材料力學(xué)之彈塑性力學(xué)算法：彈性理論：彈塑性力學(xué)的有限元分析.Tex.header

材料力學(xué)之彈塑性力學(xué)算法：彈性理論：彈塑性力學(xué)的有限元分析1緒論1.1彈塑性力學(xué)的基本概念彈塑性力學(xué)是材料力學(xué)的一個(gè)分支，主要研究材料在彈性與塑性變形狀態(tài)下的力學(xué)行為。在彈性階段，材料遵循胡克定律，變形與應(yīng)力成線性關(guān)系，一旦外力去除，材料能夠恢復(fù)原狀。然而，當(dāng)應(yīng)力超過材料的屈服點(diǎn)時(shí)，材料進(jìn)入塑性階段，此時(shí)即使外力去除，材料也無法完全恢復(fù)到初始狀態(tài)，產(chǎn)生永久變形。1.1.1彈性理論彈性理論主要基于胡克定律，描述了材料在彈性范圍內(nèi)的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系。對(duì)于各向同性材料，胡克定律可以表示為：σ其中，σ是應(yīng)力，?是應(yīng)變，E是材料的彈性模量。在三維情況下，胡克定律可以擴(kuò)展為應(yīng)力應(yīng)變矩陣的形式，涉及到楊氏模量、泊松比等參數(shù)。1.1.2塑性理論塑性理論則關(guān)注材料在塑性變形階段的行為，通常涉及到塑性流動(dòng)準(zhǔn)則、硬化模型等。例如，Mises屈服準(zhǔn)則是一個(gè)常用的塑性流動(dòng)準(zhǔn)則，它定義了材料開始塑性變形的條件：σ其中，σv是等效應(yīng)力，σdev1.2有限元分析的歷史與發(fā)展有限元分析（FiniteElementAnalysis,FEA）是一種數(shù)值方法，用于求解復(fù)雜的工程問題，如結(jié)構(gòu)分析、熱傳導(dǎo)、流體動(dòng)力學(xué)等。FEA的基本思想是將復(fù)雜結(jié)構(gòu)分解為許多小的、簡單的單元，然后在每個(gè)單元上應(yīng)用基本的物理定律，最后將所有單元的解組合起來，得到整個(gè)結(jié)構(gòu)的解。1.2.1歷史背景有限元方法的起源可以追溯到20世紀(jì)40年代，但直到60年代，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，有限元分析才開始廣泛應(yīng)用于工程領(lǐng)域。最初，F(xiàn)EA主要用于解決線性彈性問題，但隨著理論和技術(shù)的進(jìn)步，它逐漸擴(kuò)展到非線性問題，包括彈塑性分析。1.2.2發(fā)展趨勢(shì)近年來，有限元分析在算法優(yōu)化、并行計(jì)算、多物理場(chǎng)耦合等方面取得了顯著進(jìn)展。例如，使用GPU加速的有限元分析可以顯著提高計(jì)算效率，而多物理場(chǎng)耦合分析則能夠更準(zhǔn)確地模擬實(shí)際工程問題，如結(jié)構(gòu)的熱-力耦合效應(yīng)。以上內(nèi)容概述了彈塑性力學(xué)的基本概念以及有限元分析的歷史與發(fā)展，為后續(xù)深入探討彈塑性力學(xué)的有限元分析奠定了基礎(chǔ)。請(qǐng)注意，實(shí)際的彈塑性力學(xué)有限元分析涉及復(fù)雜的數(shù)學(xué)模型和算法，需要專業(yè)的軟件工具和深入的理論知識(shí)。2彈性理論基礎(chǔ)2.1胡克定律與彈性模量胡克定律是描述材料在彈性范圍內(nèi)應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系的基本定律。它表明，在彈性范圍內(nèi)，材料的應(yīng)變與應(yīng)力成正比，比例常數(shù)稱為彈性模量。彈性模量是材料的固有屬性，反映了材料抵抗變形的能力。對(duì)于一維情況，胡克定律可以表示為：σ其中，σ是應(yīng)力，E是彈性模量，?是應(yīng)變。在三維情況下，胡克定律可以擴(kuò)展為應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系矩陣，即廣義胡克定律。對(duì)于各向同性材料，應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系可以表示為：σ其中，E是楊氏模量，ν是泊松比。2.1.1示例代碼假設(shè)我們有一個(gè)各向同性材料的立方體，其楊氏模量E=200GPa，泊松比ν=0.3。當(dāng)立方體受到均勻的拉伸應(yīng)力σ#定義材料屬性

E=200e9#楊氏模量，單位：Pa

nu=0.3#泊松比

#定義應(yīng)力

sigma_11=100e6#單位：Pa

#計(jì)算應(yīng)變

epsilon_11=sigma_11/E

#輸出結(jié)果

print(f"應(yīng)變epsilon_11:{epsilon_11:.6f}")2.2應(yīng)變能與能量原理應(yīng)變能是材料在變形過程中儲(chǔ)存的能量。對(duì)于彈性變形，應(yīng)變能可以表示為應(yīng)力和應(yīng)變的乘積的一半，即：U在有限元分析中，應(yīng)變能可以用來判斷結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性。能量原理，如最小勢(shì)能原理，表明在給定的邊界條件下，結(jié)構(gòu)的平衡狀態(tài)對(duì)應(yīng)于勢(shì)能的最小值。2.2.1示例代碼假設(shè)我們有一個(gè)長度為L=1m，截面積為A=0.01m2的桿件，其楊氏模量importnumpyasnp

#定義材料和結(jié)構(gòu)屬性

L=1.0#桿件長度，單位：m

A=0.01#截面積，單位：m^2

E=200e9#楊氏模量，單位：Pa

F=100e3#軸向力，單位：N

#計(jì)算軸向應(yīng)變

epsilon=F/(A*E)

