高等數(shù)學(xué)上教案

一、課程的性質(zhì)及任務(wù)

高等數(shù)學(xué)是計(jì)算機(jī)科學(xué)及技術(shù)；信息管理及

信息系統(tǒng)兩個(gè)專業(yè)的一門(mén)重要的基礎(chǔ)理論課，

通過(guò)本課程的學(xué)習(xí)，也是該5共同擔(dān)任風(fēng)格士

大夫個(gè)分工是分工是范高dfg專業(yè)的核心課程。

要使學(xué)生獲得“向量代數(shù)”及“空間解析幾何”,

“微積分”，“常微分方程及無(wú)窮級(jí)數(shù)”等方面

的基本概論、基本理論及基本運(yùn)算；同時(shí)要通

過(guò)各個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)逐步培訓(xùn)學(xué)生的抽象概括能

力、邏輯推理能力、空間想象能力和自學(xué)能力。

在傳授知識(shí)的同時(shí)，要著眼于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)

素質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的方法去解決實(shí)際問(wèn)題

的意識(shí)、興趣和能力。

第一章：函數(shù)及極限

教學(xué)目的及要求18學(xué)時(shí)

1.解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表示方法，并會(huì)建立

簡(jiǎn)單應(yīng)用問(wèn)題中的函數(shù)關(guān)系式。

2.解函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性和有界性。

3.理解復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù)的概念，了解反函數(shù)及

隱函數(shù)的概念。

4.掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形。

5.理解極限的概念，理解函數(shù)左極限及右極限的概

念，以及極限存在及左、右極限之間的關(guān)系。

6.掌握極限的性質(zhì)及四則運(yùn)算法則。

7.了解極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則，并會(huì)利用它們求極

限，掌握利用兩個(gè)重要極限求極限的方法。

8.理解無(wú)窮小、無(wú)窮大的概念，掌握無(wú)窮小的比較

方法，會(huì)用等價(jià)無(wú)窮小求極限。

9.理解函數(shù)連續(xù)性的概念（含左連續(xù)及右連續(xù)），

會(huì)判別函數(shù)間斷點(diǎn)的類(lèi)型。

10.了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性，了

解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性、最大值和最

小值定理、介值定理），并會(huì)應(yīng)用這些性質(zhì)。

第一節(jié)：映射及函數(shù)

一、集合

1、集合概念

具有某種特定性質(zhì)的事物的總體叫做集合。組

成這個(gè)集合的事物稱為該集合的元素

表示方法：用A,B,C,D表示集合；用a,b,

c,d表示集合中的元素

1)A={a},a2,a3,)

2)4=W刀的性質(zhì)尸}

兀素及集合的關(guān)系：AaeA

一個(gè)集合，若它只含有有限個(gè)元素，則稱為有限集;

不是有限集的集合稱為無(wú)限集。

常見(jiàn)的數(shù)集：N,Z,Q,R,W

元素及集合的關(guān)系：A、B是兩個(gè)集合，如果集

合A的元素都是集合B的元素，則稱A是B的子集,

記作AuB。

如果集合A及集合B互為子集，則稱A及B相等，

記作A=B

若作AuB且AHB則稱A是B的真子集。

空集0uA

2、集合的運(yùn)算

并集:AoB={x|xeAMxeB}

交集Acb:AnB={x|xeAJLxeB]

差集A\B:A\8={x|xeA且xeB}

全集I、E補(bǔ)集肝：

集合的并、交、余運(yùn)算滿足下列法則：

交換律、==

結(jié)合律、(AD8)DC=Au(8uC)

(Ac3)cC=Ac(8cC)

分配律(Au8)cC=(AcC)u(8cC)

(ACB)UC=(ADC)C(3UC)

CCcC

對(duì)偶律=AC\B(Ar>B)=A\JBC

笛卡兒積AXB={(x,y)|xeAJlyeB}

3、區(qū)間和鄰域

開(kāi)區(qū)間(a,b)

閉區(qū)間[a,h]

半開(kāi)半閉區(qū)間M[a,b)

有限、無(wú)限區(qū)間

鄰域：U(a)0(?！?={舶-5YxYa+b}

a鄰域的中心b鄰域的半徑

去心鄰域U(a,3)

