導數(shù)與函數(shù)的綜合練習題

導數(shù)與函數(shù)的綜合練習題一、基本概念與性質(zhì)1.若函數(shù)f(x)在x=a處可導，則f'(a)表示的是（）。2.若函數(shù)f(x)在區(qū)間（a，b）內(nèi)單調(diào)遞增，則f'(x)在此區(qū)間內(nèi)（）。3.若函數(shù)f(x)在x=a處取得極值，則f'(a)等于（）。4.若函數(shù)f(x)在x=a處的二階導數(shù)f''(a)大于0，則f(x)在x=a處的圖形是（）。5.判斷下列函數(shù)在指定區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性：（1）f(x)=x^33x，區(qū)間（∞，+∞）（2）f(x)=e^xx，區(qū)間（0，+∞）二、求導法則與應用6.求下列函數(shù)的導數(shù)：（1）f(x)=(x^2+1)^3（2）f(x)=(3x2)^4(x+1)^5（3）f(x)=sin^2(x)cos(x)（4）f(x)=ln(1+x^2)（5）f(x)=arcsin(x^2)7.設函數(shù)f(x)=(x^2+1)e^x，求f'(x)。8.設函數(shù)f(x)=(x^33x)^4，求f'(x)。9.設函數(shù)f(x)=(x^2+1)^3(x2)^4，求f'(x)。三、高階導數(shù)與應用10.求下列函數(shù)的二階導數(shù)：（1）f(x)=x^44x^3+6x^2（2）f(x)=e^(2x)sin(x)（3）f(x)=ln(x^2+1)11.設函數(shù)f(x)=e^(x^2)sin(x)，求f''(x)。12.設函數(shù)f(x)=(x^2+1)^3(x2)^4，求f''(x)。四、函數(shù)極值與最值問題13.求函數(shù)f(x)=x^33x^29x+5的極值點和極值。14.求函數(shù)f(x)=e^xx^2在區(qū)間[0，2]上的最大值和最小值。15.求函數(shù)f(x)=sin(x)+cos(x)在區(qū)間[0，π]上的最大值和最小值。五、函數(shù)圖像與方程求解16.描述函數(shù)f(x)=x^33x的圖像特征。17.描述函數(shù)f(x)=e^xx的圖像特征。18.求解方程e^x=x^2+1的實數(shù)根。19.求解方程sin(x)=x在區(qū)間[0，2π]內(nèi)的實數(shù)根。20.已知函數(shù)f(x)=x^33x+1，求證：方程f(x)=0在實數(shù)范圍內(nèi)至少有一個根。六、不等式與函數(shù)性質(zhì)21.證明不等式e^x≥x+1對所有實數(shù)x成立。22.設x>0，證明不等式ln(x)<x1。23.求解不等式x^33x^29x+5>0的解集。24.已知函數(shù)f(x)=e^xx^2，證明當x>0時，f(x)>0。25.設函數(shù)g(x)=ln(x)x+1，求解不等式g(x)<0的解集。七、實際應用問題26.一物體從靜止開始做直線運動，其加速度a(t)=4t2（t以秒為單位），求物體在t=2秒時的速度和位移。27.某產(chǎn)品的成本函數(shù)為C(x)=3x^2+2x+10，其中x為生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量，求生產(chǎn)100個產(chǎn)品時的邊際成本。28.一水池的容量V（單位：立方米）隨時間t（單位：小時）的變化率為dV/dt=302t，求t=5小時時水池的容量。29.一根長度為L米的繩子固定在水平地面上，繩子一端固定，另一端從地面上方高度h處釋放，求繩子與地面夾角θ（角度）關于高度h的函數(shù)，并求當h=0.5L時的θ值。30.一輛汽車以速度v（單位：米/秒）行駛，其油耗率P（單位：升/秒）與速度v的關系為P(v)=v^2/20+v/2。求汽車行駛速度為10米/秒時的油耗率。八、綜合運用31.已知函數(shù)f(x)=x^44x^3+6x^2，求f(x)的拐點。32.設函數(shù)g(x)=(x^2+1)e^(x)，求g(x)的垂直漸近線。33.已知函數(shù)h(x)=x^33x^29x+5，求h(x)的凹凸區(qū)間。34.設函數(shù)F(x)=e^x/(x^2+1)，求F(x)的極值點和拐點。35.已知函數(shù)f(x)=x^55x^4+5x^3，求f(x)的所有極值點，并判斷其極大值和極小值。九、拓展提高36.設函數(shù)f(x)=(x^21)e^x，求f(x)的四階導數(shù)。37.已知函數(shù)g(x)=ln(x^2+1)，求g(x)在x=0處的Taylor展開式的前三項。38.設函數(shù)h(x)=sin(x)+cos(2x)，求h(x)的周期。39.已知函數(shù)F(x)=arcsin(x^2)，求F(x)的導數(shù)的不定積分。40.設函數(shù)f(x)=x^77x^6+21x^5，求f(x)的所有拐點。答案一、基本概念與性質(zhì)1.f(x)在x=a處的瞬時變化率2.非負（或大于等于0）3.04.向上凹（或凹的）5.（1）在（∞，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增（2）在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增二、求導法則與應用6.（1）f'(x)=6x(x^2+1)^2（2）f'(x)=4(3x2)^3(x+1)^5+5(3x2)^4(x+1)^4（3）f'(x)=2sin(x)cos^2(x)sin^3(x)（4）f'(x)=2x/(1+x^2)（5）f'(x)=2x/√(1x^4)7.f'(x)=(2x^33x^2+1)e^x8.f'(x)=12(x^33x)^3(3x^26x)9.f'(x)=2(x^2+1)^2(x2)^4+4(x^2+1)^3(x2)^3三、高階導數(shù)與應用10.（1）f''(x)=12x^224x+12（2）f''(x)=2e^(2x)sin(x)+4e^(2x)cos(x)（3）f''(x)=2x/(x^2+1)^211.f''(x)=2e^(x^2)sin(x)+4x^2e^(x^2)cos(x)12.f''(x)=2(x^2+1)(x2)^4+8(x^2+1)^2(x2)^3+12(x^2+1)^3(x2)^2四、函數(shù)極值與最值問題13.極大值點：x=1，極小值點：x=3/2，極大值：f(1)=6，極小值：f(3/2)=35/414.最大值：f(2)=e^24，最小值：f(0)=115.最大值：f(π/4)=√2，最小值：f(3π/4)=√2五、函數(shù)圖像與方程求解16.函數(shù)在x=0處取得極大值，在x=2處取得極小值，圖像在x=0左側(cè)上升，在x=0右側(cè)下降，再上升。17.函數(shù)在x=0處取得極小值，圖像在x=0左側(cè)下降，在x=0右側(cè)上升。18.實數(shù)根：x=0，x=119.實數(shù)根：x=020.略（證明過程）六、不等式與函數(shù)性質(zhì)21.略（證明過程）22.略（證明過程）23.解集：(∞，1]∪[3，+∞）24.略（證明過程）25.解集：(0，1)七、實際應用問題26.速度：v(2)=6m/s，位移：s(2)=8m27.邊際成本：C'(100)=60428.水池容量：V(5)=110立方米29.繩子與地面夾角θ