#計(jì)算軸向應(yīng)力

sigma=E*epsilon

#計(jì)算應(yīng)變能

U=0.5*F*L*epsilon

#輸出結(jié)果

print(f"軸向應(yīng)變epsilon:{epsilon:.6f}")

print(f"軸向應(yīng)力sigma:{sigma:.6f}Pa")

print(f"應(yīng)變能U:{U:.6f}J")以上代碼首先計(jì)算了軸向應(yīng)變和應(yīng)力，然后根據(jù)應(yīng)力和應(yīng)變以及桿件的長度和作用力，計(jì)算了應(yīng)變能。這對(duì)應(yīng)變能的計(jì)算提供了一個(gè)基本的示例。3材料力學(xué)之彈塑性力學(xué)算法：塑性理論基礎(chǔ)3.1塑性變形的概念塑性變形是指材料在超過其彈性極限后，發(fā)生的不可逆變形。這種變形不會(huì)隨著外力的去除而消失，而是永久地改變了材料的形狀。塑性變形是材料力學(xué)中一個(gè)重要的概念，尤其是在設(shè)計(jì)和分析承受重載或極端條件的結(jié)構(gòu)時(shí)。3.1.1原理材料在受力時(shí)，首先會(huì)發(fā)生彈性變形，此時(shí)應(yīng)力與應(yīng)變成正比，遵循胡克定律。但當(dāng)應(yīng)力超過材料的屈服強(qiáng)度時(shí)，材料開始發(fā)生塑性變形，應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系變得復(fù)雜，不再遵循線性關(guān)系。塑性變形的產(chǎn)生與材料內(nèi)部的微觀結(jié)構(gòu)變化有關(guān)，如位錯(cuò)的移動(dòng)和增殖。3.1.2內(nèi)容彈性極限：材料在彈性變形階段的最大應(yīng)力，超過此應(yīng)力，材料將進(jìn)入塑性變形階段。屈服強(qiáng)度：材料開始發(fā)生塑性變形的應(yīng)力點(diǎn)。塑性應(yīng)變：超過彈性應(yīng)變后的不可逆變形。塑性硬化：某些材料在塑性變形后，其屈服強(qiáng)度會(huì)增加的現(xiàn)象。3.2屈服準(zhǔn)則與塑性流動(dòng)法則屈服準(zhǔn)則和塑性流動(dòng)法則描述了材料在塑性變形階段的行為，是塑性理論的核心。3.2.1屈服準(zhǔn)則屈服準(zhǔn)則是判斷材料是否開始發(fā)生塑性變形的標(biāo)準(zhǔn)。它基于材料的應(yīng)力狀態(tài)，定義了從彈性狀態(tài)過渡到塑性狀態(tài)的條件。常見的屈服準(zhǔn)則有：馮·米塞斯屈服準(zhǔn)則：適用于各向同性材料，基于應(yīng)力的第二不變量。特雷斯卡屈服準(zhǔn)則：基于最大剪應(yīng)力，適用于脆性材料。3.2.2塑性流動(dòng)法則塑性流動(dòng)法則描述了材料在屈服后如何繼續(xù)變形。它規(guī)定了塑性應(yīng)變?cè)隽康姆较蚝痛笮。c應(yīng)力狀態(tài)和材料屬性有關(guān)。流動(dòng)法則通常與屈服準(zhǔn)則結(jié)合使用，以完整描述材料的塑性行為。3.2.3示例：馮·米塞斯屈服準(zhǔn)則的Python實(shí)現(xiàn)importnumpyasnp

defvon_mises_stress(stress_tensor):

"""

計(jì)算給定應(yīng)力張量的馮·米塞斯應(yīng)力。

參數(shù):

stress_tensor(numpy.array):3x3的應(yīng)力張量。

返回:

float:馮·米塞斯應(yīng)力。

"""

#計(jì)算應(yīng)力張量的第二不變量

I1=np.trace(stress_tensor)

I2=0.5*(np.trace(np.dot(stress_tensor,stress_tensor))-I1**2/3)

J2=I2

#計(jì)算馮·米塞斯應(yīng)力

von_mises=np.sqrt(3*J2)

returnvon_mises

#示例應(yīng)力張量

stress_tensor=np.array([[100,50,0],

[50,100,0],

[0,0,0]])

#計(jì)算馮·米塞斯應(yīng)力

von_mises=von_mises_stress(stress_tensor)

print(f"馮·米塞斯應(yīng)力:{von_mises}")3.2.4解釋上述代碼實(shí)現(xiàn)了馮·米塞斯屈服準(zhǔn)則的計(jì)算。首先，定義了一個(gè)函數(shù)von_mises_stress，它接受一個(gè)3x3的應(yīng)力張量作為輸入，計(jì)算其馮·米塞斯應(yīng)力。計(jì)算過程中，先計(jì)算了應(yīng)力張量的第二不變量J2，然后根據(jù)J2計(jì)算了馮·米塞斯應(yīng)力。最后，通過一個(gè)示例應(yīng)力張量展示了如何使用該函數(shù)。通過理解和應(yīng)用屈服準(zhǔn)則和塑性流動(dòng)法則，工程師和科學(xué)家可以更準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)材料在復(fù)雜載荷下的行為，從而優(yōu)化設(shè)計(jì)，確保結(jié)構(gòu)的安全性和可靠性。4彈塑性本構(gòu)關(guān)系4.1線彈性材料的本構(gòu)關(guān)系線彈性材料的本構(gòu)關(guān)系描述了材料在彈性范圍內(nèi)應(yīng)力與應(yīng)變之間的線性關(guān)系。在三維情況下，這種關(guān)系通常由胡克定律表示，即：σ其中，σ是應(yīng)力張量，ε是應(yīng)變張量，E是彈性模量。然而，更一般的形式是使用彈性矩陣C來表示，即：σ這里，Cijkl是第四階的彈性常數(shù)，它將應(yīng)變張量轉(zhuǎn)換為應(yīng)力張量。在各向同性材料中，彈性矩陣可以簡化為兩個(gè)獨(dú)立的材料常數(shù)：彈性模量E4.1.1示例：計(jì)算各向同性材料的應(yīng)力假設(shè)我們有一個(gè)各向同性材料，其彈性模量E=200GPa，泊松比ν=0.3。如果在x方向施加了100MPa#定義材料常數(shù)

