新高考數(shù)學二輪復習專題五 統(tǒng)計與概率第2講 計數(shù)原理解析版

第2講計數(shù)原理目錄第一部分：知識強化第二部分：重難點題型突破突破一：兩個計數(shù)原理的綜合應用突破二：排列，組合綜合應用突破三：二項式定理突破四：二項式系數(shù)突破五：項的系數(shù)突破六：楊輝三角形第三部分：沖刺重難點特訓第一部分：知識強化1、分類加法計數(shù)原理（1）定義：完成一件事有兩類不同方案,在第1類方案中有SKIPIF1<0種不同的方法,在第2類方案中有SKIPIF1<0種不同的方法,那么完成這件事共有SKIPIF1<0種不同的方法.（2）推廣：如果完成一件事情有SKIPIF1<0類不同方案,在第1類方案中有SKIPIF1<0種不同的方法,在第2類方案中有SKIPIF1<0種不同的方法,……在第SKIPIF1<0類方案中有SKIPIF1<0種不同的方法,那么完成這件事共有SKIPIF1<0種不同的方法.2、分步乘法計數(shù)原理（1）定義：完成一件事需要兩個步驟,做第1步有SKIPIF1<0種不同的方法,做第2步有SKIPIF1<0種不同的方法,那么完成這件事共有SKIPIF1<0種不同的方法.（2）推廣：完成一件事需要SKIPIF1<0個步驟,做第1步有SKIPIF1<0種不同的方法,做第2步有SKIPIF1<0種不同的方法,……做第SKIPIF1<0步有SKIPIF1<0種不同的方法,則完成這件事共有SKIPIF1<0種不同的方法.3、排列數(shù)與排列數(shù)公式（1）定義：從SKIPIF1<0個不同元素中取出SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)個元素的所有不同排列的個數(shù),叫做從SKIPIF1<0個不同元素中取出SKIPIF1<0個元素的排列數(shù),用符號SKIPIF1<0表示.（2）排列數(shù)公式①（連乘形式）：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0②（階乘形式）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（3）全排列：把SKIPIF1<0個不同的元素全部取出的一個排列,叫做SKIPIF1<0個元素的一個全排列,用符號SKIPIF1<0表示.SKIPIF1<0（4）階乘：正整數(shù)1到SKIPIF1<0的連乘積,叫做SKIPIF1<0的階乘,用符號SKIPIF1<0表示.4、組合數(shù)與組合數(shù)公式（1）組合數(shù)的定義：從SKIPIF1<0個不同元素中取出SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)個元素的所有不同組合的個數(shù),叫做從SKIPIF1<0個不同元素中取出SKIPIF1<0個元素的組合數(shù),用符號SKIPIF1<0表示.（2）組合數(shù)公式SKIPIF1<0或：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）.規(guī)定：SKIPIF1<05、組合數(shù)的性質(zhì)（1）性質(zhì)1：SKIPIF1<0（2）性質(zhì)2：SKIPIF1<06、二項式定理及相關(guān)概念（1）二項式定理一般地，對于每個SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），SKIPIF1<0的展開式中SKIPIF1<0共有SKIPIF1<0個，將它們合并同類項，就可以得到二項展開式：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）.這個公式叫做二項式定理.（2）二項展開式公式中：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0等號右邊的多項式叫做SKIPIF1<0的二項展開式.（3）二項式系數(shù)與項的系數(shù)二項展開式中各項的二項式系數(shù)為SKIPIF1<0(SKIPIF1<0),項的系數(shù)是指該項中除變量外的常數(shù)部分,包含符號等.（4）二項式定理的三種常見變形①SKIPIF1<0②SKIPIF1<0③SKIPIF1<07、二項展開式的通項二項展開式中的SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)叫做二項展開式的通項,用SKIPIF1<0表示,即通項為展開式的第SKIPIF1<0項:SKIPIF1<0.通項體現(xiàn)了二項展開式的項數(shù)、系數(shù)、次數(shù)的變化規(guī)律,是二項式定理的核心,它在求展開式的某些特定項(如含指定冪的項常數(shù)項、中間項、有理項、系數(shù)最大的項等)及其系數(shù)等方面有著廣泛的應用.8、二項式系數(shù)的性質(zhì)①對稱性：二項展開式中與首尾兩端距離相等的兩個二項式系數(shù)相等：SKIPIF1<0②增減性：當SKIPIF1<0時，二項式系數(shù)遞增，當SKIPIF1<0時，二項式系數(shù)遞減；③最大值：當SKIPIF1<0為奇數(shù)時，最中間兩項二項式系數(shù)最大；當SKIPIF1<0為偶數(shù)時，最中間一項的二項式系數(shù)最大.④各二項式系數(shù)和：SKIPIF1<0；奇數(shù)項的二項式系數(shù)和與偶數(shù)項的二項式系數(shù)和相等：SKIPIF1<0第二部分：重難點題型突破突破一：兩個計數(shù)原理的綜合應用1．（2022·甘肅·蘭州一中高二期中）4張卡片的正、反面分別寫有數(shù)字1，2；1，3；4，5；6，7．將這4張卡片排成一排，可構(gòu)成不同的四位數(shù)的個數(shù)為（

