人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊學(xué)案：4 3 2 第2課時 等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)及應(yīng)用

人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊PAGEPAGE1第2課時等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)及應(yīng)用學(xué)習(xí)目標1.熟練應(yīng)用等比數(shù)列前n項和公式的性質(zhì)解題.2.能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關(guān)系，并解決相應(yīng)的問題．導(dǎo)語同學(xué)們，前面我們就用等差數(shù)列中的性質(zhì)，類比出了等比數(shù)列的性質(zhì)，由此還得出了“類比能使人智慧”這一重要結(jié)論，今天我們再進一步擴大同學(xué)們的智慧，繼續(xù)通過類比，看我們能得出等比數(shù)列前n項和的哪些性質(zhì)．一、等比數(shù)列前n項和公式的靈活應(yīng)用問題1類比等差數(shù)列前n項和性質(zhì)中的奇數(shù)項、偶數(shù)項的問題，等比數(shù)列是否也有相似的性質(zhì)？〖提示〗若等比數(shù)列{an}的項數(shù)有2n項，則其偶數(shù)項和為S偶＝a2＋a4＋…＋a2n，其奇數(shù)項和為S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1，容易發(fā)現(xiàn)兩列式子中對應(yīng)項之間存在聯(lián)系，即S偶＝a1q＋a3q＋…＋a2n－1q＝qS奇，所以有eq\f(S偶,S奇)＝q.＝a1＋a3＋…＋a2n－1＋a2n＋1，從項數(shù)上來看，奇數(shù)項比偶數(shù)項多了一項，于是我們有S奇－a1＝a3＋…＋a2n－1＋a2n＋1＝a2q＋a4q＋…＋a2nq＝qS偶，即S奇＝a1＋qS偶．知識梳理若{an}是公比為q的等比數(shù)列，S偶，S奇分別是數(shù)列的偶數(shù)項和與奇數(shù)項和，則：①在其前2n項中，eq\f(S偶,S奇)＝q；②在其前2n＋1項中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝eq\f(a1＋a2n＋1q,1－－q)＝eq\f(a1＋a2n＋2,1＋q)(q≠－1)；S奇＝a1＋qS偶．例1(1)已知等比數(shù)列{an}共有2n項，其和為－240，且(a1＋a3＋…＋a2n－1)－(a2＋a4＋…＋a2n)＝80，則公比q＝________.〖答案〗2〖解析〗由題意知S奇＋S偶＝－240，S奇－S偶＝80，∴S奇＝－80，S偶＝－160，∴q＝eq\f(S偶,S奇)＝2.(2)若等比數(shù)列{an}共有2n項，其公比為2，其奇數(shù)項和比偶數(shù)項和少100，則數(shù)列{an}的所有項之和為________．〖答案〗300〖解析〗由eq\f(S偶,S奇)＝2，S偶－S奇＝100可知S偶＝200，S奇＝100，故S2n＝300.反思感悟處理等比數(shù)列前n項和有關(guān)問題的常用方法(1)若等比數(shù)列{an}共有2n項，要抓住eq\f(S偶,S奇)＝q和S偶＋S奇＝S2n這一隱含特點；若等比數(shù)列{an}共有2n＋1項，要抓住S奇＝a1＋qS偶和S偶＋S奇＝S2n＋1這一隱含特點．要注意公比q＝1和q≠1兩種情形，在解有關(guān)的方程(組)時，通常用約分或兩式相除的方法進行消元．(2)靈活運用等比數(shù)列前n項和的有關(guān)性質(zhì)．跟蹤訓(xùn)練1(1)若等比數(shù)列{an}共有奇數(shù)項，其首項為1，其偶數(shù)項和為170，奇數(shù)項和為341，則這個數(shù)列的公比為________，項數(shù)為________．〖答案〗29〖解析〗由性質(zhì)S奇＝a1＋qS偶可知341＝1＋170q，所以q＝2，S2n＋1＝eq\f(1－22n＋1,1－2)＝341＋170＝511，解得n＝4，即這個等比數(shù)列的項數(shù)為9.(2)一個項數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列{an}，全部各項之和為偶數(shù)項之和的4倍，前3項之積為64，則數(shù)列的通項公式an＝________.