七年級數(shù)學(xué)下冊講義（北師大版）第四章第06講 用尺規(guī)作三角形與利用三角形全等測距離(6類熱點題型講練)（解析版）

第06講用尺規(guī)作三角形與利用三角形全等測距離(6類熱點題型講練)1.理解角的有關(guān)概念：會用尺規(guī)按要求作三角形：已知兩邊及夾角作三角形,已知兩角及夾邊作三角形，已知三邊作三角形.2.通過尺規(guī)作圖的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)觀察分析、類比歸納的探究能力，加深對類比與轉(zhuǎn)化、分類討論等數(shù)學(xué)思想的認識.3.能利用三角形的全等解決實際問題，體會數(shù)學(xué)于實際生活的聯(lián)系.4.能在解決問題的過程中進行有條理的思考和表達，提高分析解決問題的能力.知識點01利用尺規(guī)作三角形在學(xué)習(xí)之前先要對尺規(guī)作線段和尺規(guī)作角熟練掌握并應(yīng)用，根據(jù)給出的不同條件采用不同方法作出圖形；有三種基本類型:(1)已知三角形的兩邊及其夾角,求作符合要求的三角形,其作圖依據(jù)是SAS;(2)已知三角形的兩角及其夾邊,求作符合要求的三角形,其作圖依據(jù)是ASA;(3)已知三角形的三邊,求作符合要求的三角形,其作圖依據(jù)是SSS.知識點02利用三角形全等測距離1.當兩點之間可以直接到達時，可以直接測量出兩點之間的距離；當兩點之間不能直接到達時，可以構(gòu)造全等三角形，將不能到達的兩點轉(zhuǎn)化到能夠到達的兩點來進行測量．2.通過構(gòu)造全等三角形來進行測量有以下幾種方法：構(gòu)造兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個全等三角形；構(gòu)造兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個全等三角形；構(gòu)造三邊對應(yīng)相等的兩個全等三角形.總結(jié)：利用三角形全等來設(shè)計測量方案：首先根據(jù)已有的條件和欲測量的問題進行分析，明確要運用哪種方法來構(gòu)建全等三角形，即將要用到哪種全等的判定方法；然后，在測量方案中把說明兩個三角形全等所需要的條件毫無遺漏地“測量到位”．題型01結(jié)合尺規(guī)作圖的全等問題【例題】（22-23七年級下·遼寧沈陽·期末）已知，按圖示痕跡做，得到，則在作圖時，這兩個三角形滿足的條件是()A．，B．，C．，，D．，，【答案】D【分析】根據(jù)證明三角形全等即可．本題考查作圖復(fù)雜作圖，全等三角形的判定等知識，解題的關(guān)鍵是讀懂圖象信息，屬于中考常考題型．【詳解】解：由作圖可知，，，，在和中，，故選：D．【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級上·福建福州·期中）用直尺和圓規(guī)作兩個全等三角形，如圖，能得到的依據(jù)是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查復(fù)雜作圖，根據(jù)作圖的痕跡進行判斷即可求解．掌握全等三角形的判定定理及基本作圖是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由作圖得：，，在和中，，∴，∴能得到的依據(jù)是．故選：C．2．（23-24八年級上·河北邢臺·期中）如圖，課本上給出了小明一個畫圖的過程，這個畫圖過程說明的事實是（

