（初中教案）九年級(jí)春季班第10講：直角三角形的存在性問(wèn)題-教師版-張于

（初中教案）九年級(jí)春季班第10講：直角三角形的存在性問(wèn)題-教師版-張于（初中教案）九年級(jí)春季班第10講：直角三角形的存在性問(wèn)題-教師版-張于/（初中教案）九年級(jí)春季班第10講：直角三角形的存在性問(wèn)題-教師版-張于直角三角形的存在性問(wèn)題直角三角形的存在性問(wèn)題內(nèi)容分析內(nèi)容分析在考慮是否為直角三角形時(shí),很顯然需要討論三種情況：①;②;③．在大多數(shù)問(wèn)題中,其中某兩種情況會(huì)較為簡(jiǎn)單,剩下一種則是考察重點(diǎn),需要用到勾股定理、相似/全等等知識(shí)才能求得．知識(shí)結(jié)構(gòu)知識(shí)結(jié)構(gòu)模塊模塊一：以函數(shù)為背景的直角三角形問(wèn)題知識(shí)知識(shí)精講知識(shí)內(nèi)容：在以函數(shù)為背景的此類壓軸題中,坐標(biāo)軸作為一個(gè)"天然”的直角存在,在解題時(shí)經(jīng)常會(huì)用到,作出垂直于坐標(biāo)軸的直線來(lái)構(gòu)造直角.另外,較困難的情況則需要用到全等/相似或者勾股定理的計(jì)算來(lái)確定直角三角形．解題思路：按三個(gè)角分別可能是直角的情況進(jìn)行討論;計(jì)算出相應(yīng)的邊長(zhǎng)等信息;根據(jù)邊長(zhǎng)與已知點(diǎn)的坐標(biāo),計(jì)算出相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)．例題解析例題解析如圖,拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C．(1)求點(diǎn)A、B的坐標(biāo);xyABCO(2)若直線l過(guò)點(diǎn)E(4,0),M為直線l上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)以AxyABCO角三角形有且只有三個(gè)時(shí),求直線l的解析式．【答案】(1)A、B的坐標(biāo)分別為(,0),(2,0);(2)直線l解析式為或．【解析】(1)解方程, 可得：A、B的坐標(biāo)分別為(,0),(2,0);(2)設(shè)AB中點(diǎn)為D,D點(diǎn)為(,0),以D為圓心,AD為半徑作圓, 若l與y軸平行,則找不到3個(gè)M點(diǎn),使為直角三角形． ∴l(xiāng)不與y軸平行． ∴必定存在2個(gè)M點(diǎn),使或． 要滿足"以A、B、M為頂點(diǎn)所作的直角三角形有且只有三個(gè)”,即直線l與圓D相切,設(shè)切點(diǎn)為M0,過(guò)M0作M0H⊥x軸于H, ∵,, ∴,． ∴M0的坐標(biāo)為或． ∴直線l解析式為或．【總結(jié)】本題主要考查二次函數(shù)背景下的直角三角形的存在性問(wèn)題,注意認(rèn)真分析題目中的條件,從而求出正確的結(jié)果．

在平面直角坐標(biāo)平面內(nèi),O為原點(diǎn),二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(,0)和點(diǎn)B(0,3),頂點(diǎn)為P．(1)求二次函數(shù)解析式及點(diǎn)P的坐標(biāo);(2)如果點(diǎn)Q是x軸上一點(diǎn),以點(diǎn)A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形,求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【答案】(1)解析式：,頂點(diǎn)(1,4);(2)點(diǎn)Q的坐標(biāo)是(1,0)或(9,0)．【解析】(1)由題意得,解得：,;∴二次函數(shù)解析式為,∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是(1,4);(2)P(1,4),A(,0),∴設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)是(x,0),則,．eq\o\ac(○,1)當(dāng)時(shí),,∴,解得：,(不合題意,舍去),∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)是(1,0);eq\o\ac(○,2)當(dāng)時(shí),,∴,解得：,∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)是(9,0)．eq\o\ac(○,3)當(dāng)時(shí),不合題意．綜上所述,所求點(diǎn)Q的坐標(biāo)是(1,0)或(9,0)．【總結(jié)】本題一方面考查二次函數(shù)的解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)的確定,另一方面考查二次函數(shù)背景下的直角三角形的存在性,注意利用勾股定理確定點(diǎn)的坐標(biāo)．

