吉林省長春市2024屆九年級下學期中考一模數(shù)學試卷(含解析)

數(shù)學本試卷包括三道大題，共24道小題，共6頁．全卷滿分120分．考試時間為120分鐘．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．注意事項：1．答題前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上，并將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)．2．答題時，考生務必按照考試要求在答題卡上的指定區(qū)域內(nèi)作答，在草稿紙、試卷上答題無效．一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）1.如圖，數(shù)軸上表示數(shù)的點所在的線段是（）A. B. C. D.答案：A解析：由數(shù)軸可知，數(shù)軸上表示數(shù)的點所在的線段是，故選：A．2.三角形結(jié)構(gòu)在生產(chǎn)實踐中有著廣泛的應用，如圖所示的斜拉索橋結(jié)構(gòu)穩(wěn)固，其蘊含的數(shù)學道理是（）A.兩點之間，線段最短 B.三角形的穩(wěn)定性C.三角形的任意兩邊之和大于第三邊 D.三角形的內(nèi)角和等于答案：B解析：如圖所示的斜拉索橋結(jié)構(gòu)穩(wěn)固，其蘊含的數(shù)學道理是三角形的穩(wěn)定性故選：B．3.下圖是幾個小正方體組成的幾何體的俯視圖，小正方形內(nèi)的數(shù)字是該位置小正方體的個數(shù)，則這個幾何體的主視圖是（）A B. C. D.答案：A解析：由幾何體的俯視圖，可知從正面看這個幾何體，左邊有2個小正方形，右邊有1個小正方形．故選A．4.已知，下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.答案：C解析：A．，不一定成立，B．，則，不成立，C．，一定成立，D．即，不成立，故選：C．5.如圖，一束太陽光線平行照射在正六邊形上．若，則的大小為（）A. B. C. D.答案：D解析：如圖所示，作，則，∵正六邊形的每個內(nèi)角為∴則∵太陽光線是平行的，∴依題意，∴故選：D．6.如圖是一把遮陽傘的示意圖，遮陽傘立柱垂直于，垂足為點D，米．當遮陽傘撐開至如圖所示的位置時，，則此時傘內(nèi)半徑的長度為（）A.米 B.米 C.米 D.米答案：B解析：∵，∴米故選：B．7.綜合實踐課上，數(shù)學興趣小組給出了利用無刻度的直尺和圓規(guī)作等腰三角形的三種方案：①已知底邊長和腰長；②已知底邊長和一個底角；③已知底邊長和底邊上的高．圖1、圖2、圖3分別對應以上三種方案中的一種，根據(jù)尺規(guī)作圖痕跡，其對應順序正確的是（）A.①②③ B.③①② C.②③① D.②①③答案：D解析：由作圖方法可知，圖2對應的是已知底邊長和腰長；圖1對應的是已知底邊長和一個底角；圖3對應的是已知底邊長和底邊上的高，故選：D．8.在溫度不變的條件下，通過多次對汽缸頂部的活塞加壓，加壓后氣體對汽缸壁產(chǎn)生的壓強與汽缸內(nèi)氣體的體積成反比例，p關(guān)于V的函數(shù)圖象如圖所示．若壓強由增壓至，則氣缸內(nèi)氣體體積的變化情況是（）A.減小，減小了 B.增大，增大了C.減小，減小了 D.增大，增大了答案：A解析：設(shè)，把代入中得：，解得，∴，當時，，當時，，∴若壓強由增壓至，則氣缸內(nèi)氣體體積的變化情況是減少了，故選：A．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）9.計算：=__________.答案：解析：原式=.10.若拋物線（a為常數(shù)）與x軸有且只有一個公共點，則a的值為____________．答案：0解析：∵拋物線（a為常數(shù)）與x軸有且只有一個公共點，∴，∴．故答案為：011.已知兩組數(shù)據(jù)，甲組：、、、、，乙組：、、、、．若甲組數(shù)據(jù)的方差記為，乙組數(shù)據(jù)的方差記為，則____________．（填“>”、“<”或“=”）答案：<解析：甲組：、、、、，平均數(shù)為乙組：、、、、．平均數(shù)為∴．故答案為：<．12.如圖為風力發(fā)電機的示意圖，葉片外端A到旋轉(zhuǎn)中心O的距離為20米，葉片當前在塔筒左側(cè)且與塔筒夾角為．當葉片從當前位置順時針旋轉(zhuǎn)到點A與塔筒底端B距離最大時，葉片掃過的面積至少為____________平方米．（結(jié)果保留）答案：解析：當A、O、B三點共線時，點A與塔筒底端B距離最大，∴葉片掃過的扇形圓心角度數(shù)最少為，∴葉片掃過的面積至少為平方米，故答案為：．