人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊第五章 一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用章末復(fù)習(xí)課

人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊PAGEPAGE1章末復(fù)習(xí)課一、導(dǎo)數(shù)的計算1．此部分內(nèi)容涉及到導(dǎo)數(shù)的幾何意義，基本初等函數(shù)求導(dǎo)法則、運算法則、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，作為數(shù)形結(jié)合的橋梁，導(dǎo)數(shù)的幾何意義成為最近幾年高考的高頻考點，主要考查切線方程及切點，與切線平行、垂直問題，常結(jié)合函數(shù)的切線問題轉(zhuǎn)化為點到直線的距離，平行線間的距離問題，進而研究距離最值，難度中低檔．2．通過求切線方程的有關(guān)問題，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)．例1(1)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(lnx,x2)，f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則f′(x)等于()A.eq\f(lnx,x3) B.eq\f(1,x3)C.eq\f(1－lnx,x3) D.eq\f(1－2lnx,x3)〖答案〗D〖解析〗根據(jù)題意，知函數(shù)f(x)＝eq\f(lnx,x2)，其導(dǎo)函數(shù)f′(x)＝eq\f(lnx′·x2－lnx·x2′,x4)＝eq\f(x－2x·lnx,x4)＝eq\f(1－2lnx,x3).(2)設(shè)f′(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，若f(x)＝x·ln(2x－1)，則f′(1)＝________.〖答案〗2〖解析〗因為f(x)＝x·ln(2x－1)，所以f′(x)＝ln(2x－1)＋eq\f(x,2x－1)·(2x－1)′＝ln(2x－1)＋eq\f(2x,2x－1)，則f′(1)＝2.反思感悟?qū)?shù)的運算是解決一切導(dǎo)數(shù)問題的基礎(chǔ)，熟練掌握基本初等函數(shù)的求導(dǎo)法則，掌握函數(shù)的和、差、積、商的運算法則，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵是分清層次，逐層求導(dǎo)，一般我們只解決有兩層復(fù)合的關(guān)系，求導(dǎo)時不要忘了對內(nèi)層函數(shù)求導(dǎo)即可．跟蹤訓(xùn)練1(1)已知函數(shù)f(x)＝lnx＋2x2－4x，則函數(shù)f(x)的圖象在x＝1處的切線方程為()A．x－y＋3＝0 B．x＋y－3＝0C．x－y－3＝0 D．x＋y＋3＝0〖答案〗C〖解析〗由f(x)＝lnx＋2x2－4x，得f′(x)＝eq\f(1,x)＋4x－4，所以f′(1)＝1，又f(1)＝－2，所以函數(shù)f(x)的圖象在x＝1處的切線方程為y＋2＝1×(x－1)，即x－y－3＝0.(2)已知曲線f(x)＝alnx＋x2在點(1,1)處的切線與直線x＋y＝0平行，則實數(shù)a的值為()A．－3B．1C．2D．3〖答案〗A〖解析〗由f(x)＝alnx＋x2，得f′(x)＝eq\f(a,x)＋2x，則曲線在點(1,1)處的切線斜率為k＝a＋2，由切線與直線x＋y＝0平行，可得k＝－1，即a＋2＝－1，解得a＝－3.二、函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)1．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，以含指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三次有理函數(shù)為載體，研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值，并能解決有關(guān)的問題，是最近幾年高考的重點內(nèi)容，難度中高檔．2．通過求函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值問題，培養(yǎng)邏輯推理、直觀想象及數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)．例2已知函數(shù)f(x)＝ex＋ax2－x.(1)當(dāng)a＝1時，討論f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)x≥0時，f(x)≥eq\f(1,2)x3＋1，求a的取值范圍．解(1)當(dāng)a＝1時，f(x)＝ex＋x2－x，f′(x)＝ex＋2x－1，令φ(x)＝ex＋2x－1，由于φ′(x)＝ex＋2>0，故f′(x)單調(diào)遞增，注意到f′(0)＝0，故當(dāng)x∈(－∞，0)時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x∈(0，＋∞)時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增．(2)由f(x)≥eq\f(1,2)x3＋1得，ex＋ax2－x≥eq\f(1,2)x3＋1，其中x≥0，①當(dāng)x＝0時，不等式為1≥1，顯然成立，符合題意；②當(dāng)x>0時，分離參數(shù)a得，a≥－eq\f(ex－\f(1,2)x3－x－1,x2)，記g(x)＝－eq\f(ex－\f(1,2)x3－x－1,x2)，g′(x)＝－eq\f(x－2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ex－\f(1,2)x2－x－1)),x3)，令h(x)＝ex－eq\f(1,2)x2－x－1(x≥0)，則h′(x)＝ex－x－1，令t(x)＝h′(x)，x≥0，則t′(x)＝ex－1≥0，故h′(x)單調(diào)遞增，h′(x)≥h′(0)＝0，故函數(shù)h(x)單調(diào)遞增，h(x)≥h(0)＝0，由h(x)≥0可得ex－eq\f(1,2)x2－x－1≥0恒成立，故當(dāng)x∈(0,2)時，g′(x)>0，g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(2，＋∞)時，g′(x)<0，g(x)單調(diào)遞減；因此，g(x)max＝g(2)＝eq\f(7－e2,4)，綜上可得，a的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7－e2,4)，＋∞)).反思感悟利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性是解決一切應(yīng)用問題的基礎(chǔ)，一般按照求導(dǎo)、通分、因式分解、分類討論的思路研究函數(shù)的單調(diào)性，從而掌握函數(shù)圖象的變化趨勢，達到解決問題的目的．跟蹤訓(xùn)練2設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\f(2,x)＋lnx，則()A．