高考數(shù)學(xué) 第八篇 第3講 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系限時(shí)訓(xùn)練 新人教A版

第3講空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系A(chǔ)級(jí)基礎(chǔ)演練(時(shí)間：30分鐘滿分：55分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1．若空間中有兩條直線，則“這兩條直線為異面直線”是“這兩條直線沒(méi)有公共點(diǎn)”的 ()．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件解析若兩條直線無(wú)公共點(diǎn)，則兩條直線可能異面，也可能平行．若兩條直線是異面直線，則兩條直線必?zé)o公共點(diǎn)．答案A2．若兩條直線和一個(gè)平面相交成等角，則這兩條直線的位置關(guān)系是 ()．A．平行 B．異面C．相交 D．平行、異面或相交解析經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)平行、異面或相交時(shí)，均有兩條直線和一個(gè)平面相交成等角的情況出現(xiàn)，故選D.答案D3．以下四個(gè)命題中，正確命題的個(gè)數(shù)是 ()．①不共面的四點(diǎn)中，其中任意三點(diǎn)不共線；②若點(diǎn)A、B、C、D共面，點(diǎn)A、B、C、E共面，則A、B、C、D、E共面；③若直線a、b共面，直線a、c共面，則直線b、c共面；④依次首尾相接的四條線段必共面．A．0 B．1 C．2 D．3解析①正確，可以用反證法證明；②從條件看出兩平面有三個(gè)公共點(diǎn)A、B、C，但是若A、B、C共線，則結(jié)論不正確；③不正確，共面不具有傳遞性；④不正確，因?yàn)榇藭r(shí)所得的四邊形四條邊可以不在一個(gè)平面上．答案B4．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O是BD1的中點(diǎn)，直線A1C交平面AB1D1于點(diǎn)M，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是 ()．A．A1、M、O三點(diǎn)共線 B．M、O、A1、A四點(diǎn)共面C．A、O、C、M四點(diǎn)共面 D．B、B1、O、M四點(diǎn)共面解析因?yàn)镺是BD1的中點(diǎn)．由正方體的性質(zhì)知，點(diǎn)O在直線A1C上，O也是A1C的中點(diǎn)，又直線A1C交平面AB1D1于點(diǎn)M，則A1、M、O三點(diǎn)共線，A正確；又直線與直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面，所以B、C正確．答案D二、填空題(每小題5分，共10分)5．已知a，b為不垂直的異面直線，α是一個(gè)平面，則a，b在α上的射影有可能是：①兩條平行直線；②兩條互相垂直的直線；③同一條直線；④一條直線及其外一點(diǎn)．在上面結(jié)論中，正確結(jié)論的編號(hào)是________(寫出所有正確結(jié)論的編號(hào))．解析只有當(dāng)a∥b時(shí)，a，b在α上的射影才可能是同一條直線，故③錯(cuò)，其余都有可能．答案①②④6.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M、N分別為棱C1D1、C1C的中點(diǎn)，有以下四個(gè)結(jié)論：①直線AM與CC1是相交直線；②直線AM與BN是平行直線；③直線BN與MB1是異面直線；④直線AM與DD1是異面直線．其中正確的結(jié)論為________(注：把你認(rèn)為正確的結(jié)論的序號(hào)都填上)．解析直線AM與CC1是異面直線，直線AM與BN也是異面直線，故①②錯(cuò)誤．答案③④三、解答題(共25分)7．(12分)如圖所示，四邊形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綉eq\f(1,2)AD，BE綉eq\f(1,2)FA，G、H分別為FA、FD的中點(diǎn)．(1)證明：四邊形BCHG是平行四邊形；(2)C、D、F、E四點(diǎn)是否共面？為什么？(1)證明由已知FG＝GA，F(xiàn)H＝HD，可得GH綉eq\f(1,2)AD.又BC綉eq\f(1,2)AD，∴GH綉B(tài)C，∴四邊形BCHG為平行四邊形．(2)解由BE綉eq\f(1,2)AF，G為FA中點(diǎn)知，BE綉FG，∴四邊形BEFG為平行四邊形，∴EF∥BG.由(1)知BG綉CH，∴EF∥CH，∴EF與CH共面．又D∈FH，∴C、D、F、E四點(diǎn)共面．8．(13分)在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1的A1C1面上有一點(diǎn)P(如圖所示，其中P點(diǎn)不在對(duì)角線B1D1)上．(1)過(guò)P點(diǎn)在空間作一直線l，使l∥直線BD，應(yīng)該如何作圖？并說(shuō)明理由；(2)過(guò)P點(diǎn)在平面A1C1內(nèi)作一直線m，使m與直線BD成α角，其中α∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，這樣的直線有幾條，應(yīng)該如何作圖？