模塊模塊二：以幾何為背景的直角三角形問(wèn)題知識(shí)知識(shí)精講解題思路：按三個(gè)角分別可能是直角的情況進(jìn)行討論;運(yùn)用相似/全等、勾股定理等方法,計(jì)算出相應(yīng)的邊長(zhǎng)．例題解析例題解析如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,矩形OABC的兩邊OA、OC分別在x軸、y軸的正半軸上,OA=4,OC=2．點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā),沿x軸以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)停止運(yùn)動(dòng),設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒．將線段CP的中點(diǎn)繞點(diǎn)P按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得點(diǎn)D,點(diǎn)D隨點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng),連接DP、DA．(1)請(qǐng)用含t的代數(shù)式表示出點(diǎn)D的坐標(biāo);(2)在點(diǎn)P從O向A運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,能否成為直角三角形?若能,求t的值．若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)D點(diǎn)坐標(biāo)為;(2)t=2或3．【解析】解：(1)取CP中點(diǎn)M,作MN⊥OP于N,作DH⊥PA于H．ABCDOABCDOPxyHMN ∵,,P點(diǎn)坐標(biāo)為, ∴D點(diǎn)坐標(biāo)為; (2)當(dāng)時(shí),,∴．即,解得：或(舍)．當(dāng)時(shí),,∴,即,∴PA=1,∴t=3故當(dāng)是直角三角形時(shí),或3．【總結(jié)】本題一方面考查三角形的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題,另一方面考查相似三角形的性質(zhì)的運(yùn)用,注意利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)進(jìn)行求解．如圖,在中,CA=CB,AB=8,．點(diǎn)D是AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)E與點(diǎn)A關(guān)于直線CD對(duì)稱,聯(lián)結(jié)CE、DE．(1)求底邊AB上的高;(2)設(shè)CE與AB交于點(diǎn)F,當(dāng)為直角三角形時(shí),求AD的長(zhǎng);(3)聯(lián)結(jié)AE,當(dāng)是直角三角形時(shí),求AD的長(zhǎng)．ABCDEH【答案】(1)3;(2)AD的長(zhǎng)為或;(3)的長(zhǎng)為ABCDEH【解析】解：(1)過(guò)C作CH⊥AB于H． ∵AC=BC,AB=8,∴AH=BH=4． 又∵,∴AC=BC=5,CH=3; (2)分情況討論： ①當(dāng)時(shí),F與H重合,∴EH=2． ∵,∴． ∴; ②當(dāng)時(shí),作DM⊥AC于M,設(shè)CM=x, ∵,∴． ∴,∴,解得：． ∴;綜上：當(dāng)為直角三角形時(shí),AD的長(zhǎng)為或; (3)∵AD=DE,∴為直角三角形時(shí),AD、DE只可能是直角邊． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴．【總結(jié)】本題主要考查直角三角形的性質(zhì)以及判定直角三角形的存在性,解題時(shí)根據(jù)題意認(rèn)真分析,注意進(jìn)行分類討論．如圖,已知為等邊三角形,AB=6,點(diǎn)P是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(與A、B不重合),過(guò)點(diǎn)P作AB的垂線與BC交于點(diǎn)D,以點(diǎn)D為正方形的一個(gè)頂點(diǎn),在內(nèi)作正方形DEFG,其中D、E在BC上,F在AC上．(1)設(shè)BP的長(zhǎng)為x,正方形DEFG的邊長(zhǎng)為y,寫(xiě)出y與x的函數(shù)關(guān)系式及定義域;(2)當(dāng)BP=2時(shí),求CF的長(zhǎng);(3)是否可能成為直角三角形?若能,求出BP的長(zhǎng);若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)();(2);(3)BP的長(zhǎng)為或者為．ABCDEFGPABCDEFGP∴,;∵,,∴;又∵四邊形DEFG是正方形,∴,,∴;∴,∴();ABCDEFGP(2)當(dāng)ABCDEFGP(3)能成為直角三角形．eq\o\ac(○,1)時(shí),如圖;,,解得：．ABCDEFGPeq\o\ac(○,ABCDEFGP則,,解得：．∴當(dāng)為直角三角形,BP的長(zhǎng)為或者為．【總結(jié)】本題綜合性較強(qiáng),主要考查動(dòng)點(diǎn)背景下的正方形與直角三角形的存在性,注意對(duì)相關(guān)性質(zhì)的準(zhǔn)確運(yùn)用．ABCDEPQ如圖,在中,,AC=4cm,BC=5cm,點(diǎn)ABCDEPQCD=3cm．現(xiàn)有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、B同時(shí)出發(fā),其中點(diǎn)P以1cm/s的速度,沿AC向終點(diǎn)C移動(dòng);點(diǎn)Q以1.25cm/s的速度沿BC向終點(diǎn)C移動(dòng)．過(guò)點(diǎn)P作PE//BC交AD于點(diǎn)E,聯(lián)結(jié)EQ．設(shè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x(s)．(1)用含x的代數(shù)式表示AE、DE的長(zhǎng)度;(2)當(dāng)x為何值時(shí),為直角三角形．【答案】(1),;(2)當(dāng)x為2.5s或3.1s時(shí),為直角三角形．ABCDEPQ【解析】(1)在中,AC=4,CDABCDEPQ∵EP//DC,∴∽,∴,即,∴,;(2)分兩種情況討論：ABCDEPQeq\o\ac(○,1)當(dāng)時(shí),ABCDEPQ易得,又∵EQ//AC,∴∽,∴,即,解得：x=2.5;eq\o\ac(○,2)當(dāng)時(shí),如圖;∵,,∴∽,∴,即,解得：x=3.1;綜上所述：當(dāng)x為2.5s或3.1s時(shí),為直角三角形．【總結(jié)】本題主要考查動(dòng)點(diǎn)背景下的相似三角形的綜合運(yùn)用,注意得到相應(yīng)的線段比,從而求出相應(yīng)的線段長(zhǎng),第(2)問(wèn)中的直角三角形注意進(jìn)行兩種情況的分類討論．

