山東省濟(jì)南市章丘實(shí)驗(yàn)中學(xué)2023-2024學(xué)年九年級(jí)下學(xué)期開學(xué)數(shù)學(xué)試題（解析版）

2023-2024學(xué)年山東省濟(jì)南市章丘實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)（下）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.下列各數(shù)中，最小的數(shù)是（）A.－3 B.0 C.1 D.2【答案】A【解析】【分析】有理數(shù)的大小比較法則：正數(shù)大于0，負(fù)數(shù)小于0，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而?。驹斀狻俊撸嘧钚?shù)是-3，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的大小比較，屬于基礎(chǔ)應(yīng)用題，只需熟練掌握有理數(shù)的大小比較法則，即可完成．2.下列運(yùn)算正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)整式的加減乘除法則分開討論即可得到結(jié)果．【詳解】A．，故A錯(cuò)誤；B．，故B錯(cuò)誤；C．，故C錯(cuò)誤；D．，故D正確；故答案選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了整式加減乘除的混合運(yùn)算，準(zhǔn)確進(jìn)行冪的運(yùn)算公式是解題的關(guān)鍵．3.在今年舉行的第127屆“廣交會(huì)”上，有近26000家廠家進(jìn)行“云端銷售”．其中數(shù)據(jù)26000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值＞10時(shí)，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值＜1時(shí)，n是負(fù)數(shù)．【詳解】，故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．4.將含30°角的一個(gè)直角三角板和一把直尺如圖放置，若，則等于（）A.80° B.100° C.110° D.120°【答案】C【解析】【分析】如圖，先根據(jù)平行線性質(zhì)求出∠3，再求出∠4，根據(jù)四邊形內(nèi)角和為360°即可求解．【詳解】解：如圖，由題意得DE∥GF，∴∠1=∠3=50°，∴∠4=180°-∠3=130°，∴在四邊形ACMN中，∠2=360°-∠A-∠C-∠4=110°．故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，四邊形的內(nèi)角和定理，熟知相關(guān)定理是解題關(guān)鍵．5.解一元一次方程時(shí)，去分母正確的是（）A B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)等式的基本性質(zhì)將方程兩邊都乘以6可得答案．【詳解】解：方程兩邊都乘以6，得：3（x+1）＝6﹣2x，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是掌握解一元一次方程的步驟和等式的基本性質(zhì)．6.將一元二次方程化成（a，b為常數(shù)）的形式，則a，b的值分別是（）A，21 B.，11 C.4，21 D.，69【答案】A【解析】【分析】根據(jù)配方法步驟解題即可．【詳解】解：移項(xiàng)得，配方得，即，∴a=-4，b=21．故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了配方法解一元二次方程，解題關(guān)鍵是配方：在二次項(xiàng)系數(shù)為1時(shí)，方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方．7.如圖，是的內(nèi)接三角形，，是直徑，，則的長(zhǎng)為（）A.4 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】連接BO，根據(jù)圓周角定理可得，再由圓內(nèi)接三角形的性質(zhì)可得OB垂直平分AC，再根據(jù)正弦的定義求解即可．【詳解】如圖，連接OB，∵是的內(nèi)接三角形，∴OB垂直平分AC，∴，，又∵，∴，∴,又∵AD=8，∴AO=4，∴，解得：，∴．故答案選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的垂徑定理的應(yīng)用，根據(jù)圓周角定理求角度是解題的關(guān)鍵．8.如圖，四邊形是一張平行四邊形紙片，其高，底邊，，沿虛線將紙片剪成兩個(gè)全等的梯形，若，則的長(zhǎng)為（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】過點(diǎn)F作，AG=2，，可得BG=FM=2，令A(yù)F=x，根據(jù)，根據(jù)正切值可得EM的長(zhǎng)，加起來等于BC即可得到結(jié)果．【詳解】如圖所示，過點(diǎn)F作交BC于點(diǎn)M，∵，，AG=2，∴BG=FM=2，AF=GM，令A(yù)F=x，∵兩個(gè)梯形全等，∴AF=GM=EC=x，又∵，∴，∴，又∵BC=6，∴，∴．故答案選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用特殊角的三角函數(shù)值及三角函數(shù)的意義進(jìn)行求解，準(zhǔn)確根據(jù)全等圖形的性質(zhì)判斷邊角是解題的關(guān)鍵．9.如圖，矩形中，，相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)B作交于點(diǎn)F，交于點(diǎn)M，過點(diǎn)D作交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)N，連接，．則下列結(jié)論：①；②；③；④當(dāng)時(shí)，四邊形是菱形．其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】C【解析】【分析】證明，得出，故①正確；證明，得出，由，故③錯(cuò)誤；證四邊形是平行四邊形，得出，故②正確；證四邊形DEBF是平行四邊形，證出，則，得出四邊形是菱形；故④正確；即可得出結(jié)論．【詳解】∵四邊形是矩形，∴，，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，故①正確；在和中，，∴，∴，∵，∴，故③錯(cuò)誤；∴，即，∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，故②正確；∵，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴，∴是等邊三角形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴四邊形是菱形；故④正確；正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是3個(gè)，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、菱形的判定等知識(shí)；熟練掌握矩形的性質(zhì)和菱形的判定，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．10.如圖，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為，點(diǎn)C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，，點(diǎn)M為線段的中點(diǎn)，連接，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】如圖所示，取AB的中點(diǎn)N，連接ON，MN，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可知OM＜ON+MN，則當(dāng)ON與MN共線時(shí)，OM=ON+MN最大，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)以及三角形的中位線即可解答．【詳解】解：如圖所示，取AB的中點(diǎn)N，連接ON，MN，三角形的三邊關(guān)系可知OM＜ON+MN，則當(dāng)ON與MN共線時(shí)，OM=ON+MN最大，∵，則△ABO為等腰直角三角形，∴AB=，N為AB的中點(diǎn)，∴ON=，又∵M(jìn)為AC的中點(diǎn)，∴MN為△ABC的中位線，BC=1，則MN=，∴OM=ON+MN=，∴OM的最大值為故答案選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)以及三角形中位線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是確定當(dāng)ON與MN共線時(shí)，OM=ON+MN最大．二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分．11.分解因式：___________.【答案】【解析】【分析】直接提取公因式a即可．【詳解】解：，