左、右鄰域

二、映射

1.映射概念

定義設(shè)X,Y是兩個(gè)非空集合，如果存在一個(gè)法

則人使得對(duì)X中的每一個(gè)元素一按法則在

Y中有唯一確定的元素)，及之對(duì)應(yīng)，則稱/為從X

到Y(jié)的映射，記作

/：X-y

其中y稱為元素x的像,并記作f(x),即y=f(X)

注意：1)集合X；集合Y；對(duì)應(yīng)法則/

2)每個(gè)X有唯一的像；每個(gè)Y的

原像不唯一

3)單射、滿射、雙射

2、映射、復(fù)合映射

三、函數(shù)

1、函數(shù)的概念：

定義：設(shè)數(shù)集OuR,則稱映射fR為

定義在D上的函數(shù)記為

y=/(%)x&D

自變量、因變量、定義域、值域、函數(shù)值

用/、g、<P

函數(shù)相等：定義域、對(duì)應(yīng)法則相等

自然定義函數(shù)；單值函數(shù)；多值函數(shù)、單值

分枝.

例：1）y=2

2）y—國(guó)

3）符號(hào)函數(shù)

4）取整函數(shù)）=國(guó)（階梯曲線）

5）分段函數(shù)

2、函數(shù)的幾種特性

1）函數(shù)的有界性（上界、下界；有界、無(wú)

界）

有界的充要條件：既有上界又有下界。

注：不同函數(shù)、不同定義域，有界性變化。

2）函數(shù)的單調(diào)性（單增、單減）在小、

X2點(diǎn)比較函數(shù)值

/（X。及/（/）的大小（注：及區(qū)間有關(guān)）

3）函數(shù)的奇偶性（定義域?qū)ΨQ、人幻及

f（-x）關(guān)系決定）

圖形特點(diǎn)（關(guān)于原點(diǎn)、Y軸對(duì)稱）

4）函數(shù)的周期性（定義域中成立：

/（x+/）=f（x））

3、反函數(shù)及復(fù)合函數(shù)

反函數(shù)：函數(shù)/：。一/(。)是單射，則有逆映射

f~'(y)=x,稱此映射尸為一函數(shù)的反函數(shù)

函數(shù)及反函數(shù)的圖像關(guān)尸x于對(duì)稱

復(fù)合函數(shù)：函數(shù)〃=g(y)定義域?yàn)镈,函數(shù)y=/(x)在

D上有定義、且/(D)uR。則“=g(/*))=g°/(x)為

復(fù)合函數(shù)。(注意：構(gòu)成條件)

4、函數(shù)的運(yùn)算

和、差、積、商(注：只有定義域相同

的函數(shù)才能運(yùn)算)

5、初等函數(shù)：

1)幕函數(shù)：y=x"2)指數(shù)函數(shù)：

y=ax

3)對(duì)數(shù)函數(shù)y=logfl(x)

4)三角函數(shù)

y=sin(x),y=cos(r),y=tan(x),y=cot(x)

5)反三角函數(shù)

y=arcsin(x),y-arccos&)

y=arctan(x)y=arccot(x)

以上五種函數(shù)為基本初等函數(shù)

6）雙曲函數(shù)

注：雙曲函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性。

雙曲函數(shù)公式

sh{x+y)=shx-chy+chx-shy

sh(x—y)=shx-chy—chx-shy

ch(x+y)=chx-chy+shx-shy

ch(x-y)=chx-chy—shx-shy

反雙曲函數(shù)：

作業(yè)：同步練習(xí)冊(cè)練習(xí)一

第二節(jié)：數(shù)列的極限

一、數(shù)列

數(shù)列就是由數(shù)組成的序列。

1）這個(gè)序列中的每個(gè)數(shù)都編了號(hào)。

2）序列中有無(wú)限多個(gè)成員。

aa

一般寫(xiě)成：a,?2a34...n...

縮寫(xiě)為{%}

例1數(shù)列［口是這樣一個(gè)數(shù)列{/},其中

，n=1,2,3,4,5......

