新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)強(qiáng)化練習(xí)專題12 數(shù)列的基本運(yùn)算（講）（解析版）

第一篇熱點(diǎn)、難點(diǎn)突破篇專題12數(shù)列的基本運(yùn)算（講）真題體驗(yàn)感悟高考1．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）圖1是中國古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，SKIPIF1<0是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖．其中SKIPIF1<0是舉，SKIPIF1<0是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為SKIPIF1<0．已知SKIPIF1<0成公差為0.1的等差數(shù)列，且直線SKIPIF1<0的斜率為0.725，則SKIPIF1<0（

）A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9【答案】D【分析】設(shè)SKIPIF1<0，則可得關(guān)于SKIPIF1<0的方程，求出其解后可得正確的選項(xiàng).【詳解】設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，依題意，有SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故選：D2．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知等比數(shù)列SKIPIF1<0的前3項(xiàng)和為168，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．14 B．12 C．6 D．3【答案】D【分析】設(shè)等比數(shù)列SKIPIF1<0的公比為SKIPIF1<0，易得SKIPIF1<0，根據(jù)題意求出首項(xiàng)與公比，再根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)即可得解.【詳解】解：設(shè)等比數(shù)列SKIPIF1<0的公比為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，與題意矛盾，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：D.3.（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）記SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和．已知SKIPIF1<0．(1)證明：SKIPIF1<0是等差數(shù)列；(2)若SKIPIF1<0成等比數(shù)列，求SKIPIF1<0的最小值．【答案】(1)證明見解析；(2)SKIPIF1<0．【分析】（1）依題意可得SKIPIF1<0，根據(jù)SKIPIF1<0，作差即可得到SKIPIF1<0，從而得證；（2）法一：由（1）及等比中項(xiàng)的性質(zhì)求出SKIPIF1<0，即可得到SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式與前SKIPIF1<0項(xiàng)和，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得．【詳解】（1）因?yàn)镾KIPIF1<0，即SKIPIF1<0①，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0②，①SKIPIF1<0②得，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為公差的等差數(shù)列．（2）[方法一]：二次函數(shù)的性質(zhì)由（1）可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比數(shù)列，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以，當(dāng)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0．[方法二]：【最優(yōu)解】鄰項(xiàng)變號(hào)法由（1）可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比數(shù)列，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0.則當(dāng)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0．【整體點(diǎn)評(píng)】（2）法一：根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出SKIPIF1<0的最小值，適用于可以求出SKIPIF1<0的表達(dá)式；法二：根據(jù)鄰項(xiàng)變號(hào)法求最值，計(jì)算量小，是該題的最優(yōu)解．總結(jié)規(guī)律預(yù)測(cè)考向（一）規(guī)律與預(yù)測(cè)1.等差(等比)數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式及求和公式是高考的基礎(chǔ)考點(diǎn)與高頻考點(diǎn).以小題居多，屬于容易題.

2.數(shù)列求和方法中的公式法、錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法及分組求和法是高考的高頻考點(diǎn)，以小題或解答題形式出現(xiàn)，難易程度有些起伏，從趨勢(shì)看，與不等式等相結(jié)合，其難度有所增大，總體屬于中檔題.涉及數(shù)列的通項(xiàng)、遞推與不等式相結(jié)合的客觀題有所增加.

（二）本專題考向展示考點(diǎn)突破典例分析考向一等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本運(yùn)算【核心知識(shí)】等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本公式(n∈N*)(1)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：an＝a1＋(n－1)d；(2)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：an＝a1·qn－1.(3)等差數(shù)列的求和公式：SKIPIF1<0；(4)等比數(shù)列的求和公式：SKIPIF1<0【典例分析】典例1.（2021·北京·統(tǒng)考高考真題）已知SKIPIF1<0是各項(xiàng)均為整數(shù)的遞增數(shù)列，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（

）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】C【分析】使數(shù)列首項(xiàng)、遞增幅度均最小，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)及求和公式求得SKIPIF1<0可能的最大值，然后構(gòu)造數(shù)列滿足條件，即得到SKIPIF1<0的最大值．【詳解】若要使n盡可能的大，則，遞增幅度要盡可能小，不妨設(shè)數(shù)列是首項(xiàng)為3，公差為1的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，則，，所以SKIPIF1<0.對(duì)于，，取數(shù)列各項(xiàng)為(SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0，所以n的最大值為11．故選：C．典例2.（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若a5–a3=12，a6–a4=24，則SKIPIF1<0=（

