、瑰?非常之觀,常在于險(xiǎn)遠(yuǎn),而人之所罕至焉,故非有志者不能至也.”則“有志”是“到達(dá)奇?zhèn)?、瑰?非常之觀”的().A.充要條件B.既不充分也不必要條件C.充分不必要條件D.必要不充分條件(2)已知命題p:1c<x<1+c(c>0),命題q:x>7或x<1,并且p是q的既不充分也不必要條件,則實(shí)數(shù)c的取值范圍是.

(3)關(guān)于x的方程x2ax+1=0,x2+(a1)x+16=0,x22ax+3a+4=0中至少有一個(gè)方程有實(shí)根的充要條件是.

充要條件的證明典例3已知x,y都是非零實(shí)數(shù),且x>y,求證:“1x<1證明充要條件一般應(yīng)分兩個(gè)步驟,即分別證明充分性與必要性,但千萬(wàn)要注意誰(shuí)是誰(shuí)的充分條件,誰(shuí)是誰(shuí)的必要條件.盡管在證明充要條件問(wèn)題中,前者可以是后者的充分條件,也可以是必要條件,但還是不能把順序顛倒了.一般地,證明p成立的充要條件為q時(shí),在證充分性時(shí)應(yīng)以q為已知條件,p是該步驟中要證明的結(jié)論,即q?p;證明必要性時(shí)應(yīng)以p為已知條件,q是該步驟中要證明的結(jié)論,即p?q.訓(xùn)練3證明:“m<0”是“關(guān)于x的方程x22x+m=0有一正根一負(fù)根”的充要條件.雙量詞邏輯問(wèn)題典例已知函數(shù)f(x)=2x,x∈0,12,函數(shù)g(x)=kx2k+2(k>0),x∈0,12,若存在x1∈0,12及x2∈解決此類(lèi)雙量詞邏輯問(wèn)題,通常將此問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域或最值問(wèn)題,再利用條件求參數(shù)的取值范圍.訓(xùn)練已知函數(shù)f(x)=3x2+2xa22a,g(x)=196x13,若對(duì)任意x1∈[1,1],總存在x2∈[0,2],使得f(x1)=g(x一、單選題1.下列命題中為真命題的個(gè)數(shù)是().①mx2+2x1=0是一元二次方程;②函數(shù)y=2x1的圖象與x軸有一個(gè)交點(diǎn);③互相包含的兩個(gè)集合相等;④空集是任何集合的真子集.A.1 B.2C.3 D.42.若命題“?x∈R,都有mx2+4x1≠0”為假命題,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為().A.4<m<0 B.m>0C.m≥4 D.4≤m≤03.(2024·江蘇南通開(kāi)學(xué)定位考)“a2>b2”是“a>b>0”的().A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分條件D.既不充分也不必要條件4.(2024·江蘇徐州期初測(cè)試)若不等式|x1|<a的一個(gè)充分條件為“0<x<1”,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是().A.(0,+∞) B.[0,+∞)C.(1,+∞) D.[1,+∞)二、多選題5.命題“?x∈R,2kx2+x38A.k∈(∞,3) B.k∈-∞,-13C.k∈-3,-16.若“x<k或x>k+3”是“4<x<1”的必要不充分條件,則實(shí)數(shù)k的值可以是().A.8 B.5 C.1 D.4三、填空題7.命題“?x<0,x22x1>0”的否定是.

8.已知p:x+2≥0,x-10≤0,q:{x|1四、解答題9.(2023·山東德州統(tǒng)考)已知命題“?x∈[1,4],使得不等式x24xm>0成立”是真命題.求實(shí)數(shù)m的取值集合A.10.已知命題p:?1≤x≤2,x≤a2+1,命題q:?1≤x≤2,一次函數(shù)y=x+a的圖象在x軸下方.(1)若命題p的否定為真命題,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(2)若命題p為真命題,命題q的否定也為真命題,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.11.(2023·江蘇南京二模)在運(yùn)動(dòng)會(huì)中,甲、乙、丙報(bào)名了跑步、鉛球、標(biāo)槍三個(gè)項(xiàng)目,每人報(bào)名的比賽項(xiàng)目不同.已知:①乙沒(méi)有報(bào)名跑步;②若甲報(bào)名鉛球,則丙報(bào)名標(biāo)槍;③若丙沒(méi)有報(bào)名鉛球,則甲報(bào)名鉛球.下列