）A．288 B．336 C．368 D．412【答案】B【詳解】當四位數(shù)不出現(xiàn)1時，排法有：SKIPIF1<0種；當四位數(shù)出現(xiàn)一個1時，排法有：SKIPIF1<0種；當四位數(shù)出現(xiàn)兩個1時，排法有：SKIPIF1<0種；所以不同的四位數(shù)的個數(shù)共有：SKIPIF1<0．故選：B．2．（2022·全國·高三專題練習）有三個盒子，每個盒子里有若干大小形狀都相同的卡片.第一個盒子中有三張分別標號為SKIPIF1<0的卡片；第二個盒子中有五張分別標號為SKIPIF1<0的卡片；第三個盒子中有七張分別標號為SKIPIF1<0的卡片.現(xiàn)從每個盒子中隨機抽取一張卡片，設從第SKIPIF1<0個盒子中取出的卡片的號碼為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為奇數(shù)的概率是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】從三個盒子中各隨機抽取一張卡片可分為三步完成，第一步從第一個盒子中取一張卡片，有3種方法，第二步從第二個盒子中取一張卡片，有5種方法，第三步從第三個盒子中取一張卡片，有7種方法，由分步乘法計數(shù)原理可得共有SKIPIF1<0種方法，事件SKIPIF1<0為奇數(shù)等價于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都為奇數(shù)或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中有一個為奇數(shù)，兩個為偶數(shù)，其中事件SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都為奇數(shù)包含SKIPIF1<0個基本事件，即24個基本事件，事件SKIPIF1<0為奇數(shù)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為偶數(shù)包含SKIPIF1<0個基本事件，即12個基本事件，事件SKIPIF1<0為奇數(shù)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為偶數(shù)包含SKIPIF1<0個基本事件，即9個基本事件，事件SKIPIF1<0為奇數(shù)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為偶數(shù)包含SKIPIF1<0個基本事件，即8個基本事件，所以事件SKIPIF1<0包含的基本事件數(shù)為SKIPIF1<0，即53個基本事件，所以SKIPIF1<0，故選：B.3．（2022·遼寧·同澤高中高二階段練習）小小的火柴棒可以拼成幾何圖形，也可以拼成數(shù)字．如下圖所示，我們可以用火柴棒拼出1至9這9個數(shù)字比如：“1”需要2根火柴棒，“7”需要3根火柴棒．若用8根火柴棒以適當?shù)姆绞饺糠湃胗颐娴谋砀裰校]有放入火柴棒的空位表示數(shù)字“0”），那么最多可以表示無重復數(shù)字的三位數(shù)有______個【答案】20【詳解】由題意可得，用2根火柴棒表示數(shù)字1，3根火柴棒表示數(shù)字7，4根火柴棒表示數(shù)字4，5根火柴棒表示數(shù)字2，3或5，6根火柴棒表示數(shù)字6或9，7根火柴棒表示數(shù)字8，數(shù)字不重復，因此8根火柴棒只能分成兩類：2和6，3和5，組成兩個數(shù)字，還有數(shù)字只能為0，這樣組成的無重復數(shù)字的三位數(shù)個數(shù)為：SKIPIF1<0．故答案為：204．（2022·上?！とA東師范大學第三附屬中學高一期末）定義：如果三位數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則稱這樣的三位數(shù)為“SKIPIF1<0”型三位數(shù)，試求由0，1，2，3，4這5個數(shù)字組成的所有三位數(shù)中任取一個恰為“SKIPIF1<0”型三位數(shù)的概率是___________.【答案】SKIPIF1<0##0.15【詳解】由0，1，2，3，4這5個數(shù)字組成三位數(shù)，百位不能為零，則有4種情況，十位與個位各自有5種情況，則所組成的所有三位數(shù)個數(shù)為SKIPIF1<0，其中“SKIPIF1<0”型三位數(shù)的有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，共15個，則概率為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.5．（2022·全國·高二課時練習）三個人踢毽子，互相傳遞，每人每次只能踢一下，由甲開始踢，經(jīng)過4次傳遞后，毽子又被踢回給甲，則不同的傳遞方式共有______種．【答案】6【詳解】由題設，若三人為甲、乙、丙，傳遞過程如下：其中①③一定不會為甲，中間三人的可能情況為：{乙，丙，乙}、{丙，乙，丙}、{乙，甲，乙}、{乙，甲，丙}、{丙，甲，丙}、{丙，甲，乙}，共6種情況.故答案為：66．（2022·全國·高二課時練習）由0、1、2、3、4、5這6個數(shù)字可以組成______個沒有重復數(shù)字的三位偶數(shù).【答案】52【詳解】根據(jù)題意，對該沒有重復數(shù)字的三位偶數(shù)進行分類討論，第一類：0在個位數(shù)時，先填百位，有5種方法，再填十位，有4種方法，故能組成SKIPIF1<0個沒有重復數(shù)字的三位偶數(shù)；第二類，0不在個位數(shù)時，先填個位，只有2、4兩種方法，再填百位，0不能在此位，故有4種方法，最后填十位，有4種方法，故能組成SKIPIF1<0個沒有重復數(shù)字的三位偶數(shù)；綜上，一共可以組成SKIPIF1<0個沒有重復數(shù)字的三位偶數(shù).故答案為：52.7．（2022·遼寧·同澤高中高二階段練習）4張卡片的正、反面分別寫有數(shù)字1，2；1，3；4，5；6，7．將這4張卡片排成一排，可構(gòu)成不同的四位數(shù)的個數(shù)為______【答案】336【詳解】依題意，不考慮數(shù)字的重復問題，4張卡片排成一排，可以組成SKIPIF1<0種情況，其中若兩張卡片都是1，有SKIPIF1<0種情況，所以將這4張卡片排成一排，可構(gòu)成不同的四位數(shù)的個數(shù)為SKIPIF1<0.故答案為：336.8．（2022·遼寧·同澤高中高二階段練習）給圖中A，B，C，D，E，F(xiàn)六個區(qū)域進行染色，每個區(qū)域只染一種顏色，且相鄰的區(qū)域不同色．若有5種顏色可供選擇，則共有_______種不同的染色方案．【答案】SKIPIF1<0【詳解】由題意可知，若滿足相鄰區(qū)域不同色，最少需要三種顏色，最多需要五種顏色.當有3種顏色時，則SKIPIF1<0同色，SKIPIF1<0同色，SKIPIF1<0同色，此時的涂色種類為SKIPIF1<0種.當有4種顏色時，則有三種情況：①SKIPIF1<0不同色，SKIPIF1<0同色，SKIPIF1<0同色，此時涂色種類為SKIPIF1<0種；②SKIPIF1<0同色，SKIPIF1<0不同色，SKIPIF1<0同色，此時涂色種類為SKIPIF1<0種；③SKIPIF1<0同色，SKIPIF1<0同色，SKIPIF1<0不同色，此時涂色種類為SKIPIF1<0種；即當有4種顏色時，總的涂色種類為SKIPIF1<0種.當有5種顏色時，則有三種情況：①SKIPIF1<0不同色，SKIPIF1<0不同色，SKIPIF1<0同色，此時涂色種類為SKIPIF1<0種；②SKIPIF1<0同色，SKIPIF1<0不同色，SKIPIF1<0不同色，此時涂色種類為SKIPIF1<0種；③SKIPIF1<0不同色，SKIPIF1<0同色，SKIPIF1<0不同色，此時涂色種類為SKIPIF1<0種；即當有5種顏色時，總的涂色種類為SKIPIF1<0種.綜上，總的共有SKIPIF1<0種不同的方案.故答案為：SKIPIF1<09．（2022·遼寧·沈陽二中高二期中）如圖所示的五個區(qū)城中，現(xiàn)要求在五個區(qū)域中涂色，有四種顏色可供選擇，要求每個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)城所涂顏色不同，則不同的涂色方法種數(shù)為________（用數(shù)字作答）．【答案】SKIPIF1<0【詳解】設這四個顏色分別為SKIPIF1<0，先給區(qū)域SKIPIF1<0涂色，有SKIPIF1<0種涂法；假設區(qū)域SKIPIF1<0涂的是顏色1，再給區(qū)域SKIPIF1<0涂色，可以是顏色SKIPIF1<0,有SKIPIF1<0種涂法;假設區(qū)域SKIPIF1<0涂的是顏色SKIPIF1<0，再給區(qū)域SKIPIF1<0涂色，可以是顏色SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0種涂法;假設區(qū)域SKIPIF1<0涂的是顏色SKIPIF1<0，如果區(qū)域SKIPIF1<0涂的是顏色SKIPIF1<0，則區(qū)域SKIPIF1<0可以涂顏色SKIPIF1<0或顏色SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0種涂法;如果區(qū)域SKIPIF1<0涂的是顏色4,那么區(qū)域SKIPIF1<0可以涂顏色SKIPIF1<0，有1種涂法.所以不同的涂色方法種數(shù)為SKIPIF1<0(種)故答案為：SKIPIF1<0.10．（2022·浙江·高二階段練習）某學校舉行秋季運動會，酷愛運動的小明同學準備在某七個比賽項目中，選擇參加其中四個項目的比賽.根據(jù)賽程安排，在這七個比賽項目中，100米賽跑與200米賽跑不能同時參加，且跳高與跳遠也不能同時參加.則不同的報名方法數(shù)為___________.（用數(shù)字作答）【答案】SKIPIF1<0【詳解】符合要求的報名方法可以分為兩類，第一類100米，200米，跳高，跳遠四項比賽中只參加一項，第二類100米，200米中參加一項且跳高，跳遠兩項比賽中參加一項，其中第一類中含4種不同的報名方法，第二類中的報名方法可分三步完成，第一步從100米，200米中選擇一項，第二步從跳高，跳遠兩項比賽選擇一項，第三步從余下的三項比賽中選擇兩項參賽，故第二類方法共有SKIPIF1<0種，由分類加法原理可得共有16種方法.故答案為：16.突破二：排列，組合綜合應用1．（2022·四川自貢·一模（理））在某個單位迎新晚會上有A、B、C、D、E、F6個節(jié)目，單位為了考慮整體效果，對節(jié)目演出順序有如下具體要求，節(jié)目C必須安排在第三位，節(jié)目D、F必須安排連在一起，則該單位迎新晚會節(jié)目演出順序的編排方案共有（