）A．2n–1 B．2–21–n C．2–2n–1 D．21–n–1【答案】B【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，可以得到方程組，解方程組求出首項(xiàng)和公比，最后利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前SKIPIF1<0項(xiàng)和公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0.故選：B.典例3.（2022春·湖南長沙·高三長郡中學(xué)校考階段練習(xí)）已知等差數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，前4項(xiàng)和SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)等比數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】（1）由題干條件分別求出公差d和首項(xiàng)SKIPIF1<0，再代入公式即可；（2）由（1）求得的數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式計(jì)算SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，進(jìn)而得到數(shù)列SKIPIF1<0的首項(xiàng)SKIPIF1<0和公比SKIPIF1<0，最后代入等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式即可.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式為SKIPIF1<0，由題可知，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式為SKIPIF1<0.（2）由（1）知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于是等比數(shù)列SKIPIF1<0的公比為SKIPIF1<0，則等比數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0.【規(guī)律方法】等差數(shù)列、等比數(shù)列問題的求解策略(1)抓住基本量，首項(xiàng)SKIPIF1<0、公差d或公比q.(2)熟悉一些結(jié)構(gòu)特征，如前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0(a，b是常數(shù))的形式的數(shù)列為等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為SKIPIF1<0的形式的數(shù)列為等比數(shù)列．(3)由于等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式中變量n在指數(shù)位置，所以常用兩式相除(即比值的方式)進(jìn)行相關(guān)計(jì)算．考向二等差(等比)數(shù)列的性質(zhì)【核心知識(shí)】1．通項(xiàng)性質(zhì)：若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，則對(duì)于等差數(shù)列，有am＋an＝ap＋aq＝2ak，對(duì)于等比數(shù)列有SKIPIF1<0.2．前n項(xiàng)和的性質(zhì)：(1)對(duì)于等差數(shù)列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差數(shù)列；對(duì)于等比數(shù)列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比數(shù)列(q＝－1且m為偶數(shù)情況除外)．(2)對(duì)于等差數(shù)列，有S2n－1＝(2n－1)an.【典例分析】典例4.（2020·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，公差d≠0，SKIPIF1<0．記b1=S2，bn+1=S2n+2–S2n，SKIPIF1<0，下列等式不可能成立的是（

