新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第6章 第01講 數(shù)列的概念與簡單表示法 精練（教師版）

第01講數(shù)列的概念與簡單表示法(精練）A夯實基礎(chǔ)一、單選題1．（2022·遼寧葫蘆島·高二階段練習(xí)）已知數(shù)列1，SKIPIF1<0，5，SKIPIF1<0，9，…，則該數(shù)列的第10項為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．19 D．21【答案】B解：依題意可得該數(shù)列的通項公式可以為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：B2．（2022·廣西·高二學(xué)業(yè)考試）數(shù)列SKIPIF1<0的前4項為：SKIPIF1<0，則它的一個通項公式是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C將SKIPIF1<0可以寫成SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的通項公式為SKIPIF1<0；故選:C3．（2022·廣西·高二學(xué)業(yè)考試）一定數(shù)目的點在等距離的排列下可以形成一個等邊三角形，這樣的數(shù)被稱為三角形數(shù).如圖，根據(jù)前三個點陣圖形的規(guī)律，第四個點陣表示的三角形數(shù)是（

）A．1 B．6 C．10 D．20【答案】C根據(jù)規(guī)律可知，第四個點陣表示的三角形數(shù)為：SKIPIF1<0.故選：C4．（2022·陜西·綏德中學(xué)高一階段練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，對任意的SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0，各式作和得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故選：C.5．（2022·北京市第十二中學(xué)高二階段練習(xí)）歷史上數(shù)列的發(fā)展，折射出許多有價值的數(shù)學(xué)思想方法，對時代的進(jìn)步起了重要的作用，比如意大利數(shù)學(xué)家列昂納多斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，……即SKIPIF1<0，此數(shù)列在現(xiàn)代物理、準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)及化學(xué)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，若此數(shù)列被4整除后的余數(shù)構(gòu)成一個新的數(shù)列SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為（

）A．2696 B．2697 C．2698 D．2700【答案】A解：由題意得：數(shù)列SKIPIF1<0為1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，…所以該數(shù)列的周期為6，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故選：A6．（2022·黑龍江實驗中學(xué)高二階段練習(xí)）若數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式是SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．15 D．16【答案】A數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0則SKIPIF1<0SKIPIF1<0故選：A7．（2022·山西太原·三模（理））已知數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和SKIPIF1<0則數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和SKIPIF1<0=（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ASKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0符合上式，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，故SKIPIF1<0.故選：A.8．（2022·廣東·佛山一中高二階段練習(xí)）已知對任意SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A解：因為對任意SKIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，得SKIPIF1<0，兩式相減得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0適合上式，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：A二、多選題9．（2022·吉林·長春市第二中學(xué)高二階段練習(xí)）已知數(shù)列{an}中，a1＝3，an＋1＝－SKIPIF1<0，能使an＝3的n可以為（

