新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第7章 第01講 基本立體圖形、簡單幾何體的表面積與體積 精講（教師版）

第01講基本立體圖形、簡單幾何體的表面積與體積(精講）目錄第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶第二部分：課前自我評(píng)估測試第三部分：典型例題剖析題型一：基本立體圖形角度1：結(jié)構(gòu)特征角度2：直觀圖角度3：展開圖題型二：空間幾何體的表面積與體積角度1：表面積和側(cè)面積角度2：體積角度3：螞蟻爬行最短問題題型三：空間幾何體的外接球角度1：補(bǔ)形法角度2：對(duì)棱相等型角度3：借助三角形外心確定球心題型四：空間幾何體的內(nèi)切球第四部分：高考真題感悟第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶知識(shí)點(diǎn)一：空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征1、多面體的結(jié)構(gòu)特征1.1棱柱（1）棱柱的定義定義：一般地，有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱底面(底)：兩個(gè)互相平行的面?zhèn)让妫浩溆喔髅鎮(zhèn)壤猓合噜弬?cè)面的公共邊頂點(diǎn)：側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn)（2）棱柱的圖形（3）棱柱的分類及表示①按棱柱底面邊數(shù)分類:②按棱柱側(cè)棱與底面位置關(guān)系分類:③直棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱斜棱柱：側(cè)棱不垂直于底面的棱柱正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱平行六面體：底面是平行四邊形的四棱柱表示法：用各頂點(diǎn)字母表示棱柱，如圖棱柱SKIPIF1<01.2棱錐（1）棱錐的定義定義：有一面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐底面：多邊形面?zhèn)让妫河泄岔旤c(diǎn)的各三角形面?zhèn)壤猓合噜弬?cè)面的公共邊頂點(diǎn)：各側(cè)面的公共頂點(diǎn)（2）棱錐的圖形（3）棱錐的分類及表示按照棱錐的底面多邊形的邊數(shù)，棱錐可分為：三棱錐、四棱錐、五棱錐……特別地，三棱錐又叫四面體，底面是正多邊形，且頂點(diǎn)與底面中心的連線垂直于底面的棱錐叫做正棱錐表示法：棱錐也用頂點(diǎn)和底面各頂點(diǎn)字母表示，如圖棱錐SKIPIF1<01.3棱臺(tái)（1）棱臺(tái)的定義定義：用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，我們把底面和截面之間的那部分多面體叫做棱臺(tái)上底面：原棱錐的截面下底面：原棱錐的底面?zhèn)让妫撼舷碌酌嬉酝獾拿鎮(zhèn)壤猓合噜弬?cè)面的公共邊頂點(diǎn)：側(cè)面與上(下)底面的公共頂點(diǎn)（2）棱臺(tái)的圖形（3）棱臺(tái)的分類及表示由三棱錐、四棱錐、五棱錐……截得的棱臺(tái)分別叫做三棱臺(tái)、四棱臺(tái)、五棱臺(tái)……用各頂點(diǎn)字母表示棱柱，如棱臺(tái)SKIPIF1<02、旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征2.1圓柱（1）圓柱的定義以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體圓柱的軸：旋轉(zhuǎn)軸圓柱的底面：垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面圓柱的側(cè)面：平行于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面圓柱側(cè)面的母線：無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，平行于軸的邊（2）圓柱的圖形（3）圓柱的表示圓柱用表示它的軸的字母表示，如圖，圓柱SKIPIF1<02.2圓錐（1）圓錐的定義以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體軸：旋轉(zhuǎn)軸叫做圓錐的軸底面：垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面?zhèn)让妫褐苯侨切蔚男边呅D(zhuǎn)而成的曲面母線：無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，不垂直于軸的邊錐體：棱錐和圓錐統(tǒng)稱為錐體（2）圓錐的圖形（3）圓錐的表示用表示它的軸的字母表示，如圖，圓錐SKIPIF1<02.3圓臺(tái)（1）圓臺(tái)的定義用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面和截面之間的部分叫做圓臺(tái)軸：圓錐的軸底面：圓錐的底面和截面?zhèn)让妫簣A錐的側(cè)面在底面與截面之間的部分母線：圓錐的母線在底面與截面之間的部分臺(tái)體：棱臺(tái)和圓臺(tái)統(tǒng)稱為臺(tái)體（2）圓臺(tái)的圖形（3）圓臺(tái)的表示用表示它的軸的字母表示，如圖，圓臺(tái)SKIPIF1<02.4球球的表面積和體積（1）球的表面積：SKIPIF1<0（2）球的體積:SKIPIF1<0知識(shí)點(diǎn)二：直觀圖1、空間幾何體的直觀圖的繪制方法（1）畫軸.在平面圖形中取互相垂直的SKIPIF1<0軸和SKIPIF1<0軸，兩軸相交于點(diǎn)SKIPIF1<0,畫直觀圖時(shí)，把它們分別畫成對(duì)應(yīng)的SKIPIF1<0軸與SKIPIF1<0軸，兩軸交于點(diǎn)SKIPIF1<0,且使SKIPIF1<0”(或SKIPIF1<0）,它們確定的平面表示水平面；（2）畫底面.已知圖形中，平行于SKIPIF1<0軸SKIPIF1<0軸或SKIPIF1<0軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于SKIPIF1<0軸、SKIPIF1<0軸或SKIPIF1<0軸的線段；（3）畫側(cè)棱.已知圖形中平行于SKIPIF1<0軸或SKIPIF1<0軸的線段，在直觀圖中保持長度不變，平行于SKIPIF1<0軸的線段，長度變?yōu)樵瓉淼囊话?