E=200e9#彈性模量，單位：Pa

nu=0.3#泊松比

#定義應(yīng)力

sigma_x=100e6#單位：Pa

#計(jì)算各向同性材料的應(yīng)力和應(yīng)變

sigma_y=sigma_z=-nu*sigma_x

epsilon_x=sigma_x/E

#輸出結(jié)果

print(f"在y方向的應(yīng)力：{sigma_y}Pa")

print(f"在z方向的應(yīng)力：{sigma_z}Pa")

print(f"x方向的應(yīng)變：{epsilon_x}")4.2彈塑性材料的本構(gòu)模型彈塑性材料的本構(gòu)模型描述了材料在彈性范圍和塑性范圍內(nèi)的應(yīng)力應(yīng)變行為。在塑性范圍內(nèi)，材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系不再是線性的，而是遵循一定的塑性流動(dòng)法則。常見的彈塑性本構(gòu)模型包括理想彈塑性模型、應(yīng)變硬化模型和應(yīng)變軟化模型。4.2.1理想彈塑性模型理想彈塑性模型假設(shè)材料在達(dá)到屈服應(yīng)力后，應(yīng)力保持不變，而應(yīng)變繼續(xù)增加。這種模型適用于沒有明顯應(yīng)變硬化或軟化的材料。4.2.2應(yīng)變硬化模型應(yīng)變硬化模型描述了材料在塑性變形過程中，隨著應(yīng)變的增加，材料的屈服應(yīng)力也增加的現(xiàn)象。這通常通過引入一個(gè)硬化參數(shù)來實(shí)現(xiàn)。4.2.3應(yīng)變軟化模型應(yīng)變軟化模型則相反，描述了材料在塑性變形過程中，隨著應(yīng)變的增加，材料的屈服應(yīng)力降低的現(xiàn)象。這種模型適用于某些巖石和混凝土材料。4.2.4示例：使用理想彈塑性模型計(jì)算應(yīng)力假設(shè)我們有一個(gè)理想彈塑性材料，其彈性模量E=200GPa，泊松比ν=0.3，屈服應(yīng)力σy=250#定義材料常數(shù)

E=200e9#彈性模量，單位：Pa

nu=0.3#泊松比

sigma_y=250e6#屈服應(yīng)力，單位：Pa

#定義應(yīng)力

sigma_x=300e6#單位：Pa

#計(jì)算應(yīng)變

ifsigma_x<=sigma_y:

epsilon_x=sigma_x/E

else:

epsilon_x=sigma_y/E+(sigma_x-sigma_y)/(E/(1-nu))

#輸出結(jié)果

print(f"x方向的應(yīng)變：{epsilon_x}")這個(gè)示例展示了如何根據(jù)理想彈塑性模型計(jì)算應(yīng)變。當(dāng)應(yīng)力小于或等于屈服應(yīng)力時(shí)，應(yīng)變通過彈性模量計(jì)算；當(dāng)應(yīng)力大于屈服應(yīng)力時(shí)，應(yīng)變的計(jì)算考慮了塑性變形。5材料力學(xué)之彈塑性力學(xué)算法：彈性理論5.1有限元方法原理5.1.1有限元的基本步驟有限元方法(FEM,FiniteElementMethod)是一種數(shù)值分析方法，用于求解復(fù)雜的工程問題，如結(jié)構(gòu)分析、熱傳導(dǎo)、流體動(dòng)力學(xué)等。在材料力學(xué)領(lǐng)域，F(xiàn)EM被廣泛應(yīng)用于彈塑性力學(xué)的分析中，以解決彈性體在各種載荷作用下的變形和應(yīng)力分布問題。其基本步驟如下：結(jié)構(gòu)離散化：將連續(xù)的結(jié)構(gòu)體分割成有限數(shù)量的單元，每個(gè)單元用節(jié)點(diǎn)來表示邊界，形成有限元網(wǎng)格。選擇位移模式：在每個(gè)單元內(nèi)，用多項(xiàng)式函數(shù)來近似表示位移場(chǎng)，通常選擇線性或二次多項(xiàng)式。建立單元?jiǎng)偠染仃嚕夯趶椥岳碚?，利用虛功原理或能量原理，推?dǎo)出單元的剛度矩陣，該矩陣描述了單元內(nèi)部力與位移之間的關(guān)系。組裝整體剛度矩陣：將所有單元的剛度矩陣按照節(jié)點(diǎn)編號(hào)進(jìn)行組裝，形成整體結(jié)構(gòu)的剛度矩陣。施加邊界條件：根據(jù)問題的物理邊界，對(duì)整體剛度矩陣進(jìn)行修改，以反映固定邊界或施加的載荷。求解線性方程組：將修改后的剛度矩陣與載荷向量組合，形成線性方程組，通過數(shù)值方法求解節(jié)點(diǎn)位移。后處理：根據(jù)節(jié)點(diǎn)位移，計(jì)算每個(gè)單元的應(yīng)力和應(yīng)變，以及結(jié)構(gòu)的變形情況，進(jìn)行結(jié)果的可視化和分析。5.1.2彈性問題的有限元求解在解決彈性問題時(shí)，有限元方法通過將結(jié)構(gòu)離散化為多個(gè)小單元，然后在每個(gè)單元內(nèi)應(yīng)用彈性理論，來求解結(jié)構(gòu)的響應(yīng)。下面通過一個(gè)簡單的二維彈性梁的有限元分析示例，來說明這一過程。5.1.2.1示例：二維彈性梁的有限元分析假設(shè)我們有一根長度為1米，高度為0.1米的矩形梁，材料為鋼，彈性模量為200GPa，泊松比為0.3。梁的一端固定，另一端受到垂直向下的力1000N。我們使用有限元方法來分析梁的變形和應(yīng)力分布。5.1.2.2代碼示例importnumpyasnp

fromscipy.sparseimportlil_matrix

fromscipy.sparse.linalgimportspsolve

#定義材料屬性

E=200e9#彈性模量，單位：Pa

nu=0.3#泊松比

t=0.1#梁的厚度，單位：m

L=1.0#梁的長度，單位：m

F=1000#施加的力，單位：N

#定義網(wǎng)格參數(shù)

n_elements=10#元素?cái)?shù)量

n_nodes=n_elements+1#節(jié)點(diǎn)數(shù)量

#定義節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)

nodes=np.linspace(0,L,n_nodes)

#定義單元節(jié)點(diǎn)

elements=np.zeros((n_elements,2),dtype=int)

foriinrange(n_elements):

elements[i]=[i,i+1]