）A．22 B．24C．26 D．28【答案】AD解：由a1＝3，an＋1＝－SKIPIF1<0，得a2＝－SKIPIF1<0，a3＝－SKIPIF1<0，a4＝3．所以數(shù)列{an}是周期為3的數(shù)列，故a22＝a28＝3．故選：AD10．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式為SKIPIF1<0則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BC解：因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以A錯誤，B正確，SKIPIF1<0，故C正確；因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故D錯誤；故選：BC三、填空題11．（2022·廣西·南寧三中二模（文））寫出一個同時具有下列性質(zhì)（1）（2）（3）的數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式：SKIPIF1<0__________．（1）數(shù)列SKIPIF1<0是無窮等比數(shù)列；（2）數(shù)列SKIPIF1<0不單調(diào)；（3）數(shù)列SKIPIF1<0單調(diào)遞減．【答案】SKIPIF1<0（答案不唯一）由題意可得，SKIPIF1<0滿足（1）數(shù)列SKIPIF1<0是無窮等比數(shù)列；（2）數(shù)列SKIPIF1<0不單調(diào)；（3）數(shù)列SKIPIF1<0單調(diào)遞減，故答案為：SKIPIF1<012．（2022·上?！とA東師范大學(xué)附屬東昌中學(xué)高二期中）已知數(shù)列SKIPIF1<0是嚴(yán)格遞減數(shù)列，n為正整數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍是____________．【答案】SKIPIF1<0因為SKIPIF1<0是嚴(yán)格遞減數(shù)列，所以SKIPIF1<0對任意SKIPIF1<0恒成立，即SKIPIF1<0對任意SKIPIF1<0恒成立，解得SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.四、解答題13．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式為SKIPIF1<0，若數(shù)列SKIPIF1<0為遞增數(shù)列，求SKIPIF1<0的取值范圍．【答案】SKIPIF1<0依題意對于SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0.14．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知正項數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0.(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；【答案】(1)SKIPIF1<0(1)由題意：SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩式相減得到SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是首項為SKIPIF1<0，公比為SKIPIF1<0的等比數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式為SKIPIF1<0.B能力提升一、單選題1．（2022·河南·高三階段練習(xí)（理））設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0是首項為3，公比為2的等比數(shù)列，則SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故選：C2．（2022·北京四中三模）已知數(shù)列{SKIPIF1<0}的通項為SKIPIF1<0，則“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0，SKIPIF1<0”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A由題意，數(shù)列SKIPIF1<0的通項為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，對SKIPIF1<0恒成立，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取得最小值SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0，SKIPIF1<0”的充分不必要條件.故選：A.二、填空題3．（2022·河南·開封市東信學(xué)校模擬預(yù)測（理））已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0的前2022項的和為___________.【答案】SKIPIF1<0由題意可知，滿足SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，以上各式累加得，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0也滿足上式，∴SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.∴數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.4．（2022·內(nèi)蒙古·赤峰二中高二階段練習(xí)（理））如圖數(shù)表，它的第一行數(shù)由正整數(shù)從小到大排列得到，此后下一行數(shù)由前一行每兩個相鄰的數(shù)的和寫在這兩個數(shù)正中間下方得到．依次類推，則該數(shù)表中，第n行第1個數(shù)是____________．SKIPIF1<0【答案】SKIPIF1<0觀察數(shù)表，得出每一行都成等差數(shù)列，且第n行公差為SKIPIF1<0，因此設(shè)第n行第1個數(shù)是SKIPIF1<0，則第n行第2個數(shù)是SKIPIF1<0，從而可得SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是等差數(shù)列，公差為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0．三、解答題5．（2022·湖南師大附中三模）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前三項與數(shù)列SKIPIF1<0的前三項對應(yīng)相同，且SKIPIF1<0對任意的SKIPIF1<0都成立，數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列.(1)求數(shù)列SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的通項公式；(2)證明：不存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(2)證明見解析(1)因為SKIPIF1<0①，則當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0②，①—②，得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，在①中令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.由題設(shè)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.(2)SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0單調(diào)遞增，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以不存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0.6．（2022·山東·安丘市普通教育教學(xué)研究室高二期中）已知正項數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0.(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；SKIPIF1<0的最小值.【答案】(1)SKIPIF1<0(1)SKIPIF1<0①；當(dāng)SKIPIF1<0時，代入①得SKIPIF1<0.當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0②；①-②得SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列，公差為1，所以SKIPIF1<0.7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）問題：已知SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，是否存在數(shù)列SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0，__________﹖若存在．求通項公式SKIPIF1<0﹔若不存在，說明理由．在①SKIPIF1<0﹔②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0這三個條件中任選一個，補充在上面問題中并作答．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．【答案】選①：SKIPIF1<0；選②：SKIPIF1<0；選③：SKIPIF1<0選①：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0是以2為公差，1為首項的等差數(shù)列SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0顯然，SKIPIF1<0時，上式不成立，所以SKIPIF1<0.選②：當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0整理得SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0從第二項起，是以2為公比，4為首項的等比數(shù)列SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0顯然，SKIPIF1<0時，上式成立，所以SKIPIF1<0選③：SKIPIF1<0SKIPIF1<0又SKIPIF1<0SKIPIF1<0是以2為公比和首項的等比數(shù)列SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0C綜合素養(yǎng)1．（2022·黑龍江·哈爾濱三中模擬預(yù)測（文））《推背圖》是唐朝貞觀年間唐太宗李世民命天文學(xué)家李淳風(fēng)和相士袁天罡推算大唐氣運而作，此著作對后世諸多事件都進(jìn)行了準(zhǔn)確的預(yù)測.推背圖以天干地支的名稱進(jìn)行排列，共有60象，其中天干分別為甲?乙?丙?丁?戊?己?庚?辛?壬?癸，地支分別為子?丑?寅?卯?辰?已?午?未?申?酉?戌?亥.該書第一象為“甲子”，第二象為“乙丑”，第三象為“丙寅”，一直排列到“癸酉”后，天干回到甲，重新開始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支又回到子，即“丙子”，以此類推2023年是“癸卯”年，正值哈爾濱市第三中學(xué)建校100周年，那么據(jù)此推算，哈三中建校的年份是（

）A．癸卯年 B．癸亥年 C．辛丑年 D．辛卯年【答案】B依題意可知，天干的周期為SKIPIF1<0，地支的周期為SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以哈三中建校的年份的天干也是癸；因為SKIPIF1<0，所以哈三中建校的年份的地支為亥，哈三中建校的年份是“癸亥年”.故選：B.2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）大衍數(shù)列來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項，都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和，是中華傳統(tǒng)文化中隱藏的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題．其前10項依次是0、2、4、8、12、18、24、32、40、50，則此數(shù)列的第21項是（

）A．200 B．210 C．220 D．242【答案】C根據(jù)題意，數(shù)列的前10項依次是0、2、4、8、12、18、24、32、40、50，其中奇數(shù)項為0、4、12、24、40，有SKIPIF1<0故其奇數(shù)項上的通項公式為SKIPIF1<0故SKIPIF1<0，故選：C3．（2022·新疆克拉瑪依·三模（理））大衍數(shù)列，來源于中國古代著作《乾坤普》中對易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論.其前SKIPIF1<0項為：SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，通項公式為SKIPIF1<0，若把這個數(shù)列SKIPIF1<0排成下側(cè)形狀，并記SKIPIF1<0表示第SKIPIF1<0行中從左向右第SKIPIF1<0個數(shù)，則SKIPIF1<0的值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D由題可知，設(shè)數(shù)陣第SKIPIF1<0行的項數(shù)為SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為首項，公差為SKIPIF1<0的等差數(shù)列，數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0是數(shù)列SKIPIF1<0的第SKIPIF1<0項，因此，SKIPIF1<0.故選：D.4．(多選）（2022·江蘇泰州·模擬預(yù)測）若正整數(shù)m．n只有1為公約數(shù)，則稱m，n互質(zhì)，對于正整數(shù)k，SKIPIF1<0（k）是不大于k的正整數(shù)中與k互質(zhì)的數(shù)的個數(shù)，函數(shù)SKIPIF1<0（k）以其首名