〖答案〗12×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))n－1，n∈N*〖解析〗設(shè)數(shù)列{an}的首項為a1，公比為q，所有奇數(shù)項、偶數(shù)項之和分別記作S奇，S偶，由題意可知，S奇＋S偶＝4S偶，即S奇＝3S偶．因為數(shù)列{an}的項數(shù)為偶數(shù)，所以有q＝eq\f(S偶,S奇)＝eq\f(1,3).又因為a1·a1q·a1q2＝64，所以aeq\o\al(3,1)·q3＝64，即a1＝12，故所求通項公式為an＝12×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))n－1，n∈N*.二、等比數(shù)列中的片段和問題問題2你能否用等比數(shù)列{an}中的Sm，Sn來表示Sm＋n?〖提示〗思路一：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋n＝Sm＋a1qm＋a2qm＋…＋anqm＝Sm＋qmSn.思路二：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋an＋2＋…＋an＋m＝Sn＋a1qn＋a2qn＋…＋amqn＝Sn＋qnSm.問題3類似于等差數(shù)列中的片段和的性質(zhì)，在等比數(shù)列中，你能發(fā)現(xiàn)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…(n為偶數(shù)且q＝－1除外)的關(guān)系嗎？〖提示〗Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…仍成等比數(shù)列，證明如下：思路一：當q＝1時，結(jié)論顯然成立；當q≠1時，Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)，S2n＝eq\f(a11－q2n,1－q)，S3n＝eq\f(a11－q3n,1－q).S2n－Sn＝eq\f(a11－q2n,1－q)－eq\f(a11－qn,1－q)＝eq\f(a1qn1－qn,1－q)，S3n－S2n＝eq\f(a11－q3n,1－q)－eq\f(a11－q2n,1－q)＝eq\f(a1q2n1－qn,1－q)，而(S2n－Sn)2＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(a1qn1－qn,1－q)))2，Sn(S3n－S2n)＝eq\f(a11－qn,1－q)×eq\f(a1q2n1－qn,1－q)，故有(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比數(shù)列．思路二：由性質(zhì)Sm＋n＝Sm＋qmSn可知S2n＝Sn＋qnSn，故有S2n－Sn＝qnSn，S3n＝S2n＋q2nSn，故有S3n－S2n＝q2nSn，故有(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比數(shù)列．知識梳理1．若{an}是公比為q的等比數(shù)列，則Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*)．2．數(shù)列{an}為公比不為－1的等比數(shù)列(或公比為－1，且n不是偶數(shù))，Sn為其前n項和，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍構(gòu)成等比數(shù)列．注意點：等比數(shù)列片段和性質(zhì)的成立是有條件的，即Sn≠0.例2在等比數(shù)列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n.解方法一∵S2n≠2Sn，∴q≠1，由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a11－qn,1－q)＝48，①,\f(a11－q2n,1－q)＝60，②))②÷①得1＋qn＝eq\f(5,4)，即qn＝eq\f(1,4)，③③代入①得eq\f(a1,1－q)＝64，∴S3n＝eq\f(a11－q3n,1－q)＝64eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,43)))＝63.方法二∵{an}為等比數(shù)列，顯然公比不等于－1，∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比數(shù)列，∴(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，∴S3n＝eq\f(S2n－Sn2,Sn)＋S2n＝eq\f(60－482,48)＋60＝63.