解(1)連接B1D1，BD，在平面A1C1內(nèi)過(guò)P作直線l，使l∥B1D1，則l即為所求作的直線，如圖(a)．∵B1D1∥BD，l∥B1D1，∴l(xiāng)∥直線BD.圖(a)(2)∵BD∥B1D1，∴直線m與直線BD也成α角，即直線m為所求作的直線，如圖(b)．由圖知m與BD是異面直線，且m與BD所成的角α∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).當(dāng)α＝eq\f(π,2)時(shí)，這樣的直線m有且只有一條，當(dāng)α≠eq\f(π,2)時(shí)，這樣的直線m有兩條．圖(b)B級(jí)能力突破(時(shí)間：30分鐘滿分：45分)一、選擇題(每小題5分，共10分)1．(·吉林一模)一個(gè)正方體的展開圖如圖所示，A、B、C、D為原正方體的頂點(diǎn)，則在原來(lái)的正方體中 ()．A．AB∥CDB．AB與CD相交C．AB⊥CDD．AB與CD所成的角為60°解析如圖，把展開圖中的各正方形按圖(a)所示的方式分別作為正方體的前、后、左、右、上、下面還原，得到圖(b)所示的直觀圖，可見選項(xiàng)A、B、C不正確．∴正確選項(xiàng)為D.圖(b)中，DE∥AB，∠CDE為AB與CD所成的角，△CDE為等邊三角形，∴∠CDE＝60°.答案D2.如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，點(diǎn)E、F分別是棱AB、BB1的中點(diǎn)，則直線EF和BC1所成的角是 ()．A．45° B．60°C．90° D．120°解析如圖，連接AB1，易知AB1∥EF，連接B1C交BC1于點(diǎn)G，取AC的中點(diǎn)H，連接GH，則GH∥AB1∥EF.設(shè)AB＝BC＝AA1＝a，連接HB，在△GHB中，易知GH＝HB＝GB＝eq\f(\r(2),2)a，故兩直線所成的角即為∠HGB＝60°.答案B二、填空題(每小題5分，共10分)3.如圖所示，在三棱錐A－BCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，則當(dāng)AC，BD滿足條件________時(shí)，四邊形EFGH為菱形，當(dāng)AC，BD滿足條件________________時(shí)，四邊形EFGH是正方形．解析易知EH∥BD∥FG，且EH＝eq\f(1,2)BD＝FG，同理EF∥AC∥HG，且EF＝eq\f(1,2)AC＝HG，顯然四邊形EFGH為平行四邊形．要使平行四邊形EFGH為菱形需滿足EF＝EH，即AC＝BD；要使四邊形EFGH為正方形需滿足EF＝EH且EF⊥EH，即AC＝BD且AC⊥BD.答案AC＝BDAC＝BD且AC⊥BD4．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AA1，CC1的中點(diǎn)，則在空間中與三條直線A1D1，EF，CD都相交的直線有________條．解析法一在EF上任意取一點(diǎn)M，直線A1D1與M確定一個(gè)平面，這個(gè)平面與CD有且僅有1個(gè)交點(diǎn)N，當(dāng)M取不同的位置就確定不同的平面，從而與CD有不同的交點(diǎn)N，而直線MN與這3條異面直線都有交點(diǎn)．如圖所示．法二在A1D1上任取一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P與直線EF作一個(gè)平面α，因CD與平面α不平行，所以它們相交，設(shè)它們交于點(diǎn)Q，連接PQ，則PQ與EF必然相交，即PQ為所求直線．由點(diǎn)P的任意性，知有無(wú)數(shù)條直線與三條直線A1D1，EF，CD都相交．答案無(wú)數(shù)三、解答題(共25分)5．(12分)如圖，在四面體ABCD中作截面PQR，若PQ、CB的延長(zhǎng)線交于M，RQ、DB的延長(zhǎng)線交于N，RP、DC的延長(zhǎng)線交于K，求證：M、N、K三點(diǎn)共線．證明∵M(jìn)∈PQ，直線PQ?平面PQR，M∈BC，直線BC?面BCD，∴M是平面PQR與平面BCD的一個(gè)公共點(diǎn)，即M在面PQR與面BCD的交線l上．同理可證：N、K也在l上．∴M、N、K三點(diǎn)共線．6．(13分)在四棱錐P－ABCD中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠DAB＝60°，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，PO⊥平面ABCD，PB與平面ABCD所成角為60°.(1)求四棱錐的體積；(2)若E是PB的中點(diǎn)，求異面直線DE與PA所成角的余弦值．解(1)在四棱錐P－ABCD中，∵PO⊥面ABCD，∴∠PBO是PB與面ABCD所成的角，即∠PBO＝60°，在Rt△POB中，∵BO＝AB·sin30°＝1，又PO⊥OB，∴PO＝BO·tan60°＝eq\r(3)，∵底面菱形的面積S菱形ABCD＝2eq\r(3).∴四棱錐P－ABCD的體積VP－ABCD＝eq\f(1,3)×2eq\r(3)×eq\r(3)＝2.(2)取AB的中點(diǎn)F，連接EF，DF，∵E為PB中點(diǎn)，∴EF∥PA，∴∠DEF為異面直線DE與PA所成角(或其補(bǔ)角)．在Rt△AOB中，AO＝AB·cos30°＝eq\r(3)＝OP，∴在Rt△POA中，PA＝eq\r(6)，∴EF＝eq\f(\r(6),2).在正三角形ABD和正三角形PDB中，DF＝DE＝eq\r(3)，∴cos∠DEF＝eq\f(DE2＋EF2－DF2,2DE·EF)＝e