；?）成圖.連線成圖以后，擦去作為輔助線的坐標(biāo)軸，就得到了空間圖形的直觀圖.簡記為：①畫軸；②畫底面；③畫側(cè)棱；④成圖.2、斜二測畫法保留了原圖形中的三個(gè)性質(zhì)①平行性不變，即在原圖中平行的線在直觀圖中仍然平行；②共點(diǎn)性不變，即在原圖中相交的直線仍然相交；③平行于x，z軸的長度不變．知識(shí)點(diǎn)三：柱、錐、臺(tái)、球的表面積和體積幾何體表面積體積柱體（棱柱，圓柱）SKIPIF1<0SKIPIF1<0椎體（棱錐，圓錐）SKIPIF1<0SKIPIF1<0臺(tái)體（棱臺(tái)，圓臺(tái)）SKIPIF1<0SKIPIF1<0球SKIPIF1<0SKIPIF1<0知識(shí)點(diǎn)四：圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式幾何體圓柱圓錐圓臺(tái)圖示側(cè)面積公式SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0常用結(jié)論1.球的截面的性質(zhì)(1)球的截面是圓面,且球心和截面(不過球心)圓心的連線垂直于截面;(2)球心到截面的距離SKIPIF1<0與球的半徑SKIPIF1<0及截面的半徑SKIPIF1<0的關(guān)系為SKIPIF1<0第二部分：課前自我評(píng)估測試第二部分：課前自我評(píng)估測試1．（2022·河南商丘·高一期末）下列關(guān)于棱錐?棱臺(tái)的說法正確的是（

）A．有兩個(gè)面平行且相似，其他各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)B．用一個(gè)平面去截棱錐，底面與截面之間部分所圍成的幾何體叫做棱臺(tái)C．棱臺(tái)的側(cè)面展開圖是由若干個(gè)等腰梯形組成的D．棱臺(tái)的各側(cè)棱延長后必交于一點(diǎn)【答案】D對(duì)于A，棱臺(tái)的各側(cè)棱的延長線交于一點(diǎn)，因此有兩個(gè)面平行且相似，其他各面都是梯形的多面體不一定是棱臺(tái)，故A錯(cuò)；對(duì)于B，用一個(gè)平行于底面的平面去截棱錐，底面與截面之間部分所圍成的幾何體叫做棱臺(tái)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，棱臺(tái)的側(cè)面展開圖不一定是由若干個(gè)等腰梯形組成的，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，棱臺(tái)是由平行于棱錐底面的平面截得的，故棱臺(tái)的各側(cè)棱延長后必交于一點(diǎn)，故D正確.故選:D.2．（2022·廣東珠?！じ咭黄谀┱睦馀_(tái)的上?下底面邊長分別為SKIPIF1<0，側(cè)棱長為SKIPIF1<0，則棱臺(tái)的側(cè)面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B由題意，正四棱臺(tái)的側(cè)面是等腰梯形，且其上?下底面邊長分別為SKIPIF1<0，腰長為SKIPIF1<0，所以斜高為SKIPIF1<0.所以側(cè)面積為SKIPIF1<0(SKIPIF1<0).故選：B.3．（2022·黑龍江·鐵人中學(xué)高一期末）若球的最大截面圓面積擴(kuò)大為原來的2倍，則球體積擴(kuò)大為原來的（

）A．SKIPIF1<0倍 B．4倍 C．SKIPIF1<0倍 D．SKIPIF1<0倍【答案】C若球的最大截面圓面積擴(kuò)大為原來的2倍，則球的半徑擴(kuò)大為原來的SKIPIF1<0倍，則球體積擴(kuò)大為原來的SKIPIF1<0倍.故選：C4．（2022·山東聊城·高一期末）某同學(xué)勞動(dòng)課上制作了一個(gè)圓錐形禮品盒，其母線長為40cm，底面半徑為10cm，從底面圓周上一點(diǎn)A處出發(fā)，圍繞禮品盒的側(cè)面貼一條金色彩線回到A點(diǎn)，則所用金色彩線的最短長度為___________cm.【答案】SKIPIF1<0由圓錐側(cè)面展開為半徑為40cm，弧長為SKIPIF1<0cm的扇形，所以圓心角為SKIPIF1<0，而該扇形圓心角所對(duì)的弦長為最短金色彩線長度，故所用金色彩線的最短長度為SKIPIF1<0cm.故答案為：SKIPIF1<05．（2022·上海奉賢區(qū)致遠(yuǎn)高級(jí)中學(xué)高一期末）如圖，SKIPIF1<0是用斜二測畫法得到的SKIPIF1<0的直觀圖，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則AB的長度為______.【答案】SKIPIF1<0如圖，在原圖形中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0．6．（2022·貴州黔西·高二期末（理））若一個(gè)長方體的長、寬，高分別為4，2，3，則這個(gè)長方體外接球的表面積為______________．【答案】SKIPIF1<0由題知，長方體的體對(duì)角線即為外接球的直徑，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以外接球的表面積SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0第三部分：典型例題剖析第三部分：典型例題剖析題型一：基本立體圖形角度1：結(jié)構(gòu)特征典型例題例題1．（多選）（2022·江西上饒·高一期末）下列命題正確的是（

）A．有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱B．棱錐是由一個(gè)底面為多邊形，其余各面為具有公共頂點(diǎn)的三角形圍成的幾何體C．用一個(gè)平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分為棱臺(tái)D．球面可以看作一個(gè)圓繞著它的直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)180°所形成的曲面【答案】BD根據(jù)空間幾何體的定義，對(duì)于A，如圖所示：有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體，但不是棱柱，錯(cuò)誤；對(duì)于B，由棱錐的定義知由一個(gè)底面為多邊形，其余各面為具有公共頂點(diǎn)的三角形圍成的幾何體是棱錐，正確；對(duì)于C，用一個(gè)平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分不一定為棱臺(tái)，因?yàn)椴荒鼙ＷC截面與底面平行，錯(cuò)誤；對(duì)于D，球面可以看作一個(gè)圓繞著它的直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)180°所形成的曲面，正確；故選：BD.例題2．（2022·遼寧·東港市第二中學(xué)高一階段練習(xí)）下列命題正確的是（

