分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理（2月）（人教A版2019）（解析版）

專題07分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理

一、單選題

1.某演講比賽候選人中高一學(xué)生5名，高二學(xué)生4名，高三學(xué)生3名，從每個(gè)年級(jí)中各選

1人參加市團(tuán)委組織的演講比賽，則不同的選法有

A.60種B.45種

C.30種D.12種

【試題來源】廣東省云浮市2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期期末

【答案】A

【分析】利用乘法原理可求不同的選法數(shù).

【解析】由乘法計(jì)數(shù)原理可得共有5x4x3=60種不同的選法.故選A.

【名師點(diǎn)睛】本題考查乘法原理的應(yīng)用，在應(yīng)用計(jì)算原理計(jì)數(shù)時(shí)，注意分類還是分步，本題

屬于基礎(chǔ)題

2.若一位三位數(shù)的自然數(shù)各位數(shù)字中，有且僅有兩個(gè)數(shù)字一樣，我們就把這樣的三位數(shù)定

義為“單重?cái)?shù)”.例如：232,114等,則不超過200的“單重?cái)?shù)”中，從小到大排列第22個(gè)“單

重?cái)?shù)”是

A.166B.171

C.181D.188

【試題來源】山東省博興縣第三中學(xué)2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期5月月考

【答案】B

【分析】根據(jù)所給條件進(jìn)行分析，分別求出所有“單重?cái)?shù)”，再找到對應(yīng)排序的“單重?cái)?shù)”，即

可得解.

【解析】由題意可得不超過200的數(shù)，

兩個(gè)數(shù)字一樣同為0時(shí)，有100,200有2個(gè)，

兩個(gè)數(shù)字一樣同為1時(shí)，有110,101,112,121,113,131,一直到191,119,共18個(gè),

兩個(gè)數(shù)字一樣同為2時(shí)，有122,有F個(gè)

同理，兩個(gè)數(shù)字一樣同為3,4,5,6,7,8,9時(shí)各1個(gè)，

綜上，不超過200的“單重?cái)?shù)”共有2+18+8=28,

其中最大的是200,較小的依次為199,191,188,181,177,171,

故第22個(gè)“單重?cái)?shù)”為171,故選B.

【名師點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字規(guī)律，考查了對新概念的理解，同時(shí)考查了邏輯推理能力，屬于

基礎(chǔ)題.

3.完成一項(xiàng)工作，有兩種方法，有5個(gè)人只會(huì)用第一種方法，另外有4個(gè)人只會(huì)第二種方

法，從這9個(gè)人中選1個(gè)人完成這項(xiàng)工作，則不同的選法共有

A.5種B.4種

C.9種D.45種

【試題來源】重慶市部分區(qū)2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期期末聯(lián)考

【答案】C

【分析】根據(jù)加法計(jì)算原理，分成兩類方法相加可得選項(xiàng).

【解析】會(huì)用第一種方法的有5個(gè)人，選1個(gè)人完成這項(xiàng)工作有5種選擇；

會(huì)用第二種方法的有4個(gè)人，選1個(gè)人完成這項(xiàng)工作有4種選擇;兩者相加一共有9種選擇，

故選C.

【名師點(diǎn)睛】本題考查分類加法計(jì)數(shù)原理，屬于基礎(chǔ)題.

4.為響應(yīng)國家“節(jié)約糧食”的號(hào)召，某同學(xué)決定在某食堂提供的2種主食、3種素菜、2種大

葷、4種小葷中選取一種主食、一種素菜、一種葷菜作為今日伙食，并在用餐時(shí)積極踐行“光

盤行動(dòng)”，則不同的選取方法有

A.48種B.36種

C.24種D.12種

【試題來源】備戰(zhàn)2021年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)一遍過

【答案】B

【分析】利用分步計(jì)數(shù)原理，分3步即可求出

【解析】由題意可知，分三步完成：

第一步，從2種主食中任選一種有2種選法；

第二步，從3種素菜中任選一種有3種選法；

第三步，從6種葷菜中任選一種有6種選法，

根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共有2x3x6=36不同的選取方法，故選B

5.從甲、乙、丙三人中選出兩人并站成一排的所有站法為

A.甲乙，乙甲，甲丙，丙甲

B.甲乙丙，乙丙甲

C.甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙

2

D.甲乙，甲丙，乙丙

【試題來源】人教B版（2019）選擇性必修第二冊過關(guān)斬將第三章排列、組合與二

項(xiàng)式定理

【答案】C

【解析】若選出的是甲、乙，則站法有甲乙、乙甲；

若選出的是甲、丙，則站法有甲丙、丙甲；

若選出的是乙、丙，則站法有乙丙、丙乙.故選C.

6.在一次運(yùn)動(dòng)會(huì)上有四項(xiàng)比賽的冠軍在甲、乙、丙三人中產(chǎn)生，那么不同的奪冠情況共有

（）種

A.A：B.43

C.34D.C：

【試題來源】2021年高考數(shù)學(xué)【熱點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)】專練（上海專用）

【答案】C

【分析】四項(xiàng)比賽的冠軍依次在甲、乙、丙三人中選取，每項(xiàng)冠軍都有3種選取方法，由乘

法原理可得冠軍獲獎(jiǎng)?wù)叩那闆r.

【解析】由題意四項(xiàng)比賽的冠軍依次在甲、乙、丙三人中選取，

每項(xiàng)冠軍都有3種選取方法，由乘法原理共有3x3x3x3=34種.故選C

7.學(xué)校計(jì)劃在周一至周四的藝術(shù)節(jié)上展演《雷雨》、《茶館》、《天籟》、《馬蹄聲碎》四部話

劇，每天一部，受多種因素影響，話劇《雷雨》不能在周一、周四上演；《茶館》不能在周

一、周三上演；《天籟》不能在周三、周四上演；《馬蹄聲碎》不能在周一、周四上演，則所

有的可能情況有（）種.