也可寫(xiě)為：

J1111

2345

可發(fā)現(xiàn)：這個(gè)數(shù)列有個(gè)趨勢(shì)，數(shù)值越來(lái)越小，

無(wú)限接近3記為

1、極限的e-N定義：

VEAO3NVTTAN氏-4YE則稱數(shù)列上｝的

極限為“，記成limxn=a

也可等價(jià)表述：

1)V￡>o3NV〃>Np(xna)<￡

2)V￡>037VV〃>Nx?eOka￡)

極限是數(shù)列中數(shù)的變化總趨勢(shì)，因此及數(shù)列中

某個(gè)、前幾個(gè)的值沒(méi)有關(guān)系。

二、收斂數(shù)列的性質(zhì)

定理1:如果數(shù)列國(guó)｝收斂，那么它的極限是唯一

定理2如果數(shù)列k｝收斂，那么數(shù)列上｝一定有界

定理3:如果limx“=a且a>0(a<0)那么存在正整數(shù)

N>0,當(dāng)n〉N時(shí)，X?>0(%,,<0)

定理4、如果數(shù)列｛x,J收斂于a那么它的任一子數(shù)

列也收斂，且收斂于a。

第三節(jié)：函數(shù)的極限

一、極限的定義

1、在X。點(diǎn)的極限

1)X?？稍诤瘮?shù)的定義域內(nèi)，也可不在，不涉及一

在X。有沒(méi)有定義，以及函數(shù)值/(X。)的大小。只要滿

足：存在某個(gè)夕>0使：

(x0—p,xo)(xo,Xo+z?)u?。

2)如果自變量X趨于X。時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)值/(X)有

一個(gè)總趨勢(shì)—以某個(gè)實(shí)數(shù)A為極限，則記為：

limf(x)=Ao

Xf玉)

形式定義為：

Vf>0-3^-V%(0<|x-x0|<<J)<￡

注：左、右極限。單側(cè)極限、極限的關(guān)系

2、X—8的極限

設(shè)：y=/(x)xe(TVK?)如果當(dāng)時(shí)函數(shù)值有一個(gè)總

趨勢(shì)-----該曲線有一條水平漸近線y=A——?jiǎng)t

稱函數(shù)在無(wú)限遠(yuǎn)點(diǎn)8有極限。記為：lim/(x)=A

Xf8

在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)8的左右極限：

/(+8)=lim/(x)/(-co)=limf(x)

關(guān)系為：

limf(x)=A=lim/(x)=A=limf(x)

X—>8x—>+0Oxf-CO

二、函數(shù)極限的性質(zhì)

1、極限的唯一性

2、函數(shù)極限的局部有界性

3、函數(shù)極限的局部保號(hào)性

4、函數(shù)極限及數(shù)列極限的關(guān)系

第四節(jié)：無(wú)窮小及無(wú)窮大

一、無(wú)窮小定義

定義：對(duì)一個(gè)數(shù)列上｝,如果成立如下的命題：

\/￡>0與N.同<￡則稱它為無(wú)窮小量，

BPlimxn=0

X—>00

注：1、Vm￡的意義；

2、同<￡可寫(xiě)成,“-《<￡；夕(0,X“)<￡

3、上述命題可翻譯成：對(duì)于任意小的正數(shù)￡,存

在一個(gè)號(hào)碼N,使在這個(gè)號(hào)碼以后的所有的號(hào)碼〃，

相應(yīng)的X“及極限0的距離比這個(gè)給定的￡還小。它

是我們?cè)谥庇^上對(duì)于一個(gè)數(shù)列趨于0的認(rèn)識(shí)。

定理1在自變量的同一變化過(guò)程XfX。(或Xf00)

中，函數(shù)/(X)具有極限A的充分必要條件是

/(x)=A+a,其中a是無(wú)窮小。

二、無(wú)窮大定義

一個(gè)數(shù)列｛招｝，如果成立：

\/6>0與。\/"乂氏|>6那么稱它為無(wú)窮大

量。記成：Um%”=8。

X—>00

特別地，如果VG>0.mMV〃>N.x,,>G,則稱為正

無(wú)窮大，記成limx=+oo

—n

特別地，如果\/6>0?一"〃>女乜<-6,則稱為

負(fù)無(wú)窮大，記成

X->00

注：無(wú)法區(qū)分正負(fù)無(wú)窮大時(shí)就籠統(tǒng)地稱之為無(wú)窮

大量。

三、無(wú)窮小和無(wú)窮大的關(guān)系

定理2在自變量的同一變化過(guò)程中，如果/Xx)