隨堂檢測(cè)隨堂檢測(cè)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(,0)、B(4,0)、C(0,2)．點(diǎn)D是點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn),聯(lián)結(jié)BD,點(diǎn)E是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(m,0),過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線l交拋物線于點(diǎn)P．(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式;(2)當(dāng)點(diǎn)E在線段OB上運(yùn)動(dòng)時(shí),直線l交BD于點(diǎn)Q,當(dāng)四邊形CDQP是平行四邊形時(shí),求m的值;ABCO(3)是否存在點(diǎn)P,使是不以ABCO出點(diǎn)P的坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1);(2)m=2;(3)(3),,．【解析】解：(1)∵二次函數(shù)過(guò)點(diǎn)A、B, ∴設(shè)二次函數(shù)為． 將點(diǎn)C(0,2)代入,解得． ∴二次函數(shù)解析式為：;(2)D點(diǎn)坐標(biāo)為(0,)． ∴直線BD的解析式為：． ∴P點(diǎn)坐標(biāo)為,Q點(diǎn)坐標(biāo)為． ∵CD=PQ, ∴． 解得：m=2或m=0(舍),故m的值為2; (3),,．(注：可設(shè)過(guò)B或D的與BD垂直的直線,然后與二次函數(shù)聯(lián)立后解出)【總結(jié)】本題綜合性較強(qiáng),考查的內(nèi)容也比較多,包含了二次函數(shù)解析式的確定,還有就是平行四邊形的存在性以及直角三角形的存在性的確定,注意利用相關(guān)性質(zhì)去確定點(diǎn)的坐標(biāo)．如圖,在Rt中,∠ACB=90°,AB=13,CD//AB,點(diǎn)E為射線CD上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)C重合),聯(lián)結(jié)AE交邊BC于F,∠BAE的平分線交BC于點(diǎn)G．(1)當(dāng)CE=3時(shí),求S△CEF∶S△CAF的值;(2)設(shè)CE=x,AE=y,當(dāng)CG=2GB時(shí),求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;(3)當(dāng)AC=5時(shí),聯(lián)結(jié)EG,若為直角三角形,求BG的長(zhǎng)．【答案】(1);(2);(3)BG的長(zhǎng)為6或．【解析】解：(1)∵CD//AB,CE=3,AB=13,ABCGFABCGFEDM ∴． (2)延長(zhǎng)AG交CD于M． ∴． ∴． ∵CD//AB, ∴, ∴AE=EM, ∴． (3)∵,∴分兩種情況討論． ①當(dāng)時(shí),可得AG=GM． ∵CD//AB, ∴; ②當(dāng)時(shí),可得, ∴,． 又∵,, ∴, ∴GA=GB． ∴．綜上所述,若為直角三角形,BG的長(zhǎng)為6或．【總結(jié)】本題綜合性較強(qiáng),考查的內(nèi)容也比較多,包含了面積的比值,函數(shù)解析式的確定以及直角三角形的存在性的確定,注意在求解析式時(shí),利用角平分線的性質(zhì)去確定解析式．課后作業(yè)課后作業(yè)如圖,已知在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(,0),點(diǎn)B是點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn),P是函數(shù)()圖像上的一點(diǎn),且是直角三角形,求點(diǎn)P的坐標(biāo)．ABOxy【答案】((2,ABOxy【解析】解：分情況討論,因?yàn)辄c(diǎn)P在第一象限,所以不可能為．當(dāng)時(shí), ∴P點(diǎn)橫坐標(biāo)為2, ∴P點(diǎn)為(2,1);當(dāng)時(shí),連接OP,∴OP=OA=2, 設(shè)P點(diǎn)為,∴． 解得：或,∵點(diǎn)P在第一象限,∴,綜上,P點(diǎn)的坐標(biāo)可能為(2,1)或()．【總結(jié)】本題主要考查直角三角形的存在性問(wèn)題,由于本題中P點(diǎn)在第一象限,因此注意直角三角形只有兩種情況．

如圖,在中,AB=AC=10,cosB=．D、E為線段BC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且DE=3(E在D右邊),運(yùn)動(dòng)初始時(shí)D和B重合,當(dāng)E和C重合時(shí)運(yùn)動(dòng)停止．過(guò)E作EF//AC交AB于F,聯(lián)結(jié)DF．(1)設(shè)BD=x,EF=y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并寫(xiě)出定義域;(2)如果為直角三角形,求的面積;(3)如圖2,如果MN過(guò)的重心,且MN//BC分別交FD、FE于M、N,求整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中線段MN掃過(guò)的區(qū)域的形狀和面積(直接寫(xiě)出答案)．AABCDEFABCDEFNM圖1