）A．棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形B．用一個(gè)平面去截棱錐，棱錐底面與截面之間的部分是棱臺(tái)C．四面體的任何一個(gè)面都可以作為棱錐的底面D．棱臺(tái)的側(cè)棱延長后交于一點(diǎn)，側(cè)面是等腰梯形【答案】C棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是平行四邊形但不一定全等，A錯(cuò)；用一個(gè)平行棱錐底面的平面去截棱錐，棱錐底面與截面之間的部分是棱臺(tái)，B錯(cuò)；四面體是三棱錐，它的任何一個(gè)面都可以作為棱錐的底面，C正確；棱臺(tái)的側(cè)棱延長后交于一點(diǎn)，側(cè)面都是梯形，不一定是等腰梯形，D錯(cuò)．故選：C．角度2：直觀圖典型例題例題1．（2022·廣東廣州·高一期末）如圖所示，SKIPIF1<0是水平放置的SKIPIF1<0的斜二測直觀圖，其中SKIPIF1<0，則以下說法正確的是（

）A．SKIPIF1<0是鈍角三角形 B．SKIPIF1<0的面積是SKIPIF1<0的面積的2倍C．B點(diǎn)的坐標(biāo)為SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0的周長是SKIPIF1<0【答案】D根據(jù)題意，將SKIPIF1<0還原成原圖，如圖，對(duì)于A，SKIPIF1<0中，有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0是等腰直角三角形，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，SKIPIF1<0的面積是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的高為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面積是SKIPIF1<0的SKIPIF1<0倍，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)镾KIPIF1<0，B的坐標(biāo)為SKIPIF1<0，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，SKIPIF1<0的周長為SKIPIF1<0，D正確故選：D.例題2．（2022·廣西貴港·高一期末）若一個(gè)平面圖形的斜二測直觀圖是一個(gè)等腰直角三角形，SKIPIF1<0，則原圖的面積為___________.【答案】SKIPIF1<0由題可得SKIPIF1<0，所以原圖的面積為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0角度3：展開圖典型例題例題1．（2022·浙江·溫州中學(xué)高二期末）若圓錐側(cè)面展開圖是圓心角為SKIPIF1<0，半徑為1的扇形，則這個(gè)圓錐表面積與側(cè)面積的比為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C由題，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0故選：C例題2．（2022·廣東韶關(guān)·高二期末）已知圓錐的側(cè)面展開圖為一個(gè)半徑是2的半圓，則該圓錐的高為（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．2【答案】C圓錐的母線長為2，設(shè)圓錐的底面半徑為SKIPIF1<0，由于圓錐底面圓的周長等于扇形的弧長，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，則圓錐的高SKIPIF1<0故選：C題型歸類練1．（2022·山西呂梁·高一期末）下列說法正確的是（

）A．三角形的直觀圖是三角形 B．直四棱柱是長方體C．平行六面體不是棱柱 D．兩個(gè)平面平行，其余各面是梯形的多面體是棱臺(tái)【答案】A對(duì)A，根據(jù)直觀圖的定義，三角形的直觀圖是三角形，故A對(duì)；對(duì)B，底面是長方形的直四棱柱是長方體，故B錯(cuò)；對(duì)C，平行六面體一定是棱柱，故C錯(cuò)；兩個(gè)平面平行，其余各面是梯形的多面體，當(dāng)側(cè)棱延長后不交于同一點(diǎn)時(shí)，不是棱臺(tái)，故D錯(cuò)；故選：A2．(多選）（2022·廣西梧州·高一期末）給出下列命題：①長方體是四棱柱；②直四棱柱是長方體；③底面是正多邊形的棱錐一定是正棱錐；④延長一個(gè)棱臺(tái)的各條側(cè)棱，它們相交于一點(diǎn)．則正確的是（

）A．① B．② C．③ D．④【答案】AD解：對(duì)于①：長方體滿足有兩個(gè)面互相平行且全等，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，故長方體是四棱柱，故①正確；對(duì)于②：如果直四棱柱的底面不是矩形，則這樣的直四棱柱不是長方體，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③：如果棱錐的底面是正多邊形，但頂點(diǎn)在底面的射影不是底面的中心，這樣的棱錐不是正棱錐，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④：用平行于棱錐底面的平面截棱錐，截面與底面之間的部分為棱臺(tái)，故延長一個(gè)棱臺(tái)的各條側(cè)棱，它們必相交于一點(diǎn)，故④正確；故選：AD3．