A.0B.1

C.2D.3

【試題來源】湖北省武漢外國語學(xué)校2020屆高三下學(xué)期高考沖刺押題聯(lián)考（一）（理）

【答案】C

【分析】根據(jù)話劇《雷雨》不能在周一、周四上演；《茶館》不能在周一、周三上演；《天籟》

不能在周三、周四上演；《馬蹄聲碎》不能在周一、周四上演，列表分析即可.

【解析】

3

周一周二周三周四

雷雨00

茶館00

天籟00

馬蹄聲碎00

根據(jù)以上圖表，可知周四只能是《茶館》，周一只能是《天籟》，周二周三《雷雨》和《馬蹄

聲碎》可以交換.故選c

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查邏輯推理和簡單的計(jì)數(shù)問題，屬于基礎(chǔ)題.

8.從集合｛1,2,3,4,…,15｝中任意選擇三個(gè)不同的數(shù)，使得這三個(gè)數(shù)組成等差數(shù)列，這樣的

等差數(shù)列有（）個(gè)

A.98B.56

C.84D.49

【試題來源】上海市華東師范大學(xué)第二附屬中學(xué)2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期期中

【答案】A

【分析】分類討論當(dāng)公差為1，2,……，7時(shí)，對應(yīng)的等差數(shù)列個(gè)數(shù)，再根據(jù)三個(gè)數(shù)成公

差數(shù)列有兩種情況，遞增或遞減，即可得到答案.

【解析】當(dāng)公差為1時(shí),數(shù)列可以是1,2,3,2,3,4,3,4,5.....13,14,15,共13種情況.

當(dāng)公差為2時(shí)，數(shù)列可以是1,3,5,2,4,6,3,5,7,……11,13,15,共”種情況.

當(dāng)公差為3時(shí),數(shù)列可以是L4,7,2,5,8,3,6,9,……9,12,15,共9種情況.

當(dāng)公差為4時(shí)，數(shù)列可以是1,5,9,2,6,10,3,7,11,……7,11,15,共7種情況.

當(dāng)公差為5時(shí)，數(shù)列可以是1,6,11,2,7,12,3,8,13,4,9,14,5,10,15,共5種情況.

當(dāng)公差為6時(shí)，數(shù)列可以是1,7,13,2,8,14,3,9,15,共3種情況.

當(dāng)公差為7時(shí)，數(shù)列可以是1,8,15,共1種情況.

總的情況是13+11+9+7+5+3+1=49.

因?yàn)槿齻€(gè)數(shù)成公差數(shù)列有兩種情況，遞增或遞減，

4

所以這樣的等差數(shù)列共有98個(gè).故選A

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查分類計(jì)數(shù)原理，同時(shí)考查了等差數(shù)列的定義，屬于簡單題.

9.洛書，古稱龜書，是陰陽五行術(shù)數(shù)之源，在古代傳說中有神龜出于洛水，其甲殼上有此

圖象，結(jié)構(gòu)是戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足，以五居中，五方白圈皆陽數(shù)，四

角黑點(diǎn)為陰數(shù).如圖，若從四個(gè)陰數(shù)和五個(gè)陽數(shù)中各隨機(jī)選取1個(gè)數(shù)，則選取的兩數(shù)之和能

被5整除的概率為

【試題來源】安徽省六安中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期開學(xué)考試（文）

【答案】C

【分析】由題意可知，陰數(shù)為2,4,6,8,陽數(shù)為1,3,5,7,9.各選一個(gè)數(shù)，求出所

有的選法，求出其和能被5整除的選法種數(shù)，根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式，即得答案.

【解析】由題意可知，陰數(shù)為2,4,6,8,陽數(shù)為1,3,5,7,9.

各選一個(gè)數(shù)，共有4x5=20種選法.

其和能被5整除的分別為2,3；4,1；6,9；8,7,共4種選法，

41

選取的兩數(shù)之和能被5整除的概率P=方=g.故選C.

【名師點(diǎn)睛】本題考查古典概型和計(jì)數(shù)原理，屬于基礎(chǔ)題.

10.如圖，用五種不同的顏色分別給A,B,C,D四個(gè)區(qū)域涂色，相鄰區(qū)域必須涂不同顏

色，若允許同一種顏色多次使用，則不同的涂色方法共有多少種

5

A.280B.180

C.96D.60

【試題來源】廣西南寧市銀海三美學(xué)校2018-2019學(xué)年高二3月月考（理）

【答案】B

【分析】按區(qū)域分四步，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，即可求得結(jié)論.

【解析】按區(qū)域分四步：第1步，A區(qū)域有5種顏色可選；

第2步，8區(qū)域有4種顏色可選；

第3步，C區(qū)域有3種顏色可選；

第4步，。區(qū)域也有3種顏色可選.

由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有5x4x3x3=180種不同的涂色方案.

選選：B.

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查計(jì)數(shù)原理的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確分步是關(guān)

鍵，屬于基礎(chǔ)題.

11.某小組有8名男生，4名女生，要從中選取一名當(dāng)組長，不同的選法有

A.32種B.9種

C.12種D.20種

【試題來源】備戰(zhàn)2021年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)一遍過

【答案】C

【分析】根據(jù)加法原理直接計(jì)算可得答案.

【解析】從8名男生4名女生選取一名當(dāng)組長，

是男生的選法有8種，是女生選法的有4種，共有12利I故選C.

【名師點(diǎn)睛】本題考查了加法原理，屬于基礎(chǔ)題.

12.A、B、C、D、￡五人排一個(gè)5天的值日表，每天由一人值日，每人可以值多天或

不值，但相鄰的兩天不能由同一人值，那么值日表的排法種數(shù)為

A.120B.324

C.720D.1280

【試題來源】備戰(zhàn)2021年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)一遍過

【答案】D

【分析】根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，結(jié)合限制條件，逐次排列，即可求解.

