新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 講與練第24講 空間向量及其應(yīng)用（原卷版）

第24講空間向量及其應(yīng)用學(xué)校____________姓名____________班級____________一、知識梳理1.空間向量的有關(guān)概念名稱定義空間向量空間中既有大小又有方向的量稱為空間向量相等向量大小相等、方向相同的向量相反向量大小相等、方向相反的向量共線向量(或平行向量)如果兩個非零向量的方向相同或者相反，則稱這兩個向量平行(或共線)共面向量空間中的多個向量，如果表示它們的有向線段通過平移后，都能在同一平面內(nèi)，則稱這些向量共面2.空間向量的有關(guān)定理(1)共線向量定理：如果a≠0且b∥a，則存在唯一的實數(shù)λ，使得b＝λa.(2)共面向量定理：如果兩個向量a，b不共線，則向量a，b，c共面的充要條件是，存在唯一的實數(shù)對(x，y)，使c＝xa＋yb.由共面向量定理可得判斷空間中四點是否共面的方法：如果A，B，C三點不共線，則點P在平面ABC內(nèi)的充要條件是，存在唯一的實數(shù)對(x，y)，使eq\o(AP,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→)).(3)空間向量基本定理：如果空間中的三個向量a，b，c不共面，那么對空間中的任意一個向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.其中，{a，b，c}稱為空間向量的一組基底.3.空間向量的數(shù)量積(1)兩向量的夾角：已知兩個非零向量a，b，在空間任取一點O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB叫做向量a與b的夾角，記作〈a，b〉，其范圍是[0，π]，若〈a，b〉＝eq\f(π,2)，則稱a與b互相垂直，記作a⊥b.(2)兩向量的數(shù)量積：非零向量a，b的數(shù)量積a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.4.空間向量數(shù)量積的運算律(1)結(jié)合律：(λa)·b＝λ(a·b)；(2)交換律：a·b＝b·a；(3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.5.空間向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用設(shè)a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2).向量表示坐標(biāo)表示數(shù)量積a·bx1x2＋y1y2＋z1z2共線b＝λa(a≠0，λ∈R)x2＝λx1，y2＝λy1，z2＝λz1垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)x1x2＋y1y2＋z1z2＝0模|a|eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)＋zeq\o\al(2,1))夾角〈a，b〉(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝eq\f(x1x2＋y1y2＋z1z2,\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)＋zeq\o\al(2,1))\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2)＋zeq\o\al(2,2)))6.直線的方向向量和平面的法向量(1)直線的方向向量：如果l是空間中的一條直線，v是空間中的一個非零向量，且表示v的有向線段所在的直線與l平行或重合，則稱v為直線l的一個方向向量.(2)平面的法向量：如果α是空間中的一個平面，n是空間的一個非零向量，且表示n的有向線段所在的直線與平面α垂直，則稱n為平面α的一個法向量，此時也稱n與平面α垂直，記作n⊥α.7.空間位置關(guān)系的向量表示位置關(guān)系向量表示直線l1，l2的方向向量分別為v1，v2l1∥l2v1∥v2?v1＝λv2l1⊥l2v1⊥v2?v1·v2＝0直線l的方向向量為v，平面α的法向量為nl∥αv⊥n?v·n＝0l⊥αv∥n?n＝λv平面α，β的法向量分別為n1，n2α∥βn1∥n2?n1＝λn2α⊥βn1⊥n2?n1·n2＝01.在平面中A，B，C三點共線的充要條件是：eq\o(OA,\s\up6(→))＝xeq\o(OB,\s\up6(→))＋yeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＝1)，O為平面內(nèi)任意一點.2.在空間中P，A，B，C四點共面的充要條件是：eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＋z＝1)，O為空間任意一點.考點和典型例題1、空間向量的運算及共線、共面定理【典例1-1】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知向量SKIPIF1<0＝(2m＋1，3，m－1)，SKIPIF1<0＝(2，m，－m)，且SKIPIF1<0，則實數(shù)m的值等于（

）A．SKIPIF1<0B．－2C．0D．SKIPIF1<0或－2【典例1-2】（2021·河北·滄縣中學(xué)高三階段練習(xí)）SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0三向量共面，則實數(shù)SKIPIF1<0（

）A．3 B．2 C．15 D．5【典例1-3】（2020·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)x，SKIPIF1<0，向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．3 D．4【典例1-4】（2022·全國·高三專題練習(xí)）（多選）若SKIPIF1<0構(gòu)成空間的一個基底，則下列向量共面的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例1-5】（2022·湖南·高三階段練習(xí)）若直線SKIPIF1<0的方向向量SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0的法向量SKIPIF1<0，且直線SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則實數(shù)SKIPIF1<0的值是______.2、空間向量的數(shù)量積及其應(yīng)用【典例2-1】（2022·河南省杞縣高中模擬預(yù)測（理））正四面體SKIPIF1<0的棱長為4，空間中的動點P滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2-2】（2022·四川·成都市錦江區(qū)嘉祥外國語高級中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知正四棱臺SKIPIF1<0的上、下底面邊長分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是上底面SKIPIF1<0的邊界上一點．若SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0，則該正四棱臺的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2-3】（2022·山東泰安·模擬預(yù)測）《九章算術(shù)》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計算，其中塹堵是指底面為直角三角形的直棱柱.在塹堵SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，M是SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0，N，G分別在棱SKIPIF1<0，AC上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，平面MNG與AB交于點H，則SKIPIF1<0___________，SKIPIF1<0___________.【典例2-4】（2022·上海徐匯·三模）已知SKIPIF1<0?SKIPIF1<0是空間相互垂直的單位向量，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值是___________.【典例2-5】（2022·浙江·模擬預(yù)測）若SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是棱長為SKIPIF1<0的正四面體棱上互不相同的三點，則SKIPIF1<0的取值范圍是_______.3、空間向量的應(yīng)用【典例3-1】（2022·全國·模擬預(yù)測）下圖為正三棱柱SKIPIF1<0的一個展開圖，若A，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，D，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0六點在同一個圓周上，則在原正三棱柱中，直線AE和直線BF所成角的余弦值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例3-2】（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））在正方體SKIPIF1<0中，E，F(xiàn)分別為SKIPIF1<0的中點，則（

）A．平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0 B．平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0C．平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0 D．平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0【典例3-3】（2022·福建龍巖·模擬預(yù)測）已知直三棱柱SKIPIF1<0的所有棱長都相等，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的正弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例3-4】（2022·河南省蘭考縣第一高級中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知三棱柱SKIPIF1<0的底面是邊長為2的等邊三角形，側(cè)棱長為2，D為SKIPIF1<0的中點，若SKIPIF1<0，則異面直線