2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試模擬試卷03含解析

高考資源網(wǎng)（ks5u），您身邊的高考專家歡迎廣闊老師踴躍來稿，稿酬豐厚。ks5u高考資源網(wǎng)（ks5u），您身邊的高考專家歡迎廣闊老師踴躍來稿，稿酬豐厚。ks5u2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試模擬試卷0303具體解析——老師版卷I（選擇題）一、選擇題（本題共計(jì)8小題，每題3分，共計(jì)24分）1.已知復(fù)數(shù)，則等于(

)A. B. C. D.【答案】A【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的模復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算【解答】解：復(fù)數(shù)，

則.

故選.2.如圖所示正三棱錐中，是上一點(diǎn)，，且，，則三棱錐的外接球的表面積為

A. B. C. D.【答案】D【考點(diǎn)】球的表面積和體積球內(nèi)接多面體棱錐的結(jié)構(gòu)特征【解答】解：∵三棱錐是正三棱錐，

∴．

∵，，

∴平面，

∴，，

即，，兩兩垂直．

∵，

∴.

設(shè)外接球的半徑為，

則，

∴球的表面積.

故選.3.如圖，已知，分別是棱長為的正方體—的棱，的中點(diǎn)，則截面與底面的夾角的余弦值是(

)

A. B. C. D.【答案】A【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法【解答】解：因?yàn)槠矫?，過作與，連接，

如圖，

則即為截面與底面所成二面角的平面角.

正方體的棱長為，

在中，，

因?yàn)椋?/p>

所以，

所以，

所以.

故選4.已知正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)，，，都在球的球面上，是正三角形，正三棱錐的高為，且＝＝＝，則球的體積為（）A. B. C. D.【答案】D【考點(diǎn)】球的表面積和體積柱體、錐體、臺(tái)體的體積計(jì)算球內(nèi)接多面體5.棱長為的正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，若過該球球心的一個(gè)截面如圖，則圖中三角形（正四面體的截面）的面積是（）A. B. C. D.【答案】C【考點(diǎn)】簡潔組合體的結(jié)構(gòu)特征【解答】解：棱長為的正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，若過該球球心的一個(gè)截面如圖為，則圖中，為中點(diǎn)，則，

在中，，，

∴，

∴三角形的面積是，

故選．6.在《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬．如圖，四棱錐為陽馬，底面為正方形，底面，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

A.B.平面C.與平面所成的角等于與平面所成的角D.與所成的角等于與所成的角【答案】D【考點(diǎn)】異面直線及其所成的角空間中直線與平面之間的位置關(guān)系直線與平面所成的角7.為了了解某校高三名學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平測試成果，制成樣本頻率分布直方圖如圖，規(guī)定不低于分為及格，不低于分為優(yōu)秀，則及格率與優(yōu)秀人數(shù)分別是(

)

A.， B.， C.， D.，【答案】C【考點(diǎn)】頻數(shù)與頻率頻率分布直方圖【解答】解：由頻率分布直方圖得，及格率為

，

優(yōu)秀的頻率，

優(yōu)秀的人數(shù).

故選.8.考察底為等腰直角三角形的直三棱柱的條棱，甲從這條棱中任選一條，乙從這條棱中任選一條，則這兩條棱相互垂直的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【考點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式空間中直線與直線之間的位置關(guān)系【解答】解：由題意知本題是一個(gè)古典概型，

試驗(yàn)發(fā)生包含的事務(wù)是甲從這條棱中任選一條，乙從這條棱中任選一條，共有種結(jié)果，

滿意條件的事務(wù)是這兩條棱相互垂直，

當(dāng)甲選底面上的一條直角邊時(shí)，乙有種選法，共有條直角邊，乙共有種結(jié)果，

當(dāng)甲選底面上的一條斜邊時(shí)，乙有種選法，幾何體有條地面的斜邊，共有種結(jié)果，

當(dāng)甲選三條側(cè)棱之一時(shí)，乙有種選法，共有種結(jié)果，

綜上所述共有種結(jié)果，

∴兩條棱相互垂直的概率是：，

故選二、多選題（本題共計(jì)4小題，每題3分，共計(jì)12分）9.如圖所示，在四邊形中，，，，將四邊形沿對角線折成四面體，使平面平面，則下列結(jié)論正確的是（

