新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第7章 第07講 向量法求距離、探索性及折疊問(wèn)題 講（學(xué)生版）

第07講向量法求距離、探索性及折疊問(wèn)題(精講）目錄第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶第二部分：課前自我評(píng)估測(cè)試第三部分：典型例題剖析題型一：利用空間向量求點(diǎn)到直線的距離題型二：利用空間向量求點(diǎn)到平面的距離題型三：立體幾何中的折疊問(wèn)題題型四：立體幾何綜合問(wèn)題第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶知識(shí)點(diǎn)一：點(diǎn)SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離已知直線SKIPIF1<0的單位方向向量為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是直線SKIPIF1<0上的定點(diǎn)，SKIPIF1<0是直線SKIPIF1<0外一點(diǎn).設(shè)SKIPIF1<0，則向量SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上的投影向量SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由勾股定理得：SKIPIF1<0知識(shí)點(diǎn)二：點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離如圖，已知平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0內(nèi)的定點(diǎn)，SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0外一點(diǎn).過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0作平面SKIPIF1<0的垂線SKIPIF1<0，交平面SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是直線SKIPIF1<0的方向向量，且點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離就是SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上的投影向量SKIPIF1<0的長(zhǎng)度.SKIPIF1<0第二部分：課前自我評(píng)估測(cè)試第二部分：課前自我評(píng)估測(cè)試1．（2022·廣東茂名·高二期末）已知SKIPIF1<0為平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0內(nèi)的一點(diǎn)，則點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·福建廈門·高二期末）直線l的方向向量為SKIPIF1<0，且l過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0，則點(diǎn)SKIPIF1<0到l的距離為(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則點(diǎn)A到直線BC的距離是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．（2022·四川·閬中中學(xué)高二階段練習(xí)（理））已知平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量為SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0內(nèi)，且SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為（

）A．1 B．11 C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（2022·云南·會(huì)澤縣實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)校高二開(kāi)學(xué)考試）在棱長(zhǎng)為SKIPIF1<0的正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0第三部分：典型例題剖析第三部分：典型例題剖析題型一：利用空間向量求點(diǎn)到直線的距離典型例題例題1．（2022·浙江紹興·高二期末）如圖，在正三棱柱SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例題2．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則點(diǎn)SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例題3．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知直線SKIPIF1<0過(guò)定點(diǎn)SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0(0，1，1)為其一個(gè)方向向量，則點(diǎn)SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為_(kāi)______.題型歸類練1．（2022·廣東·深圳市羅湖外語(yǔ)學(xué)校高二期末）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體SKIPIF1<0中，點(diǎn)B到直線SKIPIF1<0的距離為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是從點(diǎn)P出發(fā)的三條線段，每?jī)蓷l線段的夾角均為60°，SKIPIF1<0，若M滿足SKIPIF1<0，則點(diǎn)M到直線SKIPIF1<0的距離為（