【解析】根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，可得

6

第一天可以是5個(gè)人中的任意一個(gè)，共有5種情形；

第二天除了第一天的那個(gè)人，另外4個(gè)人任意一個(gè)都可以，共有4種情形；

第三天除了第二天的那個(gè)人，另外4個(gè)人任意一個(gè)都可以，共有4種情形；

第四天除了第三天的那個(gè)人，另外4個(gè)人任意一個(gè)都可以，共有4種情形；

第五天除了第四天的那個(gè)人，另外4個(gè)人任意一個(gè)都可以，共有4種情形；

所以所有的排法總數(shù)為5x4x4x4x4=1280種.故選D.

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，其中解答中注意對限制條件的排列與遵

循原則，屬于基礎(chǔ)題.

13.四個(gè)學(xué)生，隨機(jī)分配到三個(gè)車間去勞動(dòng)，不同的分配方法數(shù)是

A.12B.64

C.81D.24

【試題來源】2021年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測

【答案】C

【解析】先安排一位同學(xué)分配到三個(gè)車間去勞動(dòng)，有3種安排方法，

同理，再安排一位同學(xué)分配到三個(gè)車間去勞動(dòng)，也有3種安排方法，

依次類推，因此，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理共有34=81種分配方法.故選C

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解決實(shí)際問題，屬于容易題.

14.一般地，一個(gè)程序模塊由許多子模塊組成，一個(gè)程序模塊從開始到結(jié)束的路線稱為該程

序模塊的執(zhí)行路徑.如圖是一個(gè)計(jì)算機(jī)程序模塊，則該程序模塊的不同的執(zhí)行路徑的條數(shù)是

A.6B.14

7

C.49D.84

【試題來源】北京市朝陽區(qū)2019-202（）學(xué)年度高二下學(xué)期期末質(zhì)量檢測

【答案】C

【分析】利用分類加法和分步乘法計(jì)數(shù)原理即可求解.

【解析】由分類加法計(jì)數(shù)原理，子模塊1或子模塊2或子模塊3的子路徑共有2+2+3=7

條；子模塊4或子模塊5中的子路徑共有4+3=7條，

由分步乘法計(jì)數(shù)原理，整個(gè)模塊的不同執(zhí)行路徑共有7x7=49條，故選C

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理，屬于基礎(chǔ)題.

15.3位同學(xué)報(bào)名參加兩個(gè)課外活動(dòng)小組，每位同學(xué)限報(bào)其中的一個(gè)小組，則不同的報(bào)名方

法共有

A.5種B.6種

C.8種D.9種

【試題來源】江蘇省無錫市太湖高級(jí)中學(xué)2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期期中

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，可得每位同學(xué)都有2種報(bào)名方法，結(jié)合分步計(jì)數(shù)原理，即可求解.

【解析】由題意，3位同學(xué)報(bào)名參加兩個(gè)課外活動(dòng)小組，每位同學(xué)限報(bào)其中的一個(gè)小組，

則每位同學(xué)都有2種報(bào)名方法，則這3為同學(xué)共有2x2x2=8種不同的報(bào)名方法，故選C.

【名師點(diǎn)睛】利用分步計(jì)數(shù)原理解決問題的策略：（1）利用分步計(jì)數(shù)原理解決問題時(shí)要注意

事件發(fā)生的過程來合理分步，即分步是有先有后的順序，并且分步必須滿足：完成一件事的

各個(gè)步驟時(shí)相互依存的，只有各個(gè)步驟都完成了，才算完成這件事；（2）分步必須滿足兩個(gè)

條件：一是各步驟相互獨(dú)立，互不干擾；二是步與步之間確保連續(xù)，逐步完成.

16.如圖，小圓圈表示網(wǎng)絡(luò)的結(jié)點(diǎn)，結(jié)點(diǎn)之間的連線表示它們有網(wǎng)相聯(lián).連線標(biāo)注的數(shù)字表

示該段網(wǎng)線單位時(shí)間內(nèi)可以通過的最大信息量，現(xiàn)從結(jié)點(diǎn)5向結(jié)點(diǎn)A傳遞信息，信息可以

分開沿不同的路線同時(shí)傳遞，則單位時(shí)間內(nèi)傳遞的最大信息量為

8

A.26B.24

C.20D.19

【試題來源】2020-2021年新高考高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)對點(diǎn)練

【答案】D

【分析】要想求得單位時(shí)間內(nèi)從結(jié)點(diǎn)B向結(jié)點(diǎn)A傳遞的最大信息量，關(guān)鍵是分析出每段網(wǎng)

線在單位時(shí)間內(nèi)傳遞的最大信息量.

【解析】依題意，首先找出A到5的路線，

①單位時(shí)間內(nèi)從結(jié)點(diǎn)A經(jīng)過上面一個(gè)中間節(jié)點(diǎn)向結(jié)點(diǎn)8傳遞的最大信息量，從結(jié)點(diǎn)A向中

間的結(jié)點(diǎn)傳出12個(gè)信息量，在該結(jié)點(diǎn)處分流為6個(gè)和5個(gè)，此時(shí)信息量為11；再傳到結(jié)點(diǎn)

B最大傳遞分別是4個(gè)和3個(gè)，此時(shí)信息量為3+4=7個(gè).

②單位時(shí)間內(nèi)從結(jié)點(diǎn)A經(jīng)過下面一個(gè)中間結(jié)點(diǎn)向結(jié)點(diǎn)3傳遞的最大信息量是12個(gè)信息量,

在中間結(jié)點(diǎn)分流為6個(gè)和8個(gè)，但此時(shí)總信息量為12（因?yàn)榭偣仓挥?2個(gè)信息量）；再往

下到結(jié)點(diǎn)8最大傳遞7個(gè)但此時(shí)前一結(jié)點(diǎn)最多只有6個(gè)，另一條路線到最大只能傳輸6個(gè)

結(jié)點(diǎn)B，所以此時(shí)信息量為6+6=12個(gè).