故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查提公因式法分解因式，解題的關(guān)鍵是正確確定公因式．12.一個(gè)不透明的口袋里裝有若干除顏色外其他完全相同的小球，其中有2個(gè)黃球和若干個(gè)白球，將口袋中的球搖勻，從中任意摸出一個(gè)球，摸到黃球的概率是15，則白球的個(gè)數(shù)是__________【答案】8【解析】【分析】首先設(shè)白球有個(gè)，由概率公式可得，解此方程即可求得答案．【詳解】設(shè)白球有個(gè)，

依題意得：，解得：，

經(jīng)檢驗(yàn)：是原分式方程的解，

所以白球有8個(gè)．

故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題考查了概率公式的應(yīng)用、解分式方程．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．13.若代數(shù)式的值是1，則__________．【答案】2【解析】【分析】根據(jù)題意列出方程，求出方程的解即可得到的值．【詳解】根據(jù)題意得：，

去分母得：，

解得：a=2，

經(jīng)檢驗(yàn)a=2是分式方程的解，

則a=2．

故答案為：2【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程注意要檢驗(yàn)．14.A，B兩地相距240km，甲貨車從A地以40km/h的速度勻速前往B地，到達(dá)B地后停止，在甲出發(fā)的同時(shí)，乙貨車從B地沿同一公路勻速前往A地，到達(dá)A地后停止，兩車之間的路程y（km）與甲貨車出發(fā)時(shí)間x（h）之間的函數(shù)關(guān)系如圖中的折線所示．其中點(diǎn)C的坐標(biāo)是，點(diǎn)D的坐標(biāo)是，則點(diǎn)E的坐標(biāo)是__________．【答案】【解析】【分析】先根據(jù)CD段的求出乙貨車的行駛速度，再根據(jù)兩車的行駛速度分析出點(diǎn)E表示的意義，由此即可得出答案．【詳解】設(shè)乙貨車的行駛速度為由題意可知，圖中的點(diǎn)D表示的是甲、乙貨車相遇點(diǎn)C的坐標(biāo)是，點(diǎn)D的坐標(biāo)是此時(shí)甲、乙貨車行駛的時(shí)間為，甲貨車行駛的距離為，乙貨車行駛的距離為乙貨車從B地前往A地所需時(shí)間為由此可知，圖中點(diǎn)E表示的是乙貨車行駛至A地，EF段表示的是乙貨車停止后，甲貨車?yán)^續(xù)行駛至B地則點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為4，縱坐標(biāo)為在乙貨車停止時(shí)，甲貨車行駛的距離，即即點(diǎn)E的坐標(biāo)為故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，讀懂函數(shù)圖象是解題關(guān)鍵．15.如圖，點(diǎn)O是半圓圓心，是半圓的直徑，點(diǎn)A，D在半圓上，且，過點(diǎn)D作于點(diǎn)C，則陰影部分的面積是________．【答案】【解析】【分析】求出半圓半徑、OC、CD長(zhǎng)，根據(jù)AD∥BO，得到，根據(jù)即可求解．【詳解】解：連接OA，∵，OA=OB，∴△OAB是等邊三角形，∴OA=AB=8，∠AOB=60°∵AD∥BO，∴∠DAO=∠AOB=60°，∵OA=OD，∴△OAD是等邊三角形，∴∠AOD=60°，∴∠DOE=60°，∴在Rt△OCD中，，∵AD∥BO，∴，∴．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了不規(guī)則圖形面積的求法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)根據(jù)AD∥BO，得到，從而將陰影面積轉(zhuǎn)化為扇形面積與三角形面積的差．16.如圖，將小正方形AEFG繞大正方形ABCD的頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度α(0°≤a≤90°)，連接BG，DE相交于點(diǎn)O，再連接AO、BE、DG．以下四個(gè)結(jié)論：①BG＝DE；②BG⊥DE；③∠DOA＝∠GOA；④．其中結(jié)論正確的是__________．【答案】①②③【解析】【分析】由“SAS”可證△DAE≌△BAG，可得BG=DE，∠ADE=∠ABG，S△DAE=S△BAG，即可判斷①②③，過點(diǎn)G作GH⊥AD，過點(diǎn)E作EQ⊥EQ，由“AAS”可證△AEQ≌△GAH，可得AQ=GH，可得S△ADG=S△ABE，可判斷④即可求解．【詳解】∵四邊形AEFG和ABCD都是正方形，∴∠DAB=∠EAG=90°，

