人教A版(新教材)高中數(shù)學選擇性必修第二冊學案：5 2 3 簡單復合函數(shù)的導數(shù)

人教A版(新教材)高中數(shù)學選擇性必修第二冊PAGEPAGE15．2.3簡單復合函數(shù)的導數(shù)學習目標1.進一步運用導數(shù)公式和導數(shù)運算法則求函數(shù)的導數(shù).2.了解復合函數(shù)的概念，掌握復合函數(shù)的求導法則．導語同學們，大家有沒有過網(wǎng)購的經(jīng)歷？大家一定有過這樣的感受，即便你知道你買的什么東西，但當你拆開包裝袋的時候，一樣能給你帶來無限的期盼與喜悅，猶如“撥開云霧見天日，守得云開見月明”，在我們數(shù)學上，也有一樣讓我們期盼的例子，那就是我們今天要學習的復合函數(shù)．一、復合函數(shù)概念的理解問題1函數(shù)y＝ln(2x－1)是如何構成的？〖提示〗y(tǒng)＝ln(2x－1)，其中的2x－1“占據(jù)”了對數(shù)函數(shù)y＝lnx中x的位置，f(x)＝lnx，而f(2x－1)＝ln(2x－1)，這里有代入、代換的思想，則函數(shù)y＝ln(2x－1)是由內層函數(shù)為冪函數(shù)的線性組合和外層函數(shù)為對數(shù)函數(shù)復合而成，是復合函數(shù)，而函數(shù)y＝(2x－1)lnx不是復合函數(shù)，它只是兩個函數(shù)相乘的關系，沒有代入、代換的意思．知識梳理復合函數(shù)的概念一般地，對于兩個函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)，如果通過中間變量u，y可以表示成x的函數(shù)，那么稱這個函數(shù)為函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)的復合函數(shù)，記作y＝f(g(x))．注意點：內、外層函數(shù)通常為基本初等函數(shù)．例1(多選)下列哪些函數(shù)是復合函數(shù)()A．y＝xlnx B．y＝(3x＋6)2C．y＝esinx D．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋\f(π,3)))〖答案〗BCD〖解析〗A不是復合函數(shù)；BCD都是復合函數(shù)．反思感悟若f(x)與g(x)均為基本初等函數(shù)，則函數(shù)y＝f(g(x))或函數(shù)y＝g(f(x))均為復合函數(shù)．跟蹤訓練1(多選)下列哪些函數(shù)是復合函數(shù)()A．y＝log2(2x＋1) B．y＝2x2－eq\f(1,x)C．y＝2lnx D．y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,6)))〖答案〗ACD二、求復合函數(shù)的導數(shù)問題2如何求函數(shù)y＝sin2x的導數(shù)？〖提示〗y(tǒng)＝2sinxcosx，由兩個函數(shù)相乘的求導法則可知：y′＝2cos2x－2sin2x＝2cos2x；從整體上來看，外層函數(shù)是基本初等函數(shù)y＝sinu，它的導數(shù)y′＝cosu，內層函數(shù)是冪函數(shù)的線性組合u＝2x，它的導數(shù)是u′＝2，發(fā)現(xiàn)y′x＝y(tǒng)′u·u′x.知識梳理復合函數(shù)的求導法則一般地，對于由函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)復合而成的函數(shù)y＝f(g(x))，它的導數(shù)與函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導數(shù)間的關系為y′x＝y(tǒng)′u·u′x，即y對x的導數(shù)等于y對u的導數(shù)與u對x的導數(shù)的乘積．注意點：(1)中間變量的選擇應是基本初等函數(shù)的結構；(2)求導由外向內，并保持對外層函數(shù)求導時，內層不變的原則；(3)求每層函數(shù)的導數(shù)時，注意分清是對哪個變量求導．例2求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)y＝eq\f(1,1－3x4)；(2)y＝cos(x2)；(3)y＝log2(2x＋1)；(4)y＝e3x＋2.