）種A．36 B．48 C．60 D．72【答案】A【詳解】由題意D、F在一二位或四五位、五六位，C是固定的，其他三個節(jié)目任意排列，因此方法數(shù)為SKIPIF1<0．故選：A．2．（2022·四川·宜賓市敘州區(qū)第二中學校模擬預測（理））“四書”“五經(jīng)”是我國SKIPIF1<0部經(jīng)典名著《大學》《論語》《中庸》《孟子》《周易》《尚書》《詩經(jīng)》《禮記》《春秋》的合稱．為弘揚中國傳統(tǒng)文化，某校計劃在讀書節(jié)活動期間舉辦“四書”“五經(jīng)”知識講座，每部名著安排SKIPIF1<0次講座，若要求《大學》《論語》相鄰，但都不與《周易》相鄰，則排法種數(shù)為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】先排除去《大學》《論語》《周易》之外的6部經(jīng)典名著的講座，共有SKIPIF1<0種排法，將《大學》《論語》看作一個元素，二者內(nèi)部全排列有SKIPIF1<0種排法，排完的6部經(jīng)典名著的講座后可以認為它們之間包括兩頭有7個空位，從7個空位中選2個，排《大學》《論語》捆綁成的一個元素和《周易》的講座，有SKIPIF1<0種排法，故總共有SKIPIF1<0種排法，故選：C.3．（2022·全國·模擬預測）甲、乙、丙、丁、戊共5名同學進行勞動技術(shù)比賽，決出第1名到第5名的名次.甲和乙去詢問成績，回答者對甲說：“很遺憾，你和乙都沒有獲得冠軍.”對乙說：“你當然不會是最差的.”若在此對話的基礎上5人名次的情況是等可能的，則最終丙和丁獲得前兩名的概率為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】解：根據(jù)題意，當甲同學為第5名時，乙同學可能是第2，3，4名，故有SKIPIF1<0種，當甲同學不是第5名時，甲、乙同學可能是第2，3，4名，故有SKIPIF1<0種，故滿足回答者的所有情況共SKIPIF1<0種.其中，最終丙和丁獲得前兩名的情況有兩類，當甲同學為第5名，丙和丁獲得前兩名時有SKIPIF1<0種；當甲同學不是第5名，丙和丁獲得前兩名時，有SKIPIF1<0種，所以，最終丙和丁獲得前兩名的情況有SKIPIF1<0種，所以，最終丙和丁獲得前兩名的概率為SKIPIF1<0故選：A4．（2022·全國·模擬預測）數(shù)論領(lǐng)域的四平方和定理最早由歐拉提出，后被拉格朗日等數(shù)學家證明．四平方和定理的內(nèi)容是：任意正整數(shù)都可以表示為不超過四個自然數(shù)的平方和，例如正整數(shù)SKIPIF1<0．設SKIPIF1<0，其中a，b，c，d均為自然數(shù)，則滿足條件的有序數(shù)組SKIPIF1<0的個數(shù)是（