（2022·重慶·高一階段練習(xí)）如圖，SKIPIF1<0表示水平放置的SKIPIF1<0根據(jù)斜二測畫法得到的直觀圖，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0軸上，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸垂直，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的邊SKIPIF1<0上的高為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D過SKIPIF1<0做SKIPIF1<0軸的平行線，交SKIPIF1<0軸與點(diǎn)SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0軸，垂足為SKIPIF1<0，如圖所示：則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由斜二測畫法規(guī)則知SKIPIF1<0在原圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為SKIPIF1<0在SKIPIF1<0軸上，且SKIPIF1<0，此即為SKIPIF1<0的邊SKIPIF1<0上的高．故選：D．4．（2022·全國·高一專題練習(xí)）用斜二測畫法畫出的某平面圖形的直觀圖如圖，邊SKIPIF1<0平行于SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0平行于SKIPIF1<0軸．已知四邊形SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，則原平面圖形的面積為________SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，因?yàn)樵谒倪呅蜸KIPIF1<0中，邊SKIPIF1<0平行于SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0平行于SKIPIF1<0軸，所以，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，設(shè)原圖形為梯形SKIPIF1<0，在平面直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0中，如下圖所示：則SKIPIF1<0平行于SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0平行于SKIPIF1<0軸，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此，原圖形的面積為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.5．（2022·云南楚雄·高一期末）若一個(gè)圓錐的底面面積為SKIPIF1<0，其側(cè)面展開圖是圓心角為SKIPIF1<0的扇形，則該圓錐的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B設(shè)該圓錐的底面半徑為r,則SKIPIF1<0，所以該圓錐的底面半徑SKIPIF1<0，設(shè)圓錐的母線長為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則圓錐的高為SKIPIF1<0，因此該圓錐的體積SKIPIF1<0，故選:B6．（2022·四川·成都七中高二階段練習(xí)（理））已知圓臺(tái)形的花盆的上、下底面的直徑分別為8和6，該花盆的側(cè)面展開圖的扇環(huán)所對(duì)的圓心角為SKIPIF1<0，則該花盆的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A圓臺(tái)的側(cè)面展開圖如圖所示，設(shè)圓臺(tái)的母線長為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由題意得SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則根據(jù)題意可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以圓臺(tái)的高為SKIPIF1<0，所以圓臺(tái)的體積為SKIPIF1<0，故選：A題型二：空間幾何體的表面積與體積角度1：表面積和側(cè)面積典型例題例題1．（2022·黑龍江·鐵人中學(xué)高一期末）已知一個(gè)圓錐的底面半徑為SKIPIF1<0，其體積為SKIPIF1<0，則該圓錐的側(cè)面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D設(shè)圓錐的底面半徑為SKIPIF1<0，高為SKIPIF1<0，母線長為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以該圓錐的側(cè)面積為SKIPIF1<0.故選：D例題2．（2022·河南駐馬店·高一期末）已知三棱柱SKIPIF1<0中，所有棱長均為6，且SKIPIF1<0，則該三棱柱的側(cè)面積等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D由于三棱柱SKIPIF1<0的所有棱長均等于6，且SKIPIF1<0，所以點(diǎn)SKIPIF1<0在底面內(nèi)的投影點(diǎn)O必定在底部正三角形ABC的SKIPIF1<0的角平分線上，所以SKIPIF1<0平面ABC，延長SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以矩形SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，正三角形SKIPIF1<0的面積為：SKIPIF1<0，四邊形SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面積為：SKIPIF1<0，所以該三棱柱的表面積等于SKIPIF1<0.故選：D.例題3．（2022·重慶市第七中學(xué)校高一期末）若一個(gè)正四棱臺(tái)的上、下底面邊長分別為2、4，它的高為2，則該四棱臺(tái)的表面積為______．【答案】SKIPIF1<0##SKIPIF1<0如下圖所示：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以該四棱臺(tái)的表面積為：SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0角度2：體積典型例題例題1．（2022·上?！つM預(yù)測）如圖所示三棱錐，底面為等邊SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0邊中點(diǎn)，且SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(1)求三棱錐體積SKIPIF1<0；【答案】(1)1因?yàn)镾KIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又因?yàn)镺為AC邊中點(diǎn)，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為正三角形，SKIPIF1<0，又因?yàn)榈酌鏋榈冗匰KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.例題2．（多選）（2022·江蘇蘇州·高一期中）圓柱的側(cè)面展開圖是長6cm，寬4cm的矩形，則這個(gè)圓柱的體積可能是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】AC因?yàn)閳A柱的側(cè)面展開圖是長6cm，寬4cm的矩形，所以當(dāng)圓柱的高為4cm，則底面周長為6cm，設(shè)底面半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以此時(shí)圓柱的體積為SKIPIF1<0，當(dāng)圓柱的高為6cm，則底面周長為4cm，設(shè)底面半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以此時(shí)圓柱的體積為SKIPIF1<0，綜上，圓柱的體積可能為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故選：AC例題3．（2022·四川樂山·高二期末（文））成都天府廣場設(shè)置了一些石凳供大家休息，這些石凳是由正方體截去八個(gè)一樣的正三棱錐得到的“半正多面體”（圖1），半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美．圖2是一個(gè)棱長為SKIPIF1<0的正方體截出的半正多面體，則該半正多面體的體積為______．【答案】SKIPIF1<0##SKIPIF1<0由題意知，該半正多面體的體積為正方體的體積減去8個(gè)一樣的正三棱錐的體積，即SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.角度3：螞蟻爬行最短問題典型例題例題1．（2022·江蘇·蘇州市蘇州高新區(qū)第一中學(xué)高一期中）在①SKIPIF1<0；②四邊形SKIPIF1<0的面積為24；③四邊形SKIPIF1<0的周長為20；這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并作答，如圖，四邊形SKIPIF1<0是圓柱的一個(gè)軸截面，SKIPIF1<0，且__________．(1)求該圓柱的體積：(2)若用一細(xì)繩從點(diǎn)SKIPIF1<0繞圓柱一周后到達(dá)SKIPIF1<0處（如圖），求細(xì)繩的最短長度．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(1)解：（1）選擇①，由題意可得圓柱的底面圓的半徑SKIPIF1<0，高為SKIPIF1<0，則該圓柱的體積為SKIPIF1<0．選擇②，由題意可得圓柱的底面圓的半徑SKIPIF1<0，高為SKIPIF1<0，則該圓柱的體積為SKIPIF1<0．選擇③，由題意可得圓柱的底面圓的半徑SKIPIF1<0，高為SKIPIF1<0，則該圓柱的體積為SKIPIF1<0．(2)解：將圓柱沿SKIPIF1<0側(cè)面展開，如圖所示，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．故細(xì)繩的最短長度為SKIPIF1<0．例題2．（2022·江西·南昌市八一中學(xué)高二期末（文））如圖所示，一豎立在地面上的圓錐形物體的母線長為SKIPIF1<0，一只小蟲從圓錐的底面圓上的點(diǎn)SKIPIF1<0出發(fā)，繞圓錐爬行一周后回到點(diǎn)SKIPIF1<0處，若該小蟲爬行的最短路程為SKIPIF1<0，則這個(gè)圓錐的表面積為___________.【答案】SKIPIF1<0##SKIPIF1<0作出該圓錐的側(cè)面展開圖，如圖所示：該小蟲爬行的最短路程為PP′，由余弦定理可得：SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0.設(shè)底面圓的半徑為r,則有SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,則這個(gè)圓錐的表面積為SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<0題型歸類練1．（2022·重慶·西南大學(xué)附中高一期末）如圖，四邊形ABCD為直角梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，該梯形繞AB旋轉(zhuǎn)形成的幾何體體積為SKIPIF1<0，則該幾何體的側(cè)面積為___________．【答案】SKIPIF1<0由題知，該幾何體為圓臺(tái)，上底SKIPIF1<0，下底SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0則圓臺(tái)的側(cè)面積為SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<02．（2022·福建莆田·高一期末）已知圓臺(tái)的軸截面面積為10，母線與底面所成的角為SKIPIF1<0，則圓臺(tái)的側(cè)面積為___．【答案】SKIPIF1<0如圖所示，依題意，設(shè)下底面圓半徑為SKIPIF1<0，上底面圓半徑為SKIPIF1<0，圓臺(tái)的高為SKIPIF1<0，過點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則圓臺(tái)軸截面的面積SKIPIF1<0，則圓臺(tái)的側(cè)面積SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.3．（2022·廣東珠海·高一期末）如圖，某款酒杯的容器部分為圓錐，且該圓錐的軸截面是面積為SKIPIF1<0的正三角形，若在該酒杯內(nèi)放置一個(gè)圓柱形冰塊，要求冰塊高度不超過酒杯口高度，則圓柱冰塊的側(cè)面積的最大值為___________SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0設(shè)該圓錐的軸截面正三角形的邊長為a，由該圓錐軸截面的面積為SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,所以a=8,所以該圓錐底面圓半徑為4，高為SKIPIF1<0.設(shè)圓錐中放置的圓柱的底面圓半徑為x,高為h，其中SKIPIF1<0.如下圖所示：由SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.所以圓柱冰塊的側(cè)面積為SKIPIF1<0.由二次函數(shù)的性質(zhì)可得：當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0最大.故答案為：SKIPIF1<04．（2022·重慶·西南大學(xué)附中高一期末）將半徑為3，圓心角為SKIPIF1<0的扇形圍成一個(gè)圓錐，則該圓錐的體積為（

