高中數(shù)學(xué)公式大全

高中數(shù)學(xué)常用公式及常用結(jié)論

1.元素與集合的關(guān)系

xwA<=>x史CVA,xeGAox史A.

2.德摩根公式

Q(Ari6)=GAUG產(chǎn)&(AU8)=aAna/.

3.包含關(guān)系

oAnQ3=a>oGAUB=R

4.容斥原理

card(AUB)=cardA+cardB-card(AQB)

5.集合｛4/，…M,J的子集個(gè)數(shù)共有2"個(gè)；真子集有2"-1個(gè)；非空子集有2"-1

個(gè)；非空的真子集有2"-2個(gè).

6.二次函數(shù)的解析式的三種形式

⑴一般式/(%)="2+法+0(4H0);

(2)頂點(diǎn)式/(x)=a(x-h)2+k(a*0);

(3)零點(diǎn)式/(x)=a(x-%])(x-x2)(a0).

7.方程/(x)=0在(匕,&2)上有且只有一個(gè)實(shí)根，與/(尢)/(左2)<0不等價(jià),前者是后

者的一個(gè)必要而不是充分條件特別地，方程a》2+bx+c=o(awo)有且只有一個(gè)實(shí)根在

卜k+k

(如左2)內(nèi)，等價(jià)于/億)/(左2)<°，或/化)=。且匕<-—<-—二，或。(&2)=。且

2a2

8.真值表

Pq非PP或qP且q

真真假真真

真假假真假

假真真真假

假假真假假

9.常見結(jié)論的否定形式

原結(jié)論反設(shè)詞原結(jié)論反設(shè)詞

是不是至少有一個(gè)一個(gè)也沒有

都是不都是至多有一個(gè)至少有兩個(gè)

大于不大于至少有〃個(gè)至多有(〃一1)個(gè)

小于不小于至多有〃個(gè)至少有(〃+1)個(gè)

對(duì)所有X,存在某Xf

成立不成立p或q且->4

對(duì)任何X,存在某X,

11.充要條件

(1)充分條件：若pnq,則p是q充分條件.

(2)必要條件：若qnp,則p是q必要條件.

(3)充要條件：若png,且q=>〃，則p是q充要條件.

注：如果甲是乙的充分條件，則乙是甲的必要條件；反之亦然.

12.函數(shù)的單調(diào)性

(1)設(shè)玉-x2€[a,4%W々那么

(%-%)[/(%)-/(毛)]>0o"6"“)>0o/(x)在卜用上是增函數(shù);

(%—%)"(%)—/(x,)]<0o"再)一"/)<o0/?(%)在口用上是減函數(shù).

xy—x2

⑵設(shè)函數(shù)y=/(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果/'。)〉0,則/(X)為增函數(shù)；如果

/'(幻<0,則((X)為減函數(shù).

13.如果函數(shù)/(%)和g(x)都是減函數(shù),則在公共定義域內(nèi)，和函數(shù)/(x)+g(x)也是減函數(shù);

如果函數(shù)y=/(〃)和u=g(x)在其對(duì)應(yīng)的定義域上都是減函數(shù)，則復(fù)合函數(shù)y=/[g(x)]

是增函數(shù).

14.奇偶函數(shù)的圖象特征

奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱;反過(guò)來(lái)，如果一個(gè)函數(shù)的圖

象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，那么這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)；如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，那么這個(gè)函

數(shù)是偶函數(shù).

15.對(duì)于函數(shù)y=/(x)(xwR),/(%+。)=/(〃一為恒成立,則函數(shù)/(x)的對(duì)稱軸是函數(shù)

龍=皇；兩個(gè)函數(shù)丁=/(》+。)與丁=/3—力的圖象關(guān)于直線尤=，對(duì)稱.

16.若f(x)=-f(-x+a),則函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)弓,0)對(duì)稱；若

/(%)=-/(%+<?),則函數(shù)y=/(x)為周期為2a的周期函數(shù).

17.函數(shù)O)=a〃x〃+4?_M"T+…+4的奇偶性

P(x)是奇函數(shù)oP(x)的偶次項(xiàng)(即奇數(shù)項(xiàng))的系數(shù)全為零.

P(x)是偶函數(shù)oP(x)的奇次項(xiàng)(即偶數(shù)項(xiàng))的系數(shù)全為零.

18.函數(shù)y=/(x)的圖象的對(duì)稱性

(1)函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱o/(a+x)=/(。—x)

?>/(2a-%)=/(%).

(2)函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線％=3記對(duì)稱

<=>f(a+%)=f(a一%)u>f(a+b-x)=f(x)

19.兩個(gè)函數(shù)圖象的對(duì)稱性

函數(shù)y=/(x)與函數(shù)y=/(—X)的圖象關(guān)于直線X=0(即y軸)對(duì)稱.

20.若將函數(shù)y=/(x)的圖象右移。、上移b個(gè)單位，得到函數(shù)y=/(x—a)+人的圖象；

21.函數(shù)的周期(約定a〉0)

(1)若/(x)=/(x+a),則/(x)的周期T=a；

(2)若f(x)滿足恒等式f(x+a)=-f(x)

或/(x+a)=J7C/Xx)?。)，

/(x)

或/(x+a)=(/(x)H0),

/(x)

則/(x)的周期T=2a；

22.分?jǐn)?shù)指數(shù)暴

-1

(1)an-,——(a>a,m,neN*,且〃>1).

Nd"

上1

(2)an=——(a>0,m,nsN*,且〃>1).

u

23.根式的性質(zhì)

(1)而)"=a.

(2)當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，而=a；

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，療=|。|=|"'"2°.

-a,a<0

24.有理指數(shù)'幕的運(yùn)算性質(zhì)

(1)a-as=a,+s(a>0,r,sGQ).

(2)(屋y=Q“Q>0",SwQ).

(3)(ab)'=arbf(a>0,Z?>0,re0.

25.指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化式

log“N=Z?o/=N(a>0,awl,N>0).

26.對(duì)數(shù)的換底公式

logN

logqN=--—(?！?,且。。1,〃2>(),且加。1,N>0).

log,"a

n

推論logmb"=—log?b(a>0,Jia>1,m,n>0,b>0).

°m

27.對(duì)數(shù)的四則運(yùn)算法則

若a>0,aWl,M>0,N>0,則

(1)log?(M/V)=log?M+log.N;

⑵1嗚義=log”M-峭N；

⑶log“M"=/?log(,M(nGR).

28.設(shè)函數(shù)f(x)=log,,,(ax2+￡>x+c)(aH0),記△=/-4ac.若f(x)的定義域?yàn)镽,則

?>0,且△<();若/(x)的值域?yàn)镽,則a>0,且A20.對(duì)于a=0的情形，需要單獨(dú)檢

驗(yàn).

29.數(shù)列的同項(xiàng)公式與前n項(xiàng)的和的關(guān)系

SH—1

P

an=<(數(shù)列｛a,J的前n項(xiàng)的和為=4+a,+??.+%).

,"一九1，〃22

30.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

an=4+(〃-l)d=dn+a]—d(ncN")；

其前n項(xiàng)和公式為

s="(%；"。=J=_|./+@一gd)〃2(d=2A).

n=An+Bn

31.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

4=qq"T=五.q"(neN*)；

q

其前n項(xiàng)的和公式為

%='i-q

nax,<7=1

navq-\

32.等比差數(shù)列｛??｝:an+i=qa”+d,q=0(qH0)的通項(xiàng)公式為

b+(〃_l)a,q=1

/=<bq*d-b對(duì)7-d#]；

33.常見三角不等式

(1)若xw(0,5),則sinxvxvtanx.

(2)若XE(0,工)，則l<sinx+cosxW夜.

2

(3)|sinx|+1cosx|>l.

34.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式

平方關(guān)系：sin26>+cos2^=l,商數(shù)關(guān)系：tan6=^g

COS。

35.正弦、余弦的誘導(dǎo)公式

(1)sin(——a)=cosa；8s(彳—a)=sin—

'222

?(4、,71..0C

⑵Sin(y+?)=COS6Z;cos(—+。)=-smy

至、.a

2+a)=sin5

M

⑷、.a

2一-a)=-siny

⑸sin(乃一a)=sina；cos(〃-a)=-cosa；tan(r—a)=-tana

(6)sin(?+a)=-sina；cos(i+a)=-cosa;tan(r+a)=tana

⑺sin(-a)=-sina；cos(—a)=cosa；tan(-a)=-tana

36.和角與差角公式

sin(a±/?)=sinacos(3±cosasin/?；

cos(a±/?)=cosacos力干sin2sin/?；

,,小tana±tan

tan(a±J3)=-------------.