）

A.B.C.四面體的體積為D.直線與平面所成角為【答案】B,C【考點(diǎn)】柱體、錐體、臺(tái)體的體積計(jì)算空間中直線與平面之間的位置關(guān)系兩條直線垂直的判定直線與平面所成的角【解答】解：對于，若，又，，

則平面，所以，明顯與題意沖突，故錯(cuò)誤；

對于，因?yàn)?，平面平面?/p>

平面平面，平面，

所以平面，又平面，所以．

因?yàn)?，，所以，?/p>

所以，所以，即，故正確；

對于，四面體的體積，故正確；

對于，由前面知道平面，

所以為直線與平面所成角的平面角，

所以，故錯(cuò)誤．

故選．10.已知，表示直線，，，表示平面．定義：若把命題中的直線改為平面，平面改為直線，得到的命題為真命題，則命題叫做對偶命題．下列命題為對偶命題的是（

）A.，，則 B.，，則

C.，，則 D.，，則【答案】A,C,D【考點(diǎn)】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系空間中平面與平面之間的位置關(guān)系空間中直線與直線之間的位置關(guān)系【解答】解：將各個(gè)選項(xiàng)中命題的直線改為平面，平面改為直線，則：

，，，則依據(jù)平行線的傳遞性可知，故該選項(xiàng)正確；

，，，則不肯定成立，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；

，，，則肯定成立，故該選項(xiàng)正確；

，，，則肯定成立，故該選項(xiàng)正確.

故選.11.下列命題中是真命題的有(

)A.有，，三種個(gè)體按的比例分層抽樣調(diào)查，假如抽取的個(gè)體數(shù)為，則樣本容量為B.一組數(shù)據(jù)，，，，，的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)相同C.若甲組數(shù)據(jù)的方差為，乙組數(shù)據(jù)為，，，，，則這兩組數(shù)據(jù)中較穩(wěn)定的是甲D.一組數(shù)，，，，，，，，，的分位數(shù)為【答案】B,D【考點(diǎn)】分層抽樣方法極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)【解答】解：，乙、丙抽取的個(gè)體數(shù)分別為，，

則樣本容量為

，故錯(cuò)誤；

，平均數(shù)為

，

中位數(shù)為，眾數(shù)為，故正確；

，乙的平均數(shù)為

，

方差為

，

則這兩組數(shù)據(jù)中較穩(wěn)定的是乙，故錯(cuò)誤；

，將該組數(shù)據(jù)總小到大排列，，，，，，，，，，

由

，則該組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為，故正確．

故選．12.甲、乙、丙、丁名志愿者報(bào)名參與三項(xiàng)志愿者活動(dòng)，每人限報(bào)一項(xiàng)，每項(xiàng)活動(dòng)均有人報(bào)名，則(

)A.不同的報(bào)名方法有種B.不同的報(bào)名方法有種C.甲，乙報(bào)名參與同一項(xiàng)志愿者活動(dòng)的概率是D.甲，乙報(bào)名參與同一項(xiàng)志愿者活動(dòng)的概率是【答案】B,D【考點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式排列、組合的應(yīng)用【解答】解：人分三組參與三項(xiàng)活動(dòng)共種，

甲、乙參與同一項(xiàng)，丙、丁兩人各選一項(xiàng)，共種，

所求概率．

故選．卷II（非選擇題）三、填空題（本題共計(jì)4小題，每題3分，共計(jì)12分）13.“”由個(gè)大寫的英文字母構(gòu)成，若從這個(gè)字母中任選個(gè)，則取到的個(gè)字母中恰有個(gè)字母為中心對稱圖形的概率為________.【答案】【考點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式列舉法計(jì)算基本領(lǐng)件數(shù)及事務(wù)發(fā)生的概率【解答】解：從，，，，，這個(gè)字母中任取個(gè)有，，