為無(wú)窮大，則為無(wú)窮??；反之，如果/Xx)為無(wú)窮小,

且.f(x)*0則為無(wú)窮大

即：非零的無(wú)窮小量及無(wú)窮大量是倒數(shù)關(guān)系：當(dāng)

xO時(shí)：有

注意是在自變量的同一個(gè)變化過(guò)程中

第五節(jié)：極限運(yùn)算法則

1、無(wú)窮小的性質(zhì)

設(shè)卜"｝和｛)1｝是無(wú)窮小量于是：

(1)兩個(gè)無(wú)窮小量的和差也是無(wú)窮小量：

limxn=0lim=0=>lim(x“±y”)=0

Xf8Xf8x?-oo

(2)對(duì)于任意常數(shù)C,數(shù)列｛cxj也是無(wú)窮小

量：

limxn=0nlim(c?%”)=0

X—>COX<—00

(3)比?%｝也是無(wú)窮小量，兩個(gè)無(wú)窮小量的

積是一個(gè)無(wú)窮小量。

limxz?=0limyn=0=>lim(xn?)=0

X—>ooXTOO

(4)"/｝也是無(wú)窮小量：

lim%“=0olimkzJ=0

(5)無(wú)窮小及有界函數(shù)的積為無(wú)窮小。

2、函數(shù)極限的四則運(yùn)算

1、若函數(shù)/和g在點(diǎn)/有極限，則

lim(/(x)+g(x))=limf(x)+limg(x)

X-^XQXf>oXT而

2、函數(shù)/在點(diǎn)x。有極限，則對(duì)任何常數(shù)a成

立

lim(a?/(%))=a-lim/(%)

X—X->XQ

3、若函數(shù)/和g在點(diǎn)x。有極限，則

Um(/(x)-g(x))=lim/(x)-limg(x)

X—>xo.V—>.voXfX()

3、若函數(shù)/和g在點(diǎn)x。有極限，并且

limg(x)=/h0,貝［|

limg(x)ft

極限的四則運(yùn)算成立的條件是若函數(shù)7和g在點(diǎn)

X。有極限

例：求下述極限

4、復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則

定理6設(shè)函數(shù).v=/[g(x)｝是由函數(shù)y=/(〃)及M=g(x)

復(fù)合而成，貓(切在點(diǎn)通的某去心鄰域內(nèi)有定義,

若limg(x)=劭，

lim/(“)=A,且存在線>0,當(dāng)時(shí)，有

g(x)*UQ,則

lim/[^(x)]=lim/(M)=A

X-^XQW->M0

第六節(jié)：極限存在準(zhǔn)則兩個(gè)重要極限

定理1夾逼定理：三數(shù)列民｝、尻｝和｛z“｝,如

果從某個(gè)號(hào)碼起成立：1)x“<y“<z"，并且已知由｝

和｛z,,｝收斂，

2)lim%.=a=limz”，則有結(jié)論：

X->00XT8

limy—a

XT8n

定理2單調(diào)有界數(shù)列一定收斂。

單調(diào)增加有上界的數(shù)列一定收斂；單調(diào)減少

有下界的數(shù)列一定收斂。

例：證明：

例：

證明：有界。求的極限

第七節(jié)：無(wú)窮小的比較

定義：若a,尸為無(wú)窮小

￡

-

a

O

￡

-

a

且8

￡

O

-

a

lim

"

lim

-

K

_￡

lim

a

lirn

￡

=6

1

=

lirn

a

、等價(jià)

k階

階、

、同

、低階

[W]階

a)

a+0(

則萬(wàn)=

無(wú)窮小

為等價(jià)

若a,尸

1、

在，

且存

￡~"

〃、

若a?