方法三由性質(zhì)Sm＋n＝Sm＋qmSn可知S2n＝Sn＋qnSn，即60＝48＋48qn，得qn＝eq\f(1,4)，∴S3n＝S2n＋q2nSn＝60＋48×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))2＝63.反思感悟處理等比數(shù)列前n項和有關(guān)問題的常用方法(1)充分利用Sm＋n＝Sm＋qmSn和Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…(n為偶數(shù)且q＝－1除外)仍成等比數(shù)列這一重要性質(zhì)，能有效減少運算．(2)運用等比數(shù)列的前n項和公式，要注意公比q＝1和q≠1兩種情形，在解有關(guān)的方程(組)時，通常用約分或兩式相除的方法進行消元．跟蹤訓(xùn)練2已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，S4＝1，S8＝3，則a9＋a10＋a11＋a12等于()A．8B．6C．4D．2〖答案〗C〖解析〗S4，S8－S4，S12－S8成等比數(shù)列．即1,2，a9＋a10＋a11＋a12成等比數(shù)列．∴a9＋a10＋a11＋a12＝4.三、等比數(shù)列前n項和公式的實際應(yīng)用例3《算法統(tǒng)宗》是中國古代數(shù)學(xué)名著，程大位著，共17卷，書中有這樣一個問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔細算相還．”大致意思是：有一個人要到距離出發(fā)地378里的地方，第一天健步行走，從第二天起因腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地．那么該人第1天所走路程里數(shù)為()A．96B．126C．192D．252〖答案〗C〖解析〗由題意得，該人每天走的路程形成以a1為首項，以eq\f(1,2)為公比的等比數(shù)列，因為該人6天后到達目的地，則有S6＝eq\f(a1\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))6)),1－\f(1,2))＝378，解得a1＝192，所以該人第1天所走路程里數(shù)為192.反思感悟(1)解應(yīng)用問題的核心是建立數(shù)學(xué)模型．(2)一般步驟：審題、抓住數(shù)量關(guān)系、建立數(shù)學(xué)模型．(3)注意問題是求什么(n，an，Sn)．跟蹤訓(xùn)練3我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層燈數(shù)為________．〖答案〗3〖解析〗設(shè)塔的頂層共有a1盞燈，則數(shù)列{an}是公比為2的等比數(shù)列，∴S7＝eq\f(a11－27,1－2)＝381，解得a1＝3.1．知識清單：(1)奇數(shù)項和、偶數(shù)項和的性質(zhì)．(2)片段和性質(zhì)．(3)等比數(shù)列前n項和的實際應(yīng)用．2．方法歸納：公式法、分類討論．3．常見誤區(qū)：應(yīng)用片段和性質(zhì)時易忽略其成立的條件．1．設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S10∶S5＝1∶2，則S15∶S5等于()A．3∶4 B．2∶3C．1∶2 D．1∶3〖答案〗A〖解析〗在等比數(shù)列{an}中，S5，S10－S5，S15－S10，…成等比數(shù)列，因為S10∶S5＝1∶2，所以S5＝2S10，S15＝eq\f(3,4)S5，得S15∶S5＝3∶4，故選A.2．在等比數(shù)列{an}中，a1a2a3＝1，a4＝4，則a2＋a4＋a6＋…＋a2n等于()A．2n－1 B.eq\f(4n－1,3)C.eq\f(1－－4n,3) D.eq\f(1－－2n,3)〖答案〗B〖解析〗由a1a2a3＝1得a2＝1，又a4＝4，故q2＝4，a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝eq\f(1－4n,1－4)＝eq\f(4n－1,3).3．有一種細菌和一種病毒，每個細菌在每秒鐘殺死一個病毒的同時將自身分裂為2個，現(xiàn)在有1個這種細菌和200個這種病毒，問細菌將病毒全部殺死至少需要()A．6秒鐘 B．7秒鐘C．8秒鐘 D．9秒鐘〖答案〗C〖解析〗根據(jù)題意，每秒鐘細菌殺死的病毒數(shù)成等比數(shù)列，設(shè)需要n秒細菌可將病毒全部殺死，則1＋2＋22＋