）A．28 B．24 C．20 D．16【答案】A【詳解】顯然a，b，c，d均為不超過5的自然數(shù)，下面進行討論．最大數(shù)為5的情況：①SKIPIF1<0，此時共有SKIPIF1<0種情況；最大數(shù)為4的情況：②SKIPIF1<0，此時共有SKIPIF1<0種情況；③SKIPIF1<0，此時共有SKIPIF1<0種情況．當最大數(shù)為3時，SKIPIF1<0，故沒有滿足題意的情況．綜上，滿足條件的有序數(shù)組SKIPIF1<0的個數(shù)是SKIPIF1<0．故選：A5．（2022·全國·模擬預測）已知斐波那契數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是數(shù)列SKIPIF1<0中的任意兩項，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，稱數(shù)組SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的“平緩數(shù)組”（SKIPIF1<0與SKIPIF1<0為相同的“平緩數(shù)組”），SKIPIF1<0為數(shù)組SKIPIF1<0的組差.現(xiàn)從SKIPIF1<0的所有“平緩數(shù)組”中隨機抽取3個，則這3個“平緩數(shù)組”的組差中至少有2個相等的取法種數(shù)為（

）A．24 B．26 C．29 D．35【答案】B【詳解】由題意得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的所有“平緩數(shù)組”有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，共7個，其中組差為0的有1個為SKIPIF1<0，組差為1的有3個為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，組差為2的有3個為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以這3個“平緩數(shù)組”的組差中至少有2個相等的取法種數(shù)為SKIPIF1<0，故選：B6．（2022·四川·成都七中模擬預測（理））袋中有6個大小相同的黑球，編號為SKIPIF1<0，還有4個同樣大小的白球，編號為SKIPIF1<0，現(xiàn)從中任取4個球，則下列結(jié)論中正確的是（