）A．2a4=a2+a6 B．2b4=b2+b6 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根據(jù)題意可得，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，即可表示出題中SKIPIF1<0，再結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)即可判斷各等式是否成立．【詳解】對(duì)于A，因?yàn)閿?shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列，所以根據(jù)等差數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)，由SKIPIF1<0可得，SKIPIF1<0，A正確；對(duì)于B，由題意可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．根據(jù)等差數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，B正確；對(duì)于C，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，C正確；對(duì)于D，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0即SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，D不正確．故選：D.典例5.（2022春·云南昆明·高三云南師大附中?？茧A段練習(xí)）已知SKIPIF1<0為正項(xiàng)遞增等比數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0___________．【答案】SKIPIF1<0【分析】根據(jù)等比數(shù)列的概念可得SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的值，直接根據(jù)等比數(shù)列前SKIPIF1<0項(xiàng)和以及通項(xiàng)公式即可得結(jié)果.【詳解】由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍），易知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0.典例6.（天津市河?xùn)|區(qū)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0等于____．【答案】7【分析】由SKIPIF1<0，變形SKIPIF1<0得出數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列，再結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)求解即可.【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列，由SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由等差數(shù)列的性質(zhì)有：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案為：7.【總結(jié)提升】等差、等比數(shù)列的性質(zhì)問題的求解策略(1)抓關(guān)系，抓住項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系及項(xiàng)的序號(hào)之間的關(guān)系，從這些特點(diǎn)入手，選擇恰當(dāng)?shù)男再|(zhì)進(jìn)行求解．(2)用性質(zhì)，數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，具有函數(shù)的一些性質(zhì)，如單調(diào)性、周期性等，可利用函數(shù)的性質(zhì)解題．考向三等差(等比)數(shù)列的探索與證明【核心知識(shí)】等差數(shù)列等比數(shù)列定義法an＋1－an＝deq\f(an＋1,an)＝q(q≠0)通項(xiàng)法an＝a1＋(n－1)dan＝a1·qn－1中項(xiàng)法2an＝an－1＋an＋1(n≥2)aeq\o\al(2,n)＝an－1an＋1(n≥2，an≠0)前n項(xiàng)和法Sn＝an2＋bn(a，b為常數(shù))Sn＝kqn－k(k≠0，q≠0,1)證明數(shù)列為等差(比)數(shù)列一般使用定義法．特別提醒：aeq\o\al(2,n)＝an－1an＋1(n≥2，n∈N*)是{an}為等比數(shù)列的必要不充分條件，也就是判斷一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列時(shí)，要注意各項(xiàng)不為0.【典例分析】典例7.（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0______.【答案】SKIPIF1<0【分析】由遞推公式找到對(duì)應(yīng)的不動(dòng)點(diǎn)方程，巧用“不動(dòng)點(diǎn)法”求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】求不動(dòng)點(diǎn)，設(shè)SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，化簡得：SKIPIF1<0①，SKIPIF1<0，化簡得：SKIPIF1<0②，用式①除以式②可得：SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是首項(xiàng)為SKIPIF1<0，公比為SKIPIF1<0的等比數(shù)列，故SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0典例8.（2023·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)學(xué)中有許多美麗的錯(cuò)誤，法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬通過觀察計(jì)算曾提出猜想：形如SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，1，2，…）的數(shù)都是質(zhì)數(shù)，這就是費(fèi)馬素?cái)?shù)猜想.半個(gè)世紀(jì)后善于發(fā)現(xiàn)的歐拉算出第5個(gè)費(fèi)馬數(shù)不是質(zhì)數(shù)，從而否定了這一種猜想.現(xiàn)設(shè)：SKIPIF1<0（SKIPIF1<01，2，3，…），SKIPIF1<0為常數(shù)，SKIPIF1<0表示數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0______.【答案】SKIPIF1<0【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)定義可得SKIPIF1<0，再結(jié)合等差數(shù)列的前SKIPIF1<0項(xiàng)和公式求SKIPIF1<0，進(jìn)而求SKIPIF1<0.【詳解】∵SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0,顯然SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴數(shù)列SKIPIF1<0以首項(xiàng)為SKIPIF1<0，公差為1的等差數(shù)列又∵SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0則SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<0.典例9.（2021·全國·高考真題）記SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和，已知SKIPIF1<0，且數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列，證明：SKIPIF1<0是等差數(shù)列.【答案】證明見解析.【分析】先根據(jù)SKIPIF1<0求出數(shù)列SKIPIF1<0的公差SKIPIF1<0，進(jìn)一步寫出SKIPIF1<0的通項(xiàng)，從而求出SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式，最終得證.【詳解】∵數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列，設(shè)公差為SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0是等差數(shù)列.【點(diǎn)睛】在利用SKIPIF1<0求通項(xiàng)公式時(shí)一定要討論SKIPIF1<0的特殊情況.典例10.（2019年高考全國II卷理）已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1=1，b1=0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（I）證明：{an+bn}是等比數(shù)列，{an–bn}是等差數(shù)列；（II）求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式.【答案】（I）見解析；（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.【解析】（1）由題設(shè)得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．又因?yàn)閍1+b1=l，所以SKIPIF1<0是首項(xiàng)為1，公比為SKIPIF1<0的等比數(shù)列．由題設(shè)得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．又因?yàn)閍1–b1=l，所以SKIPIF1<0是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列．（2）由（1）知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．典例11.（2022春·內(nèi)蒙古呼和浩特·高三呼市二中）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是公差為1的等差數(shù)列.(1)證明：SKIPIF1<0是等比數(shù)列；(2)求SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0.【答案】(1)證明見解析；(2)SKIPIF1<0.【分析】(1)根據(jù)等差數(shù)列的定義求出數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式，可得SKIPIF1<0，等式兩邊同時(shí)加n，則SKIPIF1<0，結(jié)合等比數(shù)列的定義即可證明；(2)由(1)和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得SKIPIF1<0，利用分組求和法即可求解.【詳解】（1）因?yàn)镾KIPIF1<0是公差為1的等差數(shù)列，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，等式兩邊同時(shí)加n，得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列；（2）由(1)知，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0典例12.（2022·重慶沙坪壩·重慶八中?？寄M預(yù)測(cè)）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)證明：SKIPIF1<0是等差數(shù)列；(2)求SKIPIF1<0.【答案】(1)證明見解析(2)250【分析】（1）令SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0求出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，判斷可得答案；（2）由（1）判斷出數(shù)列SKIPIF1<0的偶數(shù)項(xiàng)是公差為SKIPIF1<0首項(xiàng)為SKIPIF1<0的等差數(shù)列，奇數(shù)項(xiàng)是公差為SKIPIF1<0首項(xiàng)為SKIPIF1<0的等差數(shù)列，分別求SKIPIF1<0