③綜合以上結(jié)果，單位時(shí)間內(nèi)從結(jié)點(diǎn)5向結(jié)點(diǎn)A傳遞的最大信息量是3+4+6+6=19

個(gè).故選。.

【名師點(diǎn)睛】本題考查分類計(jì)數(shù)的加法原理，對于此類問題，首先應(yīng)分清是用分步計(jì)數(shù)還是

分類計(jì)數(shù).

17.大學(xué)生小王和小張即將參加實(shí)習(xí)，他們分別從荊州市荊州中學(xué)，荊門市龍泉中學(xué)、鐘祥

一中，襄陽市第四中學(xué)、第五中學(xué)，宜昌市第一中學(xué)、夷陵中學(xué)這七所省重點(diǎn)中學(xué)中隨機(jī)選

擇一所參加實(shí)習(xí)，兩人可選同一所或者兩所不同的學(xué)校，假設(shè)他們選擇哪所學(xué)校是等可能的，

則他們在同一個(gè)市參加實(shí)習(xí)的概率為

【試題來源】人教B版（2019）選擇性必修第二冊過關(guān)斬將第三章排列、組合與二

項(xiàng)式定理

【答案】C

【分析】小王和小張他們選擇哪所學(xué)校是等可能的，兩人隨機(jī)選擇一所參加實(shí)習(xí)，共有49

種選法，乂他們到同個(gè)市參加實(shí)習(xí)共13種選法，利用古典概型求解即可.

9

【解析】由題意知，兩人從七所學(xué)校中隨機(jī)選擇一所參加實(shí)習(xí)，共有7x7=49種選法,

他們在同一個(gè)市參加實(shí)習(xí)共有1*1+2><2+2*2+2*2=13種選法，

所以他們在同一個(gè)市參加實(shí)習(xí)的概率為F,故選C

49

18.某公共汽車上有10位乘客，沿途5個(gè)車站，乘客下車的可能方式有

A.51°種B.d種

C.50種D.3024種

【試題來源】2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)單元測試定心卷（人教B版2019選擇性必修第二冊）

【答案】A

【分析】乘客下車這個(gè)事件可以考慮每個(gè)乘客的下車方式，應(yīng)用分步乘法原理求解.

【解析】每位乘客都有5種不同的下車方式，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有5",種可能的下

車方式，故選A.

19.從6種不同的顏色中選出一些顏色給如圖所示的4個(gè)格子涂色，每個(gè)格子涂一種顏色,

且相鄰的兩個(gè)格子顏色不同，則不同的涂色方法有

A.360種B.510種

C.630種D.750種

【試題來源】重慶市鳳鳴山中學(xué)校2021屆高三上學(xué)期10月月考

【答案】D

【分析】根據(jù)從6種顏色中選，給最左邊的個(gè)格子涂色有6種選擇，再根據(jù)相鄰的兩個(gè)格

子顏色不同，依次涂色，最后利用分步計(jì)數(shù)原理求解.

【解析】首先給最左邊的一個(gè)格子涂色有6種選擇，左邊第二個(gè)格子有5種選擇，左邊第三

個(gè)格子有5種選擇，左邊第四個(gè)格子有5種選擇，

不同的涂色方法有6x5x5x5=750,故選D

20.中國有十二生肖，又叫十二屬相，每一個(gè)人的出生年份對應(yīng)了十二種動(dòng)物（鼠、牛、虎、

兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬）中的一種.現(xiàn)有十二生肖的吉祥物各一個(gè)，三位同

學(xué)依次選一個(gè)作為禮物，甲同學(xué)喜歡牛和馬，乙同學(xué)喜歡牛、狗和羊，丙同學(xué)每個(gè)吉祥物都

喜歡，如果三位同學(xué)對選取的禮物都滿意，則選法有

A.50種B.60種

10

C.90種D.180種

【試題來源】2021年高考一輪數(shù)學(xué)單元復(fù)習(xí)一遍過（新高考地區(qū)專用

【答案】A

【分析】分情況討論：若甲同學(xué)選擇?；蚣淄瑢W(xué)選擇馬，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理即可求解.

【解析】①若甲同學(xué)選擇牛，則乙同學(xué)有2種選擇，丙同學(xué)有10種選擇，選法種數(shù)為

2x10=20,

②若甲同學(xué)選擇馬，則乙同學(xué)有3種選擇，內(nèi)同學(xué)有10種選擇，選法種數(shù)為3x10=30,

綜上，總共有20+30=50種選法，故選A.

21.現(xiàn)有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、50元人民幣各一張，100元人民幣2

張，從中至少取一張，共可組成不同的幣值種數(shù)是

A.1024種B.1023種

C.1536種D.1535種

【試題來源】2021年高考數(shù)學(xué)【熱點(diǎn)。重點(diǎn)。難點(diǎn)】專練（上海專用）

【答案】D

【分析】先看一張人民幣的取法，再看2張10（）元人民幣的取法，利用分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算即

可.

【解析】除100元人民幣以外每張均有取和不取2種情況，

2張100元人民幣的取法有不取、取一張和取二張3種情況，

再減去這些人民幣全不取的1種情況，

所以共有29x3-1=1535種.故選D.

【名師點(diǎn)睛】誤解：因?yàn)楣灿腥嗣駧?0張，每張人民幣都有取和不取2種情況，減去全不

取的1種情況，共有2">-1=1023種.

22.將編號(hào)1,2,3,4的小球放入編號(hào)為1,2,3的盒子中，要求不允許有空盒子，且球

與盒子的號(hào)不能相同，則不同的放球方法有

A.16種B.12種

C.9種D.6種

【試題來源】甘肅省會(huì)寧縣第二中學(xué)2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期期中考試（理）

【答案】B

【分析】分六種情況討論，求解每一種類型的放球方法數(shù)，然后利用分類計(jì)數(shù)加法原理求解

11

即可.

