常微分方程試題庫試卷庫

常微分方程期終考試試卷（1）

一、填空題（30%）

1、方程+N（羽'）辦=0有只含%的積分因子的充要條件是（）。

有只含丁的積分因子的充要條件是。

2、稱為黎卡提方程，它有積分因子=

3、稱為伯努利方程，它有積分因子o

4、若X]Q）,X2?）,為八階齊線性方程的〃個(gè)解，則它們線性無關(guān)的充要條件

是O

5、形如的方程稱為歐拉方程。

6、若。⑺和收⑺都是％=4。%的基解矩陣，則。⑺和少⑺具有的關(guān)系是

7、當(dāng)方程的特征根為兩個(gè)共軌虛根是，則當(dāng)其實(shí)部為時(shí)，零解是穩(wěn)定的，對(duì)應(yīng)

的奇點(diǎn)稱為=

二、計(jì)算題（60%）

]泌_（x+y3）dy=o

2、+x=sint-cos2t

21

A=

—14

3、若-試求方程組x'=Ax的解口2」并求expAt

-4xy—+8j2=0

4、dx

包…/

5、求方程辦經(jīng)過（0,0）的第三次近似解

dx.dy-

—=-x-y+1,—=x—y—5

6.求力dt的奇點(diǎn)，并判斷奇點(diǎn)的類型及穩(wěn)定性.

三、證明題（10%）

1、〃階齊線性方程一定存在〃個(gè)線性無關(guān)解。

試卷答案

一填空題

dMSNdMdN

—8dydx

=(p(y)

1、—M

半=〃(％>2+Q乂y+R%

2、axy=y+z

“（％,算小（夕》,

3、

4、用工1⑺,尤2⑺，，⑺]。。

q+%卷+”=。

xn也+匯+

dxn1dxn-l

5、

6、"⑺=。?）。

7、零穩(wěn)定中心

二計(jì)算題

9MdN

i、解:因?yàn)?所以此方程不是恰當(dāng)方程，方程有積分因子

,后力=/"11dxx+y3,

〃(y)=e'——--------9內(nèi)=。

丁，兩邊同乘>得>>

2

xy

—+—=c

y2即2%=y（y+c）另外y=o也是解

2、線性方程%"+尤=0的特征方程之2+]=0故特征根幾=±1

力Q）=sm/幾='?是特征單根，原方程有特解XM/ACOS/+BSHU）代入原方程

1

A=-2B=of2（t）=-cos2t/I=2,不是特征根，原方程有特解

x=Acos2t+BsinZ,代入原方程B=0

x=cxcosr+c2sinr——tcost+—cos2t

所以原方程的解為23

%-2—1

pW==22-62+9=0_

12—4解得4,2=3此時(shí)k=ia=2

3、解：

六(A-34卜/H)

〃2」\_i=0l-_〃2+Sl+%)

A

苦±G(A-花y

由公式expAt=i=0’.得

-I0—111—tt

expAt=e3t[E+t(A-3E)]=e3t+t

01—11—t1+?

―4y由3=px=

4、解：方程可化為dx令dx則有4卯(*)

2y(/-4y2+p(8y2_p3)=4y2P

(*)兩邊對(duì)y求導(dǎo)：

(，3—4y2)(2y，—夕)=02y?—p=0_|y=(^)2

即dy由辦得P=⑦即c將y代入

c22P

X=----1---5-

4c2

%上+“

?A/i2If

(*)4c即方程的含參數(shù)形式的通解為:Cp為參數(shù)

2-_4%3

又由4>2=°得〃=(4/)3代入(*)得：'27”也是方程的解

%=%=°

2

。1=%+小小5

,2

3°X1、)X

。3=%+-----1----)dx——+一+-------1-----

5、解:40020----2204400160

dx

y

dt

-x-y+1=0包—一

解得奇點(diǎn)(3,-2)令X=x-3,Y=y+2則y

6、解:由%_y_5=°、dt

—1—i

1-i

因?yàn)?1+1Wo故有唯一零解(0,0)

A+1

=22+22+1+1=22+22+2=0

得幾=一1±力故(3,-2)為穩(wěn)

定焦點(diǎn)。

--、證明題

由解的存在唯一性定理知：n階齊線性方程一定存在滿足如下條件的n解:

西優(yōu))=1,%2(%0)二°，=。

司優(yōu))=0,X2(?Q)=1,,%〃(%0)=0

k1。0）=。,域1（%0）=。，,X；1（/0）=1

100

010

阿西（%0）,%2（%0）,，%〃（%0）]==1W。

以由001

考慮

從而七Q）（z=l,2,"）是線性無關(guān)的。

常微分方程期終試卷（2）

一、填空題30%

1、形如的方程，稱為變量分離方程，這里./（X）0（V）分別為x.y的連

續(xù)函數(shù)。

2、形如的方程，稱為伯努利方程，這里為小的連續(xù)函

數(shù).nW?！故浅?shù)。引入變量變廢----------，可化為線性方程，

3、如果存在常數(shù)LA。，使得不等式對(duì)于所有

（九,y）,（無,％）GR都成立，L稱為利普希茲常數(shù),函數(shù)/（x,y）稱為在R上關(guān)于

》滿足利普希茲條件。

4、形如-的方程，稱為歐拉方程，這里4，出，是常數(shù)。

5、設(shè)。⑺是x'=A無的基解矩陣，0⑺是x'=A（t）x+/?）的某一解，則它的任一

解/⑺可表為_o

二、計(jì)算題40%

@=62—4的通解。

1、求方程公工

2、求方程加工的通解。

3、求方程x"+6x'+5x=e2'的隱式解。

@=x+/通過點(diǎn)（0、0）的第三次近似解。

4、求方程公

三、證明題30%

「21「01]rI

tt22/

1.試驗(yàn)證①（'）』2f1」是方程組x'=〔t2"x,x」X2」，在任何不包含原點(diǎn)的區(qū)間

上的基解矩陣。

2.設(shè)①（0為方程x'=Ax（A為nxn常數(shù)矩陣）的標(biāo)準(zhǔn)基解矩陣（即①（0）=E）,證明：

①（。①T（to）=①（t-t。）其中t。為某一值.

《常微分方程》期終試卷答卷

一、填空題（每空5分）

5=/(x)9(V)孚=P(x)y+Q(x)yni-?

1dx2>dxz=y

//(3)-/(x，為)品4%—%|

o'

X'"+“產(chǎn)7+…+3包+%y=。

4、dx"1dxn-1"Tdxn

5、7?）=O（f）+e（r）

二、計(jì)算題（每題10分）

I2=_y2立

1、這是n=2時(shí)的伯努利不等式，令2=y，算得辦'dx

代入原方程得到辦工，這是線性方程，求得它的通解為z=%68

----1---------------二C

帶回原來的變量y,得到、=/8或者y8,這就是原方程的解。

此外方程還有解y=0.

2、

dyxexy-y

-=exy-xy=---------

解：dxx

xdy=(xexy-y)dx

xdy+ydx=xexydx

dxy=xexydx

dxy7

----=xdx

exy

-e~xy=-x2+c

積分：2

1

——9+L+。=0

故通解為：2

解：齊線性方程九''+6%'+5%=°的特征方程為矛+62+5=0,

5f

4=-1,=-5f故通解為％。）=G"'+c2e~

彳=2不是特征根，所以方程有形如MO=Ae"

把%。)代回原方程4Ae2'+12Ae2'+5Ae"=e"

A=—

21

X(f)—CyC'+QC%H----

于是原方程通解為21

4、

解。0(%)=。

x冗2

01(%)=J[X+(x)]dx=—

o2

X%2冗5

夕2(x)=J[x+(p^x)]dx=—+—

o22。

%?25?8?11

/、「「2/、、[

(%)—I[x+([)n(x)]dx=---1----1----1-----

3J22201604400

三、證明題(每題15分)

,2、小、roi)

t凹_22

1、證明：令①Q(mào))的第一列為91(t)=(20，這時(shí)。1(t)=l2j=(f⑴故必⑴

門、(01)

1_2_2

是一個(gè)解。同樣如果以。2⑴表示①(f)第二列，我們有%(t)=l°人I/t)(P2(t)

這樣%(t)也是一個(gè)解。因此①Q(mào))是解矩陣。又因?yàn)閐et①G)=-t2故①0)是基解矩陣。

2、證明：(1)①⑺，①(t-t。)是基解矩陣。

(2)由于①Q(mào))為方程x'=Ax的解矩陣，所以①⑺①t(t。)也是x'=Ax的解矩陣,

而當(dāng)t=t。時(shí)，<D(t。)①T(to)=E,<D(t-to)=<D(0)=E.故由解的存在唯一性定

理，得①G)①T(to)=<D(t-t。)

常微分方程期終試卷(3)

一.解下列方程(10%*8=80%)

2

22)l+y

1.1.2xylnydx+{x+丁/}dy=O

dyy

----2

2.dx=QX-xy

.(上幻

3.y=2x+y—l

5.5.tgydx-ctydy=0

2

6.6.{y-x(x2+y)}dx-xdy=0

7.一質(zhì)量為m質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，從速度為零的時(shí)刻起，有一個(gè)和時(shí)間成正比(比例系數(shù)為占)

的力作用在它上面，此外質(zhì)點(diǎn)又受到介質(zhì)的阻力，這阻力和速度成正比(比例系數(shù)為

心)。試求此質(zhì)點(diǎn)的速度與時(shí)間的關(guān)系。

8.已知f(x)J。，'，=1?。0,試求函數(shù)￡&)的一般表達(dá)式。

二.證明題(10%*2=20酚

]

9.試證：在微分方程Mdx+Ndy=O中，如果M、N試同齊次函數(shù)，且xM+yN，0,則^xM+泗）

是該方程的一個(gè)積分因子。

10.證明：如果已知黎卡提方程的一個(gè)特解，則可用初等方法求得它的通解。

試題答案：

dMdN

8MdNQyQx2%lny1

1.解：方=2xlny+2x,②=2x,則-M=-2qlny=_y,故方

程有積分因子〃(y)=e、'=y,原方程兩邊同乘以y得

2xylny22+/S+。?_____

ydx+ydy=o是恰當(dāng)方程.d(Xlny)+yJl+Vdy=0,兩邊積分得方

3

2

程的解為.

-i

2.解：1）y=0是方程的特解。2）當(dāng)yWO時(shí)，令z二）得

2

dz_6_c!x

dx=%z+x.這是線性方程，解得它的通解為z=F8

12

1CX

-6"-------

代回原來的變量y得方程解為V=%8.y=o.

dv2-----

3.解：令x=u+3,y=v-2,可將原方程變?yōu)?&=\U+VJ,

-M—2|]+zdz

u—

再令z=",得到z+U=、'十即〃二

(\

J—I--------Tdzfdu

z14,-J

分離變量并兩端積分得IZ〃+lnC

即In忖+2arctgz=MM+lnC,

_v

..-2arctg—

In?'=_2arctgz+lnC代回原變量得v=C，

,y+2

-2arctg-----

所以，原方程的解為y+2=CCX-3.

1/x一2

4.解：將方程改寫為y」+%（*）令U二X,得至|JXy=X4+U,則(*)變?yōu)閄

du____

dx二）"U,變量分離并兩邊積分得arcsinu=ln1^1+lnC,故方程的解為

2

x

arcsin=lnCxo

5.解:變量分離ctgxdy二tgydx,兩邊積分得In（siny）=-+c或sinycosx=C（*）

n

另外，由tgy=0或ctgx=0得y=k?（k=0、1…）,x=t%+2（t=0、1…）也是方程的解。

tgy=0或ctgx=0的解是（*）當(dāng)C=0時(shí)的特殊情況，故原方程的解為sinycosx=Co

2222

6.解：ydx-xdy-x(+>)dx=0,兩邊同除以％+>得

ydx-xdy

X1X1

22——2-—2

%+y-xdx=0,即d(arctg丁)-2dx=0,故原方程的解為arctg丁—2X=c。

dv

7.解：因?yàn)镕=ma=m力\又F=一/2=左/一左2丫,

dvdv——

即m4=kf—k2"(V(0)=0),即力二七1'Z2V(v(O)=O),

kF卜k

-----2與8m

解得v二％2em+左2（t七）.

/（X）」（/?）"，兩彷索身制

8.解：令f(x)=y,

11-」4

—y3，

即丁二y,即>=dx,兩邊求積得>=2x+c,

ii

±-——±―——

從而y=J'2x+C,故f(x)=，2x+C.