1+tanatan(3

asina+Ocosa=\la2+b2sin(a+(p)(輔助角(p所在象限由點(diǎn)(a,b)的象限決

…b、

定，tane=-).

a

37.二倍角公式

sin2a=2sina?8Sa。

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a.

c2tana

tan2a=------------.

l-tarra

降嘉公式：

?1.c

sinacosa--sin2a

2

.91-cos2a

sin~a=-------------

2

1+cos2a

cos2a=

2

38.三角函數(shù)的周期公式

函數(shù)y=sin(3%+"),x《R及函數(shù)y=COS(GX+。)，x￡R(A,3,9為常數(shù)，且AWO,

27r71

3>0)的周期T=——；函數(shù)y=tan(69x+°),xw%?+—,&wZ(A,s,9為常數(shù)，且A

CD2

,R

WO,3>o)的周期T=一.

co

39.正弦定理

，=上=，=2凡

sinAsinBsinC

40.余弦定理

a2=h2+c2-2〃ccosA;

b2=c2a2-2CQCOSB;

c2=a2+b2-2abeosC.

41.面積定理

(1)S--ah=—bh.=—ch(h>%、九、分別表示a、b、c邊上的高).

(2)S=—abs\nC=-bcsinA=-easinB.

222

22

(3)SAOAB=Iyl(.\OA\\OB\)-(OAOB).

42.三角形內(nèi)角和定理

在aABC中，有A+8+C=?oC=萬(wàn)一(A+8)

sinC=sin(A+B),cosC=-cos(A+B)

43.實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律

設(shè)入、u為實(shí)數(shù)，那么

(1)結(jié)合律：入(口a)=(入u)a;

(2)第一分配律：(X+y)a=Xa+ua;

(3)第二分配律：X(a+b)=入a+入b.

44.向量的數(shù)量積的運(yùn)算律：

(1)a?b=b?a(交換律)；

(2)(Aa)?b=2(a*b)=Aa?b-a?(Ab);

(3)(Kb)?c=a?c+b?c.

45.平面向量基本定理

如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只

有一對(duì)實(shí)數(shù)入I、入2,使得a二入e+入202.

不共線的向量&、色叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.

46.向量平行的坐標(biāo)表示

設(shè)限①，,),4?,%)，且bwO,則aUb(bwO)<=>巧％一%%=。.

47.a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)

a,b=Ia||b|cos9.

48.a-b的幾何意義

數(shù)量積a-b等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos0的乘積.

49.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

⑴設(shè)a=(X],y),b=(X2，%)，則a+b=&+%)?

⑵設(shè)a=(石,yJ,bXw，%)，則a-b=(^-x2,yi-y2).

⑶設(shè)A(X1,y),B(x2,y2),則AB=OB-OA=(x2-xl,y2-yl).

(4)設(shè)a=(x,y),4eR,則-a=(4x,4y).

⑸設(shè)a=(X],y),b=(孫%),則a?b=(xlx2+yIy2).

50.兩向量的夾角公式

COSe=/(a=(X,y),b=(w，%)).

4芍+%?4+

51.平面兩點(diǎn)間的距離公式

dAB=\AB\=4ABAB

=，(工2—無(wú)|尸+(必一B)2(A(%,y),B(x2,y2)).

52.向量的平行與垂直

設(shè)a=(X],y),b=(X2，%)，且b/0，則

abob=、ax{y2—x2yx=0.

a1b(aA0)oa?b=0O4/+y%=。.

53.三角形的重心坐標(biāo)公式

△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(X[,y)、B(x2)y2).(XX3,丫3),則aABC的重心的坐標(biāo)

是C甘+力+芻,《+%+%)

54.三角形五“心”向量形式的充要條件

設(shè)。為A43c所在平面上一點(diǎn)，角A,B,C所對(duì)邊長(zhǎng)分別為a,0,c,則

(1)。為A48c的外心o礪2=礪2=交.

(2)。為A48C的重心。礪+而+反=6.

(3)。為AABC的垂心o麗?麗=礪?反=反?方.

(4)。為A48C的內(nèi)心oa次+人礪+c反=0.

55.常用不等式：

(1)+8222M(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào)).