）

A．兩個三角形的兩條邊和夾角對應(yīng)相等，這兩個三角形全等B．兩個三角形的兩個角和其中一角的對邊對應(yīng)相等，這兩個三角形全等C．兩個三角形的兩條邊和其中一邊對角對應(yīng)相等，這兩個三角形不一定全等D．兩個三角形的兩個角和夾邊對應(yīng)相等，這兩個三角形不一定全等【答案】C【分析】根據(jù)全等三角形的判定進行判斷即可．【詳解】解：根據(jù)作圖可知：兩個三角形的兩條邊和其中一邊對角對應(yīng)相等，其中角的對邊不確定，可能有兩種情況，故三角形不能確定，所以兩個三角形的兩條邊和其中一邊對角對應(yīng)相等，這兩個三角形不一定全等，故選：C．【點睛】本題考查了全等三角形的判定，熟知三角形全等的判定是解題的關(guān)鍵．題型02尺規(guī)作圖——作三角形【例題】（23-24八年級上·浙江·期末）已知和線段（如圖）．(1)用直尺和圓規(guī)作（點在的上方），使，（做出圖形，保留痕跡，不寫作法）．(2)這樣的三角形能作幾個？【答案】(1)見解析(2)2【分析】本題考查了作圖—復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法，解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．（1）先作，再在上截取，然后以為圓心，為半徑畫弧交于和，則和即為所作；（2）由作圖即可得出答案．【詳解】（1）解：如圖，和即為所作，；（2）解：由圖可得：這樣的三角形能作個．1．（23-24八年級上·廣東廣州·期中）作三角形：已知：線段a、c和（如圖），利用直尺和圓規(guī)作，使，，．（不寫作法，保留作圖痕跡）．【答案】見解析【分析】本題考查了尺規(guī)作圖，先作已知角，再作已知邊，即可求得結(jié)果，掌握尺規(guī)作圖的方法是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖：①作，②在上截取，在上截取，連接，，則即為所求．2．（23-24八年級上·浙江杭州·期末）如圖，已知和線段a，b，用直尺和圓規(guī)作，，（保留作圖痕跡）【答案】見詳解【分析】本題考查了作圖，作一個角等于已知角和用已知線段畫三角形，先作，再在上截取，然后以C為圓心，b為半徑畫弧交于A和，則和滿足條件．【詳解】解：這樣的三角形能作2個．如圖，和為所作．題型03全等三角形的性質(zhì)【例題】（22-23八年級上·浙江臺州·期末）如圖，點，，，在同一直線上，，，，則的長是．【答案】5【分析】本題考查三角形全等的性質(zhì)，根據(jù)得到，結(jié)合，，，在同一直線上即可得到答案；【詳解】解：∵，∴，∵，，，在同一直線上，，，∴，故答案為：5．【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級上·廣西百色·期末）如圖，，點E在AB上，DE與AC交于點F，，，則．【答案】/24度【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，計算即可．【詳解】解：，，，，，，，，故答案為：．2．（22-23八年級下·福建福州·開學(xué)考試）如圖，，點E在上，，若，則的長為．【答案】1【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，能求出，的長是解此題的關(guān)鍵．根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：，，，，故答案為：1題型04利用全等三角形求動點問題的多解題【例題】（23-24八年級上·湖北荊州·期中）如圖，，于，于，且，點從向運動，每分鐘走，點從向運動，每分鐘走，、兩點同時出發(fā)，運動分鐘后，與全等．【答案】4【分析】本題考查了直角三角形全等的判定方法、解方程等知識．設(shè)運動分鐘后與全等；則，，則，分兩種情況：①若，則，此時，；②若，則，得出，，即可得出結(jié)果．【詳解】解：于，于，，設(shè)運動分鐘后與全等；則，，則，分兩種情況：①若，則，，，，；②若，則，解得：，，此時與不全等；綜上所述：運動4分鐘后與全等；故答案為：4．【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級上·河南南陽·階段練習(xí)）如圖，，，，點P在線段上以每秒1個單位長度的速度由點A向點B運動．同時，點Q在線段上以每秒x個單位長度的速度由點B向點D運動，當一點到達終點時，另一點也停止運動．當與全等時，x的值為．【答案】1或【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，一元一次方程的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵在于分情況求解．由題意知當與全等，分和兩種情況，根據(jù)全等的性質(zhì)列方程求解即可．【詳解】解：由題意知，，，，與全等，，∴分兩種情況求解：①當時，，即，解得；②當時，，即，解得，，即，解得；綜上所述，的值是1或，故答案為：1或．2．（23-24八年級上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）如圖，在中，，，，點在直線上．點從點出發(fā)，在三角形邊上沿的路徑向終點運動；點從點出發(fā)，在三角形邊上沿的路徑向終點運動．點和分別以單位秒和單位秒的速度同時開始運動，在運動過程中，若有一點先到達終點時，該點停止運動，另一個點要繼續(xù)運動，直到兩點都到達相應(yīng)的終點時整個運動才能停止．在某時刻，分別過和作于點，于點，則點的運動時間等于秒時，與全等．【答案】2或或12【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，分情況討論是解題的關(guān)鍵：分四種情況，點在上，點在上；點、都在上；點到上，點在上；點到點，點在上．【詳解】解：與全等，斜邊斜邊，分四種情況：當點在上，點在上，如圖：，，，當點、都在上時，此時、重合，如圖：，，，當點到上，點在上時，如圖：，，，不符合題意，當點到點，點在上時，如圖：，，，綜上所述：點的運動時間等于2或或12秒時，與全等，故答案為：2或或12．題型05利用三角形全等測距離【例題】（23-24八年級上·河南信陽·期末）如圖，數(shù)學(xué)實踐小組想要測量某公園的人工湖兩端，之間的距離，由于條件限制無法直接測得．請你用學(xué)過的數(shù)學(xué)知識幫他們按以下要求設(shè)計一種測量方案．(1)畫出測量示意圖；(2)寫出測量的步驟；（測量數(shù)據(jù)用字母表示）(3)計算，之間的距離．（寫出求解或推理過程，結(jié)果用字母表示）【答案】(1)見詳解(2)見詳解(3)設(shè)，，之間的距離為【分析】本題主要考查了全等三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造兩個全等的三角形．（1）由于無法直接測得，故間接構(gòu)造兩個涉及邊的全等三角形，如解析所示；（2）在湖岸上找可以直接到達，的一點，構(gòu)造，，即可；（3）利用證明，由全等三角形的性質(zhì)可得，則的長度就是的長度．【詳解】（1）解：測量示意圖如下圖所示；（2）在湖岸上找可以直接到達，的一點，連接并延長到使得，連接并延長到點使得，連接，則，測量的長度，即的長度為；（3）設(shè)，由測量方案可知，，在和中，，∴，∴．【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級上·四川宜賓·期末）小明和小亮準備用所學(xué)數(shù)學(xué)知識測一池塘的長度，經(jīng)過實地測量，繪制如下圖，點在直線l上（點F、C之間的距離為池塘的長度），點A、D在直線l的異側(cè)，且，，測得．

