人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊學(xué)案：5 3 2 第2課時(shí) 函數(shù)的最大(小)值

人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊PAGEPAGE1第2課時(shí)函數(shù)的最大(小)值學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解函數(shù)最值的概念，了解其與函數(shù)極值的區(qū)別與聯(lián)系.2.會(huì)求某閉區(qū)間上函數(shù)的最值．導(dǎo)語同學(xué)們，上節(jié)課我們在群山之間穿梭，感受了每一個(gè)山峰與山谷的優(yōu)美之處，而今天我們誓要尋找最高的山峰和最低的峽谷，我們既要有俯視一切的雄心和氣概，拿出“會(huì)當(dāng)凌絕頂，一覽眾山小”的氣勢，也要有仰望一切的謙虛和胸懷，更要有“可上九天攬?jiān)拢上挛逖笞谨M”的勇氣，這其實(shí)就是我們今天要探究的函數(shù)的最值．一、極值與最值的關(guān)系問題1如圖是y＝f(x)在區(qū)間〖a，b〗上的函數(shù)圖象．顯然f(x1)，f(x3)，f(x5)為極大值，f(x2)，f(x4)，f(x6)為極小值．你能找到函數(shù)的最大值和最小值嗎？〖提示〗最大值y＝M＝f(x3)＝f(b)分別在x＝x3及x＝b處取得，最小值y＝m＝f(x4)在x＝x4處取得．顯然函數(shù)的最值是函數(shù)的整體性質(zhì)，且要求函數(shù)是連續(xù)不斷的，而最值不同于極值，如果有最大(小)值，則唯一存在．問題2開區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)有最值嗎？〖提示〗如圖．容易發(fā)現(xiàn)，開區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)不一定有最大值和最小值，若有最值，則一定是在極值點(diǎn)處取到．知識梳理函數(shù)最值的定義(1)一般地，如果在區(qū)間〖a，b〗上函數(shù)y＝f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值．(2)對于函數(shù)f(x)，給定區(qū)間I，若對任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≥f(x0)，則稱f(x0)為函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的最小值；若對任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≤f(x0)，則稱f(x0)為函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的最大值．注意點(diǎn)：(1)開區(qū)間不一定有最值，閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定有最值；(2)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間〖a，b〗上連續(xù)是f(x)在閉區(qū)間〖a，b〗上有最大值和最小值的充分不必要條件．例1如圖是函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間〖a，b〗上的圖象，寫出函數(shù)的極大值、極小值、最大值和最小值．解由題圖可知，y＝f(x)在x1，x3處取得極小值，在x2處取得極大值，所以極小值為f(x1)，f(x3)，極大值為f(x2)；比較極值和端點(diǎn)值可知函數(shù)的最小值是f(x3)，最大值在b處取得，最大值為f(b)．反思感悟最值與極值的區(qū)別與聯(lián)系(1)極值是對某一點(diǎn)附近(即局部)而言，最值是對函數(shù)的定義區(qū)間的整體而言．(2)在函數(shù)的定義區(qū)間內(nèi)，極大(小)值可能有多個(gè)，但最大(小)值只有一個(gè)(或者沒有)．(3)函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)為定義域中的內(nèi)點(diǎn)，而最值點(diǎn)可以是區(qū)間的端點(diǎn)．(4)對于可導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)的最大(小)值必在極大(小)值點(diǎn)或區(qū)間端點(diǎn)處取得．跟蹤訓(xùn)練1設(shè)f(x)是區(qū)間〖a，b〗上的連續(xù)函數(shù)，且在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，則下列結(jié)論中正確的是()A．f(x)的極值點(diǎn)一定是最值點(diǎn)B．f(x)的最值點(diǎn)一定是極值點(diǎn)C．f(x)在區(qū)間〖a，b〗上可能沒有極值點(diǎn)D．f(x)在區(qū)間〖a，b〗上可能沒有最值點(diǎn)〖答案〗C〖解析〗根據(jù)函數(shù)的極值與最值的概念知，f(x)的極值點(diǎn)不一定是最值點(diǎn)，f(x)的最值點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)．可能是區(qū)間的端點(diǎn)，連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)在閉區(qū)間上一定有最值，所以選項(xiàng)A，B，D都不正確，若函數(shù)f(x)在區(qū)間〖a，b〗上單調(diào)，則函數(shù)f(x)在區(qū)間〖a，b〗上沒有極值點(diǎn)，所以C正確．二、求函數(shù)的最值例2求下列函數(shù)的最值：(1)f(x)＝2x3－12x，x∈〖－2,3〗；(2)f(x)＝eq\f(1,2)x＋sinx，x∈〖0,2π〗．解(1)因?yàn)閒(x)＝2x3－12x，x∈〖－2,3〗，所以f′(x)＝6x2－12＝6(x＋eq\r(2))(x－eq\r(2))，令f′(x)＝0，解得x＝－eq\r(2)或x＝eq\r(2).因?yàn)閒(－2)＝8，f(3)＝18，f(eq\r(2))＝－8eq\r(2)，f(－eq\r(2))＝8eq\r(2)，所以當(dāng)x＝eq\r(2)時(shí)，f(x)取得最小值－8eq\r(2)；當(dāng)x＝3時(shí)，f(x)取得最大值18.(2)f′(x)＝eq\f(1,2)＋cosx，令f′(x)＝0，又x∈〖0,2π〗，解得x＝eq\f(2π,3)或x＝eq\f(4π,3).