新高考數學一輪復習第7章 第03講 空間直線、平面的平行 精練（教師版）

第03講空間直線、平面的平行(精練）A夯實基礎一、單選題1．（2022·廣西南寧·高一期末）在空間中，直線SKIPIF1<0∥面SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則（

）A．m與n平行 B．m與n平行或相交 C．m與n異面或相交 D．m與n平行或異面【答案】D直線SKIPIF1<0∥面SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，可知，m與n平行或異面．故選：D2．（2022·全國·高一專題練習）在空間四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分別在SKIPIF1<0上，且滿足SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的位置關系是（

）A．SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0相交 D．以上都有可能【答案】A∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0又∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.故選：A3．（2022·全國·高二課時練習）如圖，正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別為棱SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上的點，在平面SKIPIF1<0內且與平面SKIPIF1<0平行的直線（

）A．有一條 B．有二條C．有無數條 D．不存在【答案】C設SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，顯然滿足要求的直線l有無數條.故選：C.4．（2022·四川成都·高一期末（文））如圖，在下列四個正方體中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為正方體的兩個頂點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0不平行的是（

）A． B．C． D．【答案】A對A，如圖，易得平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，但平面SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交，故直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0不平行；對B，如圖，SKIPIF1<0為所在棱的中點，根據中位線的性質有SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故平行四邊形SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0平行.對C，根據中位線與平行四邊形的性質，同理可得SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0平行；對D，根據中位線與平行四邊形的性質，同理可得SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0平行；故選：A

5．（2022·河南·鄭州四中高三階段練習（文））如圖，已知正方體SKIPIF1<0的棱長為2，則下列四個結論中錯誤的是（

）A．直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0為異面直線 B．SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0C．平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0 D．三棱錐SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0【答案】D根據異面直線的定義易知直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0為異面直線，A正確；∵SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為平行四邊形∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，B正確；同理可證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，C正確SKIPIF1<0，D錯誤故選：D．6．（2022·全國·高一）如圖是一個幾何體的平面展開圖，其中四邊形ABCD為正方形，E，F分別為PA，PD的中點，在此幾何體中，給出下面四個結論：①直線BE與直線CF異面；②直線BE與直線AF異面；③直線EFSKIPIF1<0平面PBC；④平面BCE⊥平面PAD.其中正確結論的個數是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B畫出該幾何體，如圖所示，①因為E，F分別是PA，PD的中點，所以EFSKIPIF1<0AD，所以EFSKIPIF1<0BC，直線BE與直線CF是共面直線，故①不正確；②直線BE與直線AF滿足異面直線的定義，故②正確；③由E，F分別是PA，PD的中點，可知EFSKIPIF1<0AD，所以EFSKIPIF1<0BC，因為EFSKIPIF1<0平面PBC，BCSKIPIF1<0平面PBC，所以直線EFSKIPIF1<0平面PBC，故③正確；④因為BE與PA的關系不能確定，所以不能判定平面BCE⊥平面PAD，故④不正確.所以正確結論的個數是2.故選：B7．（2022·四川成都·高一期末）在底面為等邊三角形的三棱柱SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0平面ABC，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，D是棱SKIPIF1<0的中點，M是四邊形SKIPIF1<0內的動點，若SKIPIF1<0平面ABD，則線段SKIPIF1<0長度的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D取線段SKIPIF1<0的中點為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，因為側面SKIPIF1<0為矩形，D是棱SKIPIF1<0的中點，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因為M是四邊形SKIPIF1<0內的動點，SKIPIF1<0平面ABD，所以點SKIPIF1<0的軌跡是線段SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以線段SKIPIF1<0長度的最小值為SKIPIF1<0.故選：D8．（2022·新疆克拉瑪依·三模（文））如圖，在棱長為1的正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為棱SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0為正方形SKIPIF1<0內一動點（含邊界），若SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則線段SKIPIF1<0長度的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D如圖，取SKIPIF1<0中點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，正方體中，易得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0為正方形SKIPIF1<0內一動點（含邊界），所以SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上，可得SKIPIF1<0,則當SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中點時，SKIPIF1<0取得最小值為SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0在SKIPIF1<0兩端時，SKIPIF1<0取得最大值為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0長度的取值范圍是SKIPIF1<0.故選：D.二、多選題9．（2022·云南昆明·高二期末）如圖，在正方體SKIPIF1<0中，E，F，G分別是棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點，則（

）A．SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0C．點SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0內 D．點F在平面SKIPIF1<0內【答案】BD解：連接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，在正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0四點共面，即點F在平面SKIPIF1<0內，故B、D正確；再連接SKIPIF1<0，顯然SKIPIF1<0不在平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0不平行，故A錯誤；由SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，可知點SKIPIF1<0不在平面SKIPIF1<0內，故C錯誤；故選：BD10．（2022·山東省實驗中學模擬預測）在棱長為1的正方體SKIPIF1<0中，M是線段SKIPIF1<0上的動點，則下列結論中正確的是（

）A．存在點M，使得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0B．存在點M，使得三棱錐SKIPIF1<0的體積是SKIPIF1<0C．存在點M，使得平面SKIPIF1<0交正方體的截面為等腰梯形D．若SKIPIF1<0，過點M做正方體的外接球的截面，則截面面積的最小值為SKIPIF1<0【答案】AC對于A：連接SKIPIF1<0,如圖示：由正方體的幾何特征可得SKIPIF1<0.又因為SKIPIF1<0面SKIPIF1<0,SKIPIF1<0面SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0面SKIPIF1<0.同理可證：SKIPIF1<0面SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.令平面SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0//平面SKIPIF1<0,所以存在點M,使得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.故A正確；對于B：SKIPIF1<0,所以不存在點M,使得三棱錐SKIPIF1<0的體積是SKIPIF1<0.故B錯誤；對于C：因為SKIPIF1<0//平面SKIPIF1<0,所以平面SKIPIF1<0交平面SKIPIF1<0的交線與SKIPIF1<0平行.如圖示：取AB的中點E，取BB1的中點F，連接EF.因為SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0且SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以四邊形SKIPIF1<0為等腰梯形.記平面SKIPIF1<0交直線SKIPIF1<0于M，則存在點M,使截面為等腰梯形.故C正確；對于D：當且僅當M為截面圓的圓心時,截面圓的面積最小.由正方體的幾何特征可得該正方體的外接球球心為BD1的中點,且半徑為SKIPIF1<0，所以最小截面的半徑SKIPIF1<0此時截面面積為SKIPIF1<0.故D錯誤.故選：AC三、填空題11．（2022·全國·高二課時練習）如圖所示，在正四棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點，點SKIPIF1<0在四邊形SKIPIF1<0及其內部運動，則SKIPIF1<0只需滿足條件______時，就有SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．（注：請?zhí)钌夏阏J為正確的一個條件即可，不必考慮全部可能情況）【答案】點SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上（答案不唯一）取SKIPIF1<0中點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，如圖，由已知得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0、SKIPIF1<0都平行且相等，因此SKIPIF1<0與SKIPIF1<0平行且相等，從而SKIPIF1<0是平行四邊形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0中點，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因此只要SKIPIF1<0，就有SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．故答案為：點SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上（答案不唯一）．12．（2022·北京·北師大實驗中學高一階段練習）如圖所示，記幾何體W是棱長為1的正方體SKIPIF1<0割去兩個三棱錐SKIPIF1<0，SKIPIF1<0后剩余的幾何體．給出下列四個結論：①幾何體W的體積為SKIPIF1<0；②幾何體W的表面積為SKIPIF1<0；③幾何體W的頂點均在某個球面上，則該球的半徑為SKIPIF1<0；④若幾何體W被與平面SKIPIF1<0平行的平面SKIPIF1<0所截的截面多邊形的每條邊長都相等，則平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0．其中所有正確結論的序號是______．【答案】①③④解：依題意SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故①正確；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故②錯誤；幾何體SKIPIF1<0的外接球即為正方體的外接球，正方體的外接球的直徑恰為體對角線，所以該球的半徑為SKIPIF1<0，故③正確；如圖，設截面SKIPIF1<0為平面SKIPIF1<0，依題意平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，即④正確；故答案為：①③④四、解答題13．（2022·全國·高三專題練習）如圖，已知在三棱柱ABC-A1B1C1中，D是棱CC1的中點，試問在棱AB上是否存在一點E，使得DE∥平面AB1C1？若存在，請確定點E的位置；若不存在，請說明理由．【答案】存在點E，E為AB的中點.存在點E，當E為AB的中點時，DE∥平面AB1C1.如圖，取BB1的中點F，連結DF，則DF∥B1C1.因為DF?平面AB1C1，B1C1?平面AB1C1，所以DF∥平面AB1C1.因為AB的中點為E，連結EF，ED，所以EF∥AB1.因為EF?平面AB1C1，AB1?平面AB1C1，所以EF∥平面AB1C1.因為DF∩EF＝F，EF，DF?平面DEF，所以平面DEF∥平面AB1C1.因為DE?平面DEF，所以DE∥平面AB1C1.14．（2022·河南許昌·高一期末（理））如圖1，在邊長為4的正方形ABCD中，點P、Q分別是邊AB、BC的中點，將SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別沿DP、DQ折疊，使A、C兩點重合于點M，連BM、PQ，得到圖2所示幾何體．(1)求證：SKIPIF1<0；(2)在線段MD上是否存在一點F，使SKIPIF1<0平面PQF，如果存在，求SKIPIF1<0的值，如果不存在，說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)存在，SKIPIF1<0(1)由圖1可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，MD、SKIPIF1<0平面MDQ，∴SKIPIF1<0平面MDQ，∵SKIPIF1<0平面MDQ，∴SKIPIF1<0．(2)當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0平面PQF，理由如下：連BD交PQ于點O，連OF，由圖1可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面PQF．B能力提升1．(多選）（2022·遼寧·沈陽二中高一階段練習）正方體SKIPIF1<0的棱長為SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0的中點，則（

）A．直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0夾角SKIPIF1<0B．直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0平行C．平面SKIPIF1<0截正方體所得的截面面積為SKIPIF1<0D．點SKIPIF1<0和點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離相等【答案】ABCA：由SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0夾角為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，正確；B：由平面的性質可得平面SKIPIF1<0截正方體所得的截面為SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，正確；C：由B分析知：平面SKIPIF1<0截正方體所得的截面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0分別為兩底邊，而高為SKIPIF1<0，故面積為SKIPIF1<0，正確；D：由B分析知：SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離與SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離相等，由正方體的對稱性，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離不相等，它們到面SKIPIF1<0的距離相等，錯誤.故選：ABC2．(多選）（2022·重慶·三模）如圖，已知正方體SKIPIF1<0的棱長為2，M?N分別是SKIPIF1<0?SKIPIF1<0的中點，平面SKIPIF1<0與棱SKIPIF1<0的交點為E，點F為線段SKIPIF1<0上的動點，則下列說法正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．三棱錐SKIPIF1<0體積為SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0則SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0 D．若SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的正弦值為SKIPIF1<0【答案】BCD由題可知:點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0,所以A錯誤.SKIPIF1<0,故B正確.在邊SKIPIF1<0上取一點SKIPIF1<0,使SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,故C正確.

(如圖一)取SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0,SKIPIF1<0為直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角,(如圖二)SKIPIF1<0,故D正確.故選:BCD3．（2022·江蘇淮安·高一期末）在正四面體SKIPIF1<0中，點E，F分別在棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上，滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，則棱SKIPIF1<0長為______，以點A為球心，SKIPIF1<0為半徑作一個球，則該球球面與正四面體SKIPIF1<0的表面相交所得到的曲線長度之和為______．【答案】

3

SKIPIF1<0因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,由于四面體SKIPIF1<0每個面都是等邊三角形，故SKIPIF1<0也為等邊三角形，所以SKIPIF1<0;球面與正四面體的四個面都相交，所得的交線分為兩類：一類與三個側面SKIPIF1<0的交線，與側面SKIPIF1<0交線為弧SKIPIF1<0,弧SKIPIF1<0在過球心的大圓上，由于SKIPIF1<0,所以弧SKIPIF1<0的長度為：SKIPIF1<0,與側面SKIPIF1<0的交線與弧SKIPIF1<0一樣長，另一類交線是與底面SKIPIF1<0的交線，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,故與底面SKIPIF1<0剛好相交于底面SKIPIF1<0各邊的中點處，形成的交線此時是底面SKIPIF1<0的內切圓，內切圓半徑為SKIPIF1<0,故弧長為：SKIPIF1<0，因此所有的交線長為SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<0交線之和為SKIPIF1<04．（2022·全國·高一專題練習）已知正方體SKIPIF1<0的棱長為2，點M，N分別是棱BC，SKIPIF1<0的中點，則點SKIPIF1<0到平面AMN的距離是________；若動點P在正方形SKIPIF1<0（包括邊界）內運動，且SKIPIF1<0平面AMN，則線段SKIPIF1<0的長度范圍是________.【答案】

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0設點SKIPIF1<0到平面AMN的距離是SKIPIF1<0，依題意得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，則由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.取SKIPIF1<0的中點E，SKIPIF1<0的中點F，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，EF，取EF中點O，連接SKIPIF1<0，∵點M，N分別是棱長為2的正方體SKIPIF1<0中棱BC，SKIPIF1<0的中點，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.∵動點P在正方形SKIPIF1<0（包括邊界）內運動，且SKIPIF1<0面AMN，∴點P的軌跡是線段EF，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴當P與O重合時，SKIPIF1<0的長度取最小值SKIPIF1<0.當P與E（或F）重合時，SKIPIF1<0的長度取最大值為SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0的長度范圍為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.C綜合素養(yǎng)1．（2022·河南駐馬店·高一期末）如圖，三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均為等邊三角形，SKIPIF1<0，O為AB中點，點D在AC上，滿足SKIPIF1<0，且面SKIPIF1<0面ABC．(1)證明：SKIPIF1<0面POD；(2)若點E為PB中點，問：直線AC上是否存在點F，使得SKIPIF1<0面POD，若存在，求出FC的長及EF到面POD的距離；若不存在，說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)見解析(1)由條件SKIPIF1<0、SKIPIF1<0為等邊三角形，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由余弦定理得SKIPIF1<0從而在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0為直角三角形，且SKIPIF1<0，又面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0,則由面面垂直的性質定理可得SKIPIF1<0面SKIPIF1<0由SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0因此由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0面POD.(2)存在AC上的點F，使得SKIPIF1<0面SKIPIF1<0點E為PB中點，取SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，再在面SKIPIF1<0內作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，該點SKIPIF1<0即為滿足題意的點（如圖）．下面證明面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0由于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則由面面平行的判定定理可得面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0面POD又由于SKIPIF1<0，從而可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0