(1)求證：；(2)若，，求池塘的長度．【答案】(1)證明詳見解析；(2)44m．【分析】本題考查全等三角形判定及性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等．（1）根據(jù)題意利用平行線的性質(zhì)，全等三角形判定即可得到本題答案；（2）根據(jù)題意利用第（1）問結(jié)論由全等三角形性質(zhì)即可得到本題答案．【詳解】（1）解：∵，∴，∵在和中，，∴；（2）解：由（1）可知：，∴，∴，∴，又∵，∴，又∵，∴，∴池塘的長為．2．（23-24八年級上·湖北恩施·期末）如圖，學(xué)生甲學(xué)習(xí)了全等三角形后，想測草坪旁池塘兩岸相對兩點，的距離．請你給學(xué)生甲設(shè)計一個測量方案，并證明按你的方案進行測量，其結(jié)果是正確的．(1)簡單說明你設(shè)計的方案，并畫出圖形；(2)證明你的方案的可行性，即證明按你的方案進行測量，其結(jié)果是正確的．【答案】(1)方案見解析；(2)證明見解析．【分析】本題考查全等三角形的應(yīng)用---方案設(shè)計，熟練掌握三角形全等的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)設(shè)計圖形即可；（2）利用“”即可證明方案的可行性．【詳解】（1）解：如圖所示：過B作，過D作，取的中點C，連接并延長交于點E測量線段的長即可．（2）證明：∵，，∴，∵C為的中點，∴，∴在和中：∴，∴．題型06全等三角形的綜合問題【例題】（22-23八年級上·河北石家莊·期中）已知四邊形中，，，，，，繞B點旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交（或它們的延長線）于E，F(xiàn)．(1)當繞B點旋轉(zhuǎn)到時（如圖1），試猜想線段之間存在的數(shù)量關(guān)系為__________．（不需要證明）；(2)當繞B點旋轉(zhuǎn)到時，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想并證明．【答案】(1)(2)以上結(jié)論不成立，應(yīng)為，證明見詳解【分析】本題幾何變換綜合題，考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)，正確作出輔助性、掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．（1）延長至點使，連接，分別證明根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、結(jié)合圖形證明結(jié)論；（2）延長至G，使仿照（1）的證明方法解答．【詳解】（1）解：，理由如下：延長至點使，連接，在與中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，在與中，，∴，∴，∴；（2）解：以上結(jié)論不成立，應(yīng)為，理由如下：延長至G，使由（1）可知，，∴，∴，∵∴∴∴【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級上·安徽安慶·階段練習(xí)）在點，過點分別作，，垂足分別為，．且，點，分別在邊和上．(1)如圖1，若，請說明(2)如圖2，若，，猜想，，具有的數(shù)量關(guān)系，并說明你的結(jié)論成立的理由．【答案】(1)證明見解析(2)，理由見解析【分析】（1）由，，可得，結(jié)合，，可證，即可求解，（2）在上取點，使，通過證明，，即可求解，本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是：通過輔助線構(gòu)造全等三角形．【詳解】（1）解：，，，，，，，（2）解：在上取點，使，，，，，，，，，，，，，即，，，即：，．2．（23-24八年級上·重慶巴南·階段練習(xí)）如圖1，在中，，，，，現(xiàn)有一動點從點出發(fā)，沿著三角形的邊運動，回到點停止，速度為，設(shè)運動時間為．