）①取出的最大號碼SKIPIF1<0服從超幾何分布；②取出的黑球個數(shù)SKIPIF1<0服從超幾何分布；③取出2個白球的概率為SKIPIF1<0；④若取出一個黑球記2分，取出一個白球記1分，則總得分最大的概率為SKIPIF1<0A．①② B．②④ C．③④ D．①③④【答案】B【詳解】對于①，根據(jù)超幾何分布的定義，要把總體分為兩類，再依次選取，由此可知取出的最大號碼SKIPIF1<0不符合超幾何分布的定義，無法用超幾何分布的數(shù)學模型計算概率，故①錯誤；對于②，取出的黑球個數(shù)SKIPIF1<0符合超幾何分布的定義，將黑球視作第一類，白球視作第二類，可以用超幾何分布的數(shù)學模型計算概率，故②正確；對于③，取出2個白球的概率為SKIPIF1<0，故③錯誤；對于④，若取出一個黑球記2分，取出一個白球記1分，則取出四個黑球的總得分最大，SKIPIF1<0總得分最大的概率為SKIPIF1<0，故④正確．故選：B7．（2022·河北·模擬預測（理））為普及空間站相關(guān)知識，某航天部門組織了空間站建造過程SKIPIF1<0模擬編程競賽活動．該活動由太空發(fā)射、自定義漫游、全尺寸太陽能、空間運輸?shù)?個程序題目組成，則該活動的題目順序安排中，全尺寸太陽能排在前兩位，且太空發(fā)射與自定義漫游相鄰，但兩者均不與空間運輸相鄰的概率為__．【答案】SKIPIF1<0【詳解】解：8個程序題目全排列共有SKIPIF1<0種方法；全尺寸太陽能排在前兩位，可分類討論：①全尺寸太陽能排在首位：太空發(fā)射與自定義漫游相鄰，將二者捆綁起來有SKIPIF1<0種方法，兩者均不與空間運輸相鄰，可先將其余4個全排列，有SKIPIF1<0種方法，再插空有SKIPIF1<0種排法，故此時共有SKIPIF1<0種方法；②全尺寸太陽能排在第二位，再分兩種情況SKIPIF1<0首位排空間運輸，太空發(fā)射與自定義漫游相鄰，將二者捆綁起來有SKIPIF1<0種方法，和余下4個元素一起全排列，有SKIPIF1<0種方法，共SKIPIF1<0種方法；SKIPIF1<0首位不排空間運輸，余下四個一般元素挑一個排在首位，有SKIPIF1<0種方法，太空發(fā)射與自定義漫游相鄰，將二者捆綁起來有SKIPIF1<0種方法，余下3個一般元素全排列，有SKIPIF1<0種方法，最后在4個空位中對空間運輸和捆綁元素插空有SKIPIF1<0種，共SKIPIF1<0；由①②所有符合條件的排法有SKIPIF1<0；故所求概率為：SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0．8．（2022·河南·模擬預測（理））將中國古代四大名著——《紅樓夢》《西游記》《水滸傳》《三國演義》，以及《詩經(jīng)》等12本書按照如圖所示的方式擺放，其中四大名著要求放在一起，且必須豎放，《詩經(jīng)》《楚辭》《呂氏春秋》要求橫放，若這12本書中7本豎放5本橫放，則不同的擺放方法共有___________種.【答案】691200【詳解】除了四大名著和《詩經(jīng)》《楚辭》《呂氏春秋》這7本書以外，從其余5本書中選取3本和四大名著一起豎放，四大名著要求放在一起，則豎放的7本書有SKIPIF1<0種方法，還剩5本書橫放，有SKIPIF1<0種方法，故不同的擺放方法種數(shù)為SKIPIF1<0.故答案為：6912009．（2022·安徽·蕪湖一中模擬預測）安徽省地形具有平原、臺地（崗地）、丘陵、山地等類型，其中丘陵地區(qū)占了很大比重，因此山地較多，著名的山也有很多．某校開設了研學旅行課程，該校有6個班級分別選擇黃山、九華山、天柱山中的一座山作為研學旅行的地點，每座山至少有一個班級選擇，則恰好有2個班級選擇黃山的方案有__________種．【答案】210【詳解】先從6個班級中選擇2個班級去黃山，則有SKIPIF1<0種情況，接下來4個班級可分為兩種情況：第一種情況，2個班級去九華山，2個班級選擇取天柱山，則有SKIPIF1<0種情況，第二種情況，3個班級去九華山或天柱山，剩余的1個班去另一個山，則有SKIPIF1<0種情況，綜上：恰好有2個班級選擇黃山的方案有SKIPIF1<0．故答案為：21010．（2022·重慶·模擬預測）SKIPIF1<0年SKIPIF1<0月以來，重慶出現(xiàn)新一輪由奧密克戎變異毒株引發(fā)的新冠疫情，有SKIPIF1<0個區(qū)域被判定為中風險地，均在高新區(qū)．為了盡快控制疫情，重慶市政府決定派SKIPIF1<0名專員對這三個中風險地區(qū)的疫情防控工作進行指導．若每個中風險地區(qū)至少派一名專員且SKIPIF1<0人要派完，專員甲、乙需到同一中風險地區(qū)指導，則不同的專員分配方案總數(shù)為_____________．【答案】SKIPIF1<0【詳解】將SKIPIF1<0人分成三組，每組至少一人，則各組人數(shù)分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0或SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0.①若三組人數(shù)分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，則甲、乙所在組的人數(shù)為SKIPIF1<0，此時還需從另外SKIPIF1<0人中選SKIPIF1<0人到這組，此時不同的分配方案種數(shù)為SKIPIF1<0；②若三組人數(shù)分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，則其中一組有SKIPIF1<0人的為甲、乙所在的一組，此時不同的分配方案種數(shù)為SKIPIF1<0.綜上所述，不同的分配方案種數(shù)為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.突破三：二項式定理1．（2022·四川自貢·一模（理））在某個單位迎新晚會上有A、B、C、D、E、F6個節(jié)目，單位為了考慮整體效果，對節(jié)目演出順序有如下具體要求，節(jié)目C必須安排在第三位，節(jié)目D、F必須安排連在一起，則該單位迎新晚會節(jié)目演出順序的編排方案共有（