x＝eq\f(1,2)為f(x)的極大值點B．x＝eq\f(1,2)為f(x)的極小值點C．x＝2為f(x)的極大值點D．x＝2為f(x)的極小值點〖答案〗D〖解析〗因為f(x)＝eq\f(2,x)＋lnx，x>0，所以f′(x)＝－eq\f(2,x2)＋eq\f(1,x)，令f′(x)＝0，即－eq\f(2,x2)＋eq\f(1,x)＝eq\f(x－2,x2)＝0，解得x＝2.當(dāng)0<x<2時，f′(x)<0；當(dāng)x>2時，f′(x)>0，所以x＝2為f(x)的極小值點．三、與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的綜合性問題1．以函數(shù)為背景的實際問題給高考數(shù)學(xué)提供了廣闊的空間．導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)以及解決實際問題中的最大、最小值的強有力的工具，多以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，難度中低檔．從近幾年高考題看，利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根、函數(shù)的零點、證明不等式這些知識點?？嫉?，一般出現(xiàn)在解答題中．其實質(zhì)就是利用求導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)的性質(zhì)及圖象，解決該類問題通常是構(gòu)造一個函數(shù)，然后考查這個函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合給定的區(qū)間和函數(shù)在該區(qū)間端點的函數(shù)值使問題得以求解．一般出現(xiàn)在高考題解答題中，難度中高檔．2．通過利用導(dǎo)數(shù)解決實際問題，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模，解決函數(shù)方程問題，提升邏輯推理，直觀想象及數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)．例3已知函數(shù)f(x)＝－ax2＋lnx(a∈R)．(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若存在x∈(1，＋∞)，使f(x)>－a，求a的取值范圍．解(1)f′(x)＝－2ax＋eq\f(1,x)＝eq\f(1－2ax2,x)，當(dāng)a≤0時，f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)a>0時，令f′(x)＝0，得x＝eq\f(1,\r(2a))，令f′(x)>0，得x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,\r(2a))))；令f′(x)<0，得x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(2a))，＋∞))，所以f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,\r(2a))))上單調(diào)遞增，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(2a))，＋∞))上單調(diào)遞減．(2)由f(x)>－a，得a(x2－1)－lnx<0，因為x∈(1，＋∞)，所以－lnx<0，x2－1>0，當(dāng)a≤0時，a(x2－1)－lnx<0，符合題意；當(dāng)a≥eq\f(1,2)時，設(shè)g(x)＝a(x2－1)－lnx(x>1)，則g′(x)＝eq\f(2ax2－1,x)>0，所以g(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，所以g(x)>g(1)＝0，不符合題意；當(dāng)0<a<eq\f(1,2)時，令g′(x)>0，得x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(2a))，＋∞))，令g′(x)<0，得x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,\r(2a))))，所以g(x)min＝geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(2a))))<g(1)＝0，則存在x∈(1，＋∞)，使g(x)<0，綜上，a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2))).反思感悟綜合性問題一般伴隨著分類討論、數(shù)形結(jié)合、構(gòu)造函數(shù)等數(shù)學(xué)中的思想方法，關(guān)鍵是分類討論時，是否做到了不重不漏；數(shù)形結(jié)合時是否掌握了函數(shù)圖象的變化趨勢；構(gòu)造函數(shù)時是否合理等問題．跟蹤訓(xùn)練3某村莊擬修建一個無蓋的圓柱形蓄水池(不計厚度)．設(shè)該蓄水池的底面半徑為r米，高為h米，體積為V立方米．假設(shè)建造成本僅與表面積有關(guān)，側(cè)面的建造成本為100元/平方米，底面的建造成本為160元/平方米，該蓄水池的總建造成本為12000π元(π為圓周率)．(1)將V表示成r的函數(shù)V(r)，并求該函數(shù)的定義域；(2)討論函數(shù)V(r)的單調(diào)性，并確定r和h為何值時該蓄水池的體積最大．解(1)因為蓄水池側(cè)面的建造成本為100·2πrh＝200πrh(元)，底面的建造成本為160πr2元，所以蓄水池的總建造成本為(200πrh＋160πr2)元，又200πrh＋160πr2＝12000π，所以h＝eq\f(1,5r)(300－4r2)，所以V(r)＝πr2h＝eq\f(π,5)(300r－4r3)．因為r>0，又由h>0可得r<5eq\r(3)，故函數(shù)V(r)的定義域為(0,5eq\r(3))．(2)因為V(r)＝eq\f(π,5)(300r－4r3)，所以V′(r)＝eq\f(π,5)(300－12r2)．令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(舍去)．當(dāng)r∈(0,5)時，V′(r)>0，故V(r)在(0,5)上單調(diào)遞增；當(dāng)r∈(5,5eq\r(3))時，V′(r)<0，故V(r)在(5,5eq\r(3))上單調(diào)遞減．由此可知，V(r)在r＝5處取得極大值也為最大值，此時h＝8，即當(dāng)r＝5，h＝8時，該蓄水池的體積最大．1．曲線y＝x4＋ax2＋1在點(－1，a＋2)處的切線斜率為8，則實數(shù)a的值為()A．－6B．6C．12D．－12〖答案〗A〖解析〗由y＝x4＋ax2＋1，得y′＝4x3＋2ax，則曲線y＝x4＋ax2＋1在點(－1，a＋2)處的切線斜率為－4－2a＝8，得a＝－6.2．函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3時取得極值，則a等于()A．2B．3C．4D．5〖答案〗D〖解析〗f′(x)＝3x2＋2ax＋3.∵f(x)在x＝－3時取得極值，即f′(－3)＝0，∴27－6a＋3＝0，∴a＝5.3．函數(shù)y＝x4－2x2＋5的單調(diào)遞減區(qū)間為()A．(－∞，－1)和(0,1