(1)如圖1，當時，；(2)如圖2，在中，，，，．在的邊上，若另外有一個動點，與點同時從點出發(fā)，沿著邊運動，回到點停止．在兩點運動過程中的某一時刻，恰好與全等，求點的運動速度．【答案】(1)或(2)兩點運動過程中的某一時刻，恰好與全等，點的運動速度為或或cm/s或【分析】本題考查全等三角形與動點的綜合，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想進行解答．（1）點運動的速度為，則，；根據(jù)，分類討論：點在上時；點在上時，進行解答，即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，分類討論：當點在上，，，；當點在上，點在上，，，；當點在上，，，；當點在上，點在上，，，，求出對應(yīng)的點的運動速度，即可．【詳解】（1）∵點運動的速度為，點在上時，∴，∵，∴，，∵，∴，∴，解得：；

點在上時，過點作于點，∴點的運動路程為，∴，，∵，∴，∵是直角三角形，∴當點在的中點時，，，∴，解得：；故答案為：或；（2）∵在中，，，，，∴當點在上，，，；∴點的速度為：；

當點在上，點在上，，，，∴點的速度為：；

當點在上，，，，∴點運動的距離為：，點運動的距離為：，∴點的速度為：；

當點在上，點在上，，，∴點的速度為：；

綜上所述，兩點運動過程中的某一時刻，恰好與全等，點的運動速度為或或cm/s或．一、單選題1．（23-24八年級上·河北邢臺·階段練習(xí)）根據(jù)下列已知條件，能畫出唯一的的是（