【解析】由題意可知，這四個(gè)小球有兩個(gè)小球放在一個(gè)盒子中，當(dāng)四個(gè)小球分組為如下情況

時(shí)，放球方法有:

當(dāng)1與2號(hào)球放在同一盒子中時(shí)，有2種不同的放法;

當(dāng)1與3號(hào)球放在同一盒子中時(shí)，有2種不同的放法;

當(dāng)1與4號(hào)球放在同一盒子中時(shí)，有2種不同的放法;

當(dāng)2與3號(hào)球放在同一盒子中時(shí)，有2種不同的放法;

當(dāng)2與4號(hào)球放在同一盒子中時(shí)，有2種不同的放法;

當(dāng)3與4號(hào)球放在同一盒子中時(shí)，有2種不同的放法;

因此，不同的放球方法有12種，故選B.

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查分類計(jì)數(shù)加法原理的應(yīng)用，解答這類問題理解題意很關(guān)鍵，一定

多讀題才能挖掘出隱含條件.解題過程中要首先分清“是分類還是分步“，在應(yīng)用分類計(jì)數(shù)加

法原理討論時(shí)，既不能重復(fù)交叉討論又不能遺漏，這樣才能提高準(zhǔn)確率.

23.如圖，用四種不同的顏色給圖中的A,B,C,D,E,F,G七個(gè)點(diǎn)涂色，要求每個(gè)點(diǎn)涂

一種顏色，且圖中每條線段的兩個(gè)端點(diǎn)涂不同顏色，則不同的涂色方法有

A.192種

C.600種D.624種

【試題來源】人教B版（2019）選擇性必修第二冊過關(guān)斬將第三章排列、組合與二

項(xiàng)式定理

【答案】C

【分析】由題意，點(diǎn)E,F,G分別有4,3,2種涂法，再分當(dāng)A與尸相同、A與G相同和

A既不同于F又不同于G,三種情況討論，進(jìn)而求解.

【解析】由題意，點(diǎn)E,F,G分別有4,3,2種涂法，

（1）當(dāng)A與F相同時(shí)，A有1種涂色方法，此時(shí)8有2種涂色方法，

12

①若(7與/相同，則C有1種涂色方法，此時(shí)。有3種涂色方法；

②若C與尸不同，則。有2種涂色方法.

故此時(shí)共有4x3x2xlx2x(lx3+lx2)=240種涂色方法.

(2)當(dāng)A與G相同時(shí)，A有1種涂色方法，

①若C與F相同，則C有1種涂色方法，此時(shí)2有2種涂色方法，。有2種涂色方法；

②若C與尸不同，則C有2種涂色方法，此時(shí)B有2種涂色方法，。有F種涂色方法.

故此時(shí)共有4x3x2x1x(lx2x2+2x2x1)=192種涂色方法.

(3)當(dāng)A既不同于下又不同于G時(shí)，A有1種涂色方法.

①若8與F相同，則C與A相同時(shí)，。有2種涂色方法，C與A不同時(shí)，C和。均只有1

種涂色方法；

②若8與尸不同，則8有1種涂色方法，

(1)若C與尸相同，則C有1種涂色方法，此時(shí)。有2種涂色方法；

(2)若C與F不同，則必與A相同，C有1種涂色方法，此時(shí)。有2種涂色方法.

故此時(shí)共有4x3x2xlxlx[(lx2+lxl)+lx(lx2+lx2)]=168種涂色方法.

綜上，共有240+192+168=600種涂色方法.故選C.

【名師點(diǎn)睛】利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解題的策略：

(1)利用分類計(jì)數(shù)原理解題分類時(shí)應(yīng)注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類，

并且分步屬于不同種類的兩種方法是不同的方法，不能重復(fù)，分類時(shí)除了不能交叉重復(fù)外,

還不能有遺漏：

(2)利用分步計(jì)數(shù)原理解題時(shí)要注意按事件發(fā)生的過程合理分步，即分步時(shí)有先有后順序

的，并且分步必須滿足：完成一件事的各個(gè)步驟是相互依存的，只有各個(gè)步驟都完成了，才

算完成這件事，分步必須滿足兩個(gè)條件：一是各步驟相互獨(dú)立，互不干擾：二是步與步之間

確保連續(xù)，逐步完成.

24.已知集合尸={1,2,3,4,5},若A,8是尸的兩個(gè)非空子集，則所有滿足A中的最大數(shù)

小于B中的最小數(shù)的集合對(A,8)的個(gè)數(shù)為

A.49B.48

C.47D.46

【試題來源】江蘇省揚(yáng)州中學(xué)2020-2021學(xué)年高一上學(xué)期10月月考

13

【答案】A

【分析】利用分類計(jì)數(shù)法，當(dāng)A中的最大數(shù)分別為1、2、3、4時(shí)確定A的集合數(shù)量，并得

到對應(yīng)3的集合個(gè)數(shù)，它們在各情況下個(gè)數(shù)之積，最后加總即為總數(shù)量.

【解析】集合尸={1,2,3,4,5}知

1、若A中的最大數(shù)為1時(shí)，B中只要不含1即可：A的集合為{1},

而8有2"-1=15種集合，集合對（4，8）的個(gè)數(shù)為15；

2、若A中的最大數(shù)為2時(shí)，8中只要不含1、2即可：

A的集合為{2},{1,2},而8有23-1=7種,

集合對（A,B）的個(gè)數(shù)為2x7=14；

3、若A中的最大數(shù)為3時(shí)，8中只要不含1、2、3即可：

A的集合為{3},{1,3},{2,3},{1,2,3},而8有2?—1=3種，

集合對（A,8）的個(gè)數(shù)為4x3=12；

4、若A中的最大數(shù)為4時(shí)，8中只要不含1、2、3、4即可：

A的集合為⑷,{1,4},{2,4},{3,4},{1,2,4},{1,3,4},{2,3,4},{1,2,3,4},

而B有2—1=1種，集合對（A,8）的個(gè)數(shù)為8x1=8；

所以?共有15+14+12+8=49個(gè)，故選A

【名師點(diǎn)睛】本題考查了分類計(jì)數(shù)原理，按集合最大數(shù)分類求出各類下集合對的數(shù)量，應(yīng)用

加法原理加總，屬于難題.