解(1)令u＝1－3x，則y＝eq\f(1,u4)＝u－4，所以y′u＝－4u－5，u′x＝－3.所以y′x＝y(tǒng)′u·u′x＝12u－5＝eq\f(12,1－3x5).(2)令u＝x2，則y＝cosu，所以y′x＝y(tǒng)′u·u′x＝－sinu·2x＝－2xsin(x2).(3)設y＝log2u，u＝2x＋1，則y′x＝y(tǒng)′uu′x＝eq\f(2,uln2)＝eq\f(2,2x＋1ln2).(4)設y＝eu，u＝3x＋2，則y′x＝(eu)′·(3x＋2)′＝3eu＝3e3x＋2.反思感悟(1)求復合函數(shù)的導數(shù)的步驟(2)求復合函數(shù)的導數(shù)的注意點：①分解的函數(shù)通常為基本初等函數(shù)；②求導時分清是對哪個變量求導；③計算結果盡量簡潔．跟蹤訓練2求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)y＝eq\f(1,\r(1－2x))；(2)y＝5log2(1－x)；(3)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))).解(1)y＝，設y＝，u＝1－2x，則y′x＝＝·(－2)＝.(2)函數(shù)y＝5log2(1－x)可看作函數(shù)y＝5log2u和u＝1－x的復合函數(shù)，所以y′x＝y(tǒng)′u·u′x＝5(log2u)′·(1－x)′＝eq\f(－5,uln2)＝eq\f(5,x－1ln2).(3)設y＝sinu，u＝2x＋eq\f(π,3)，則y′x＝(sinu)′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))′＝cosu·2＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))).三、復合函數(shù)的導數(shù)的應用例3某港口在一天24小時內潮水的高度近似滿足關系式s(t)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)t＋\f(5π,6)))(0≤t≤24)，其中s的單位是m，t的單位是h，求函數(shù)在t＝18時的導數(shù)，并解釋它的實際意義．解設f(x)＝3sinx，x＝φ(t)＝eq\f(π,12)t＋eq\f(5π,6)，所以s′(t)＝f′(x)φ′(t)＝3cosx·eq\f(π,12)＝eq\f(π,4)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)t＋\f(5π,6)))，將t＝18代入s′(t)，得s′(18)＝eq\f(π,4)coseq\f(7π,3)＝eq\f(π,8)(m/h)．s′(18)表示當t＝18h時，潮水的高度上升的速度為eq\f(π,8)m/h.反思感悟將復合函數(shù)的求導與導數(shù)的實際意義結合，函數(shù)在某點處的導數(shù)反映了函數(shù)在該點的瞬時變化率，體現(xiàn)導數(shù)揭示物體在某時刻的變化狀況．跟蹤訓練3已知某質點的位移s與位移時間t滿足s＝tet－1，則質點在t＝1時的瞬時速度為________．〖答案〗2〖解析〗s′＝(t＋1)et－1，當t＝1時，s′(1)＝2.1.知識清單：(1)復合函數(shù)的概念．(2)復合函數(shù)的求導法則．(3)復合函數(shù)的導數(shù)的應用．2.方法歸納：轉化法．3.常見誤區(qū)：求復合函數(shù)的導數(shù)時不能正確分解函數(shù)；求導時不能分清是對哪個變量求導；計算結果復雜化．1．(多選)函數(shù)y＝(x2－1)n的復合過程正確的是()A．y＝un，u＝x2－1 B．y＝(u－1)n，u＝x2C．y＝tn，t＝(x2－1)n D.t＝x2－1,y＝tn〖答案〗AD2．函數(shù)y＝(2021－8x)3的導數(shù)y′等于()A．3(2021－8x)2 B．－24xC．－24(2021－8x)2 D．24(2021－8x)2〖答案〗C〖解析〗y(tǒng)′＝3(2021－8x)2×(2021－8x)′＝3(2021－8x)2×(－8)＝－24(2021－8x)2.3．設f(x)＝ln(3x＋2)－3x2，則f′(0)等于()A．1B.eq\f(3,2)C．－1D．－2〖答案〗B〖解析〗f′(x)＝eq\f(3,3x＋2)－6x，故f′(0