）A．SKIPIF1<0 B．3 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））已知棱長(zhǎng)為3的正方體SKIPIF1<0中，點(diǎn)SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0，動(dòng)點(diǎn)P在正方形SKIPIF1<0(包括邊界)內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍為_(kāi)_____.4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，M為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則點(diǎn)M到直線SKIPIF1<0的距離為_(kāi)__________.題型二：利用空間向量求點(diǎn)到平面的距離典型例題例題1．（2022·江蘇宿遷·高二期末）已知經(jīng)過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0的平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，則點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例題2．（2022·江蘇·高二期中）在空間直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離等于（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例題3．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在三棱柱SKIPIF1<0中，所有棱長(zhǎng)均為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，則點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為_(kāi)_____.題型歸類練1．（2022·青?！ずＤ喜刈遄灾沃莞呒?jí)中學(xué)高二期末（理））設(shè)正方體SKIPIF1<0的棱長(zhǎng)為SKIPIF1<0，則點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)，則點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2022·重慶·高二期末）已知空間中四點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則點(diǎn)D到平面ABC的距離為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．04．（2022·江蘇泰州·高二期末）長(zhǎng)方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則點(diǎn)B到平面SKIPIF1<0的距離為_(kāi)_______．5．（2022·北京東城·高二期末）已知點(diǎn)SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0過(guò)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三點(diǎn)，則點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為_(kāi)_______.題型三：立體幾何中的折疊問(wèn)題典型例題例題1．（2022·廣東茂名·高二期末）如圖1，在一個(gè)正方形SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0內(nèi)，有一個(gè)小正方形和四個(gè)全等的等邊三角形.將四個(gè)等邊三角形折起來(lái)，使SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0重合于點(diǎn)SKIPIF1<0，且折疊后的四棱錐SKIPIF1<0的外接球的表面積是SKIPIF1<0(如圖2)，則四棱錐SKIPIF1<0的體積是___________；若在四棱錐SKIPIF1<0內(nèi)放一個(gè)正方體，使正方體可以在四棱錐SKIPIF1<0內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則正方體棱長(zhǎng)的最大值為_(kāi)__________.例題2．（2022·山西·長(zhǎng)治市第四中學(xué)校高一期中（理））如圖，四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，現(xiàn)將四邊形SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折起，使SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，在折疊后的線段SKIPIF1<0上是否存在一點(diǎn)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0？若存在，求出SKIPIF1<0的值；若不存在，說(shuō)明理由.(2)求三棱錐SKIPIF1<0的體積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離.例題3．（2022·山西太原·三模（理））已知三角形SKIPIF1<0是邊長(zhǎng)為2的正三角形，現(xiàn)將菱形SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折疊，所成二面角SKIPIF1<0的大小為SKIPIF1<0，此時(shí)恰有SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的長(zhǎng)；(2)求二面角SKIPIF1<0的余弦值.題型歸類練1．（多選）（2021·重慶市第十一中學(xué)校高三階段練習(xí)）重慶市第十一中學(xué)校高三年級(jí)某班組織了《誦經(jīng)典，獲新知》的演講比賽，本次比賽的冠軍獎(jiǎng)杯由一個(gè)銅球和一個(gè)托盤組成，如圖①，已知球的體積為SKIPIF1<0，托盤由邊長(zhǎng)為SKIPIF1<0的正三角形銅片沿各邊中點(diǎn)的連線向上折疊成直二面角而成，如圖②.則下列結(jié)論正確的是（

）A．經(jīng)過(guò)三個(gè)頂點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的球的截面圓的面積為SKIPIF1<0B．平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0C．直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0D．球面上的點(diǎn)離球托底面SKIPIF1<0的最大距離為SKIPIF1<02．（2022·河北唐山·高一期中）如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB＝AD＝SKIPIF1<0＝1．現(xiàn)以AD為一邊向梯形外作正方形ADEF，然后沿邊AD將正方形ADEF折疊，使ED⊥DC，M為ED的中點(diǎn)，如圖2．圖1

圖2(1)求證：AM∥平面BEC；(2)求證：BC⊥平面BDE；(3)求點(diǎn)D到平面BEC的距離．3．（2022·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知梯形SKIPIF1<0，現(xiàn)將梯形沿對(duì)角線SKIPIF1<0向上折疊，連接SKIPIF1<0，問(wèn)：(1)若折疊前SKIPIF1<0不垂直于SKIPIF1<0，則在折疊過(guò)程中是否能使SKIPIF1<0？請(qǐng)給出證明；(2)若梯形SKIPIF1<0為等腰梯形，SKIPIF1<0，折疊前SKIPIF1<0，當(dāng)折疊至面SKIPIF1<0垂直于面SKIPIF1<0時(shí)，二面角SKIPIF1<0的余弦值．題型四：立體幾何綜合問(wèn)題典型例題例題1．（2022·廣東·高二階段練習(xí)）如圖，三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0側(cè)面SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0的中點(diǎn).(1)求異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角的余弦值；(2)在棱SKIPIF1<0上是否存在一點(diǎn)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值為SKIPIF1<0，若存在，求出SKIPIF1<0的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.例題2．（2022·遼寧·高三期末）如圖，已知三棱柱SKIPIF1<0的側(cè)棱與底面垂直，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上．(1)證明：SKIPIF1<0；(2)當(dāng)平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的銳二面角為SKIPIF1<0時(shí)，求平面SKIPIF1<0與側(cè)面SKIPIF1<0的交線長(zhǎng)．題型歸類練1．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）如圖，在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0分別是棱SKIPIF1<0上的點(diǎn)，且SKIPIF1<0．(1)求證：直線SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKI