新高考數學一輪復習第7章 第07講 向量法求距離、探索性及折疊問題 練（教師版）

第07講向量法求距離、探索性及折疊問題(精練）A夯實基礎一、單選題1．在棱長為1的正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，則點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C建立空間直角坐標系，如圖，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影為SKIPIF1<0，所以點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故選：C.2．如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，若E，F分別是上底棱的中點，則點A到平面B1D1EF的距離為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A建立如圖所示的空間直角坐標系，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，故選：A.3．在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分別為各邊的中點，現沿著虛線折疊得到一個幾何體，使得點SKIPIF1<0重合于點SKIPIF1<0，則該幾何體的外接球表面積是（）A．18π B．16π C．20π D．22π【答案】C解：折疊后SKIPIF1<0重合于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0重合于SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折疊后重合后得平面SKIPIF1<0，得到如圖，又因為SKIPIF1<0垂直SKIPIF1<0，,即SKIPIF1<0垂直SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0⊥平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0⊥平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0三點共線，所以SKIPIF1<0，由該三棱錐對棱相等，所以三棱錐是長方體內的一部分，設長方體長寬高分別為SKIPIF1<0外接球半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以外接球表面積為SKIPIF1<0，故選:C4．長方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，則異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之間的距離是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D建立如圖所示的空間直角坐標系，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的公垂線的一個方向向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之間的距離為SKIPIF1<0．故選：D．5．已知點A（l，0，0），B（0，l，0），C（0，0，2），SKIPIF1<0，那么過點P平行于平面ABC的平面與平面ABC的距離是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C因為點A（l，0，0），B（0，l，0），C（0，0，2），所以SKIPIF1<0，設平面ABC的一個法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選：C6．由下列平面圖形沿虛線折疊圍成的幾何體中存在面面垂直的有（

）A．②③ B．①③ C．②④ D．①④【答案】C①沿虛線折疊圍成的幾何體是正三棱錐，沒有面面垂直；②沿虛線折疊圍成的幾何體三棱錐背面的側面和底面垂直，②符合題意；③沿虛線折疊圍成的幾何體是三棱柱，當是直三棱柱是才存在面面垂直；④沿虛線折疊圍成的幾何體是長方體，存在面面垂直，符合題意.故選：C7．如圖，菱形SKIPIF1<0的邊長為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，將其沿著對角線SKIPIF1<0折疊至直二面角SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，得到四面體SKIPIF1<0，則此四面體的外接球的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D取SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0都是邊長為SKIPIF1<0的等邊三角形，且SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，二面角SKIPIF1<0的平面角為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的外心，過點SKIPIF1<0作平面SKIPIF1<0的垂線SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0作平面SKIPIF1<0的垂線SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0，所以，四邊形SKIPIF1<0是邊長為SKIPIF1<0的正方形，由正弦定理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此，四面體SKIPIF1<0的外接球的表面積為SKIPIF1<0.故選：D.8．已知正方體SKIPIF1<0的棱長為1，點E、O分別是SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中點，P在正方體內部且滿足SKIPIF1<0，則下列說法錯誤的是（

）A．點A到直線BE的距離是SKIPIF1<0 B．點O到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0C．平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0間的距離為SKIPIF1<0 D．點P到直線AB的距離為SKIPIF1<0【答案】D如圖，建立空間直角坐標系，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故A到直線BE的距離SKIPIF1<0，故A對；易知SKIPIF1<0SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0的一個法向量SKIPIF1<0，則點O到平面SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故B對；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．設平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0．因為平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0間的距離等于點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離，即為SKIPIF1<0，故C對；因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以點P到AB的距離SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故D錯．故選：D二、多選題9．已知直線SKIPIF1<0的方向向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為直線SKIPIF1<0上一點，若點P(SKIPIF1<01，0，SKIPIF1<02)為直線外一點，則P到直線SKIPIF1<0上任意一點Q的距離可能為（

）A．2 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．1【答案】AB由題設條件可知，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，P到直線SKIPIF1<0上任意一點Q的距離要大于等于SKIPIF1<0，故選：AB.10．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則（