2、

貝?)：

例：

間斷點(diǎn)

續(xù)性及

數(shù)的連

：函

第八節(jié)

性

連續(xù)

點(diǎn)的

在一

函數(shù)

-、

值

函數(shù)

點(diǎn)的

當(dāng)該

且僅

，當(dāng)

/連續(xù)

/在點(diǎn)

函數(shù)

相等:

)三者

限+0

右極

)-0)及

限f(x(

＞左極

f(x)

0

/(xo-O)=f(x0)=f(x0+0)

或者：當(dāng)且僅當(dāng)函數(shù)/在點(diǎn)x。有極限且此極限等于

該點(diǎn)的函數(shù)值。

lim/(x)=/(x0)其形式定義如下：

V￡<()33Vx(|x-x0|<￡>)\f(x)-f(xo)\<￡

函數(shù)在區(qū)間(a,b)連續(xù)指：區(qū)間中每一點(diǎn)都連

續(xù)。

函數(shù)在區(qū)間［a,b］連續(xù)時(shí)裝意端點(diǎn)。

注：左右連續(xù)，在區(qū)間上連續(xù)(注意端點(diǎn))

連續(xù)函數(shù)的圖像是一條連續(xù)且不間斷的曲線

二、間斷點(diǎn)

若：/(X。-0)=/(/)=/(%+0)中有某一個(gè)等式不

成立，就間斷，分為：

1、第一類(lèi)間斷點(diǎn)：

/(xo+O)^/(xo-O)

即函數(shù)在點(diǎn)的左右極限皆存在但不相等，曲線段

上出現(xiàn)一個(gè)跳躍。

2、第二類(lèi)間斷點(diǎn)左極限/(%-0)及右極限

/(4+0)兩者之中至少有一個(gè)不存在

例：見(jiàn)教材

第九節(jié)：連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算及初等函數(shù)的連續(xù)性

-、連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算

1.lim=/(%0)且limg(x)=g(x),

'X-X~~Q

=>lim{a?f(x)+/3-g(x)}=a-/(x)+/?-g(x)

XTXo00

2limf(x)=A%)且limg(x)=g(x0),

X->XQXf"

nlim{/(x)*g(x)}=/(xo)*g(%o)

XT%。

3.limf(x)=/(%)且limg(x)=g(x0)r0,

A'—Jt—>XO

=>

反函數(shù)連續(xù)定理：如果函數(shù)/：y=/(x)xe2是

嚴(yán)格單調(diào)增加(減少)并且連續(xù)的，則存在它的反

函數(shù)尸：x=f-'(y),并且"也是嚴(yán)格單調(diào)增

加(減少)并且連續(xù)的。

注：1)反函數(shù)的定義域就是原來(lái)的值域。

2)通常慣用X表示自變量，Y表示因變量。

反函數(shù)也可表成

f-'(x)xsDf.t

復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定理：

設(shè)函數(shù)7和g滿足復(fù)合條件以u(píng)。,，若函數(shù)

g在點(diǎn)X。連續(xù)；g(Xo)=〃o，又若/函數(shù)在點(diǎn)“。連續(xù),

則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)X。連續(xù)。

注：復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性可以保證極限號(hào)及函數(shù)

符號(hào)的交換：

lim=/(limg(x))

x->x0x->x0

從這些基本初等函數(shù)此通過(guò)若干次四則運(yùn)算以及

復(fù)合，得到的種種函數(shù)統(tǒng)稱為初等函數(shù)，并且：初

等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)。

第十節(jié)：閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

-、最大、最小值

設(shè)函數(shù)：y=/(x),xe。在上有界，現(xiàn)在問(wèn)在值

域

中是否有一個(gè)最大的實(shí)數(shù)？如果存在，譬如說(shuō)它是

某個(gè)點(diǎn)％e。的函數(shù)值X)=/Uo)?貝U記y()=max{/(%)}

xeD

叫做函數(shù)在D上的最大值。

類(lèi)似地，如果巧中有一個(gè)最小實(shí)數(shù)，譬如說(shuō)

