黑龍江省綏化市蘭西縣第一中學(xué)校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期暑假驗收（開學(xué)）數(shù)學(xué)試題（解析版）

蘭西一中2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期暑假驗收數(shù)學(xué)時間：2小時；分值：150一、單選題（每題5分，40分）1.（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式和二倍角的正弦公式可求三角函數(shù)式的值.【詳解】，故選：D.2.在中，點D，N分別滿足，，若，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用向量的線性運算，用表示.【詳解】在中，點D，N分別滿足，，若，，則.故選：D.3.棱長為的正方體的內(nèi)切球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】計算出內(nèi)切球的半徑，結(jié)合球體表面積公式可求得結(jié)果.【詳解】棱長為的正方體的內(nèi)切球的半徑為，故該球的表面積為.故選：A.4.11月29日，江西新余仙女湖的漁民們迎來入冬第一個開捕日，仙女湖的有機魚迎來又一個豐收年.七位漁民分在一個小組，各駕駛一輛漁船依次進湖捕魚，甲乙漁船要排在一起出行，丙必須在最中間出行，則不同的排法有（）A.96種 B.120種 C.192種 D.240種【答案】C【解析】【分析】先將甲乙捆綁成一個單元，再討論其所排位置，運算求解.【詳解】由題意可知：丙必須在最中間（第4位），則甲乙排在第1、2位或2、3位或5、6位或6、7位，故不同的排法有種.故選：C5.若圓錐的軸截面是斜邊為4的等腰直角三角形，則該圓錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)圓錐性質(zhì)求出圓錐高、母線與底面半徑關(guān)系，根據(jù)圓錐體體積公式求解.【詳解】設(shè)圓錐底面半徑為，母線長為，因為圓錐的軸截面是斜邊為4的等腰直角三角形，所以，所以，圓錐的高，所以圓錐的體積為.故選：B.6.已知復(fù)數(shù)，則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】化簡復(fù)數(shù)再求出復(fù)數(shù)對應(yīng)點即可判斷象限.【詳解】,則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，位于第一象限.故選：A.7.如圖，已知正方體的棱長為1，點為上一動點，現(xiàn)有以下四個結(jié)論：①面面；②面；③當為的中點時，的周長取得最小值；④三棱錐的體積是定值，其中正確的結(jié)論個數(shù)是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】證得平面，根據(jù)平面與平面垂直判定，可知①正確；由平面平面，根據(jù)平面與平面平行的性質(zhì)可知②正確；根據(jù)三點共線，線段和最小，可得③正確；由三棱錐等體積法可求得，可知④錯誤．【詳解】連接,因為正方體，所以平面，且平面，所以，又因為，且，所以平面，平面，所以，同理，且，所以平面，且平面，所以平面平面，故①正確；因為平面平面，且平面，所以面，故②正確；的周長等于，而為體對角線是定值，所以周長最小即為最小，將平面展開到平面在同一個平面，如圖：當三點共線時，最小，則為的中點時，故③正確；，故④正確.故選：D.8.已知，為橢圓（）的兩個焦點，若橢圓上存在點滿足，則此橢圓離心率的取值范圍是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用橢圓方程和已知條件求出橢圓上一點橫坐標關(guān)于的表達式，再利用已知條件和橢圓的范圍求出離心率的范圍即可.【詳解】設(shè)，則，所以，即，把代入橢圓方程可得，消去得，整理可得，解得又，整理的，解得所以離心率的取值范圍是.故選：C二、多選題（每題6分，18分）9.給出以下24個數(shù)據(jù)：148.0149.0154.0154.0155.0155.0155.2157.0158.0158.0159.0159.5161.5162.0162.5162.5163.0163.0164.0164.1165.0170.0171.0172.0對于以上給出的數(shù)據(jù)，下列選項正確的為（）A.極差為24.0 B.第75百分位數(shù)為164.0C.第25百分位數(shù)為155.2 D.80%分位數(shù)為164.1【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)極差百分位數(shù)的定義，確定所求數(shù)據(jù)，即可求解.【詳解】對A，由數(shù)據(jù)可得，極差為，故A正確；對BCD，由，，，可知樣本數(shù)據(jù)的第25，75，80百分位數(shù)為第6，7位的平均數(shù)，第18，19位的平均數(shù)，第20項數(shù)據(jù)，分別為，，和164.1，故BC錯誤，D正確；故選：AD10.下列基本事實敘述正確的是（）A.經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面B.經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面C.經(jīng)過三點，有且只有一個平面D.經(jīng)過一條直線和一個點，有且只有一個平面【答案】AB【解析】分析】根據(jù)基本事實以及推論即可逐項判斷.【詳解】根據(jù)基本事實以及推論，易知A，B正確；對于C項，若三點共線，經(jīng)過三點的平面有無數(shù)多個，故C錯誤；對于D，若這個點在直線外，則確定一個平面，若這個點在直線上，可有無數(shù)平面，故D不正確；故選：AB11.已知正六邊形的中心為，則下列說法正確的是（）A. B.C.存在實數(shù)，使得 D.【答案】ACD【解析】【分析】對于ABC：根據(jù)正六邊形的幾何性質(zhì)結(jié)合向量的線性運算分析判斷；對于D：根據(jù)題意結(jié)合向量的數(shù)量積運算分析判斷.【詳解】如圖，不妨設(shè)正六邊形的邊長為1，對于選項A：因為，故A正確；對于選項B：因為，故B錯誤；對于選項C：因為，且，可知，故C正確；對于選項D：因為，則，，所以，故D正確；故選：ACD.三、填空題（每題5分，15分）12.已知正三角形邊長為2，若點在邊上且滿足，則________【答案】【解析】【分析】由得到、，再由可得答案.【詳解】，所以，所以，.故答案為：.【點睛】本題考查了平面向量基本定理、數(shù)量積的運算，關(guān)鍵點是，的轉(zhuǎn)化，考查了向量的基本運算.13.某班共有36名男生和24名女生，統(tǒng)計他們的體重數(shù)據(jù)（單位：kg），已知男生體重的平均數(shù)為65，方差為34，全體學(xué)生體重的平均數(shù)為59，方差為86，則該班女生體重的方差為______.【答案】【解析】【分析】利用均值公式求得女生體重均值，應(yīng)用方差公式及男生的體重方差和求全體學(xué)生的體重方差求解女生的體重方差.【詳解】設(shè)男生平均體重為，方差為，女生平均體重為，方差為，全體學(xué)生體重為，方差為，則男生在班級中所占比重為，女生在班級中所占比重為，故，，，，所以，解得，，解得.故答案為:14.如圖，小明在山腳測得山頂?shù)难鼋菫?5°，在山腳測得山頂?shù)难鼋菫?0°，測得，，是鈍角，已知山腳和，在同一水平面上，則山的高度為______．【答案】100【解析】【分析】設(shè)，分別在和中求得和，在中利用余弦定理求得，再檢驗時不滿足是鈍角，時滿足題意，即得答案.【詳解】在中，設(shè)，，，在中，，，，在中，由余弦定理，得，即，解得或，即或．若，則，，所以是直角三角形，而是直角三角形與是鈍角矛盾，舍去.若，則，而，故，滿足是鈍角.所以．故答案為：100.四、解答題(77分)15.如圖，四面體中，，D在棱上，，，，，證明平面PBC.【答案】證明見解析.【解析】【分析】連接PD，證明，然后利用線面垂直的判定定理即可得到證明.【詳解】證明：連接PD，，∴由余弦定理，，又平面PBC16.某校從參加高一年級期末考試的學(xué)生中抽出名學(xué)生，將其成績（均為整數(shù)）分成六段，后畫出如圖的頻率分布直方圖.觀察圖形的信息，回答下列問題：（1）估計這次考試成績的眾數(shù)；（2）估計這次考試成績的及格率（分及以上及格）.【答案】（1）；（2）.【解析】【詳解】試題分析：（1）根據(jù)頻率分布直方圖中最高的小矩形，即可求出這次考試成績的眾數(shù)；（2）通過頻率分布直方圖，可估計該次考試中的及格率.試題解析：（1）因為第四組的頻率最大，所以這次考試成績的眾數(shù)為；（2）依題意，及以上分數(shù)所在的第三、四、五、六組，頻率和為，所以，抽樣學(xué)生成績的合格分及以上是.考點：頻率分布直方圖的應(yīng)用及中位數(shù).17.如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，P、Q分別是平面AA1D1D、平面A1B1C1D1的中心，證明：（1）D1Q∥平面C1DB；（2）平面D1PQ∥平面C1DB.【答案】（1）證明見詳解；（2）證明見詳解.【解析】【分析】(1)D1Q∥DB且D1Q?平面C1DB，DB?平面C1DB，由線面平行判定定理可證D1Q∥平面C1DB(2)同(1)，線面平行判定定理可證D1P∥平面C1DB，結(jié)合(1)結(jié)論且D1Q∩D1P＝D1，由面面平行判定定理可證平面D1PQ∥平面C1DB【詳解】證明：（1）由ABCD﹣A1B1C1D1是正方體，可知D1Q∥DB，∵D1Q?平面C1DB，DB?平面C1DB，∴D1Q∥平面C1DB.（2）由ABCD﹣A1B1C1D1是正方體，D1P∥C1B，∵D1P?平面C1DB，C1B?平面C1DB，∴D1P∥平面C1DB，由（1）知，D1Q∥平面C1DB，又D1Q∩D1P＝D1∴平面D1PQ∥平面C1DB.【點睛】本題考查了線面、面面平行的判定定理，由線面平行可證兩相交直線平行一個平面，再根據(jù)面面平行的判定定理即證兩平面平行18.在△中，角A，B，C所對邊分別為a，b，c，且，.若M是BC的中點，且，求△的面積.【答案】【解析】【分析】由余弦定理及勾股定理易知△等腰直角三角形，結(jié)合已知，在△中應(yīng)用正弦定理求得，進而可得，最后由三角形面積公式求面積即可.【詳解】由題設(shè)，，故，所以△等腰直角三角形，而，在