新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 講與練第26講 圓的方程（解析版）

第26講圓的方程學(xué)校____________姓名____________班級(jí)____________知識(shí)梳理1.圓的定義和圓的方程定義平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合方程標(biāo)準(zhǔn)(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圓心C(a，b)半徑為r一般x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)充要條件：D2＋E2－4F＞0圓心坐標(biāo)：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))半徑r＝eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系平面上的一點(diǎn)M(x0，y0)與圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之間存在著下列關(guān)系：(1)|MC|＞r?M在圓外，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2?M在圓外；(2)|MC|＝r?M在圓上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?M在圓上；(3)|MC|＜r?M在圓內(nèi)，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2?M在圓內(nèi).考點(diǎn)和典型例題1、圓的方程【典例1-1】已知圓方程SKIPIF1<0的圓心為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】解：因?yàn)镾KIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以圓心坐標(biāo)為SKIPIF1<0；故選：C【典例1-2】當(dāng)圓SKIPIF1<0的圓心到直線SKIPIF1<0的距離最大時(shí)，SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】解：因?yàn)閳ASKIPIF1<0的圓心為SKIPIF1<0,半徑SKIPIF1<0，又因?yàn)橹本€SKIPIF1<0過定點(diǎn)A(-1,1),故當(dāng)SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0垂直時(shí)，圓心到直線的距離最大，此時(shí)有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故選：C.【典例1-3】過點(diǎn)（7，-2）且與直線SKIPIF1<0相切的半徑最小的圓方程是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】過點(diǎn)SKIPIF1<0作直線SKIPIF1<0的垂線，垂足為SKIPIF1<0，則以SKIPIF1<0為直徑的圓為直線SKIPIF1<0相切的半徑最小的圓，其中SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的中點(diǎn)，即圓心為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故該圓為SKIPIF1<0故選：B【典例1-4】已知直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0恒過點(diǎn)SKIPIF1<0，過點(diǎn)SKIPIF1<0作直線與圓C：SKIPIF1<0相交于A，B兩點(diǎn)，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．4 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】由SKIPIF1<0恒過SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0在圓C內(nèi)，要使SKIPIF1<0最小，只需圓心SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的連線與該直線垂直，所得弦長(zhǎng)最短，由SKIPIF1<0，圓的半徑為5，所以SKIPIF1<0.故選：A【典例1-5】與圓C：SKIPIF1<0關(guān)于直線SKIPIF1<0對(duì)稱的圓的方程為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】圓C：SKIPIF1<0的圓心SKIPIF1<0，半徑SKIPIF1<0．設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0關(guān)于直線SKIPIF1<0的對(duì)稱點(diǎn)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以圓C關(guān)于直線SKIPIF1<0的對(duì)稱圓的方程為SKIPIF1<0，故選:C．2、與圓有關(guān)的最值問題【典例2-1】已知直線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】解：因?yàn)橹本€SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以圓心到直線的距離SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0，故選：B.【典例2-2】已知點(diǎn)SKIPIF1<0是圓SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)，則SKIPIF1<0的最大值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．6 D．5【答案】A【詳解】由SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0.故選：A【典例2-3】已知SKIPIF1<0是圓SKIPIF1<0上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0相交于點(diǎn)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】解：直線SKIPIF1<0整理可得，SKIPIF1<0，即直線SKIPIF1<0恒過SKIPIF1<0，同理可得，直線SKIPIF1<0恒過SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0直線SKIPIF1<0和SKIPIF1<0互相垂直，SKIPIF1<0兩條直線的交點(diǎn)SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為直徑的圓上，即SKIPIF1<0的軌跡方程為SKIPIF1<0，設(shè)該圓心為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0圓心距SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩圓相離，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0．