）A．SKIPIF1<0π B．SKIPIF1<0π C．2SKIPIF1<0π D．4SKIPIF1<0π【答案】A設(shè)圓錐的底面半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴圓錐的高為SKIPIF1<0，∴圓錐的體積SKIPIF1<0.故選:A5．（2022·湖南邵陽·高一期末）若圓臺(tái)的上下底面半徑分別為1，2，母線長為SKIPIF1<0，則該圓臺(tái)的體積為_________．【答案】SKIPIF1<0由題意圓臺(tái)的高為SKIPIF1<0，體積為SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0．6．（2022·全國·高一）如圖，在正三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，一只蟲子從SKIPIF1<0點(diǎn)出發(fā)，繞三棱錐的三個(gè)側(cè)面爬行一周后，又回到SKIPIF1<0點(diǎn)，則蟲子爬行的最短距離是（

）A．4 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A解：如圖，連接SKIPIF1<0與SKIPIF1<0分別交于SKIPIF1<0兩點(diǎn)，將三棱錐由SKIPIF1<0展開，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為蟲子爬行從點(diǎn)SKIPIF1<0沿側(cè)面到棱SKIPIF1<0上的點(diǎn)SKIPIF1<0處，再到棱SKIPIF1<0上的點(diǎn)SKIPIF1<0處，然后回到點(diǎn)SKIPIF1<0的最短距離，∵SKIPIF1<0，∴由勾股定理可得SKIPIF1<0，所以蟲子爬行的最短距離4，故選：A.7．（2022·江蘇·揚(yáng)中市第二高級(jí)中學(xué)高一期末）長方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則一只小蟲從SKIPIF1<0點(diǎn)沿長方體的表面爬到SKIPIF1<0點(diǎn)的最短距離是___________．【答案】5解：長方體SKIPIF1<0的表面可如下圖三種方法展開后，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點(diǎn)間的距離分別為：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0一只小蟲從SKIPIF1<0點(diǎn)沿長方體的表面爬到SKIPIF1<0點(diǎn)的最短距離是5．故答案為：5．8．（2022·全國·高一）如圖，已知正三棱柱SKIPIF1<0的底面邊長為1cm，側(cè)面積為SKIPIF1<0，則一質(zhì)點(diǎn)自點(diǎn)A出發(fā)，沿著三棱柱的側(cè)面繞行一周到達(dá)點(diǎn)SKIPIF1<0的最短路線的長為___________cm.【答案】SKIPIF1<0解：將正三棱柱SKIPIF1<0沿側(cè)棱展開，其側(cè)面展開圖如圖所示，依題意SKIPIF1<0，由側(cè)面積為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，依題意沿著三棱柱的側(cè)面繞行一周到達(dá)點(diǎn)SKIPIF1<0的最短路線為SKIPIF1<0；故答案為：SKIPIF1<0題型三：空間幾何體的外接球角度1：補(bǔ)形法典型例題例題1．（2022·四川成都·高一期末（文））三棱錐SKIPIF1<0的頂點(diǎn)都在同一球面上，其中SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩兩垂直，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則該球的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩兩垂直，將該三棱錐補(bǔ)成長方體SKIPIF1<0，則長方體SKIPIF1<0的體對(duì)角線長為SKIPIF1<0，所以，三棱錐SKIPIF1<0的外接球半徑為SKIPIF1<0，因此，該三棱錐外接球的表面積為SKIPIF1<0.故選：C.例題2．（2022·河南開封·高二期末（文））已知點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均在同一個(gè)球面上，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則該球的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C解：在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故可將三棱錐SKIPIF1<0補(bǔ)形成如圖所示的長方體．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為球SKIPIF1<0的球面上的四個(gè)點(diǎn)，則該長方體的各頂點(diǎn)亦在球SKIPIF1<0的球面上．設(shè)球SKIPIF1<0的半徑為SKIPIF1<0，則該長方體的體對(duì)角線長為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，從而球的表面積SKIPIF1<0，故選：C．角度2：對(duì)棱相等型典型例題例題1．（2022·江西·模擬預(yù)測（文））已知三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則該三棱錐內(nèi)切球的表面積為____________．