它是某個(gè)點(diǎn)％6巧的函數(shù)值%=/(々)，則記

%=mg/(x)}稱為函數(shù)在上的最小值。

xeD,

二、有界性

有界性定理：如果函數(shù)/在閉區(qū)間口㈤上連續(xù)，

則它在[a㈤上有界。

三、零點(diǎn)、介值定理

最大值和最小值定理：如果函數(shù)/在閉區(qū)間

卜,“上連續(xù)則它在卜，司上有最大值和最小值，也就

是說(shuō)存在兩個(gè)點(diǎn)G和〃，使得

/(G</(x)</(7),xe[a,b]

亦即

f(G=min{/(x)}/(〃)=max{/(x)}

xG\a,b\xe[a,b]

若X。使f(X0)=。,則稱X。為函數(shù)的零點(diǎn)

零點(diǎn)定理：

如果函數(shù)/在閉區(qū)間[a,同上連續(xù)，且/在區(qū)間

[a,”的兩個(gè)端點(diǎn)異號(hào)：/(a)*/S)<0則至少有一個(gè)零

點(diǎn)*e(a,b),使/?)=0

中值定理：

如果函數(shù)/在閉區(qū)間[。㈤上連續(xù)，則/在卜,同上

能取到它的最大值和最小值之間的任何一個(gè)中

間值。

作業(yè)：見(jiàn)課后各章節(jié)練習(xí)。

第二章導(dǎo)數(shù)及微分

教學(xué)目的及要求22學(xué)時(shí)

1、理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念及微分的關(guān)系和導(dǎo)

數(shù)的幾何意義，會(huì)求平面曲線的切線方程

和法線方程，了解導(dǎo)數(shù)的物理意義，會(huì)用

導(dǎo)數(shù)描述一些物理量，理解函數(shù)的可導(dǎo)性

及連續(xù)性之間的的關(guān)系。

2、熟練掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)

的求導(dǎo)法則，熟練掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)

數(shù)公式，了解微分的四則運(yùn)算法則和一階

微分形式的不變性，會(huì)求函數(shù)的微分。

3、了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會(huì)求某些簡(jiǎn)單函數(shù)

的n階導(dǎo)數(shù)。

4、會(huì)求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

5、會(huì)求隱函數(shù)和由參數(shù)方程確定的函數(shù)的一

階、二階導(dǎo)數(shù)，會(huì)求反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

一、導(dǎo)數(shù)概念4)

1、定義

=11mRxo+Ax)-Hxo)

Ax-?OAx

=礴KXTX。)

x—>x()X—XQ

f/(x)二limgx+Ax)Yx)

Ax->0Ax

左導(dǎo)數(shù)

f/(x)=lim——~-■—lim~—

Ax->0'-X->XQ-X-X。

右導(dǎo)數(shù)

f1(x)=lim——--。)lim■~―~-。)

Ax->0+AxXfxo+x-x()

，f/(Xo)=A6f/(x0)=f1(xo)=A

可以證明:

可導(dǎo)一連續(xù)。即可導(dǎo)是連續(xù)的充分條件。

連續(xù)是可導(dǎo)的必要條件。

左右導(dǎo)數(shù)（注：及左右極限關(guān)系）

2、導(dǎo)數(shù)的幾何意義

曲線y=f(x)在點(diǎn)(x(),yo)處切線：

y-yo=f/(xoXx-xo)

例1:討論xsin-xwO在X=0處可導(dǎo)性

f(x)=1X

0x=0

解：:limf(x)=limxsin工=0=尤0)

x―>0x—>0X

f(x)在x=0連續(xù)

lim也型=limsinL不存在gX)在X=0不可導(dǎo)

xT0X-0xf0X

例2：已知f/(x0)存在

則.風(fēng)+2h)-Rx。)=2f,(x)

20h.....-

limKx()5h)-f(Xo)=_5f/(x)

2。h.......-

加)(%()+3〃)-/(%-h)

/?->()h

-麗f(x0+3h)-f(x(,)_f(x°-h)-f(x°)=4f/(x.)