#定義單元?jiǎng)偠染仃?/p>

defelement_stiffness_matrix(E,nu,t,L):

k=E*t/(1-nu**2)*np.array([[1,-1],[-1,1]])/L

returnk

#組裝整體剛度矩陣

K=lil_matrix((2*n_nodes,2*n_nodes))

fori,(n1,n2)inenumerate(elements):

k=element_stiffness_matrix(E,nu,t,L/n_elements)

K[2*n1:2*n1+2,2*n1:2*n1+2]+=k

K[2*n1:2*n1+2,2*n2:2*n2+2]-=k

K[2*n2:2*n2+2,2*n1:2*n1+2]-=k

K[2*n2:2*n2+2,2*n2:2*n2+2]+=k

#施加邊界條件

K[0,:]=0#固定左端

K[1,:]=0

K[:,0]=0

K[:,1]=0

K[0,0]=1

K[1,1]=1

#定義載荷向量

F_vec=np.zeros(2*n_nodes)

F_vec[-2]=-F#在右端施加垂直向下的力

#求解節(jié)點(diǎn)位移

u=spsolve(K.tocsr(),F_vec)

#計(jì)算單元應(yīng)力

defelement_stress(u,E,nu,t,L):

strain=(u[1]-u[0])/L

stress=E*strain

returnstress

#輸出結(jié)果

fori,(n1,n2)inenumerate(elements):

stress=element_stress(u[2*n1:2*n1+2],E,nu,t,L/n_elements)

print(f"Element{i+1}:Stress={stress:.2f}Pa")5.1.2.3代碼解釋材料屬性定義：包括彈性模量、泊松比、厚度和長度。網(wǎng)格參數(shù)定義：元素?cái)?shù)量和節(jié)點(diǎn)數(shù)量。節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)和單元節(jié)點(diǎn)定義：使用numpy生成節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)和定義單元節(jié)點(diǎn)。單元?jiǎng)偠染仃嚩x：基于材料屬性和單元長度，計(jì)算單元的剛度矩陣。整體剛度矩陣組裝：使用scipy.sparse中的lil_matrix來組裝整體剛度矩陣。施加邊界條件：將左端節(jié)點(diǎn)的位移設(shè)為0，表示固定邊界。載荷向量定義：在右端節(jié)點(diǎn)施加垂直向下的力。求解節(jié)點(diǎn)位移：使用spsolve求解線性方程組，得到節(jié)點(diǎn)位移。計(jì)算單元應(yīng)力：基于節(jié)點(diǎn)位移，計(jì)算每個(gè)單元的應(yīng)力。結(jié)果輸出：打印每個(gè)單元的應(yīng)力值。通過上述步驟，我們可以得到梁在載荷作用下的變形和應(yīng)力分布，為結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和優(yōu)化提供重要信息。6彈塑性有限元分析6.1塑性問題的有限元求解6.1.1原理塑性問題的有限元求解基于塑性理論和有限元方法的結(jié)合。在塑性理論中，材料在超過其彈性極限后會(huì)發(fā)生塑性變形，這種變形是不可逆的。有限元方法通過將復(fù)雜結(jié)構(gòu)分解為簡單的小單元，然后在每個(gè)單元上應(yīng)用塑性理論，從而能夠模擬整個(gè)結(jié)構(gòu)的彈塑性行為。6.1.2內(nèi)容塑性本構(gòu)關(guān)系：定義材料在塑性階段的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，包括塑性流動(dòng)法則、塑性硬化模型等。有限元離散：將結(jié)構(gòu)劃分為多個(gè)小單元，每個(gè)單元用節(jié)點(diǎn)和邊來描述。求解算法：采用增量迭代法，如返回映射算法，來解決非線性方程組。收斂性檢查：確保求解過程中的迭代能夠收斂到正確的解。6.1.3示例假設(shè)我們有一個(gè)簡單的二維矩形板，材料為塑性硬化鋼，受到均勻的拉伸載荷。我們將使用Python和FEniCS庫來演示塑性問題的有限元求解。fromfenicsimport*

importnumpyasnp

#創(chuàng)建網(wǎng)格和定義函數(shù)空間

mesh=RectangleMesh(Point(0,0),Point(1,1),10,10)

V=VectorFunctionSpace(mesh,'Lagrange',1)

#定義邊界條件

defboundary(x,on_boundary):

returnon_boundary

bc=DirichletBC(V,Constant((0,0)),boundary)

#定義材料參數(shù)

E=210e9#彈性模量

nu=0.3#泊松比

yield_stress=235e6#屈服強(qiáng)度

hardening_modulus=1e9#硬化模量

#定義應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系

defsigma(v):

defeps(v):

returnsym(grad(v))

defJ2(eps):

return0.5*(inner(eps,eps)-(1/3)*tr(eps)**2)

deff(eps):

returnsqrt(3*J2(eps))-yield_stress

defh(eps):

returnhardening_modulus

defD(eps):

returnE/(1+nu)/(1-2*nu)*((1-nu)*eps+(nu/2)*tr(eps)*Identity(2))

returnD(eps(v))+h(eps(v))*project(grad(f(eps(v))),V)

#定義外力

f=Constant((0,-1e6))

#定義變分問題

u=TrialFunction(V)

v=TestFunction(V)

a=inner(sigma(u),grad(v))*dx

L=inner(f,v)*dx

#求解

u=Function(V)

solve(a==L,u,bc)