【答案】SKIPIF1<0如圖，在長方體SKIPIF1<0中，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故四面體SKIPIF1<0的體積SKIPIF1<0，四面體SKIPIF1<0的表面積SKIPIF1<0，設(shè)三棱錐內(nèi)切球的半徑為SKIPIF1<0，由等體積可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以三棱錐內(nèi)切球的表面積為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.例題2．（2022?羅湖區(qū)月考）已知在四面體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則四面體SKIPIF1<0的外接球表面積為．答案：SKIPIF1<0．【解析】解：如下圖所示，將四面體SKIPIF1<0放在長方體SKIPIF1<0內(nèi)，在四面體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，設(shè)該長方體的長、寬、高分別為2、2、1，則長方體的體對(duì)角線長即為長方體的外接球直徑，設(shè)該長方體的外接球半徑為SKIPIF1<0，所以，該四面體的外接球直徑為SKIPIF1<0，因此，四面體SKIPIF1<0的外接球的表面積為SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0．角度3：借助三角形外心確定球心典型例題例題1．（2022·云南昆明·高二期中）已知四面體SKIPIF1<0的每個(gè)頂點(diǎn)都在球SKIPIF1<0的球面上，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則球SKIPIF1<0的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C解：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根據(jù)正弦定理，SKIPIF1<0外接圓確定．設(shè)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0外接圓的圓心，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0球SKIPIF1<0的體積SKIPIF1<0.故選：C.例題2．（2022·河南·商丘市第一高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）已知一圓柱的軸截面為正方形，母線長為6，在該圓柱內(nèi)放置一個(gè)棱長為SKIPIF1<0的正四面體，并且正四面體在該圓柱內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則SKIPIF1<0的最大值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．2【答案】B因?yàn)閳A柱的軸截面為正方形，母線長為SKIPIF1<0，所以圓柱的底面圓直徑和高都是SKIPIF1<0，所以該圓柱的內(nèi)切球的半徑為SKIPIF1<0，如圖球SKIPIF1<0即為該圓柱的內(nèi)切球，若該圓柱內(nèi)放置一個(gè)棱長為SKIPIF1<0的正四面體，并且正四面體在該圓柱內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則該正四面體內(nèi)接于該圓柱的內(nèi)切球時(shí)，棱長SKIPIF1<0最大，如圖該正四面體SKIPIF1<0的棱長為SKIPIF1<0，設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0在面SKIPIF1<0內(nèi)的射影為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，則球心SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理可得：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0(舍)，所以SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0，故選：B例題3．（2022·陜西·長安一中三模（文））如圖，SKIPIF1<0是邊長為6的正三角形SKIPIF1<0的一條中位線，將SKIPIF1<0沿直線SKIPIF1<0翻折至SKIPIF1<0，當(dāng)三棱錐SKIPIF1<0的體積最大時(shí)，四棱錐SKIPIF1<0外接球SKIPIF1<0的表面積為_____；過SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0作球SKIPIF1<0的截面，則所得截面圓面積的最小值是__________.【答案】

39π

SKIPIF1<0解：由題意可知，當(dāng)平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0時(shí)，三棱錐SKIPIF1<0的體積最大，如圖所示，取SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的外接圓的圓心SKIPIF1<0位于SKIPIF1<0且靠近點(diǎn)SKIPIF1<0的三等分點(diǎn)處，設(shè)SKIPIF1<0的中點(diǎn)為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為四邊形SKIPIF1<0的外接圓的圓心，過SKIPIF1<0作平面SKIPIF1<0的垂線，過SKIPIF1<0作平面SKIPIF1<0的垂線，則兩垂線的交點(diǎn)即為四棱錐SKIPIF1<0的外接球的球心SKIPIF1<0，連結(jié)SKIPIF1<0，則四邊形SKIPIF1<0為矩形，SKIPIF1<0，連結(jié)SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以四棱錐SKIPIF1<0外接球SKIPIF1<0的表面積為SKIPIF1<0；由題意可知，以SKIPIF1<0為直徑的球SKIPIF1<0的截面圓的面積最小，所以最小值為SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0．