）A．，， B．，，C．， D．，，【答案】D【分析】本題考查了全等三角形的判定定理和三角形三邊關(guān)系定理，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關(guān)鍵，注意：全等三角形的判定定理有，兩直角三角形全等還有．根據(jù)全等三角形的判定定理和三角形的三邊關(guān)系理逐個判斷即可．【詳解】解：A、，不符合三角形的三邊關(guān)系定理，不能畫出三角形，故本選項不符合題意；B、，不符合全等三角形的判定定理，不能畫出唯一的三角形，故本選項不符合題意；C、，不符合全等三角形的判定定理，不能畫出唯一的三角形，故本選項不符合題意；D、，符合全等三角形的判定定理，能畫出唯一的三角形，故本選項符合題意；故選：D．2．（23-24八年級上·云南·階段練習(xí)）如圖，在方格紙中，以為一邊作，使之與全等，從四個點中找出符合條件的點，則點有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】本題考查的是全等三角形的性質(zhì)，由網(wǎng)格中點的對稱性，結(jié)合全等三角形的對應(yīng)邊相等判斷即可，掌握全等三角形的對應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖所示：，即；；；符合條件的點有，共有3個，故選：C．3．（23-24八年級上·河南南陽·階段練習(xí)）如圖，點B在線段上，，，，則的長為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，利用全等三角形的對應(yīng)邊相等解決問題，掌握全等三角形的性質(zhì)的對應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，，∴，又∵，∴，故選：B．4．（23-24八年級上·福建泉州·期中）如圖，，的延長線交于點，交于點．若，，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查全等三角形的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)，由，則與是一組對應(yīng)角，與是一組對應(yīng)角，對于，外角等于除外的兩個內(nèi)角之和，求得，再在中，由三角形內(nèi)角和即可求得結(jié)果．【詳解】解：，，，，．由三角形外角的性質(zhì)可得，．．，，．故選：B．5．（23-24八年級上·河南開封·期末）如圖，已知和一條長度為的線段，作一個以為底角，為腰長的等腰三角形的方法是：①連接；②以點為圓心，的長為半徑畫弧，交射線于點；③在的兩邊上截??；④畫射線，以點為圓心，的長為半徑畫弧，在射線上截取，并以點為圓心，的長為半徑畫弧，兩弧交于點．以上畫法正確的順序是（）A．③④①② B．④③②① C．③④②① D．④③①②【答案】C【分析】本題考查了尺規(guī)作圖和等腰三角形的作圖，解決本題的關(guān)鍵是理解等腰三角形的作圖過程，根據(jù)尺規(guī)作等腰三角形的過程逐項判斷即可解答．【詳解】解：已知和一條長度為的線段，作一個以為底角，為腰長的等腰三角形的方法是：③在的兩邊上截??；④畫射線，以點為圓心，的長為半徑畫弧，在射線上截取，并以點為圓心，的長為半徑畫弧，兩弧交于點；②以點為圓心，的長為半徑畫弧，交射線于點；①連接．即為所求作的三角形．畫法正確的順序是③④②①，故選C．二、填空題6．（23-24八年級上·河北保定·期末）如圖，，若，，則；【答案】7【分析】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的對應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴，，∴，故答案為：7．7．（22-23七年級下·山東濟南·階段練習(xí)）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，的三個頂點都在格點上，則與有一條公共邊且全等（不與重合）的格點三角形（頂點都在格點上的三角形）共有個．

【答案】6/六【分析】根據(jù)全等三角形的判定分別求出以為公共邊的三角形，以為公共邊的三角形，以為公共邊的三角形的個數(shù)，相加即可．【詳解】解：如圖所示，以為公共邊可畫出、、三個三角形和原三角形全等；以為公共邊可畫出、、三個三角形和原三角形全等；以為公共邊不可以畫出三角形和原三角形全等；所以共有6個三角形和原三角形全等，故答案為：6．

【點睛】本題考查全等三角形的判定，三條邊分別相等的兩個三角形全等，以及格點的概念，熟練掌握全等三角形的判定定理是解決問題的關(guān)鍵．8．（23-24八年級上·云南昆明·期末）如圖，，如果點在線段上以秒的速度由點向點運動，同時，點從點出發(fā)沿射線運動．若經(jīng)過秒后，與全等，則的值是．【答案】1或【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，利用全等三角形對應(yīng)邊相等，列出方程是解題的關(guān)鍵．利用分類討論的思想方法分兩種情況討論解答：①當和②當時，設(shè)運動時間為秒，點的運動速度為秒，利用全等三角形對應(yīng)邊相等，列出方程即可求解．【詳解】解：設(shè)．兩點的運動時間為秒，點的運動速度為秒，則，，．，①當時，，．，；②當時，，，，．綜上，當?shù)闹凳?或時，能夠使與全等．故答案為：1或．9．（21-22七年級下·山東煙臺·期中）如圖，點B在直線l上，分別以線段BA的端點為圓心，以BC（小于線段BA）長為半徑畫弧，分別交直線l，線段BA于點C，D，E，再以點E為圓心，以CD長為半徑畫弧交前面的弧于點F，畫射線AF．若∠BAF的平分線AH交直線l于點H，∠ABC=70°，則∠AHB的度數(shù)為．【答案】35°/35度【分析】連接CD，EF．由題目中尺規(guī)作圖可知：，．可證，所以，可得．所以．由于AH平分，所以．即：．【詳解】解：連接CD，EF由題目中尺規(guī)作圖可知：，在和中AH平分故答案為：．【點睛】本題主要考查知識點為，全等三角形的性質(zhì)及判定、定點為圓心定長為半徑的性質(zhì)、平行線的判定及性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)．能看懂尺規(guī)作圖，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)及判定、平行線的性質(zhì)及判定，角平分線的性質(zhì)，是解決本題的關(guān)鍵．10．（23-24八年級上·重慶·階段練習(xí)）如圖，在長方形中，，延長到點E，使，連接，動點P從點B出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿向終點A運動，設(shè)點P的運動時間為t秒，當t的值為秒時，與全等．【答案】1或7【分析】本題考查了全等三角形的判定，判定方法有：．根據(jù)題意，分兩種情況進行討論，根據(jù)題意得出和即可求得．【詳解】解：由題意得：，若，根據(jù)證得，，即，若，根據(jù)證得，，即．當t的值為1或7秒時．與全等．故答案為：1或7．三、解答題11．（2023九年級下·全國·專題練習(xí)）如圖，已知，點D是上一點，交于點E，且．(1)求證：；(2)若，，求的長．【答案】(1)證明見解析(2)3【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．選擇合適的判定方法是解題的關(guān)鍵．（1）利用角角邊定理判定即可；（2）利用全等三角形對應(yīng)邊相等可得的長，用即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：，，在和中，，；′（2）解：由（1）知，，，，．12．（20-21八年級上·四川南充·期末）某中學(xué)八年級學(xué)生進行課外實踐活動，要測池塘兩端A，B的距離，因無法直接測量，經(jīng)小組討論決定，先在地上取一個可以直接到達A，B兩點的點O，連接AO并延長到點C，使AO＝CO；連接BO并延長到點D，使BO＝DO，連接CD并測出它的長度．（1）根據(jù)題中描述，畫出圖形；（2）CD的長度就是A，B兩點之間的距離，請說明理由．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形即可；（2）利用全等三角形的性質(zhì)解決問題即可．【詳解】解：（1）圖形如圖所示：（2）連接AB．在△AOB和△COD中，，∴△AOB≌△COD（SAS），∴AB＝CD，∴CD的長度就是A，B兩點之間的距離．【點睛】本題考查作圖﹣應(yīng)用與設(shè)計作圖，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用全等三角形的性質(zhì)解決問題．13．（23-24八年級上·山西呂梁·期末）小明利用一根長為的竿子來測量路燈桿的高度（），方法如下：如圖，在地面上選一點P，使，然后把在的延長線上左右移動，使，且，此時測得．(1)求證：．(2)求路燈桿的高度．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題主要考查了全等三角形的判定和全等三角形的應(yīng)用：（1）根據(jù)題意求出，根據(jù)即可證明；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得路燈桿的高度．【詳解】（1）證明：∵，∴∵∴∴，在和中，，∴；（2）解：∵，，∴，∵，∴．14．（22-23八年級上·江西贛州·期中）小光的爺爺為我們講述了一個他親身經(jīng)歷的故事：在抗日戰(zhàn)爭期間，為了炸毀與我軍陣地隔河相望的日軍碉堡，需要測出我軍陣地到日軍碉堡的距離，由于沒有任何測量工具，我軍戰(zhàn)士為此盡腦汁．這時，一位聰明的戰(zhàn)士想出了辦法，成功炸毀了碉堡．（1）你認為他是怎樣做到的？方法是：戰(zhàn)士面向碉堡的方向站好，調(diào)整帽子，使視線通過帽檐正好落在碉堡的底部；然后，他轉(zhuǎn)過一個角度，保持剛才的姿勢，這時，視線落在了自己所在岸的某一點上；接著，他用步測的方法量出自己與那個點的距離，這個距離就是他與碉堡的距離．（2）你能根據(jù)戰(zhàn)士所用的方法，畫出相應(yīng)的圖形嗎？①畫出相應(yīng)的圖形．②戰(zhàn)士用的方法中，已知條件是什么？戰(zhàn)士要測的是什么？（結(jié)合圖形寫出）③請用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識說明戰(zhàn)士這樣測的理由．【答案】①見解析；②，；③．理由見解析．【分析】本題考查了全等三角形的應(yīng)用，根據(jù)戰(zhàn)士所用的方法，畫出相應(yīng)的圖形是解決問題的關(guān)鍵．根據(jù)垂直的定義得到，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：①如圖，②已知條件是，．③戰(zhàn)士要測的是．理由：，，在與中，，，．15．（