）A．點A到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值為SKIPIF1<0C．點A到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值為SKIPIF1<0【答案】BC因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0的一個法向量，所以點A到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，故A錯誤，C正確；SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值為SKIPIF1<0，故B正確，D錯誤．故選：BC.三、填空題11．已知直線SKIPIF1<0的方向向量為SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，則點SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距離為___________.【答案】1SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0．故答案為：1．12．正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a，則平面AB1D1與平面BDC1的距離為_______.【答案】SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面BDC1，SKIPIF1<0平面BDC1，所以SKIPIF1<0平面BDC1，同理SKIPIF1<0平面BDC1，又SKIPIF1<0，所以平面AB1D1//平面BDC1，則兩平行平面間的距離等于點B到平面AB1D1的距離.以D為坐標原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，則A(a,0,0)，B(a，a,0)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設平面AB1D1的一個法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則點B到平面AB1D1的距離SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以平面AB1D1與平面BDC1的距離為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0四、解答題13．如圖：在長方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點.(1)求異面直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所成角的余弦值.(2)求三棱錐SKIPIF1<0的體積【答案】(1)SKIPIF1<0(2)8(1)解：以A為原點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0軸建立空間直角坐標系，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設異面直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；(2)解：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0為平面SKIPIF1<0的法向量，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.14．如圖，在等腰直角三角形SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0上的點，且SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0的中點，現將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折起，得到四棱錐SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0(1)證明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)在翻折的過程中，當SKIPIF1<0時，求二面角SKIPIF1<0的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)SKIPIF1<0.(1)在四棱錐SKIPIF1<0中，取SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，同理可得，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0MNC平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.(2)因為在等腰直角三角形SKIPIF1<0中SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，在四棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0因為SKIPIF1<0則SKIPIF1<0又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0因為SKIPIF1<0SKIPIF1<0則SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以以點SKIPIF1<0為坐標原點，分別以SKIPIF1<0所在方向為SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0軸建立如圖所示的空間直角坐標系SKIPIF1<0，如圖所示，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0為平面SKIPIF1<0的一個法向量，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0為平面SKIPIF1<0的一個法向量，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設二面角SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.因為二面角SKIPIF1<0的余弦值為SKIPIF1<0.B能力提升1．如圖，四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是等腰直角三角形，SKIPIF1<0是邊長為2的正三角形，以SKIPIF1<0為折痕，將SKIPIF1<0向一方折疊到SKIPIF1<0的位置，使D點在平面SKIPIF1<0內的射影在SKIPIF1<0上，再將SKIPIF1<0向另一方折疊到SKIPIF1<0的位置，使平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，形成幾何體SKIPIF1<0.（1）若點F為SKIPIF1<0的中點，求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）求平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）SKIPIF1<0．解：（1）如圖，設D點在平面SKIPIF1<0內的射影為O，連接SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0.∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴在等腰SKIPIF1<0中，O為SKIPIF1<0的中點.∵F為SKIPIF1<0中點，∴SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.取SKIPIF1<0的中點H，連接SKIPIF1<0，則易知SKIPIF1<0，又平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0.∴平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.（2）連接SKIPIF1<0，由（1）可知SKIPIF1<0兩兩垂直，以O為坐標原點SKIPIF1<0所在直線分別為SKIPIF1<0軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0.設平面SKIPIF1<0的一個法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.設平面SKIPIF1<0的一個法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0，∴平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值為SKIPIF1<0．2．如圖1，在梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是等腰直角三角形，其中SKIPIF1<0為斜邊.若把SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0邊折疊到SKIPIF1<0的位置，使平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，如圖2.（1）證明：SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0為棱SKIPIF1<0的中點，求點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離.【答案】（1）見解析；（2）SKIPIF1<0.（1）證明：∵SKIPIF1<0是等腰直角三角形，SKIPIF1<0為斜邊，∴SKIPIF1<0.∵平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）解：由（1）知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，由題意可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0為棱SKIPIF1<0的中點，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，設點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.C綜合素養(yǎng)1．（2021·廣東·佛山一中高二階段練習）如圖，已知多面體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中底面是由半圓SKIPIF1<0及正三角形SKIPIF1<0組成.(1)若SKIPIF1<0是半圓SKIPIF1<0上一點，且SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)半圓SKIPIF1<0上是否存在點SKIPIF1<0，使得二面角SKIPIF1<0是直二面角?若存在，求出SKIPIF1<0的值；若不存在，請說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)存在，SKIPIF1<0(1)證明：∵SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0是正三角形.∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.(2)以SKIPIF1<0的中點為原點，以SKIPIF1<0的中垂線所在直線為SKIPIF1<0軸，以SKIPIF1<0所在直線為SKIPIF1<0軸，建立如圖的空間直角坐標系易得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0設平面SKIPIF1<0的一個法向量為SKIPIF1<0，則由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0設點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0設平面SKIPIF1<0的一個法向量為SKIPIF1<0，則由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.∵二面角SKIPIF1<0是直二面角，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.結合SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（舍掉）.∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0，故存在點SKIPIF1<0，使得結論成立.2．（2021·黑龍江·齊齊哈爾市實驗中學高二期中）如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的外心，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.(1)求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)設平面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，若點SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0（不含端點）上運動，當直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角取最大值時，求二面角SKIPIF1<0的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)SKIPIF1<0(1)如圖，連接SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為