(2)a,b&R+=>a—>4ab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取"="號(hào)).

2

(3)a3+/?3+c3>3abc(a>0,Z?>0,c>0).

(4)間―內(nèi)區(qū)|〃+勺〈同+可

56.最值定理

已知x,y都是正數(shù)，則有

(1)若積孫是定值p，則當(dāng)x=y時(shí)和x+>有最小值2J萬(wàn)；

(2)若和x+y是定值s,則當(dāng)x=y時(shí)積孫有最大值,52.

4

57.一元二次不等式+加+。>0(或<())(。H0,4=〃-4公>0),如果。與

62+陵+。同號(hào)，則其解集在兩根之外；如果a與辦2+&+C異號(hào)，則其解集在兩根之間.

簡(jiǎn)言之：同號(hào)兩根之外，異號(hào)兩根之間.

xl<x<x2o(x-xj(x-w)<0(工］<x2)；

x<\,Wtx>x2<=>(x—jq)(x—x2)>0(^<%,).

58.含有絕對(duì)值的不等式

當(dāng)a>0時(shí)，有

同<a。X?</-a<x<a.

N>ao12>a2ox>a或xv—a.

59.指數(shù)不等式與對(duì)數(shù)不等式

(1)當(dāng)?！?時(shí)，

af<x)>a*。。of(x)>g(x);

7(x)>0

log.f(x)>log”g(x)o<g(x)>0.

/U)>gM

(2)當(dāng)0<a<l時(shí),

a〃x)>ag")o/(x)<g(x)；

7(x)>0

logflf(x)>log“g(x)="g(x)〉0

f(x)<g(x)

60.斜率公式

k=———(4(X|,y)、￡(々，乂)).

x2—xi

61.直線的五種方程

(1)點(diǎn)斜式y(tǒng)—y=Z(x-x)(直線/過(guò)點(diǎn)6(%，x),且斜率為k).

(2)斜截式y(tǒng)=^+b(b為直線/在y軸上的截距).

(3)兩點(diǎn)式)~工=”“I('尸必)(，(X|，X)、8(工2，%)(尤

%-y%

(4)截距式-+^=1(?>>分別為直線的橫、縱截距，。、。工0)

ab

(5)一般式Ac+By+C=0(其中A、B不同時(shí)為0).

62.兩條直線的平行和垂直

(1)若/]:y=&尤+4,12:y=

①4||，2<=>4=%,〃]w%；

②4_L4ok'k?=—1.

(2)若4：AX+4y+G=?！?：&%+32y+G=o，且A卜A?、B]、B?都不為零,

①/jl/,oA="聲邑；

12482G

②/i_u20A4+4與=o；

63?點(diǎn)到直線的距離

d=川+8)?C](點(diǎn)?(工y),直線/：Ar+By+C=0).

y/^+B2

直線A：Ax+By+G=0,與直線l2:Ax+By+C2=0的距離d

64.Ar+8)，+C>0或<()所表示的平面區(qū)域

設(shè)直線/:Ax+8)，+C=0,則Ax+By+C>0或<0所表示的平面區(qū)域是：

若3工0,當(dāng)8與Ax+By+C同號(hào)時(shí)，表示直線/的上方的區(qū)域；當(dāng)8與Ax+By+C

異號(hào)時(shí)，表示直線/的下方的區(qū)域.簡(jiǎn)言之，同號(hào)在上，異號(hào)在下.

若3=(),當(dāng)A與Ar+B)，+C同號(hào)時(shí)，表示直線/的右方的區(qū)域；當(dāng)A與Ac+By+C

異號(hào)時(shí)，表示直線/的左方的區(qū)域.簡(jiǎn)言之，同號(hào)在右，異號(hào)在左.

65.圓的四種方程

(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2+(y-Z>)2=r2.

(2)圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).

x=a+rcos6

(3)圓的參數(shù)方程<.

y=b+rsind

(4)圓的直徑式方程(x—X1)(x—w)+(y—凹)3—M)=0(圓的直徑的端點(diǎn)是

A(XI，M)、B(x2,y2)').

66.圓系方程

(1)過(guò)直線/:Ax+5)，+C=0與圓C:/+丁+瓜+4+/=。的交點(diǎn)的圓系方程

是％2+9+必+助+/+幾(/5+3>+。)=0,X是待定的系數(shù).