題型歸類練1．（2022·全國·高一階段練習(xí)）已知三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則該三棱錐的外接球的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B解：如圖所示，將三棱錐SKIPIF1<0放在長、寬、高分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的長方體中，則三棱錐SKIPIF1<0的外接球即為該長方本的外接球，所以外接球的直徑SKIPIF1<0，∴該球的體積為SKIPIF1<0.故選：B2．（2022·黑龍江·勃利縣高級(jí)中學(xué)高一期中）據(jù)《九章算術(shù)》記載，“鱉臑”為四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐．如圖所示，現(xiàn)有一個(gè)“鱉臑”，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，三棱錐外接球表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B如圖，將三棱錐補(bǔ)形為正方體，則外接球半徑SKIPIF1<0.所以三棱錐外接球表面積SKIPIF1<0.故選：B.3．（2022·江蘇·高二）設(shè)P，A，B，C是球O表面上的四個(gè)點(diǎn)，若PA⊥PB，PB⊥PC，PA⊥PC，且PA＝PB＝PC＝2，則球O的表面積為（

）A．48π B．SKIPIF1<0 C．12π D．SKIPIF1<0【答案】C如圖構(gòu)造正方體，由題意得球SKIPIF1<0即為正方體的外接球，正方體的體對(duì)角線即為球SKIPIF1<0的直徑，設(shè)球SKIPIF1<0的半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則球SKIPIF1<0的表面積為SKIPIF1<0.故選：C.4．（2022?三模擬）在四面體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則其外接球的表面積為．【解析】解：如下圖所示，將四面體SKIPIF1<0放在長方體SKIPIF1<0內(nèi)，設(shè)該長方體的長、寬、高分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，則長方體的體對(duì)角線長即為長方體的外接球直徑，設(shè)該長方體的外接球半徑為SKIPIF1<0，由勾股定理得SKIPIF1<0，上述三個(gè)等式全加得SKIPIF1<0，所以，該四面體的外接球直徑為SKIPIF1<0，因此，四面體SKIPIF1<0的外接球的表面積為SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0．5．（2022·廣西賀州·高一期末）已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在球O上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且三棱錐SKIPIF1<0，則球O的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．36SKIPIF1<0【答案】D△ABC中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0取SKIPIF1<0中點(diǎn)H，連接OH，則點(diǎn)H為△ABC所在小圓圓心，SKIPIF1<0平面ABC則SKIPIF1<0，解之得SKIPIF1<0則球O的半徑SKIPIF1<0則球O的體積為SKIPIF1<0故選：D6．（2022·河南開封·高二期末（理））已知球SKIPIF1<0為三棱錐SKIPIF1<0的外接球，球SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0，正三角形SKIPIF1<0的外接圓半徑為SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0的體積的最大值為______．【答案】SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0外接圓的圓心為SKIPIF1<0，因?yàn)檎切蜸KIPIF1<0的外接圓半徑為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由正弦定理SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，要使三棱錐SKIPIF1<0的體積最大，則SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且球心SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上，因?yàn)榍騍KIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0，所以球SKIPIF1<0的半徑為SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0中，由勾股定理得SKIPIF1<0，所以三棱錐SKIPIF1<0體積的最大值SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<07．（2022·安徽省宣城中學(xué)高二期末）在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，底面SKIPIF1<0是等邊三角形，三棱錐SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0的外接球表面積的最小值是___________.【答案】SKIPIF1<0設(shè)三棱錐外接球球心為O，底面ABC邊長為a，三棱錐的高為h，因?yàn)镾KIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以外接球的球心為SA的中點(diǎn)，即為O，又底面SKIPIF1<0是等邊三角形，設(shè)底面SKIPIF1<0外接圓的圓心為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，如圖所示則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以三棱錐體積SKIPIF1<