）種A．36 B．48 C．60 D．72【答案】A【詳解】由題意D、F在一二位或四五位、五六位，C是固定的，其他三個節(jié)目任意排列，因此方法數(shù)為SKIPIF1<0．故選：A．2．（2022·四川·宜賓市敘州區(qū)第二中學校模擬預測（理））“四書”“五經(jīng)”是我國SKIPIF1<0部經(jīng)典名著《大學》《論語》《中庸》《孟子》《周易》《尚書》《詩經(jīng)》《禮記》《春秋》的合稱．為弘揚中國傳統(tǒng)文化，某校計劃在讀書節(jié)活動期間舉辦“四書”“五經(jīng)”知識講座，每部名著安排SKIPIF1<0次講座，若要求《大學》《論語》相鄰，但都不與《周易》相鄰，則排法種數(shù)為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】先排除去《大學》《論語》《周易》之外的6部經(jīng)典名著的講座，共有SKIPIF1<0種排法，將《大學》《論語》看作一個元素，二者內(nèi)部全排列有SKIPIF1<0種排法，排完的6部經(jīng)典名著的講座后可以認為它們之間包括兩頭有7個空位，從7個空位中選2個，排《大學》《論語》捆綁成的一個元素和《周易》的講座，有SKIPIF1<0種排法，故總共有SKIPIF1<0種排法，故選：C.3．（2022·全國·模擬預測）甲、乙、丙、丁、戊共5名同學進行勞動技術(shù)比賽，決出第1名到第5名的名次.甲和乙去詢問成績，回答者對甲說：“很遺憾，你和乙都沒有獲得冠軍.”對乙說：“你當然不會是最差的.”若在此對話的基礎上5人名次的情況是等可能的，則最終丙和丁獲得前兩名的概率為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】解：根據(jù)題意，當甲同學為第5名時，乙同學可能是第2，3，4名，故有SKIPIF1<0種，當甲同學不是第5名時，甲、乙同學可能是第2，3，4名，故有SKIPIF1<0種，故滿足回答者的所有情況共SKIPIF1<0種.其中，最終丙和丁獲得前兩名的情況有兩類，當甲同學為第5名，丙和丁獲得前兩名時有SKIPIF1<0種；當甲同學不是第5名，丙和丁獲得前兩名時，有SKIPIF1<0種，所以，最終丙和丁獲得前兩名的情況有SKIPIF1<0種，所以，最終丙和丁獲得前兩名的概率為SKIPIF1<0故選：A4．（2022·全國·模擬預測）數(shù)論領(lǐng)域的四平方和定理最早由歐拉提出，后被拉格朗日等數(shù)學家證明．四平方和定理的內(nèi)容是：任意正整數(shù)都可以表示為不超過四個自然數(shù)的平方和，例如正整數(shù)SKIPIF1<0．設SKIPIF1<0，其中a，b，c，d均為自然數(shù)，則滿足條件的有序數(shù)組SKIPIF1<0的個數(shù)是（

）A．28 B．24 C．20 D．16【答案】A【詳解】顯然a，b，c，d均為不超過5的自然數(shù)，下面進行討論．最大數(shù)為5的情況：①SKIPIF1<0，此時共有SKIPIF1<0種情況；最大數(shù)為4的情況：②SKIPIF1<0，此時共有SKIPIF1<0種情況；③SKIPIF1<0，此時共有SKIPIF1<0種情況．當最大數(shù)為3時，SKIPIF1<0，故沒有滿足題意的情況．綜上，滿足條件的有序數(shù)組SKIPIF1<0的個數(shù)是SKIPIF1<0．故選：A5．（2022·全國·模擬預測）已知斐波那契數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是數(shù)列SKIPIF1<0中的任意兩項，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，稱數(shù)組SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的“平緩數(shù)組”（SKIPIF1<0與SKIPIF1<0為相同的“平緩數(shù)組”），SKIPIF1<0為數(shù)組SKIPIF1<0的組差.現(xiàn)從SKIPIF1<0的所有“平緩數(shù)組”中隨機抽取3個，則這3個“平緩數(shù)組”的組差中至少有2個相等的取法種數(shù)為（

）A．24 B．26 C．29 D．35【答案】B【詳解】由題意得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的所有“平緩數(shù)組”有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，共7個，其中組差為0的有1個為SKIPIF1<0，組差為1的有3個為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，組差為2的有3個為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以這3個“平緩數(shù)組”的組差中至少有2個相等的取法種數(shù)為SKIPIF1<0，故選：B6．（2022·四川·成都七中模擬預測（理））袋中有6個大小相同的黑球，編號為SKIPIF1<0，還有4個同樣大小的白球，編號為SKIPIF1<0，現(xiàn)從中任取4個球，則下列結(jié)論中正確的是（