因?yàn)閒(0)＝0，f(2π)＝π，f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)))＝eq\f(π,3)＋eq\f(\r(3),2)，f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)))＝eq\f(2π,3)－eq\f(\r(3),2).所以當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)有最小值f(0)＝0；當(dāng)x＝2π時(shí)，f(x)有最大值f(2π)＝π.反思感悟求函數(shù)最值的步驟(1)求函數(shù)的定義域．(2)求f′(x)，解方程f′(x)＝0.(3)求極值、端點(diǎn)處的函數(shù)值，確定最值．注意：不要忽略將所求極值與區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較．跟蹤訓(xùn)練2求下列函數(shù)的最值：(1)f(x)＝2x3－6x2＋3，x∈〖－2,4〗；(2)f(x)＝eq\f(x－1,ex).解(1)f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)．令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.又f(0)＝3，f(2)＝－5，f(4)＝35，f(－2)＝－37，∴當(dāng)x＝4時(shí)，f(x)取最大值35.當(dāng)x＝－2時(shí)，f(x)取最小值－37.即f(x)的最大值為35，最小值為－37.(2)函數(shù)f(x)＝eq\f(x－1,ex)的定義域?yàn)镽.f′(x)＝eq\f(1·ex－exx－1,ex2)＝eq\f(2－x,ex)，當(dāng)f′(x)＝0時(shí)，x＝2，當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如表所示.x(－∞，2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－f(x)單調(diào)遞增eq\f(1,e2)單調(diào)遞減∴f(x)在(－∞，2)上單調(diào)遞增，在(2，＋∞)上單調(diào)遞減，∴f(x)無最小值，且當(dāng)x＝2時(shí)，f(x)max＝f(2)＝eq\f(1,e2).三、利用最值證明不等式例3已知函數(shù)f(x)＝ex－e(lnx＋1)，求證f(x)≥0恒成立．解由題意知f′(x)＝ex－eq\f(e,x)＝eq\f(xex－e,x)，設(shè)F(x)＝xex－e(x>0)，則F(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，且F(1)＝0.當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，F(xiàn)(x)<0，∴f′(x)＝eq\f(F\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x)),x)<0，f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，F(xiàn)(x)>0，∴f′(x)＝eq\f(F\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x)),x)>0，f(x)單調(diào)遞增．f(x)的最小值為f(x)min＝f(1)＝0，∴f(x)≥0恒成立．反思感悟證不等式恒成立，用導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的最值，進(jìn)而可求出結(jié)果；有時(shí)也可根據(jù)不等式直接構(gòu)成函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的方法，通過分類討論研究函數(shù)的最值，即可得到結(jié)果．跟蹤訓(xùn)練3已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,2)x2＋lnx．求證：在區(qū)間(1，＋∞)上，函數(shù)f(x)的圖象在函數(shù)g(x)＝eq\f(2,3)x3的圖象的下方．證明設(shè)F(x)＝g(x)－f(x)，即F(x)＝eq\f(2,3)x3－eq\f(1,2)x2－lnx，則F′(x)＝2x2－x－eq\f(1,x)＝eq\f(x－12x2＋x＋1,x).當(dāng)x>1時(shí)，F(xiàn)′(x)＝eq\f(x－12x2＋x＋1,x)>0，從而F(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，∴F(x)>F(1)＝eq\f(1,6)>0.∴當(dāng)x>1時(shí)，g(x)－f(x)>0，即f(x)<g(x)，故在區(qū)間(1，＋∞)上，函數(shù)f(x)的圖象在函數(shù)g(x)＝eq\f(2,3)x3的圖象的下方．1．知識清單：(1)函數(shù)最值的定義．(2)求函數(shù)最值．(3)函數(shù)最值的應(yīng)用．2．方法歸納：轉(zhuǎn)化化歸、分類討論．3．常見誤區(qū)：忽視函數(shù)的最值與極值的區(qū)別與聯(lián)系．1．下列結(jié)論正確的是()A．若f(x)在〖a，b〗上有極大值，則極大值一定是〖a，b〗上的最大值B．若f(x)在〖a，b〗上有極小值，則極小值一定是〖a，b〗上的最小值C．若f(x)在〖a，b〗上有極大值，則極小值一定是在x＝a和x＝b處取得D．若f(x)在〖a，b〗上連續(xù)，則f(x)在〖a，b〗上存在最大值和最小值〖答案〗D〖解析〗函數(shù)f(x)在〖a，b〗上的極值不一定是最值，最值也不一定是極值，極值一定不會(huì)在端點(diǎn)處取得，而在〖a，b〗上一定存在最大值和最小值．2．函數(shù)y＝x－sinx，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))的最大值是()A．π－1B.eq\f(π,2)－1C．πD．π＋1〖答案〗C〖解析〗y(tǒng)′＝1－cosx，當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))時(shí)，y′>0，則函數(shù)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上單調(diào)遞增，所以y的最大值為ymax＝π－sinπ＝π.3．函數(shù)f(x)＝x3－3x(|x|＜1)()A．有最值，但無極值B．有最值，也有極值C．既無最值，也無極值D．無最值，但有極值〖答案〗C〖解析〗f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，當(dāng)x∈(－1,1)時(shí)，f′(x)＜0，所以f(x