#輸出結(jié)果

file=File("plasticity.pvd")

file<<u在這個(gè)例子中，我們首先創(chuàng)建了一個(gè)矩形網(wǎng)格，并定義了向量函數(shù)空間。然后，我們?cè)O(shè)置了邊界條件，確保邊界上的位移為零。接著，我們定義了材料的彈性模量、泊松比、屈服強(qiáng)度和硬化模量。sigma函數(shù)實(shí)現(xiàn)了塑性本構(gòu)關(guān)系，包括計(jì)算應(yīng)變、屈服函數(shù)、硬化函數(shù)和彈性張量。最后，我們定義了外力，設(shè)置了變分問題，并求解了位移場(chǎng)。結(jié)果被保存為plasticity.pvd文件，可以使用ParaView等可視化工具查看。6.2彈塑性問題的數(shù)值模擬6.2.1原理彈塑性問題的數(shù)值模擬結(jié)合了彈性理論和塑性理論，能夠處理材料在彈性階段和塑性階段的變形。這種模擬通常需要解決非線性方程組，因?yàn)樗苄宰冃螘?huì)導(dǎo)致材料屬性的變化。6.2.2內(nèi)容彈性階段：使用胡克定律描述材料的彈性行為。塑性階段：應(yīng)用塑性理論，如vonMises屈服準(zhǔn)則，來描述材料的塑性變形。加載路徑：模擬不同加載條件下的材料響應(yīng)，如單調(diào)加載、循環(huán)加載等。后處理：分析模擬結(jié)果，如應(yīng)力分布、塑性應(yīng)變等。6.2.3示例考慮一個(gè)承受循環(huán)載荷的圓柱體，我們將使用FEniCS來模擬其彈塑性行為。fromfenicsimport*

importnumpyasnp

#創(chuàng)建網(wǎng)格和定義函數(shù)空間

mesh=UnitDiskMesh(32)

V=VectorFunctionSpace(mesh,'Lagrange',1)

#定義邊界條件

defboundary(x,on_boundary):

returnon_boundary

bc=DirichletBC(V,Constant((0,0)),boundary)

#定義材料參數(shù)

E=210e9#彈性模量

nu=0.3#泊松比

yield_stress=235e6#屈服強(qiáng)度

hardening_modulus=1e9#硬化模量

#定義應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系

defsigma(v):

defeps(v):

returnsym(grad(v))

defJ2(eps):

return0.5*(inner(eps,eps)-(1/3)*tr(eps)**2)

deff(eps):

returnsqrt(3*J2(eps))-yield_stress

defh(eps):

returnhardening_modulus

defD(eps):

returnE/(1+nu)/(1-2*nu)*((1-nu)*eps+(nu/2)*tr(eps)*Identity(2))

returnD(eps(v))+h(eps(v))*project(grad(f(eps(v))),V)

#定義循環(huán)載荷

loads=[Constant((0,-1e6)),Constant((0,0)),Constant((0,1e6)),Constant((0,0))]

#定義變分問題

u=TrialFunction(V)

v=TestFunction(V)

a=inner(sigma(u),grad(v))*dx

L=inner(f,v)*dx

#求解并模擬循環(huán)載荷

forloadinloads:

L=inner(load,v)*dx

u=Function(V)

solve(a==L,u,bc)

#輸出當(dāng)前載荷下的位移場(chǎng)

file=File("cyclic_displacement.pvd")

file<<u在這個(gè)例子中，我們模擬了一個(gè)圓柱體在循環(huán)載荷下的彈塑性行為。我們首先創(chuàng)建了圓柱體的網(wǎng)格，并定義了向量函數(shù)空間。然后，我們?cè)O(shè)置了邊界條件，確保邊界上的位移為零。接著，我們定義了材料的彈性模量、泊松比、屈服強(qiáng)度和硬化模量，以及應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系。我們使用了一個(gè)循環(huán)來模擬循環(huán)載荷，每次迭代中，我們更新外力，求解位移場(chǎng)，并保存結(jié)果。這樣，我們就可以分析圓柱體在不同載荷下的應(yīng)力和應(yīng)變分布。以上兩個(gè)示例展示了如何使用FEniCS庫進(jìn)行塑性問題和彈塑性問題的有限元求解。通過調(diào)整材料參數(shù)和加載條件，可以模擬各種復(fù)雜的工程問題。7材料模型與參數(shù)7.1常用材料模型的介紹在彈塑性力學(xué)的有限元分析中，材料模型是描述材料在不同應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變響應(yīng)的關(guān)鍵。以下是幾種常用的材料模型：7.1.1線彈性模型線彈性模型是最簡單的材料模型，它假設(shè)材料在彈性范圍內(nèi)遵循胡克定律。對(duì)于各向同性材料，其應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系可以表示為：σ其中，σ是應(yīng)力，?是應(yīng)變，E是彈性模量。7.1.2塑性模型塑性模型描述材料在超過彈性極限后的非線性行為。常見的塑性模型包括：####2.1理想塑性模型理想塑性模型假設(shè)材料在達(dá)到屈服應(yīng)力后，應(yīng)力保持不變，而應(yīng)變可以無限增加。7.1.2.12硬化塑性模型硬化塑性模型考慮了材料在塑性變形后的硬化效應(yīng)，包括等向硬化、應(yīng)變硬化等。7.1.3彈塑性模型彈塑性模型結(jié)合了線彈性模型和塑性模型，能夠描述材料從彈性到塑性的過渡行為。在有限元分析中，彈塑性模型通過定義屈服準(zhǔn)則和流動(dòng)法則來實(shí)現(xiàn)。7.2材料參數(shù)的確定方法材料參數(shù)的確定對(duì)于準(zhǔn)確的有限元分析至關(guān)重要。以下是一些確定材料參數(shù)的方法：7.2.1實(shí)驗(yàn)測(cè)試通過實(shí)驗(yàn)測(cè)試，如拉伸、壓縮、彎曲等試驗(yàn)，可以直接測(cè)量材料的彈性模量、泊松比、屈服強(qiáng)度等參數(shù)。7.2.2文獻(xiàn)查閱對(duì)于一些標(biāo)準(zhǔn)材料，其參數(shù)可能已經(jīng)在文獻(xiàn)中給出，可以直接引用。7.2.3逆向工程在某些情況下，可以通過逆向工程的方法，即從已知的結(jié)構(gòu)響應(yīng)反推材料參數(shù)。7.2.4數(shù)值模擬數(shù)值模擬方法，如使用有限元軟件進(jìn)行參數(shù)敏感性分析，可以幫助確定材料參數(shù)。7.2.5示例：使用Python和SciPy庫確定材料的彈性模量假設(shè)我們有一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，包括應(yīng)力(σ)和應(yīng)變(?)的測(cè)量值，我們可以通過線性回歸來確定材料的彈性模量E。importnumpyasnp

fromscipy.optimizeimportcurve_fit

#實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

stress=np.array([0,10,20,30,40,50])#應(yīng)力，單位：MPa

strain=np.array([0,0.0005,0.001,0.0015,0.002,0.0025])#應(yīng)變

#定義胡克定律函數(shù)

defhookes_law(strain,E):

returnE*strain

#使用curve_fit進(jìn)行擬合

E_opt,_=curve_fit(hookes_law,strain,stress)