Dhh----------

例3：設(shè)函數(shù)gx)可微，

貝|J如『(x+Ax)-f“x)=2f(x)f/(X)

Ax->0AY-------------------------

例4：

7

設(shè)xx<x0

區(qū)f(x)=.

ax+bx>0

為使出x)在x=x。處可導(dǎo)，應(yīng)如何選取常數(shù)a、

b

解：首先4x)必須在X。連續(xù)

2

lim*x)=limx=XQ

X—>XQ-x—>X0-

limf(x)=limax+b=ax0+b

X—>Xn+X—>XQ

/?ax+b=x彳①

22

X-X0

f/(x)=limKX)7XO)=1TA

X

X—>Xn-X-X。X->Xnx0

=limx+XQ=2x0

XfX(f

2

+b0

山、rKx)-f(xo)ax-OX

f+(x)=lim---------=limXF

X->Xn+X-X。XfX()+

xfx()+X-Xo

（由①得）

?「f/(xo)存在

??a=2x0從而b———XQ^

例5：f(x)=x(x-1)(x-2)....(x-9),則f/(0)=-9!

f/(O)=lim"X)二”°)

x->0X-0

=lim(x-1)(x-2)...(x-9)=-9!

xfo

例6：設(shè)*x)在x=0領(lǐng)域內(nèi)連續(xù)，,

則F(O)=1

：KO)=lim“x)=0(分母f。)

x—0

—1.Kx)-*0)f(x)

??f(0)=lim--------=lim----

x->0x-0x->0x

“宴_g—1.Li

x—>0Jl+x-1x2

例7：設(shè)函數(shù)f(1+x)=af(x),

且f/(O)=b(a,bWO),

問(wèn)f/⑴存在否？

解：fq)=lim…AKD=lim迺正如c

Ax-?0AxAx->0Ax

=lima?毆匕?^=af/(O)=ab

△xf0Ax

二、導(dǎo)數(shù)的求法

1、顯函數(shù)導(dǎo)數(shù)

求一個(gè)顯函數(shù)的導(dǎo)數(shù)需解決：

①基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)(P6。；

②導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算法則(P65)；

③復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)求導(dǎo)法則(P66)。

定理：

u=(p(x)在X有導(dǎo)數(shù)也，y=f(u)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)u有導(dǎo)

數(shù)曳，

du

則復(fù)合函數(shù)y=f[(p(x)]在X處也有導(dǎo)數(shù),

dy=dydu=f/(u)(p/(x)o

dxdudx

例1:y=xsin(2x2+1)求y

角單：yz=sin(2x2+1)+x-4xcos(2x2+1)

例2:y=ln717”求y/

解：y/=L工=^L_

214-X21+X2

例3：y=arctgVx求y'

解：

例4：求y/

解：

y=a

1+lxJ

例5：y=ln3(2x+1)求y/

解：…2-1).白

例6：

解：

例7:丫=*$加求y/

sinxlnx,,/=,產(chǎn)然卜加

解:y=e+cosx?Inx

x

例8：y=ab'+x'b+bx’‘求y/

解：yZ=abX]na-bxlnb+abxab-1+bxdInb-axa-1

例9：求y/

角牛：y=[ine2x-In(e2x+1)]=x-In(e2x+1)

高階導(dǎo)數(shù)、二階：

d2y=礴f，(Xo+Ax)-f/(x())

2

dxX=xoAxfOAx

=limf/(x)-f/(XQ)

x—>x()X—XQ

例10:y=f(e2x),f/(x)=lnx求dy

dx

解：

=fz(e2x).2e2x

=lne2x-2e2x=4xe2x

先講微分(后頁(yè))

2、隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)參數(shù)方程導(dǎo)數(shù)

如方程F(x,y)=0確定了y=y(x),只需方程兩邊對(duì)

x求導(dǎo)，注意y=y(x)

例10：求下列隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

(1)設(shè)ysinx-cos(x-y)=O求y，

解：方程兩邊對(duì)X求導(dǎo)，

y/sinx+ycosx4-sin(x-y)?(1-yZ)=0

/_ycosx+sin(x-y)

sin(x—y)-sinx

(2)設(shè)y=y(x)是由方程所確定的隱函數(shù)，

求y?

解：由原方程知當(dāng)x=0時(shí)，，

方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)。

(y+xyz)+-------=01>將X=0,代入得：**?