）①取出的最大號碼SKIPIF1<0服從超幾何分布；②取出的黑球個數(shù)SKIPIF1<0服從超幾何分布；③取出2個白球的概率為SKIPIF1<0；④若取出一個黑球記2分，取出一個白球記1分，則總得分最大的概率為SKIPIF1<0A．①② B．②④ C．③④ D．①③④【答案】B【詳解】對于①，根據(jù)超幾何分布的定義，要把總體分為兩類，再依次選取，由此可知取出的最大號碼SKIPIF1<0不符合超幾何分布的定義，無法用超幾何分布的數(shù)學模型計算概率，故①錯誤；對于②，取出的黑球個數(shù)SKIPIF1<0符合超幾何分布的定義，將黑球視作第一類，白球視作第二類，可以用超幾何分布的數(shù)學模型計算概率，故②正確；對于③，取出2個白球的概率為SKIPIF1<0，故③錯誤；對于④，若取出一個黑球記2分，取出一個白球記1分，則取出四個黑球的總得分最大，SKIPIF1<0總得分最大的概率為SKIPIF1<0，故④正確．故選：B7．（2022·河北·模擬預測（理））為普及空間站相關(guān)知識，某航天部門組織了空間站建造過程SKIPIF1<0模擬編程競賽活動．該活動由太空發(fā)射、自定義漫游、全尺寸太陽能、空間運輸?shù)?個程序題目組成，則該活動的題目順序安排中，全尺寸太陽能排在前兩位，且太空發(fā)射與自定義漫游相鄰，但兩者均不與空間運輸相鄰的概率為__．【答案】SKIPIF1<0【詳解】解：8個程序題目全排列共有SKIPIF1<0種方法；全尺寸太陽能排在前兩位，可分類討論：①全尺寸太陽能排在首位：太空發(fā)射與自定義漫游相鄰，將二者捆綁起來有SKIPIF1<0種方法，兩者均不與空間運輸相鄰，可先將其余4個全排列，有SKIPIF1<0種方法，再插空有SKIPIF1<0種排法，故此時共有SKIPIF1<0種方法；②全尺寸太陽能排在第二位，再分兩種情況SKIPIF1<0首位排空間運輸，太空發(fā)射與自定義漫游相鄰，將二者捆綁起來有SKIPIF1<0種方法，和余下4個元素一起全排列，有SKIPIF1<0種方法，共SKIPIF1<0種方法；SKIPIF1<0首位不排空間運輸，余下四個一般元素挑一個排在首位，有SKIPIF1<0種方法，太空發(fā)射與自定義漫游相鄰，將二者捆綁起來有SKIPIF1<0種方法，余下3個一般元素全排列，有SKIPIF1<0種方法，最后在4個空位中對空間運輸和捆綁元素插空有SKIPIF1<0種，共SKIPIF1<0；由①②所有符合條件的排法有SKIPIF1<0；故所求概率為：SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0．8．（2022·河南·模擬預測（理））將中國古代四大名著——《紅樓夢》《西游記》《水滸傳》《三國演義》，以及《詩經(jīng)》等12本書按照如圖所示的方式擺放，其中四大名著要求放在一起，且必須豎放，《詩經(jīng)》《楚辭》《呂氏春秋》要求橫放，若這12本書中7本豎放5本橫放，則不同的擺放方法共有___________種.【答案】691200【詳解】除了四大名著和《詩經(jīng)》《楚辭》《呂氏春秋》這7本書以外，從其余5本書中選取3本和四大名著一起豎放，四大名著要求放在一起，則豎放的7本書有SKIPIF1<0種方法，還剩5本書橫放，有SKIPIF1<0種方法，故不同的擺放方法種數(shù)為SKIPIF1<0.故答案為：6912009．（2022·安徽·蕪湖一中模擬預測）安徽省地形具有平原、臺地（崗地）、丘陵、山地等類型，其中丘陵地區(qū)占了很大比重，因此山地較多，著名的山也有很多．某校開設了研學旅行課程，該校有6個班級分別選擇黃山、九華山、天柱山中的一座山作為研學旅行的地點，每座山至少有一個班級選擇，則恰好有2個班級選擇黃山的方案有__________種．【答案】210【詳解】先從6個班級中選擇2個班級去黃山，則有SKIPIF1<0種情況，接下來4個班級可分為兩種情況：第一種情況，2個班級去九華山，2個班級選擇取天柱山，則有SKIPIF1<0種情況，第二種情況，3個班級去九華山或天柱山，剩余的1個班去另一個山，則有SKIPIF1<0種情況，綜上：恰好有2個班級選擇黃山的方案有SKIPIF1<0．故答案為：21010．（2022·重慶·模擬預測）SKIPIF1<0年SKIPIF1<0月以來，重慶出現(xiàn)新一輪由奧密克戎變異毒株引發(fā)的新冠疫情，有SKIPIF1<0個區(qū)域被判定為中風險地，均在高新區(qū)．為了盡快控制疫情，重慶市政府決定派SKIPIF1<0名專員對這三個中風險地區(qū)的疫情防控工作進行指導．若每個中風險地區(qū)至少派一名專員且SKIPIF1<0人要派完，專員甲、乙需到同一中風險地區(qū)指導，則不同的專員分配方案總數(shù)為_____________．【答案】SKIPIF1<0【詳解】將SKIPIF1<0人分成三組，每組至少一人，則各組人數(shù)分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0或SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0.①若三組人數(shù)分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，則甲、乙所在組的人數(shù)為SKIPIF1<0，此時還需從另外SKIPIF1<0人中選SKIPIF1<0人到這組，此時不同的分配方案種數(shù)為SKIPIF1<0；②若三組人數(shù)分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，則其中一組有SKIPIF1<0人的為甲、乙所在的一組，此時不同的分配方案種數(shù)為SKIPIF1<0.綜上所述，不同的分配方案種數(shù)為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.突破四：二項式系數(shù)1．（2022·浙江省杭州學軍中學高三期中）已知SKIPIF1<0的展開式中SKIPIF1<0的系數(shù)為40，則SKIPIF1<0的值為（

）A．-2 B．-1 C．1 D．2【答案】B【詳解】由題意可得SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0的展開式中，由SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0無解，即SKIPIF1<0的展開式?jīng)]有SKIPIF1<0項；在SKIPIF1<0的展開式中，由SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的展開式中SKIPIF1<0的項的系數(shù)為SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0的系數(shù)為40，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故選：B2．（2022·全國·高三專題練習）若SKIPIF1<0的展開式中第2項與第6項的二項式系數(shù)相等，則該展開式中的常數(shù)項為（