#輸出彈性模量

print("彈性模量E=",E_opt[0],"MPa")在這個(gè)例子中，我們使用了Python的SciPy庫中的curve_fit函數(shù)來擬合胡克定律，從而確定材料的彈性模量E。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)被輸入到函數(shù)中，通過最小化誤差平方和的方法，找到最佳的E值。7.2.6結(jié)論材料模型的選擇和參數(shù)的準(zhǔn)確確定是彈塑性力學(xué)有限元分析的基礎(chǔ)。通過實(shí)驗(yàn)、文獻(xiàn)查閱、逆向工程或數(shù)值模擬等方法，可以獲取所需的材料參數(shù)，從而進(jìn)行更精確的分析。8邊界條件與載荷8.1邊界條件的設(shè)定在進(jìn)行彈塑性力學(xué)的有限元分析時(shí)，邊界條件的設(shè)定至關(guān)重要，它定義了模型的約束和自由度。邊界條件可以分為幾種類型：位移邊界條件：指定模型的某部分在特定方向上的位移或旋轉(zhuǎn)。力邊界條件：在模型的某部分施加外力或力矩。應(yīng)力邊界條件：直接指定模型表面的應(yīng)力分布。溫度邊界條件：在熱力學(xué)分析中，指定模型的溫度或熱流。8.1.1位移邊界條件示例假設(shè)我們正在分析一個(gè)簡單的梁結(jié)構(gòu)，需要在梁的一端固定，即設(shè)定位移邊界條件為零。#導(dǎo)入有限元分析庫

importfenics

#創(chuàng)建網(wǎng)格和函數(shù)空間

mesh=fenics.UnitIntervalMesh(10)

V=fenics.FunctionSpace(mesh,'P',1)

#定義邊界條件

defboundary(x,on_boundary):

returnon_boundary

bc=fenics.DirichletBC(V,fenics.Constant(0),boundary)

#定義問題的其他部分

u=fenics.TrialFunction(V)

v=fenics.TestFunction(V)

f=fenics.Constant(-5)

a=fenics.dot(fenics.grad(u),fenics.grad(v))*fenics.dx

L=f*v*fenics.dx

#求解

u=fenics.Function(V)

fenics.solve(a==L,u,bc)在這個(gè)例子中，DirichletBC用于設(shè)定邊界條件，boundary函數(shù)用于識(shí)別邊界上的點(diǎn)。8.2載荷的施加與類型載荷的施加是有限元分析中的另一個(gè)關(guān)鍵步驟，它決定了結(jié)構(gòu)的響應(yīng)。載荷可以是靜態(tài)的，也可以是動(dòng)態(tài)的，包括：集中力：作用在結(jié)構(gòu)的特定點(diǎn)上。分布力：作用在結(jié)構(gòu)的特定區(qū)域上，如表面壓力。體積力：作用在整個(gè)結(jié)構(gòu)上，如重力。8.2.1靜態(tài)分布力示例考慮一個(gè)承受表面壓力的平板結(jié)構(gòu)，我們將在其上表面施加一個(gè)分布力。#繼續(xù)使用fenics庫

mesh=fenics.UnitSquareMesh(10,10)

V=fenics.FunctionSpace(mesh,'P',1)

#定義邊界條件

bc=fenics.DirichletBC(V,fenics.Constant(0),boundary)

#定義分布力

p=fenics.Constant(10)#表面壓力

n=fenics.FacetNormal(mesh)#法向量

#定義變分問題

u=fenics.TrialFunction(V)

v=fenics.TestFunction(V)

E=100#彈性模量

nu=0.3#泊松比

mu=E/(2*(1+nu))

lmbda=E*nu/((1+nu)*(1-2*nu))

sigma=lambdau:2*mu*fenics.sym(fenics.grad(u))+lmbda*fenics.tr(fenics.sym(fenics.grad(u)))*fenics.Identity(len(u))

a=fenics.inner(sigma(u),fenics.grad(v))*fenics.dx

L=p*v*fenics.ds(1)#在上表面施加壓力

#求解

u=fenics.Function(V)

fenics.solve(a==L,u,bc)在這個(gè)例子中，我們使用fenics.ds來指定在上表面施加分布力，sigma函數(shù)用于計(jì)算應(yīng)力。8.3結(jié)合邊界條件與載荷在實(shí)際的有限元分析中，邊界條件和載荷通常是同時(shí)設(shè)定的，以完整描述結(jié)構(gòu)的受力情況。例如，一個(gè)承受集中力的懸臂梁，一端固定，另一端受力。#創(chuàng)建懸臂梁的網(wǎng)格

mesh=fenics.UnitIntervalMesh(100)

V=fenics.FunctionSpace(mesh,'P',1)

#定義邊界條件

bc_left=fenics.DirichletBC(V,fenics.Constant(0),boundary_left)

bc_right=fenics.PointLoad(V,fenics.Constant(-100),fenics.Point(1,0))

#定義變分問題

u=fenics.TrialFunction(V)

v=fenics.TestFunction(V)

E=100#彈性模量

nu=0.3#泊松比

mu=E/(2*(1+nu))

lmbda=E*nu/((1+nu)*(1-2*nu))

a=fenics.inner(sigma(u),fenics.grad(v))*fenics.dx

L=bc_right*v*fenics.dx

#求解

u=fenics.Function(V)