(2)過(guò)圓G:d+y2+〃x+gy+片=。與圓&：d+V+ax+E2y+6=0的交

點(diǎn)的圓系方程是d+y++入是待定的系

數(shù).

67.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

22

點(diǎn)P(x0,%)與圓(x—a-+(y—b)=r的位置關(guān)系有三種

若d=J(a7o)2+S_%)2,則

點(diǎn)P在圓外；。=r0點(diǎn)P在圓上；“〈r0點(diǎn)P在圓內(nèi).

68.直線與圓的位置關(guān)系

直線Ax+8y+C=0與圓（x—a）2+（y一匕y=/的位置關(guān)系有三種:

d＞ro相離?！鳎迹ǎ?

d=ro相切oA=0;

d<ro相交o△>0.直線交圓得弦長(zhǎng)IAB\=2^R2-d2

\Aa+Bb+C\

其中d=

69.兩圓位置關(guān)系的判定方法

設(shè)兩圓圓心分別為01,。2,半徑分別為n,r2,\O{O^=d

d＞0+弓=外離o4條公切線；

d=4+與。外切o3條公切線；

\r}-r2\＜d＜r1+r2=相交=2條公切線；

d=\r]—r2\＜^＞內(nèi)切=1條公切線；

。＜。＜,一力|＜=＞內(nèi)含o無(wú)公切線.

70.已知圓爐+已二戶.

①過(guò)圓上的4（%,為）點(diǎn)的切線方程為％x+為y=/;

②斜率為國(guó)的圓的切線方程為了=依土n/1+M.

22x=acos0

71.橢圓0+3=1（。＞。＞0）的參數(shù)方程是《

a"b~y=bsin0

x2y2

72,橢圓靛+6=1（。＞8＞0）焦半徑公式

22

\PF[\=e(x+—),\PF2\=e(---x).

73.橢圓的的內(nèi)外部

V22

%+餐工

(1)點(diǎn)尸(%o,%)在橢圓一+/J-=l(a>Z?>0)的內(nèi)部

a~b~a

2,22

（2）點(diǎn)在橢圓「+y=1(。>。>0)的外部=與+”>1.

aab~

74.橢圓的切線方程

22,,

（1）橢圓]+與=1（。〉匕＞0）上一點(diǎn)P（Xo，y0）處的切線方程是％?+渾=L

a~b-a~b~

Ky2

（2）過(guò)橢圓/+￡=1（。＞。〉0）外一點(diǎn)P（%0,%）所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是

誓+誓=1

a2h2

22

(3)橢圓三+/=1(。>6>0)與直線Ax+By+C^Q相切的條件是

A2a2+B2b2=c2.

75.雙曲線的內(nèi)外部

2222

(1)點(diǎn)P(x0,No)在雙曲線一--斗~=1(。>0,/?>0)的內(nèi)部0>T—當(dāng)~>1-

abcTb

(2)點(diǎn)PG。,y0)在雙曲線--■一=1(。>0,/?>0)的外部—-^3-<1.

ab"ab"

76.雙曲線的方程與漸近線方程的關(guān)系

2222

(1)若雙曲線方程為三一二=1=漸近線方程：^-4=0<=>y=±-x.

a2b-a1h2?a

22

(2)若漸近線方程為y=±2xo'±：=0=雙曲線可設(shè)為=—鼻=入.

aabab

2222

(3)若雙曲線與與一2r=1有公共漸近線，可設(shè)為與—%=九(九>0,焦點(diǎn)在x軸

a'b'a'b'

上，X<0,焦點(diǎn)在y軸上).

77.拋物線V=2px的焦半徑公式

拋物線/=2Px(p>0)焦半徑|CF|=x0+g

過(guò)焦點(diǎn)弦長(zhǎng)=xt+-^-+x2+—xt+x2+p.

2

78.拋物線V=2px上的動(dòng)點(diǎn)可設(shè)為P(二,％)或P(2p/,2p?；騊(x,yo),其中

2P

yt=2〃/

79.拋物線的內(nèi)外部

點(diǎn)「(%,為)在拋物線y2=2px(p>0)的內(nèi)部。y?<2px(〃>0).

點(diǎn)POo，%)在拋物線?/=2px(p>0)的外部<=>)?>2px(p>0).