''y1+x

⑶y=y(x)是由方程eV+xy=e所確定的隱函數(shù),

試求y/(0),y"(0)。

解：方程兩邊對(duì)X求導(dǎo)：

eyyZ+y+xyZ=0(D

方程兩邊再對(duì)x求導(dǎo)：

eyy/z+ey(yz)2+2yz+xy”=0②

由原方程知，當(dāng)x=0時(shí)，y=l,代入①得

再將x=0,y=l,代入②式，

得

(4)設(shè)求

dy

解：dy_出_3t2_32t

技=床=京=萬(wàn)，2e

dt

d2y41

dt-(2te-2'-2t3e-21).-

dx2dxdx

dt

(5)設(shè)y=y(x)是由方程組所確定的函數(shù)，求：曳。

dx

解：

dyvv?dy八dyeycost

--e-^cost-e>sint—=0—=----------

dtdtdtl-eysint

dy

dy_出_e、'cost

dx-dx_2(t-1)(1-eysint)

dt

3、分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

2x,2

-a+1—x<0

i)設(shè)f(x)=<aa(a>0,awl),

sinx

x>0

Ix

求：f/(x)

fz(x)=-lna-ax

解:當(dāng)a

、xcosx-sinx

x>0,f(x)=-------2------

X

22

a+[--------I

0/，...f(x)-f(O)「aa

f_(n0)=lim---------=Jim--------2——

xf。-x—Ox->0-x

(ax-1)2

=lim--------=-Ina

x->0-xa

sinx

f+(0)=hm———=lim-.....

+

x->0+xx->ox

x->0+x2x->0+2x

f/_(0)"/+(0)

.?.f/(o)不存在，故

高階導(dǎo)數(shù)(n階)略，

例y=x(2x-I)2(x+例

y⑹=4x6!

2)設(shè)f(x)在(-8,+8)上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且

f(0)=0,對(duì)函數(shù)

(1)確定a的值，使g(x)在(-oo,+oo)上連續(xù)

(2)對(duì)(1)中確定的4,證明g(x)在(-8,+00)上

一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)

解:

①a=limg(x)=lim—=lim=f/(0)

x->0x-?0Xx-?0X

即當(dāng)a=f/(O),y(x)在x=0連續(xù)，

也就是在(-8,+00)連續(xù)

c,“八—-fZ(0)

②g/(0)=limg(x)—g(0)=11m_jc-------

x->0Xx-0X

..f/(x)f//(x)f"(0)

=lim-----=nm------=------

x->o2xx->o22

而r//\rxf,(x)—f(x)

“Jlimg(x)=lim-----~—

x->0x-0x2

rxf//(x)+f/(x)-f(x)Hf〃(0)

=lim-------------------=hm-----=g10)

…2x2

gTx)在x=0連續(xù)，即在(-8,+oo)連續(xù)

三、微分

y=f(x)

dy=f/(x)Ax=f/(x)dx

一階微分形式不變y=f(u)

dy=f/(u)du(u自變量)

如y=f(u)u=(p(x)

dy=f/(u)(p/(x)dx=f(u)du(u中間變量)

..2222

例：y=e,dy=2xexdx，dy=exdx2=2xexdx

可導(dǎo)可薇A

第三章微分中值定理導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

教學(xué)目的及要求

1掌握并會(huì)應(yīng)用羅爾定理、拉格朗日中值定理，了

解柯西中值定理和泰勒中值定理。

2理解函數(shù)的極值概念，掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單

調(diào)性和求函數(shù)極值的方法，掌握函數(shù)最大值和最小

值的求法及其簡(jiǎn)單應(yīng)用。

3.用二階導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性，會(huì)求函數(shù)圖

形的拐點(diǎn)以及水平、鉛直和斜漸近線，會(huì)描繪函

數(shù)的圖形。

4,握用洛必達(dá)法則求未定式極限的方法。

5.道曲率和曲率半徑的概念，會(huì)計(jì)算曲率和曲率半

徑。

6.了解方程近似解的二分法及切線法。

一、中值定理，泰勒公式(放入泰勒級(jí)數(shù)中講)

1.羅爾定理

如f(x)滿足:

(1)在［a,b］連續(xù).

(2)在(a,b)可導(dǎo).

(3)-［1>)則至少存在