∴∠DAE=∠BAG，且AD=AB，AG=AE，

∴△DAE≌△BAG（SAS）

∴BG=DE，∠ADE=∠ABG，故①符合題意，

如圖，設(shè)點(diǎn)DE與AB交于點(diǎn)P，

∵∠ADE=∠ABG，∠DPA=∠BPO，

∴∠DAP=∠BOP=90°，

∴BG⊥DE，故②符合題意，過點(diǎn)A作AM⊥DE，AN⊥BG，

∵△DAE≌△BAG，

∴S△DAE=S△BAG，∴DEAM=BGAN，且DE=BG，

∴AM=AN，且AM⊥DE，AN⊥BG，

∴AO平分∠DOG，

∴∠AOD=∠AOG，故③符合題意，

如圖2，過點(diǎn)G、點(diǎn)E作DA的垂線，分別交DA的延長(zhǎng)線于H、Q，

∴∠EAQ+∠AEQ=90°，且∠EAQ+∠GAQ=90°，

∴∠AEQ=∠GAQ，且AE=AG，∠EQA=∠AHG=90°，

∴△AEQ≌△GAH（AAS），

∴AQ=GH，

∴ADGH=ABAQ，∴S△ADG=S△ABE，

故④不符合題意，故答案為：①②③．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵．三、計(jì)算題：本大題共1小題，共10分．17.計(jì)算：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用完全平方公式和整式乘法展開后合并同類型即可；（2）先把分子分母因式分解，然后按順序計(jì)算即可；【詳解】（1）解：原式（2）解：原式【點(diǎn)睛】本題考查整式的運(yùn)算和分式的混合運(yùn)算，熟記運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．四、解答題：本題共3小題，共36分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．18.如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，分別過點(diǎn)A，C作，，垂足分別為E，F(xiàn)．AC平分．（1）若，求的度數(shù)；（2）求證：．【答案】（1）；（2）見解析【解析】【分析】（1）利用三角形內(nèi)角和定理求出，利用角平分線的定義求出，再利用平行線的性質(zhì)解決問題即可．（2）證明可得結(jié)論．【詳解】（1）解：，，，，平分，，四邊形是平行四邊形，，，（2）證明：四邊形是平行四邊形，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)．19.今年史上最長(zhǎng)的寒假結(jié)束后，學(xué)生復(fù)學(xué)，某學(xué)校為了增強(qiáng)學(xué)生體質(zhì)，鼓勵(lì)學(xué)生在不聚集的情況下加強(qiáng)體育鍛煉，決定讓各班購買跳繩和毽子作為活動(dòng)器材．已知購買根跳繩和個(gè)毽子共需元；購買根跳繩和個(gè)毽子共需元．（1）求購買一根跳繩和一個(gè)毽子分別需要多少元；（2）某班需要購買跳繩和毽子的總數(shù)量是，且購買的總費(fèi)用不能超過元；若要求購買跳繩的數(shù)量多于根，通過計(jì)算說明共有哪幾種購買跳繩的方案．【答案】（1）購買一根跳繩需要6元，一個(gè)毽子需要4元；（2）方案一：購買跳繩21根；方案二：購買跳繩22根【解析】【分析】（1）設(shè)購買一根跳繩需要x元，一個(gè)毽子需要y元，依題意列出二元一次方程組解之即可；（2）設(shè)學(xué)校購進(jìn)跳繩m根，則購進(jìn)毽子（54-m）根，根據(jù)題意列出不等式并求得m的范圍，進(jìn)而可判斷購買方案．【詳解】（1）設(shè)購買一根跳繩需要x元，一個(gè)毽子需要y元，依題意，得：，解得：，答：購買一根跳繩需要6元，一個(gè)毽子需要4元；（2）設(shè)學(xué)校購進(jìn)跳繩m根，則購進(jìn)毽子（54-m）根，根據(jù)題意，得：，解得：m≤22，又m﹥20，且m為整數(shù)，∴m=21或22，∴共有兩種購買跳繩的方案，方案一：購買跳繩21根；方案二：購買跳繩22根．【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組以及一元一次不等式的應(yīng)用，根據(jù)題意正確列出方程式及不等式是解答的關(guān)鍵．20.若一次函數(shù)的圖象與軸，軸分別交于A，C兩點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，二次函數(shù)的圖象過A，B，C三點(diǎn)，如圖（1）．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）如圖（1），過點(diǎn)C作軸交拋物線