25.設(shè)/={1,2,3,4,},A與8是/的子集，若AnB={l,3},則稱（AB）為一個(gè)“理想配

集那么符合此條件的“理想配集”（規(guī)定（AB）與（3,A）是兩個(gè)不同的“理想配集”的個(gè)數(shù)

是

A.16B.9

C.8D.4

【試題來源】2021年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，子集A和8不可以互換，從子集A分類討論，結(jié)合計(jì)數(shù)原理，即可求

解.

14

【解析】由題意，對子集A分類討論：

當(dāng)集合4={1,3},集合B可以是{123,4},{1,3,4},{1,2,3},{1,3},共4中結(jié)果；

當(dāng)集合A={1,2,3},集合8可以是{L3,4},{1,3},共2種結(jié)果：

當(dāng)集合A={L3,4},集合B可以是{1,2,3},{1,3},共2種結(jié)果;

當(dāng)集合A={1,2,3,4},集合3可以是{1,3},共1種結(jié)果，

根據(jù)計(jì)數(shù)原理，可得共有4+2+2+1=9種結(jié)果.故選B.

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了集合新定義及其應(yīng)用，其中解答正確理解題意，結(jié)合集合子集

的概念和計(jì)數(shù)原理進(jìn)行解答值解答額關(guān)鍵，著重考查分析問題和解答問題的能力.

二、多選題

1.某校實(shí)行選課走班制度，張毅同學(xué)選擇的是地理、生物、政治這三科，且生物在8層,

該校周一上午選課走班的課程安排如下表所示，張毅選擇三個(gè)科目的課各上一節(jié)，另外一節(jié)

上自習(xí)，則下列說法正確的是

第1節(jié)第2節(jié)第3節(jié)第4節(jié)

地理1班化學(xué)A層3班地理2班化學(xué)A層4班

生物4層1班化學(xué)8層2班生物B層2班歷史B層1班

物理A層1班生物A層3班物理A層2班生物A層4班

物理B層2班生物8層1班物理B層1班物理A層4班

政治1班物理A層3班政治2班政治3班

A.此人有4種選課方式B.此人有5種選課方式

C.自習(xí)不可能安排在第2節(jié)D.自習(xí)可安排在4節(jié)課中的任一節(jié)

【試題來源】人教B版（2019）選擇性必修第二冊過關(guān)斬將第三章排列、組合與二

項(xiàng)式定理

【答案】BD

【分析】根據(jù)表格分類討論即可得到結(jié)果.

【解析】由于生物在8層，只有第2,3節(jié)有，故分兩類：

若生物選第2節(jié)，

15

則地理可選第1節(jié)或第3節(jié)，有2種選法，

其他兩節(jié)政治、自習(xí)任意選，

故有2x2=4種（此種情況自習(xí)可安排在第1、3、4節(jié)中的某節(jié)）；

若生物選第3節(jié)，

則地理只能選第1節(jié)，政治只能選第4節(jié)，自習(xí)只能選第2節(jié)，故有1種.

根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可得選課方式有4+1=5種.

綜上，自習(xí)可安排在4節(jié)課中的任一節(jié).故選BD.

2.幾只猴子在一棵枯樹上玩耍，假設(shè)它們均不慎失足下落，已知（1）甲在下落的過程中依

次撞擊到樹枝A,B,C；（2）乙在下落的過程中依次撞擊到樹枝。，E,F；（3）丙在

下落的過程中依次撞擊到樹枝G,A,C;（4）丁在下落的過程中依次撞擊到樹枝8,D,

“；（5）戊在下落的過程中依次撞擊到樹枝/,C，E,下列結(jié)論正確的是

A.最高處的樹枝為G、/當(dāng)中的一個(gè)

B.最低處的樹枝一定是尸

C.這九棵樹枝從高到低不同的順序共有33種

D.這九棵樹枝從高到低不同的順序共有32種

【試題來源】遼寧省本溪市重點(diǎn)高中2020-2021學(xué)年高二12月月考

【答案】AC

【分析】由題判斷出部分樹枝由高到低的順序?yàn)镚4BCEF,還剩下￡>,H,I,且樹枝/

比。高，樹枝。在樹枝5，E之間，樹枝”比。低，根據(jù)/的位置不同分類討論，求得

這九根樹枝從高到低不同的順序共33種.

【解析】由題判斷出部分樹枝由高到低的順序?yàn)镚ABCEF,還剩下￡>,H,I,且樹枝/

比。高，樹枝。在樹枝B,E之間，樹枝”比。低，故A選項(xiàng)正確；

先看樹枝/，有4種可能，若/在B,C之間，

則。有3種可能：①。在8，/之間，”有5種可能；

②。在/,C之間，H有4種可能；

③。在C，E之間，，有3種可能，

此時(shí)樹枝的高低順序有5+4+3=12（種）.

若/不在8,C之間，則/有3種可能，。有2中可能，

若。在B,C之間，則〃有3種可能，

若。在C，E之間，則”有三種可能，

16

此時(shí)樹枝的高低順序有3X（4+3）=21（利可能，

故這九根樹枝從高到低不同的順序共有12+21=33種，故C選項(xiàng)正確.故選AC.

【名師點(diǎn)睛】（I）解排列組合問題要遵循兩個(gè)原則：一是按元素（或位置）的性質(zhì)進(jìn)行分類：

二是按事情發(fā)生的過程進(jìn)行分步.具體地說，解排列組合問題常以元素（或位置）為主體，即

先滿足特殊元素（或位置），再考慮其他元素（或位置）.