9.證明：如M、N都是n次齊次函數(shù)，則因?yàn)?/p>

=nM,xNx+yN丫=心,故有

dMdN

dyxM+yNdxxM+yN=

M+yN)-y+N+yNJN，xM+yN)-N(xM,+凡+yN)

(xM+yN)2(xM+yN)~

M(XN,+yN)-N(xM+yNJ

2

={xM+yN)

M(nN)—N(nM)

=—一(xM+yN)?加

故命題成立。

10.解：1）先找到一個(gè)特解丫=》。

2）令y=y+z,化為n=2的伯努利方程。

證明：因?yàn)閥=y為方程的解，

dy2

所以公=P（X）y+Q（X）y+R（X）（i）

令則有

dydz2

dx+dx=p（x）（>+z）+Q（x）（y+z）+R（x）⑵

dz2

⑵一⑴得dx二P（x）（2yZ+Z）+Q（x）z

dz

-v2

即dx=[2P（x））+Q（x）]z+P（x）Z

此為n=2的伯努利方程。

常微分方程期終試卷（4）

一、填空題

1、（）稱為變量分離方程，它有積分因子（）。

2、當(dāng)（）時(shí)，方程加（無，、），%+?/（%?。┬?°稱為恰當(dāng)方程，或稱全

微分方程。

3、函數(shù)/（蒼?。┓Q為在矩形域R上關(guān)于>滿足利普希茲條件，如果（）。

4、對(duì)畢卡逼近序列，隊(duì)⑴―秋-1（刈"（）。

5、解線性方程的常用方法有（）。

6、若X,?）?=l，2,…，⑶為齊線性方程的〃個(gè)線性無關(guān)解，則這一齊線性方程的所有解可

表為（）。

7、方程組x'=4（’）x（）0

8、若“?）和〃?）都是％'=40％的基解矩陣，則。⑺和〃⑺具有關(guān)系：（）。

9、當(dāng)方程組的特征根為兩個(gè)共軌虛根時(shí)，則當(dāng)其實(shí)部（）時(shí)，零解是穩(wěn)定的，對(duì)

應(yīng)的奇點(diǎn)稱為（）=

10、當(dāng)方程組的特征方程有兩個(gè)相異的特征根時(shí)，則當(dāng)（）時(shí)，零解是漸近

穩(wěn)定的，對(duì)應(yīng)的奇點(diǎn)稱為（）。當(dāng)（）時(shí)，零解是不穩(wěn)定的，對(duì)應(yīng)的

奇點(diǎn)稱為（）o

1]、若"⑺是x'=A?）x的基解矩陣，則x'=A?）x=/⑺滿足=〃的解

（）。

二、計(jì)算題

求下列方程的通解。

—=4e~ysinx-1

1、dx

dy2

—=1+y

3、求方程公'通過（°，°）的第三次近似解。

求解下列常系數(shù)線性方程。

4、%"+%'+%=0。

5、X附7=3。

試求下列線性方程組的奇點(diǎn)，并通過變換將奇點(diǎn)變?yōu)樵c(diǎn),進(jìn)一步判斷奇點(diǎn)的類型及穩(wěn)定性:

dx—X—y+!,包^=x—y—5

6、dtdt

三、證明題。

1、1、設(shè)。?）為方程%'=Ax（A為〃常數(shù)矩陣）的標(biāo)準(zhǔn)基解矩陣（即。（0）=石），

證明帕）。—%o）其中%為某一值。

答案：八

一、填空題

1

3=/（x）g（x）u-------

1、形如小的方程g(y)

8M8N

dydx

3、存在常數(shù)L〉0,對(duì)于所有（為，%），（%,%）eR都有使得不等式

|/（七，％）-/（色>2）|的乃一巴|眇立

*k

4、k\

5、常數(shù)變異法、待定系數(shù)法、幕級(jí)數(shù)解法、拉普拉斯變換法

x（0=

6、-i,其中qq,???,g是任意常數(shù)

7、九個(gè)線性無關(guān)的解匹⑺，々⑺，…居⑺稱之為x'=A⑺”的一個(gè)基本解組

8、槨）=@3c（a<.<?c為非奇異常數(shù)矩陣

9、等于零穩(wěn)定中心

10、兩根同號(hào)且均為負(fù)實(shí)數(shù)穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)兩根異號(hào)或兩根同號(hào)且均為正實(shí)數(shù)不穩(wěn)

定鞍點(diǎn)或不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)

]]=。⑺°T?0）7+。⑺『/（s）/（s）ds

二、計(jì)算題

dey

------二—ey+4sinx—1

i、解：方程可化為dx

dz彳.