fenics.solve(a==L,u,bc_left)在這個(gè)例子中，PointLoad用于在梁的右端點(diǎn)施加集中力，而DirichletBC用于在左端設(shè)定位移邊界條件。通過上述示例，我們可以看到邊界條件和載荷在有限元分析中的重要性，以及如何在fenics庫中具體實(shí)現(xiàn)它們。正確設(shè)定邊界條件和載荷是確保分析結(jié)果準(zhǔn)確性的基礎(chǔ)。9后處理與結(jié)果分析9.1有限元結(jié)果的可視化在彈塑性力學(xué)的有限元分析中，后處理階段是至關(guān)重要的，它幫助我們理解模型的響應(yīng)并驗(yàn)證分析的準(zhǔn)確性。有限元結(jié)果的可視化是這一階段的核心，它通過圖形化的方式展示應(yīng)力、應(yīng)變、位移等關(guān)鍵參數(shù)，使分析結(jié)果更加直觀。9.1.1使用Python進(jìn)行結(jié)果可視化Python是一種廣泛使用的編程語言，它提供了多種庫來處理和可視化有限元分析結(jié)果。其中，matplotlib和mayavi是兩個(gè)非常強(qiáng)大的庫，分別適用于2D和3D數(shù)據(jù)的可視化。9.1.1.1示例：使用matplotlib可視化2D位移假設(shè)我們有一個(gè)簡單的2D梁的有限元分析結(jié)果，包含節(jié)點(diǎn)位移數(shù)據(jù)。下面是一個(gè)使用matplotlib來可視化這些結(jié)果的示例代碼：importmatplotlib.pyplotasplt

importnumpyasnp

#示例數(shù)據(jù)：節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)和位移

nodes=np.array([[0,0],[1,0],[1,1],[0,1]])

displacements=np.array([[0.01,0.005],[0.02,0.01],[0.03,0.015],[0.04,0.02]])

#計(jì)算位移后的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)

displaced_nodes=nodes+displacements

#繪制原始和位移后的梁

plt.figure(figsize=(10,5))

plt.subplot(1,2,1)

plt.plot(nodes[:,0],nodes[:,1],'o-')

plt.title('原始梁')

plt.subplot(1,2,2)

plt.plot(displaced_nodes[:,0],displaced_nodes[:,1],'o-')

plt.title('位移后的梁')

plt.show()這段代碼首先定義了梁的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)和位移數(shù)據(jù)，然后計(jì)算了位移后的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)。最后，使用matplotlib的plot函數(shù)繪制了原始和位移后的梁，通過對(duì)比可以直觀地看到位移的效果。9.1.2使用mayavi可視化3D應(yīng)力對(duì)于3D模型，mayavi提供了更豐富的可視化選項(xiàng)。下面是一個(gè)使用mayavi來可視化3D模型應(yīng)力分布的示例：frommayaviimportmlab

importnumpyasnp

#示例數(shù)據(jù)：3D網(wǎng)格和應(yīng)力值

x,y,z=np.mgrid[-1:1:20j,-1:1:20j,-1:1:20j]

stress=np.sqrt(x**2+y**2+z**2)

#創(chuàng)建3D網(wǎng)格

mlab.figure(1,bgcolor=(1,1,1),fgcolor=(0,0,0))

mlab.clf()

mlab.pipeline.surface(mlab.pipeline.scalar_field(x,y,z,stress))

#顯示圖形

mlab.show()在這個(gè)示例中，我們創(chuàng)建了一個(gè)3D網(wǎng)格，并計(jì)算了每個(gè)點(diǎn)的應(yīng)力值。然后，使用mayavi的surface函數(shù)來創(chuàng)建一個(gè)表面，其中顏色表示應(yīng)力的大小，從而可視化了3D模型的應(yīng)力分布。9.2彈塑性分析結(jié)果的解讀彈塑性分析結(jié)果的解讀需要關(guān)注幾個(gè)關(guān)鍵參數(shù)：應(yīng)力、應(yīng)變、塑性區(qū)、安全系數(shù)等。這些參數(shù)幫助我們?cè)u(píng)估材料的性能和結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性。9.2.1應(yīng)力和應(yīng)變應(yīng)力和應(yīng)變是彈塑性分析中最基本的參數(shù)。應(yīng)力表示單位面積上的力，而應(yīng)變表示材料的變形程度。在彈塑性分析中，我們特別關(guān)注材料的屈服點(diǎn)，即材料開始發(fā)生塑性變形的應(yīng)力值。9.2.1.1示例：解讀應(yīng)力應(yīng)變曲線應(yīng)力應(yīng)變曲線是評(píng)估材料彈塑性行為的重要工具。下面是一個(gè)如何解讀這種曲線的示例：彈性階段：曲線的初始直線部分，表示應(yīng)力和應(yīng)變成正比關(guān)系。屈服點(diǎn)：曲線開始偏離直線的部分，表示材料開始發(fā)生塑性變形。強(qiáng)化階段：屈服點(diǎn)之后，曲線可能會(huì)上升，表示材料在塑性變形過程中變得更硬。頸縮階段：曲線達(dá)到峰值后下降，表示材料開始局部縮頸，最終導(dǎo)致斷裂。9.2.2塑性區(qū)塑性區(qū)是指材料發(fā)生塑性變形的區(qū)域。在有限元分析中，塑性區(qū)的出現(xiàn)通常意味著結(jié)構(gòu)的承載能力接近極限，需要特別關(guān)注。9.2.2.1示例：識(shí)別塑性區(qū)在分析結(jié)果中，塑性區(qū)可以通過等效應(yīng)力（如vonMises應(yīng)力）的分布來識(shí)別。如果等效應(yīng)力超過了材料的屈服強(qiáng)度，那么該區(qū)域就處于塑性狀態(tài)。9.2.3安全系數(shù)安全系數(shù)是評(píng)估結(jié)構(gòu)安全性的指標(biāo)，它表示結(jié)構(gòu)的實(shí)際承載能力與設(shè)計(jì)載荷的比值。在彈塑性分析中，安全系數(shù)可以幫助我們判斷結(jié)構(gòu)是否足夠安全，或者是否需要進(jìn)行設(shè)計(jì)修改。9.2.3.1示例：計(jì)算安全系數(shù)假設(shè)材料的屈服強(qiáng)度為200MPa，而分析結(jié)果顯示結(jié)構(gòu)的最大應(yīng)力為150MPa，那么安全系數(shù)可以計(jì)算為：yield_strength=200#MPa

max_stress=150#MPa

safety_factor=yield_strength/max_stress

print(f'安全系數(shù)為：{safety_factor}')輸出結(jié)果為：安全系數(shù)為：1.3333333333333333安全系數(shù)大于1表示結(jié)構(gòu)是安全的，但具體的安全系數(shù)要求取決于具體的應(yīng)用和設(shè)計(jì)規(guī)范。通過上述示例和解釋，我們可以看到，有限元分析的后處理階段不僅包括結(jié)果的可視化，還涉及對(duì)關(guān)鍵參數(shù)的深入解讀，以確保設(shè)計(jì)的準(zhǔn)確性和安全性。10材料力學(xué)之彈塑性力學(xué)算法：彈性理論在橋梁結(jié)構(gòu)分析中的應(yīng)用10.1橋梁結(jié)構(gòu)的彈塑性分析10.1.1彈塑性分析原理彈塑性分析是材料力學(xué)中的一種高級(jí)分析方法，它考慮了材料在受力時(shí)從彈性變形過渡到塑性變形的特性。在橋梁結(jié)構(gòu)的分析中，彈塑性分析尤為重要，因?yàn)樗芨鼫?zhǔn)確地預(yù)測(cè)結(jié)構(gòu)在極端載荷下的行為，如地震、風(fēng)載或超載車輛的影響。這種分析方法基于非線性材料模型，能夠捕捉到材料的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系中的非線性部分，從而提供更接近實(shí)際的結(jié)構(gòu)響應(yīng)預(yù)測(cè)。10.1.2彈性理論基礎(chǔ)彈性理論是彈塑性分析的基礎(chǔ)，它描述了材料在彈性范圍內(nèi)應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系。對(duì)于各向同性材料，這種關(guān)系通常由胡克定律表示，即應(yīng)力與應(yīng)變成正比，比例常數(shù)為材料的彈性模量。在三維空間中，胡克定律可以擴(kuò)展為廣義胡克定律，通過應(yīng)力張量和應(yīng)變張量來描述材料的變形。10.1.3彈塑性力學(xué)的有限元分析在彈塑性力學(xué)的有限元分析中，結(jié)構(gòu)被離散成多個(gè)小的單元，每個(gè)單元的力學(xué)行為通過單元的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系來描述。對(duì)于彈塑性材料，這種關(guān)系通常由塑性理論中的流動(dòng)法則和硬化法則來定義。流動(dòng)法則描述了材料開始塑性變形的條件，而硬化法則則描述了材料在塑性變形過程中的應(yīng)力變化。10.1.3.1示例：橋梁結(jié)構(gòu)的彈塑性有限元分析假設(shè)我們有一個(gè)簡化的橋梁模型，由混凝土和鋼材組成。我們將使用Python中的FEniCS庫來執(zhí)行彈塑性有限元分析。首先，我們需要定義材料屬性和幾何參數(shù)。fromfenicsimport*

#定義材料屬性

E_concrete=30e9#混凝土的彈性模量，單位：Pa

nu_concrete=0.2#混凝土的泊松比

yield_stress_concrete=2.1e6#混凝土的屈服應(yīng)力，單位：Pa

E_steel=200e9#鋼材的彈性模量，單位：Pa

nu_steel=0.3#鋼材的泊松比

yield_stress_steel=235e6#鋼材的屈服應(yīng)力，單位：Pa

#定義幾何參數(shù)

length=10.0#橋梁的長度，單位：m

height=2.0#橋梁的高度，單位：m

width=1.0#橋梁的寬度，單位：m

#創(chuàng)建網(wǎng)格

mesh=RectangleMesh(Point(0,0),Point(length,height),100,20)

#定義邊界條件

defleft_boundary(x,on_boundary):

returnnear(x[0],0.0)

defright_boundary(x,on_boundary):

returnnear(x[0],length)

#應(yīng)用邊界條件

bc_left=DirichletBC(V,Constant((0,0)),left_boundary)

bc_right=DirichletBC(V,Constant((0,-1e3)),right_boundary)#假設(shè)在右端施加垂直向下的力，單位：N/m

bcs=[bc_left,bc_right]

#定義材料的彈塑性模型

classConcreteMaterial(UserDefinedMaterial):

def__init__(self,E,nu,yield_stress):

super().__init__()

self.E=E

self.nu=nu

self.yield_stress=yield_stress

defsigma(self,eps):

sigma=self.E*eps/(1-self.nu**2)

ifsqrt(inner(sigma,sigma))>self.yield_stress:

sigma=self.yield_stress*eps/(1-self.nu**2)

returnsigma

#創(chuàng)建材料實(shí)例

material_concrete=ConcreteMaterial(E_concrete,nu_concrete,yield_stress_concrete)

material_steel=ConcreteMaterial(E_steel,nu_steel,yield_stress_steel)

#定義有限元空間

V=VectorFunctionSpace(mesh,'Lagrange',degree=1)

#定義位移函數(shù)

u=Function(V)

#定義外力

f=Constant((0,-1e3))#假設(shè)在橋梁上施加垂直向下的力，單位：N/m

#定義變分問題

du=TrialFunction(V)

v=TestFunction(V)

F=inner(sigma(eps(du)),eps(v))*dx-inner(f,v)*ds

a,L=lhs(F),rhs(F)

#求解變分問題

solve(a==L,u,bcs)

#輸出結(jié)果

plot(u)

interactive()在這個(gè)示例中，我們首先定義了混凝土和鋼材的材料屬性，然后創(chuàng)建了一個(gè)矩形網(wǎng)格來表示橋梁的簡化模型。我們應(yīng)用了邊界條件，其中左端固定，右端施加了一個(gè)垂直向下的力。接著，我們定義了一個(gè)用戶自定義的材料模型，用于描述材料的彈塑性行為。最后，我們定義了有限元空間，設(shè)置了變分問題，并求解了位移函數(shù)。通過plot函數(shù)，我們可以可視化位移結(jié)果，從而分析橋梁在彈塑性狀態(tài)下的變形。10.2飛機(jī)機(jī)翼的有限元模擬10.2.1彈塑性分析在飛機(jī)機(jī)翼設(shè)計(jì)中的重要性飛機(jī)機(jī)翼的彈塑性分析對(duì)于確保飛行安全至關(guān)重要。機(jī)翼在飛行過程中會(huì)受到各種載荷，包括氣動(dòng)載荷、重力載荷和溫度載荷等。彈塑性分析能夠幫助工程師理解機(jī)翼在這些載荷作用下的行為，特別是在超載或極端飛行條件下的響應(yīng)。通過模擬，可以優(yōu)化設(shè)計(jì)，確保機(jī)翼的結(jié)構(gòu)強(qiáng)度和穩(wěn)定