（2）不同元素的分配問題，往往是先分組再分配.在分組時(shí)，通常有三種類型：①不均勻

分組；②均勻分組；③部分均勻分組，注意各種分組類型中，不同分組方法的求法.

三、填空題

1.某學(xué)校有兩個(gè)食堂，甲、乙、丙三名學(xué)生各自隨機(jī)選擇其中的一個(gè)食堂用餐，則他們在

同一個(gè)食堂用餐的概率為.

【試題來源】江蘇省揚(yáng)州市江都區(qū)大橋高級(jí)中學(xué)2020屆高三下學(xué)期學(xué)情調(diào)研（二）

【答案】T

【解析】由題意，三名學(xué)生各自隨機(jī)選擇兩個(gè)食堂中的一個(gè)用餐的情況共有2x2x2=8（種）,

其中他們在同一個(gè)食堂用餐的情況有2種，根據(jù)古典概型概率的計(jì)算公式得，所求概率為

2__[

8"4'

【名師點(diǎn)睛】此題主要考查有關(guān)計(jì)數(shù)原理、古典概型概率的計(jì)算等有關(guān)方面的知識(shí)和運(yùn)算技

能，屬于中低檔題型，也是高頻考點(diǎn).在計(jì)算占典概型中任意一隨機(jī)事件發(fā)生的概率時(shí)，關(guān)

鍵是要找出該試驗(yàn)的基本事件總數(shù)和導(dǎo)致事件發(fā)生的基本事件數(shù)，在不同情況下基本事件數(shù)

的計(jì)算可能涉及排列、組合數(shù)的計(jì)算和使用分類計(jì)數(shù)、分步計(jì)數(shù)原理.

2.某同學(xué)從4本不同的科普雜志、3本不同的文摘雜志、2本不同的娛樂新聞雜志中任選一

本閱讀，則不同的選法共有種.

【試題來源】陜西省西安市藍(lán)田縣2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期期末（理）

【答案】9

【分析】根據(jù)題意，由分類加法原理完成選書這件事.即可得.

【解析】根據(jù)題意，選取的雜志可分三類：科普，文摘，娛樂新聞.

共4+3+2=9：種不同選法.

故答案為9.

【名師點(diǎn)睛】本題考查計(jì)數(shù)原理，解題關(guān)鍵是確定完成事件的方法，本題可用分類加法原理.

17

3.已知某體育場有4個(gè)門，從一個(gè)門進(jìn)，另一個(gè)門出，則不同的走法的種數(shù)為.

【試題來源】廣東省佛山市禪城區(qū)2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期期末

【答案】12

【分析】根據(jù)題意，分別分析進(jìn)門和出門的走法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案.

【解析】根據(jù)題意，某體育場有4個(gè)門，從一個(gè)門進(jìn)，有4種走法，

另一個(gè)門出，有3種走法，

則有4x3=12種不同的走法.

故答案為12.

【名師點(diǎn)睛】本題考查分步乘法計(jì)數(shù)原理，屬于基礎(chǔ)題.

4.在一次球隊(duì)淘汰錦標(biāo)賽（一次失利，該隊(duì)就淘汰）中，有25支隊(duì)伍參賽，要產(chǎn)生唯一的錦

標(biāo)賽冠軍，必須進(jìn)行場比賽.

【試題來源】云南省昆明市第一中學(xué)2020-2021學(xué)年高一上學(xué)期新課標(biāo)數(shù)學(xué)入學(xué)測試試題

【答案】24

【分析】根據(jù)淘汰規(guī)則可知，先進(jìn)行12場比賽淘汰12支隊(duì)伍，然后再進(jìn)行6次比賽淘汰6

支隊(duì)伍，如此類推可得答案.

【解析】由題意可得，25進(jìn)13要賽12場，13進(jìn)7要賽6場，7進(jìn)4要賽3場，4進(jìn)2要賽

2場，決賽要賽1場，所以一共耍賽12+6+3+2+1=24場，

故答案為24.

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查分類計(jì)數(shù)原理，分清類型是求解的關(guān)鍵，注意與分步計(jì)數(shù)原理的

區(qū)別，屬于容易題.

5.一個(gè)三層書架，分別放置語文書12本，數(shù)學(xué)書14本，英語書11本，從中任取一本，則

不同的取法有種.（以數(shù)字作答）

【試題來源】人教B版（2019）選擇性必修第二冊過關(guān)斬將第三章排列、組合與二

項(xiàng)式定理

【答案】37

【分析】根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，由題中條件，即可得出結(jié)果.

【解析】一個(gè)三層書架，分別放置語文書12本，數(shù)學(xué)書14本，英語書11本，從中任取一

本，由分類加法計(jì)數(shù)原理可知，不同的取法有12+14+11=37種，

故答案為37.

6.如圖，在由電鍵組A與8組成的串聯(lián)電路（規(guī)定每組電鍵只能合上其中的一個(gè)電鍵）中，

18

接通電源使燈泡發(fā)光的方法有種.

【試題來源】人教B版(2019)選擇性必修第二冊過關(guān)斬將第三章排列、組合與二

項(xiàng)式定理

【答案】6

【分析】根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，由題中條件，即可求出結(jié)果.

【解析】要完成的"一件事''是"使燈泡發(fā)光”，只有先合上A組中2個(gè)電鍵中的任意一個(gè)，再

合上B組中3個(gè)電鍵中的任意一個(gè)時(shí)，接通電源，燈泡才能發(fā)光.

因此要完成這件事，需要分步，只有各個(gè)步驟都完成才能使燈泡發(fā)光，

所以接通電源使燈泡發(fā)光的方法有2x3=6種.

故答案為6.