——=-z+4smx

令2=",得dx

由一階線性方程的求解公式，得

z=/(j4sinxe~)dx+c=e~x[2(sinx-cosx)]ex+c=2(sinx—cos%)+ce

所以原方程為：eP=2(sinx-cosx)+ce-

S

有

解

從

則

設(shè)

-而

:

，

?±1

冠

fr坦

XIg。

-r?=

'n

方

為

故

程

?S%l的解

(x+c)+l=y,另外y=±l也是方程的解

解：。。

3、0(%)=

rx12

/(x)=J。xd關(guān)5x

(Or.(x)—f(xH—x4)dx=-XH-----%5

2Jo4220

(P-,(%)=[￥|-%+(—%12*+—%5)2dx=['fx+—X4H■——x10+—X7

3Jo[220\J。I440020J

1x11J_8

=-x2+—x5++x

2204400160

_1,V3.q

1

42+2+1=。，解得I222

4、解：對(duì)應(yīng)的特征方程為:

」V3V3

2

x=e(qcos-^-Z+c2sinZ)

所以方程的通解為:

2=1以二T±?

5、解:齊線性方程％"'-%=°的特征方程為牙―1=0,解得2,32

t4V3.".Vs.

ee/cos—ic乙sin—i

故齊線性方程的基本解組為：’22，因?yàn)?=1是特征根,

所以原方程有形如x?）=tAet,代入原方程得，3Ae!+Ater-Ater=er,所以

i-x/3.--.V3.1t

A=-t-5cos—i+sin—iH—tc

2

3,所以原方程的通解為了=cxe+c2e223

-x-y+\=0x=3X=x-3

解得所以奇點(diǎn)為（）經(jīng)變換，

6、解:%-y-5=0B=—23,-2［y=y+3

-=-X-Y

dt

◎=x-y*0,

1-1

方程組化為、dt因?yàn)橛?/p>

2+11

=(2+1)2+1=0

2+1所以4=—i+，,4=—1―，，故奇點(diǎn)為穩(wěn)定

焦點(diǎn),所對(duì)應(yīng)的零解為漸近穩(wěn)定的。

三、證明題

1、證明：0?）為方程x'=Ax的基解矩陣°TQ。）為一非奇異常數(shù)矩陣，所以

。⑺°|伉）也是方程才=—的基解矩陣，且0Q—玲）也是方程x'='的基解矩陣，

且都滿足初始條件西）。'。0）=E,帕oTo）=。（°）=E

所以。⑺，%）=0?To）

常微分方程期終考試試卷（5）

一.填空題（30分）

~~—P（x）y+Q（x）-fp（x）（&

1.公稱為一階線性方程，它有積分因子eJ,其通解為

2.函數(shù)/（龍，川稱為在矩形域R上關(guān)于y滿足利普希茲條件，如果。

3.若9（x）為畢卡逼近序列｛%（%）｝的極限，則有忸（X）—弘（刈<。

蟲=/+）2

4.方程公'定義在矩形域火：—2Wx<2,—2<y<2上，則經(jīng)過點(diǎn)（°,。）的解

的存在區(qū)間是o

t—t2?

5.函數(shù)組e，e，e的伏朗斯基行列式為。

6.若%，?）?=12…，〃）為齊線性方程的一個(gè)基本解組，X。）為非齊線性方程的一個(gè)特解,

則非齊線性方程的所有解可表為o

7.若①⑺是1=4⑺%的基解矩陣，則向量函數(shù)。⑺=是％=A?）x+/?）的滿

足初始條件斑）=°的解；向量函數(shù)9?）=

是九=A（t）x+/（0的滿足初始條件）=〃的解。

8.若矩陣A具有〃個(gè)線性無關(guān)的特征向量匕#2,…，V”，它們對(duì)應(yīng)的特征值分別為

4,4,…4,那么矩陣①?）=是常系數(shù)線性方程組％=A%的一個(gè)基解矩陣。

9.滿足的點(diǎn)a*，y*）,稱為駐定方程組。

計(jì)算題（60分）

10.求方程4/y2dx+2（心—1）辦=0的通解。

dyy

—+x=0

11.求方程dx的通解。

^=x2-y2

<dx

12.求初值問題〔>（T）=°的解的存在區(qū)間，并求第二次近似解,

給出在解的存在區(qū)間的誤差估計(jì)。

13.求方程％,+9無=/sin3f的通解。

14.試求方程組1=4+/⑺的解9（）

--11「12]「e「

夕（0）=[,A=43廳3=1

蟲=2x-7y+19,@=x-2y+5

15.試求線性方程組力dt-的奇點(diǎn)，并判斷奇點(diǎn)的類型及穩(wěn)定

性。

三.證明題（10分）

16.如果。⑺是％=Ax滿足初始條件0色）=〃的解，那么

常微分方程期終考試試卷答案

一.填空題（30分）

1y=Q（x）e^PMdxdx+c）

2.7（%?）在H上連續(xù)，存在L〉O,使P（x,y）—/（蒼月）區(qū)4%一%|,對(duì)于任意

(羽%),(%,%)GH

ME1

hn+i

3.5+1)!

11

——<X<—

4.44

el2/

et2t

el2t

5.

n

x?)=Zc/?)+M。

6.i=l

f①(OOT(s)/(s)ds①⑺①Tg)77+①⑺1①T(s)f(s)ds

7.

8.

9.X(x,y)=O,y(x,y)=O

二.計(jì)算題(60分)

dM8N.

-----=X%2y,=ox2y

10.解：②dx

dMdN

dydx-j-t/y_1

-M2y積分因子M(y)=e2y2

2_1

23

兩邊同乘以〃G)后方程變?yōu)榍‘?dāng)方程：4%2y3d%+2y(xy-l)tZy=0

du,42743I

———M—^xy3u=—xy2+0(y)

及兩邊積分得：3

fl11

一二2x3y2+0(y)=N=2x3y2-2y2

8■

2

得:9(y)=Ty2

j.

因此方程的通解為：y2(/y-3)=c

dy_■_

ii.解：令公>p則?+〃_%=0

得：^=p+ep

y=Jpdx=jp(l+ep)dp

那么

=~^—+pep-ep+c

2

x=p+ep

y=g+(p-l)e，+c

因此方程的通解為:

M=max|/(x,y)|=4

12.解：1

h=min(a,—)=-

|%一/|41=小_%|<1=%M4

|x-x0|=|x+l|<A=

解的存在區(qū)間為

5.3

----<X<—

即44

今0o(x)=%=0

(p、(x)=0+Jx~dx———b—

x3%7X4X11

02(X)=0+Ldx=----

36318942

更=\-2y\<2=L

又

1

|夕2（%）-。（刈三則二h"+l

誤差估計(jì)為：24

13解?/2+9=0=>4=3，；4=-3i

X=3,?是方程的特征值，設(shè)x?)=(A/+3)e3”

得：%"=(2A-9Bf+l2Ait+6Bi-9At2)e3it

則2A+12Ait+6Bi=t

得：1236

11

%(%)=C]cos3，+。2sin3，一五12cos3z+—Zsm3t

因此方程的通解為:

A—1-2

det(AE-A)==(2+1)(2—5)=0

14.解：-42-3

4=—1,/12=5

「a1「1

(4E—A)%=。得-a」取

[尸]「「

2

(%E—AM=。得*[2閨取-LJ

①(。=

則基解矩陣

e

①⑺①T1(0)〃=「~'

35；1,2

——e+—e——

①⑺(①T(s)/(s)ds=2045

3sr1八1

1025.

。⑺=①⑺①t(0)7/+①⑺，①tG)/(s)ds

因此方程的通解為:

12

--

4一5

2011

3-+-

一e25

10

2x-7y+19=0Jx=1

x-2y+5=0[y=3

15.解:

(1,3)是奇點(diǎn)

尤

令X—T+1萬9,y_—yv—55

-^2X-Jy,—=x-2Y

dtdt

2-72八八272-27

=n3#0,=3+允=0

]—20F一T2+20

2,那么由2-2

因此（1,3）是穩(wěn)定中心

三.證明題(10分)

口…/⑺=①⑺①飛切+①⑺叱⑶/⑸公

16.證明：由定理8可知