13.如圖①，將三個邊長為1的正方形并排放在直線l上，兩側(cè)正方形不動，把中間的正方形抽出并重新擺放，形成一個軸對稱圖形，如圖②，則中間正方形的中心O到直線l的距離為____________．答案：解析：如圖所示，連接，過點O作于E，交于D，∵圖②是一個軸對稱圖形，∴一定共線，且，在中，，∴，由正方形的性質(zhì)可得，∴，又∵（平行線間間距相等），∴，∴中間正方形的中心O到直線l的距離為，故答案為：．14.如圖，在矩形中，，．點E、F分別在邊、上（點E不與A、D重合）且，于點P，交于點Q，于點M，交于點N．給出下面四個結(jié)論：①四邊形是矩形；②平分四邊形的周長；③；④當時，四邊形的面積為2．上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是____________．答案：①②④解析：，四邊形是矩形，故①正確；矩形中，又，四邊形是平行四邊形，，如圖，設(shè)分別交于點，，,又，四邊形是矩形，平分四邊形的周長故②正確；四邊形是矩形，，同理可證，故③錯誤；在中，，，，，由題意可得，，，，，四邊形的面積為．故④正確，故答案為：①②④三、解答題（本大題共10小題，共78分）15.先化簡，再求值：，其中．答案：，解析：，當時，原式．16.小淇參加一個抽獎活動，活動規(guī)則是：抽獎者手里預先持有一張標有數(shù)字7的卡片，然后從分別標有數(shù)字6，7，8的三張卡片中隨機抽取一張（卡片除數(shù)字不同外，其余均相同），記錄數(shù)字后放回，再從中隨機抽取一張，并記錄數(shù)字，若兩次抽取的數(shù)字與手中持有的數(shù)字能組成3個連續(xù)整數(shù)或者是3個相同的數(shù)字，則為中獎．用畫樹狀圖（或列表）的方法求小淇參加這個抽獎活動中獎的概率．答案：解析：畫樹狀圖如下：由樹狀圖可知一共有9種等可能性的結(jié)果數(shù)，其中小淇中獎的結(jié)果數(shù)有3種，∴小淇參加這個抽獎活動中獎的概率為．17.2024年10月1日，中華人民共和國將迎來75周歲的生日．為喜迎國慶，某學校舉辦了一場歷史知識競賽，競賽共20道題，評分規(guī)則為：對于每一道題，答對得5分，答錯或不答扣2分，其中九年級代表隊最終得分為86分，求九年級代表隊答對了多少道題？答案：九年級代表隊答對了18道題解析：設(shè)九年級代表隊答對了x到題，則答錯或者不答了道題，由題意得，，解得，答：九年級代表隊答對了18道題．18.如圖，在中，，是的角平分線，作交于點E，作交于點F．（1）求證：四邊形是菱形；（2）若，則的值為．答案：（1）見解析（2）【小問1詳解】證明：，，，．四邊形是平行四邊形．，平分，．四邊形是菱形．小問2詳解】∵四邊形是菱形，∴∴∵∴又∵，∴19.圖1、圖2、圖3均是的正方形網(wǎng)格．每個小正方形的頂點稱為格點，點、、、均在格點上，點在上且不是格點．只用無刻度的直尺，分別在給定的網(wǎng)格中按下列要求作圖，保留作圖痕跡．（1）在圖①中，畫出線段的中點；（2）在圖②中，在線段上確定一點，連接，使；（3）在圖③中，在線段上確定一點，連接，使．答案：（1）見解析（2）見解析（3）見解析【小問1詳解】如圖所示，點即為所求；【小問2詳解】如圖所示，點即為所求；【小問3詳解】如圖所示，點即為所求；20.加強青少年體育鍛煉，促進青少年健康成長，是關(guān)系國家和民族未來的大事．某校八年級開展了兩次體育綜合水平測試，每次測試滿分均為20分，從中隨機抽取10名學生的成績，整理如下：學生每周增加鍛煉時間計劃表兩次平均成績（分）每周增加時間（小時）420根據(jù)以上信息，回答下列問題：（1）圖中圈出了甲、乙兩名學生成績對應的點，在甲、乙兩名學生中，第一次成績較高的學生是，兩次平均成績較低的學生是；（2）抽取的10名學生第二次成績的中位數(shù)m所在的范圍是；A．B．C．D．（3）在抽取的10名學生中，第二次成績高于第一次成績的學生有人；（4）請根據(jù)學生每周增加鍛煉時間計劃表，利用樣本估計該校八年級1000名學生每周共需增加多少小時鍛煉時間？答案：（1）乙；乙（2）C（3）7（4）估計該校八年級1000名學生每周共需增加2600小時鍛煉時間【小問1詳解】由統(tǒng)計圖可知，第一次成績較高的學生是乙；由統(tǒng)計圖可知，甲同學的兩次成績和大于22分，則平均成績大于11分，而乙同學的兩次成績和小于20分，則平均成績小于10分，∴兩次平均成績較低的學生是乙故答案為：乙；乙；【小問2詳解】把這10名學生第二次的成績從低到高排列，處在第5和第6的成績都在14分到16分之間，∴中位數(shù)在C租，故答案為：C．