故選：B．【典例2-4】如圖，P為圓O：x2+y2＝4外一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓O的切線PA，PB，切點(diǎn)分別為A，B，∠APB＝120°，直線OP與AB相交于點(diǎn)Q，點(diǎn)M（3，SKIPIF1<0），則|MQ|的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】解：過點(diǎn)P作圓O的切線PA，PB，切點(diǎn)分別為A，B，∠APB＝120°，由圓與切線的平面幾何性質(zhì)知，∠APO＝60°，又|OA|＝2，則可得|OP|＝SKIPIF1<0在直角SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，∴Q點(diǎn)的軌跡是以O(shè)為圓心，SKIPIF1<0為半徑的圓，方程為x2+y2＝3；|MQ|的最小值即為|OM|﹣r＝SKIPIF1<0﹣SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0．故選：A．【典例2-5】已知圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0是直線SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)，過SKIPIF1<0作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0化為標(biāo)準(zhǔn)方程：SKIPIF1<0，其圓心SKIPIF1<0,半徑SKIPIF1<0.過點(diǎn)P引圓C的兩條切線,切點(diǎn)分別為點(diǎn)A、B,如圖：在△PAC中,有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，變形可得：SKIPIF1<0.設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.所以當(dāng)SKIPIF1<0的值即x最小時(shí)，SKIPIF1<0的值最大，此時(shí)SKIPIF1<0最小.而SKIPIF1<0的最小值為點(diǎn)C到直線SKIPIF1<0的距離，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：B3、與圓有關(guān)的軌跡問題【典例3-1】正三角形OAB的邊長(zhǎng)為1，動(dòng)點(diǎn)C滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則點(diǎn)C的軌跡是（

）A．線段 B．直線 C．射線 D．圓【答案】D【詳解】解：方法一：由題可知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0又SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0所以點(diǎn)C的軌跡是圓.方法二：由題可知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0如圖，以O(shè)為原點(diǎn)OB為x軸，過O點(diǎn)與OB垂直的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，所以SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0又SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0整理得：SKIPIF1<0所以點(diǎn)C的軌跡是圓.故選：D.【典例3-2】直線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0相交于A，B兩點(diǎn)，O為圓心，當(dāng)k變化時(shí)，求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程．【答案】SKIPIF1<0【詳解】設(shè)SKIPIF1<0，易知直線恒過定點(diǎn)SKIPIF1<0，再由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0．∵點(diǎn)M應(yīng)在圓內(nèi)且不在x軸上，∴所求的軌跡為圓內(nèi)的部分且不在x軸上．解方程組SKIPIF1<0得兩曲線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為SKIPIF1<0，故所求軌跡方程為SKIPIF1<0．【典例3-3】已知圓SKIPIF1<0，直線l滿足___________（從①l過點(diǎn)SKIPIF1<0，②l斜率為2，兩個(gè)條件中，任選一個(gè)補(bǔ)充在上面問題中并作答），且與圓C交于A，B兩點(diǎn)，求AB中點(diǎn)M的軌跡方程.【答案】條件選擇見解析，答案見解析.【詳解】選擇條件①，設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0，令定點(diǎn)SKIPIF1<0為P，因直線l過點(diǎn)P，且與圓C交于A，B兩點(diǎn)，M為AB的中點(diǎn)，當(dāng)直線l不過圓心C(0,0)時(shí)，則SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，當(dāng)直線l過圓心C時(shí)，圓心C是弦AB中點(diǎn)，此時(shí)SKIPIF1<0，等式SKIPIF1<0成立，因此有SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，于是得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而直線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0相切的切點(diǎn)SKIPIF1<0在圓C內(nèi)，由點(diǎn)M在圓C內(nèi)，得SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以AB中點(diǎn)M的軌跡方程是：SKIPIF1<0(SKIPIF1<0且SKIPIF1<0).選擇條件②，設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0，因l斜率為2，且與圓C交于A，B兩點(diǎn)，M為AB的中點(diǎn)，當(dāng)直線l不過圓心C時(shí)，則SKIPIF1<0，則M的軌跡是過圓心SKIPIF1<0且垂直于l的直線在圓C內(nèi)的部分（除點(diǎn)C外），當(dāng)直線l過圓心C時(shí)，圓心C是弦AB中點(diǎn)，即點(diǎn)C在點(diǎn)M的軌跡上，因此，M的軌跡是過圓心SKIPIF1<0且垂直于l的直線在圓C內(nèi)的部分，而過圓心SKIPIF1<0且垂直于l的直線為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，而點(diǎn)M在圓C內(nèi)，則有SKIPIF1<0，所以AB中點(diǎn)M的軌跡方程是：SKIPIF1<0.【典例3-4】已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是SKIPIF1<0，端點(diǎn)A在圓SKIPIF1