，，，，，

，，，共種不同的取法，

則取到的個(gè)字母中恰有個(gè)字母為中心對稱圖形的有，

，，，，，共種不同的取法，

故所求概率為．

故答案為：．14.中，，邊上的中線，則________.【答案】【考點(diǎn)】余弦定理【解答】解：由余弦定理得，

因?yàn)?/p>

，，

所以

，

解得

，

此時(shí)所以.

故答案為：.15.魔方又叫魯比克方塊，是由匈牙利建筑學(xué)教授魯比克·艾爾內(nèi)于年獨(dú)創(chuàng)的機(jī)械益智玩具，與華容道、獨(dú)立鉆石棋一起被國外智力專家并稱為智力嬉戲界的三大不行思議．而魔方受歡迎的程度更是智力嬉戲界的奇跡．通常意義下的魔方，即指三階魔方，三階魔方可以看作是將一個(gè)各面上均涂有顏色的正方體的棱三等分，然后沿等分線把正方體切開所得，共由個(gè)色塊組成．現(xiàn)有一個(gè)復(fù)原好的三階魔方，白面朝上，只可以扭動(dòng)最外側(cè)的六個(gè)表面，某人按規(guī)定將魔方隨機(jī)扭動(dòng)兩次，每次均順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，記事務(wù)為“頂面白色色塊的個(gè)數(shù)為”，則事務(wù)發(fā)生的概率________．

【答案】【考點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式【解答】解：總的基本領(lǐng)件共有種，事務(wù)包含種，

故所求的概率．

故答案為：．16.拋擲一枚質(zhì)地勻稱的骰子（六個(gè)面上的點(diǎn)數(shù)分別為），事務(wù)為“正面朝上的點(diǎn)數(shù)為”，事務(wù)為“正面朝上的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，則________.【答案】【考點(diǎn)】互斥事務(wù)的概率加法公式【解答】解：由題意可得，，

且事務(wù)與事務(wù)互斥，

∴．

故答案為：．四、解答題（本題共計(jì)4小題，每題10分，共計(jì)40分）17.記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，．已知，點(diǎn)在邊上，.證明：；若，求．【答案】證明：在中，由正弦定理得，

．

又，

∴，

即．解：若，則，，

則

整理得

，

又，

∴，

等式兩邊同除以，得，

令，

則，即，

即，

∴或.

當(dāng)時(shí)，，，

此時(shí)（舍），

∴，

∴

．【考點(diǎn)】正弦定理余弦定理【解答】證明：在中，由正弦定理得，

．

又，

∴，

即．解：若，則，，

則

整理得

，

又，

∴，

等式兩邊同除以，得，

令，

則，即，

即，

∴或.

當(dāng)時(shí)，，，

此時(shí)（舍），

∴，

∴

．18.隨著智能手機(jī)的普及，高校生癡迷智能手機(jī)的現(xiàn)象特別嚴(yán)峻．為了調(diào)查雙休日高校生運(yùn)用智能手機(jī)的時(shí)間，采納不記名方式隨機(jī)調(diào)查了大一年級名學(xué)生，將名高校生運(yùn)用智能手機(jī)的時(shí)間分成組：，，，，分別加以統(tǒng)計(jì)，得到如下頻率分布直方圖，依據(jù)頻率分布直方圖完成下列問題．估計(jì)學(xué)生運(yùn)用智能手機(jī)的平均時(shí)間（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；用分層抽樣的方法從運(yùn)用手機(jī)時(shí)間在區(qū)間，的學(xué)生中抽取名學(xué)生，再從這名學(xué)生中隨機(jī)抽取名學(xué)生，求這名學(xué)生取自不同區(qū)間的概率．

【答案】解：依據(jù)題意，平均時(shí)間的估計(jì)值為，

所以學(xué)生運(yùn)用智能手機(jī)的平均時(shí)間為小時(shí)．用分層抽樣的方法從運(yùn)用時(shí)間在區(qū)間，中抽取的人數(shù)分別為，，分別設(shè)為，，，，，全部的基本領(lǐng)件為，，，，，，，，，，共種，設(shè)這名學(xué)生取自不同區(qū)間為事務(wù)，符合條件的總事務(wù)數(shù)為種，∴，故這名學(xué)生取自不同區(qū)間的概率為．【考點(diǎn)】頻率分布直方圖列舉法計(jì)算基本領(lǐng)件數(shù)及事務(wù)發(fā)生的概率分層抽樣方法【解答】解：依據(jù)題意，平均時(shí)間的估計(jì)值為，

所以學(xué)生運(yùn)用智能手機(jī)的平均時(shí)間為小時(shí)．用分層抽樣的方法從運(yùn)用時(shí)間在區(qū)間，中抽取的人數(shù)分別為，，分別設(shè)為，，，，，全部的基本領(lǐng)件為，，，，，，，，，，共種，設(shè)這名學(xué)生取自不同區(qū)間為事務(wù)，符合條件的總事務(wù)數(shù)為種，∴，故這名學(xué)生取自不同區(qū)間的概率為．19.袋中裝有個(gè)形態(tài)、大小完全相同的球，其中黑球個(gè)、白球個(gè)、紅球個(gè)．規(guī)定取出一個(gè)黑球記分，取出一個(gè)白球記分，取出一個(gè)紅球記分；在抽取這些球的時(shí)候，誰也無法看到球的顏色，首先由甲取出個(gè)球，并不再將它們放回原袋中，然后由乙取出剩余的個(gè)球．規(guī)定取出球的總積分多者獲勝．求甲、乙成平局的概率；假如可以選擇先后取球的依次，你會(huì)先取還是后取，為什么？【答案】解：記黑球?yàn)?，?hào)；白球?yàn)?，?hào)；紅球?yàn)?，?hào)．

則甲取球的全部可能性共有下列種狀況：

，，，，，，，

，，，，，，，

，，，，，．

平局時(shí)甲、乙兩人的得分均應(yīng)當(dāng)為分，

所以，甲應(yīng)取出黑、白、紅小球各一個(gè)，共有種狀況．

故平局的概率為．甲獲勝時(shí)，得分只能是分或分，

即取出的個(gè)小球只能是紅白，紅白，或紅黑，共有種狀況，

故甲（先取者）獲勝的概率為．

所以乙（后取者）獲勝的概率為．

故先取后取獲勝的可能性是一樣的．【考點(diǎn)】列舉法計(jì)算基本領(lǐng)件數(shù)及事務(wù)發(fā)生的概率古典概型及其概率計(jì)算公式【解答】解：記黑球?yàn)椋?hào)；白球?yàn)?，?hào)；紅球?yàn)椋?hào)．

則甲取球的全部可能性共有下列種狀況：

，，，，，，，

，，，，，，，

，，，，，．

平局時(shí)甲、乙兩人的得分均應(yīng)當(dāng)為分，

所以，甲應(yīng)取出黑、白、紅小球各一個(gè)，共有種狀況．

故平局的概率為．甲獲勝時(shí)，得分只能是分或分，

即取出的個(gè)小球只能是紅白，紅白，或紅黑，共有種狀況，

故甲（先取者）獲勝的概率為．

所以乙（后取者）獲勝的概率為．

故先取后取獲勝的可能性是一樣的．20.如圖，在三棱錐中，平面平面，，為的中點(diǎn)．

證明：；若是邊長為的等邊三角形，點(diǎn)在棱上，，且二面角的大小為，求三棱錐的體積．【答案】證明：在中，，為的中點(diǎn)，

所以，

因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面?/p>

所以平面，

又平面，

所以．解：如圖，取的三