）A．SKIPIF1<0 B．160 C．SKIPIF1<0 D．1120【答案】A【詳解】因為SKIPIF1<0展開式中的第SKIPIF1<0項和第SKIPIF1<0項的二項式系數(shù)相等，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0展開式通項公式為：SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0該展開式中的常數(shù)項為SKIPIF1<0,故選：A3．（2022·全國·高三專題練習）SKIPIF1<0的展開式中SKIPIF1<0項的系數(shù)為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．80 D．200【答案】B【詳解】SKIPIF1<0的展開式的通項為SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以展開式中SKIPIF1<0項的系數(shù)為SKIPIF1<0.故選：B.4．（2022·廣東·高三階段練習）已知SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為常數(shù)）的展開式中所有項系數(shù)的和與二項式系數(shù)的和相等，則該展開式中的常數(shù)項為（

）A．SKIPIF1<090 B．SKIPIF1<010 C．10 D．90【答案】A【詳解】因為SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為常數(shù)）的展開式中所有項系數(shù)的和與二項式系數(shù)的和相等，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則其展開式的通項公式為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以該展開式中的常數(shù)項為SKIPIF1<0，故選：A5．（2022·湖北·荊州中學高三階段練習）已知SKIPIF1<0的展開式只有第5項的二項式系數(shù)最大，設SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．63 B．64 C．247 D．255【答案】C【詳解】因為展開式只有第5項的二項式系數(shù)最大，所以展開式共9項，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．故選：C．6．（2022·四川省岳池中學高三階段練習（理））已知SKIPIF1<0的展開式中，僅有第5項的二項式系數(shù)最大，則展開式中有理項的個數(shù)為___________．【答案】2【詳解】SKIPIF1<0的展開式有SKIPIF1<0項,因為僅有第5項的二項式系數(shù)最大,所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0當SKIPIF1<0時,SKIPIF1<0,當SKIPIF1<0時,SKIPIF1<0,符合題意所以展開式中有理項的個數(shù)為2故答案為：27．（2022·全國·高三專題練習）在SKIPIF1<0的展開式中只有第5項二項式系數(shù)最大，則常數(shù)項為__________．【答案】1120【詳解】由SKIPIF1<0的展開式中只有第5項二項式系數(shù)最大得SKIPIF1<0，所以展開式通項為SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時常數(shù)項為SKIPIF1<0．故答案為：11208．（2022·浙江紹興·模擬預測）二項式SKIPIF1<0的展開式中當且僅當?shù)?項的二項式系數(shù)最大，則SKIPIF1<0________，展開式中含SKIPIF1<0的項的系數(shù)為________．【答案】

6

SKIPIF1<0【詳解】第4項的二項式系數(shù)為SKIPIF1<0且最大，根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則展開式中含SKIPIF1<0的項的系數(shù)為SKIPIF1<0.故答案為：6；SKIPIF1<0.9．（2022·全國·高三專題練習）已知SKIPIF1<0SKIPIF1<0且SKIPIF1<0的展開式中前三項的系數(shù)成等差數(shù)列．(1)求展開式中二項式系數(shù)最大的項；(2)求展開式中所有的有理項．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0（1）SKIPIF1<0展開式的通項公式為SKIPIF1<0，因為前三項的系數(shù)SKIPIF1<0成等差數(shù)列，∴SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以解得SKIPIF1<0，所以通項公式為SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0時，二項式系數(shù)最大，即二項式系數(shù)最大項為SKIPIF1<0；（2）由SKIPIF1<0，所以可以得到SKIPIF1<0或3或6，所以有理項為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<010．（2022·全國·高三專題練習）SKIPIF1<0.求：(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0；(4)展開式中二項式系數(shù)和以及偶數(shù)項的二項式系數(shù)和；(5)求展開式二項式系數(shù)最大的項是第幾項？(6)SKIPIF1<0.【答案】(1)1(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0(4)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(5)第1012項.(6)4044（1）令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0①.（2）令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0②.由①-②得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（3）相當于求展開式SKIPIF1<0的系數(shù)和，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.（4）展開式中二項式系數(shù)和是SKIPIF1<0.展開式中偶數(shù)項的二項系數(shù)和是SKIPIF1<0.（5）展開式有2023項，中間項是第1012項，所以展開式二項式系數(shù)最大的項是第1012項.（6）SKIPIF1<0兩邊分別求導得：SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.突破五：項的系數(shù)1．（2022·全國·模擬預測）SKIPIF1<0的展開式中x項的系數(shù)為（

）A．568 B．－160 C．400 D．120【答案】D【詳解】因為SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0的展開式的通項為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的展開式的通項為SKIPIF1<0SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，則x項的系數(shù)為SKIPIF1<0，故選：D．2．（2022·江蘇·蘇州中學模擬預測）SKIPIF1<0的展開式中SKIPIF1<0的系數(shù)是（

）A．84 B．120 C．122 D．210【答案】D【詳解】∵SKIPIF1<0的通項為SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的通項為SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的展開式中SKIPIF1<0的系數(shù)為SKIPIF1<0，同理得SKIPIF1<0展開式中SKIPIF1<0的系數(shù)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0展開式中SKIPIF1<0的系數(shù)為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0展開式中SKIPIF1<0的系數(shù)為：SKIPIF1<0（也可以根據(jù)性質(zhì)：SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，故SKI