7.某儲(chǔ)蓄卡密碼共有6位數(shù)字，每位數(shù)字都可從0-9中任選一個(gè)，則可設(shè)置的銀行卡密碼

共有種.

【試題來源】湖南省長沙市長郡中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期末

【答案】1()6

【分析】利用乘法原理即可.

【解析】每位上的數(shù)字有10個(gè)數(shù)字可選，由乘法原理總共有1()6種.

故答案為IO，

8.現(xiàn)用五種不同的顏色，要對如圖中的四個(gè)部分進(jìn)行著色，要求公共邊的兩塊不能用同一

種顏色，共有種不同著色方法

【試題來源】江蘇省常州市新橋高級(jí)中學(xué)2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期期中

【答案】260

19

【分析】先排i,然后排ii,iv,最后排ni,由此求得不同著色方法數(shù).

【解析】先排I，有5種方法；

然后排ILIV,最后排ni：

①當(dāng)II,IV相同時(shí)，方法有4x4和，，故方法數(shù)有5x4x4=80種.

②當(dāng)n,IV不同時(shí),方法有4x3x3種，故方法數(shù)有5x4x3x3=180種.

綜上所述，不同的著色方法數(shù)有80+180=260種.

故答案為260

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查分類加法、分步乘法計(jì)數(shù)原理，屬于基礎(chǔ)題.

9.學(xué)校食堂在某天中午備有6種素菜，4種葷菜，2種湯，現(xiàn)要配成一葷一素一湯的套餐,

則可以配制出不同的套餐種.

【試題來源】貴州省畢節(jié)市威寧縣2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期期末考試（理）

【答案】48

【分析】根據(jù)備有6種素菜，4種葷菜，2種湯，則葷菜有4種選法，素菜有6種選法，湯

菜有2種選法，然后再利用分步計(jì)數(shù)原理求解.

【解析】因?yàn)閭溆?種素菜，4種葷菜，2種湯，

所以葷菜有4種選法，素菜有6種選法，湯菜有2種選法，

所以要配成一葷一素一湯的套餐，則可以配制出不同的套餐有4x6x2=48種

故答案為48

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

10.汽車上有5名乘客，沿途有3個(gè)車站，每人在3個(gè)車站中隨機(jī)任選一個(gè)下車，直到乘客

全部下車，不同的下站方法有種.（用數(shù)字作答）

【試題來源】2021年新高考數(shù)學(xué)?輪復(fù)習(xí)學(xué)與練

【答案】243

【分析】由每位乘客可以在任意的車站下車，得到每位乘客下車的情況有3種，然后利用分

步計(jì)數(shù)原理求解.

【解析】因?yàn)槊课怀丝涂梢栽谌我獾能囌鞠萝嚕?/p>

所以每位乘客下車的情況有3種，

所以5名乘客下客站的方法有3x3x3x3x3=243種.

20

故答案為243

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

11.某玩具廠參加2020年邯鄲園博園產(chǎn)品展出，帶了四款不同類型不同價(jià)格的玩具牛，它

們的價(jià)格費(fèi)你別是20,30,50,100,某禮品進(jìn)貨商想趁牛年之際搞一個(gè)玩具特賣會(huì)，準(zhǔn)備

買若干款不同類型的玩具樣品（每款只購一只，且必須至少買一款），因信用卡出現(xiàn)故障，

身上現(xiàn)金只剩170元，請問該禮品進(jìn)貨商購買玩具樣品的方案有種（用數(shù)字表示）.

【試題來源】河北省邯鄲市大名縣第一中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期（普通班）10月月

考

【答案】13

【分析】依題意，每款只購一只，且必須至少買一款，且消費(fèi)金額不能超過17（）元，分三種

情況討論，分別列出所有可能情況，即可得解；

【解析】依題意，每款只購一只，且必須至少買一款，且消費(fèi)金額不能超過170元，

故可分為以下幾種情況：

①只購買一款玩具樣品，共四種方案

②購買兩款玩具樣品，

買20和30的各一只；買20和50的各一只；買20和100的各一只；買30和50的各一只；

買30和100的各一只；買50和100的各一只：共六種方案；

③購買三款玩具樣品

買20,30和50的各一只；買20,30和100的各一只；買20、50和100的各一只；

共3種方案：

所以購買玩具的方案共有13種；

故答案為13

【名師點(diǎn)睛】本題考查分類計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

12.如圖，一環(huán)形花壇分成A,B,C,D四個(gè)區(qū)域，現(xiàn)有5種不同的花供選種，要求在每

個(gè)區(qū)域種1種花，且相鄰的兩個(gè)區(qū)域種不同的花，則不同的種法總數(shù)為.

【試題來源】人教B版（2019）選擇性必修第二冊過關(guān)斬將第三章排列、組合與二

21

項(xiàng)式定理

【答案】260

【分析】根據(jù)題意，四個(gè)區(qū)域至少選用2種不同的花來種，可分三類：第一類，種2種不同

的花，第二類，種3種不同的花，第三類，種4種不同的花，分別求解即可.

【解析】根據(jù)題意，四個(gè)區(qū)域至少選用2種不同的花來種，可分三類：

第一類，種2種不同的花，有5x4=20種種法；

第二類，種3種不同的花，有2x（5x4x3）=120種種法；

第三類，種4種不同的花，有5x4x3x2=120種種法.

綜上，共有20+120+120=260種種法.

故答案為260.

13.三名參加過抗擊新冠疫情的醫(yī)務(wù)人員在疫情結(jié)束之后商定再次前往湖北的武漢、宜昌、

黃岡3個(gè)城市，如果三人均等可能的前往上述3個(gè)城市之一，那么他們恰好選擇同一個(gè)城市

的概率是.

【試題來源】四川省峨眉第二中學(xué)校2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期11月月考（理）

【答案】|

【分析】三人前往3個(gè)城市的所有基本事件個(gè)數(shù)，再求出三人能去同一個(gè)城市的基本事件,