80.直線與圓錐曲線相交的弦長(zhǎng)公式|4即=0％-%)2+(4-%)2或

|A31=J1+左2|七一電1=71+I7—(弦端點(diǎn)A(M,必),8(x,,當(dāng))，由方程廠=Z+b

1。1*[F(x,y)=0

消去y得到”/+。犬+。=0,△>(),&為直線的斜率).

81.圓錐曲線的兩類對(duì)稱問(wèn)題

(1)曲線b(x,y)=0關(guān)于點(diǎn)P(x0,%)成中心對(duì)稱的曲線是F(2xo-x,2yo-y)=O.

(2)曲線E(x,y)=0關(guān)于直線x+y+m=0成軸對(duì)稱的曲線是F(-y-m-x-m)=0.

82.證明直線與直線的平行的思考途徑

(1)轉(zhuǎn)化為判定共面二直線無(wú)交點(diǎn)；

(2)轉(zhuǎn)化為二直線同與第三條直線平行；

(3)轉(zhuǎn)化為線面平行；

(4)轉(zhuǎn)化為線面垂直；

(5)轉(zhuǎn)化為面面平行.

83.證明直線與平面的平行的思考途徑

(1)轉(zhuǎn)化為直線與平面無(wú)公共點(diǎn)；

(2)轉(zhuǎn)化為線線平行；

(3)轉(zhuǎn)化為面面平行.

84.證明平面與平面平行的思考途徑

(1)轉(zhuǎn)化為判定二平面無(wú)公共點(diǎn)；

(2)轉(zhuǎn)化為線面平行；

(3)轉(zhuǎn)化為線面垂直.

85.證明直線與直線的垂直的思考途徑

(1)轉(zhuǎn)化為相交垂直；

(2)轉(zhuǎn)化為線面垂直；

(3)轉(zhuǎn)化為線與另一線的射影垂直；

(4)轉(zhuǎn)化為兩直線的方向向量垂直。

86.證明直線與平面垂直的思考途徑

(1)轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)任一直線垂直；

(2)轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)相交二直線垂直；

(3)轉(zhuǎn)化為該直線與平面的一條垂線平行；

(4)轉(zhuǎn)化為該直線垂直于另一個(gè)平行平面；

(5)轉(zhuǎn)化為該直線與兩個(gè)垂直平面的交線垂直.

87.證明平面與平面的垂直的思考途徑

(1)轉(zhuǎn)化為判斷二面角是直二面角；

(2)轉(zhuǎn)化為線面垂直.

88.空間向量的加法與數(shù)乘向量運(yùn)算的運(yùn)算律

(1)加法交換律：a+b=b+a.

(2)加法結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c).

(3)數(shù)乘分配律：A.(a+b)=Aa+Ab.

89.平面向量加法的平行四邊形法則向空間的推廣

始點(diǎn)相同且不在同一個(gè)平面內(nèi)的三個(gè)向量之和，等于以這三個(gè)向量為棱的平行六面體的

以公共始點(diǎn)為始點(diǎn)的對(duì)角線所表示的向量.

90.共線向量定理

對(duì)空間任意兩個(gè)向量a、b(b#0),a〃bu＞存在實(shí)數(shù)入使a=、b.

P、A、B三點(diǎn)共線麗=，而。麗=(1—r)西+，礪.

AB\\CDoAB,前共線且A3、CO不共線o通=，前且A3、CO不共線.

91.共面向量定理

向量P與兩個(gè)不共線的向量a、b共面的o存在實(shí)數(shù)對(duì)使%=.

推論空間一點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)的0存在有序?qū)崝?shù)對(duì)x,y,使麗=礪，

或?qū)臻g任一定點(diǎn)0,有序?qū)崝?shù)對(duì)x,y,使麗=麗+*麗5+),礪.

92.對(duì)空間任一點(diǎn)0和不共線的三點(diǎn)A、B、C,滿足OP=xOA+yOB+zOC(x+y+z=k),

則當(dāng)左=1時(shí)，對(duì)于空間任一點(diǎn)。，總有P、A、B、C四點(diǎn)共面；當(dāng)左時(shí)，若Oe平面ABC,

則P、A、B、C四點(diǎn)共面；若。任平面ABC,IMP、A、B、C四點(diǎn)不共面.

A、B、C、D四點(diǎn)共面o而與赤、*共面0而=

OD=（l-x-y）OA+xOB+yOC（。任平面ABC）.

93.空間向量基本定理

如果三個(gè)向量a、b、c不共面，那么對(duì)空間任一向量p,存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x,

y,z,使p=xa+yb+zc.

推論設(shè)0、A、B、C是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)P,都存在唯一的三個(gè)有序?qū)崝?shù)

x,y,z,使OP=xQ4+yO6+zOC.

94.直線AB與平面所成角夕

則sin（3=|cos（AB,in）|=|"L-1（m為平面a的法向量）.

'/\AB\-\m\

95.二面角二一/一用的平面角為0

YYI?nITI-n一一

8S.=1咚-或_WJCm,〃為平面a,4的法向量）.

\m\-\n\\m\-\n\

96.點(diǎn)B到平面。的距離

d=[ABn\（[為平面。的法向量，AB是經(jīng)過(guò)面a的一條斜線，Awa）.

1?1

97.棱錐的平行截面的性質(zhì)

如果棱錐被平行于底面的平面所截，那么所得的截面與底面相似，截面面積與底面面積

的比等于頂點(diǎn)到截面距離與棱錐高的平方比（對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊對(duì)應(yīng)成比例的多邊形是相

似多邊形，相似多邊形面積的比等于對(duì)應(yīng)邊的比的平方）：相應(yīng)小棱錐與小棱錐的側(cè)面積的

比等于頂點(diǎn)到截面距離與棱錐高的平方比.

98.球的半徑是R,則

其體積丫=二乃R3,

3

其表面積S=4萬(wàn)R?.

99.球的組合體

（1）球與長(zhǎng)方體的組合體：

長(zhǎng)方體的外接球的直徑是長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng).

（2）球與正方體的組合體：

正方體的內(nèi)切球的直徑是正方體的棱長(zhǎng)，正方體的棱切球的直徑是正方體的面對(duì)角線

長(zhǎng)，正方體的外接球的直徑是正方體的體對(duì)角線長(zhǎng).

（3）球與正四面體的組合體：

棱長(zhǎng)為a的正四面體的內(nèi)切球的半徑為也外接球的半徑為直a.

124

100.柱體、錐體的體積

丫柱體=Sh（S是柱體的底面積、〃是柱體的高）.

嚓體（S是錐體的底面積、/?是錐體的高）.

v臺(tái)=g(S+屈7+S')h

101.分類計(jì)數(shù)原理(加法原理)

m

N二叫+m1T----^n'

102.分步計(jì)數(shù)原理(乘法原理)

103.排列數(shù)公式

n：

4"=n(n—l)---(n—zn+l)=.(〃，m￡N",且加＜〃).

(n-m)l

注：規(guī)定0!=l.

104.排列恒等式

(I)A；：=伽一加+1)靖；

n

(2)A；：=——A豈;

n-m

(3)4'=叫'才；

(4)

(5)垢=4"+砒-

(6)l!+2?2!+3?3!+…+〃?加=(〃+l)!—1.

105.組合數(shù)公式

?,_A"1_〃("T)…("加+i)n\

c(〃￡N*,meN,且〃zK〃).

"一記一lx2x---xmm!?(〃一根)!

106.組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)

(l)C；；'=C；-m;

⑵c;L.

注:規(guī)定C：=1.

107.組合恒等式

〃

(1)C"3_"-?+1C'"T

m

n

(2)C-,；

n-m

"mn~

(4)￡C：=2";

r=O

⑸c+CM+ck+…+C；=G；：：?

(6)C：+C\+C：+…+C+…+c：=2".

(7)C*+C：+C：+…Y+C：+C：+…=2"T.

nn22nrr

108.二項(xiàng)式定理3+份"=+C'na-'b+C^a-h+---+Clla-h+???+《?”;

二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式

J=C/"-7/(r=O,12、n).

109.等可能性事件的概率

m

P(A)=".

n

110.互斥事件A,B分別發(fā)生的概率的和

P(A+B)=P(A)+P(B).

111.〃個(gè)互斥事件分別發(fā)生的概率的和

P(A]+A2H-----FAn)=P(A1)+P(A2)+-+P(An).

112.獨(dú)立事件A,B同時(shí)發(fā)生的概率

P(A?B)=P(A)?P(B).

113.n個(gè)獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率

P(Aj,A?.........An)=P(Ap,P(A2).........P(An).

114.n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中某事件恰