【小問3詳解】由統(tǒng)計圖可知，在抽取的10名學生中，第二次成績高于第一次成績的學生有7人，故答案為：7；【小問4詳解】小時，∴估計該校八年級1000名學生每周共需增加2600小時鍛煉時間．21.甲、乙兩個彈簧，在一定的彈性限度內(nèi)，兩個彈簧掛重物后可達到的最大長度均為a厘米，甲彈簧原長3厘米，每掛質(zhì)量為1千克的重物彈簧伸長1厘米．兩個彈簧各自的長度y（厘米）與所掛重物質(zhì)量x（千克）之間的函數(shù)圖象如圖所示．（1）；（2）求乙彈簧的長度y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；（3）在彈性限度內(nèi)，把兩個質(zhì)量相同的重物分別掛在甲、乙兩個彈簧上，發(fā)現(xiàn)彈簧的長度恰好相同．若把這兩個重物同時掛在乙彈簧上，求此時乙彈簧的長度．答案：（1）（2）（3）厘米【小問1詳解】∵甲彈簧原長3厘米，每掛質(zhì)量為1千克的重物彈簧伸長1厘米．當時，，故答案為：．【小問2詳解】設(shè)所求函數(shù)關(guān)系式為.將點代入，得解得所以，與之間的函數(shù)關(guān)系式為【小問3詳解】根據(jù)題意，得，解得.因為(千克)，所以，當時，．答：此時乙彈簧的長度為厘米．22.【問題呈現(xiàn)】數(shù)學興趣小組遇到這樣一個問題：如圖①，是的半徑，．點P在上，將點P沿的方向平移到點Q，使．當點P在上運動一周時，試探究點Q的運動路徑．【問題解決】經(jīng)過討論，小組同學想利用平行四邊形的知識解決該問題：如圖②，在線段上截取，連結(jié)、，由平行四邊形的性質(zhì)可推出點Q的運動路徑是以點B為圓心、3為半徑的圓．下面是部分證明過程：證明：在線段上截取，連接、．1°當點P在直線外時，證明過程缺失2°當點P在直線上時，易知．綜上，點Q的運動路徑是以點B為圓心、3為半徑的圓．請你補全證明中缺失的過程．【結(jié)論應用】在上述問題的條件下，記點M是線段的中點，如圖②．若點P在上運動一周，則點M的運動路徑長為．【拓展提升】如圖③，在矩形中，，．點P是平面內(nèi)一點，，將點P沿的方向平移到點Q，使．點M是線段上的任意一點，連結(jié)．設(shè)線段長度的最大值為a，最小值為b，則．答案：問題解決：見解析；結(jié)論應用：；拓展提升：解析：問題解決：證明：線段上截取，連接、．當點P在直線外時，由平移性質(zhì)可得，∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴點Q的運動路徑是以點B為圓心、3為半徑的圓．結(jié)論應用：如圖所示，在上截取，同理可證明點M的運動路徑是以點N為圓心、3為半徑的圓，∴點P在上運動一周，則點M的運動路徑長為；拓展提升：如圖所示，在上截取，連接，同理可證明，∴點M的運動軌跡是以點N為圓心，1為半徑的圓，∵，∴當點N固定時，當點M運動到上時，有最小值，最小值為，∴在整個運動過程中當最小時，且當點M運動到上時，有最小值，同理在整個運動過程中當最大時，且當點M運動到延長線上時，有最大值，∵，∴，∵四邊形是矩形，∴，，，在中，，∴，∴，∴．23.如圖①，是邊長為等邊三角形．動點從點出發(fā)，沿折線向終點運動．當點不與的頂點重合時，以為邊作等邊，使點和點在的同側(cè)，再作．（1）當點在邊上運動時，若，則的值為；（2）如圖②，當點在邊上運動時，求證：；（3）當?shù)闹荛L最小時，求的長；（4）當點在邊上運動時，設(shè)線段與線段交于點．在不添加輔助線的情況下，圖中始終與相似的三角形有個，并直接寫出與相似比為時線段的長．答案：（1）（2）見解析（3）當或時，的周長最?。?）；或【小問1詳解】∵是邊長為的等邊三角形，是等邊三角形∴∴∴又∴過點作于點，則之間的距離為的長∴【小問2詳解】證明：和均為等邊三角形，，，，，，，【小問3詳解】①當點在邊上時，的周長當時周長最小，最小值為，此時；②當點在邊上時，同理可得的周長當時的周長最小，最小值為，此時綜上，當或時，的周長最小，最小值均為【小問4詳解】∵和均為等邊三角形，∴∴∴由（2）可得∴∴又∵∴∴圖中始終與相似的三角形有個，∵，當，且時，當，且時，設(shè)，則∵∴，過點作于點，如圖所示∴，則在中，試題解得：（負值舍去）∴綜上所述，或24.在平面直角坐標系中，點和點都在拋物線上，點在拋物線對稱軸的右側(cè)，且點關(guān)于點的對稱點恰好落在軸上，設(shè)點的橫坐標為．（1）當時，求點的縱坐標；（2）若點的縱坐標為，求點的坐標；（3）當點不在軸上時，過點作軸于點．①當點在軸上方，且拋物線在內(nèi)部（包括邊界）的最高點和最低點的縱坐標之差為時，求點的坐標；②當點在拋物線對稱軸右側(cè)時，直線交直線于點，點是點關(guān)于軸