高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十三章 第2講 古典概型配套限時(shí)規(guī)范訓(xùn)練 理 蘇教版

第2講古典概型分層訓(xùn)練A級(jí)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)演練(時(shí)間：30分鐘滿分：60分)一、填空題(每小題5分，共30分)1．(·宿遷模擬)從{1,2,3,4,5}中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)為a，從{1,2,3}中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)為b，則b>a的概率是________．解析分別從兩個(gè)集合中各取一個(gè)數(shù)，共有15種取法，其中滿足b>a的有3種取法，故所求事件的概率P＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).答案eq\f(1,5)2．(·陜西卷改編)甲乙兩人一起去游“西安世園會(huì)”，他們約定，各自獨(dú)立地從1到6號(hào)景點(diǎn)中任選4個(gè)進(jìn)行游覽，每個(gè)景點(diǎn)參觀1小時(shí)，則最后一小時(shí)他們同在一個(gè)景點(diǎn)的概率是________．解析最后一個(gè)景點(diǎn)甲有6種選法，乙有6種選法，共有36種，他們選擇相同的景點(diǎn)有6種，所以P＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).答案eq\f(1,6)3．(·濱州月考)若以連續(xù)擲兩次骰子分別得到的點(diǎn)數(shù)m、n作為點(diǎn)P的橫、縱坐標(biāo)，則點(diǎn)P在直線x＋y＝5下方的概率為_(kāi)_______．解析試驗(yàn)是連續(xù)擲兩次骰子，故共包含6×6＝36(個(gè))基本事件．事件點(diǎn)P在x＋y＝5下方，共包含(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)6個(gè)基本事件，故P＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).答案eq\f(1,6)4．在一次招聘口試中，每位考生都要在5道備選試題中隨機(jī)抽出3道題回答，答對(duì)其中2道題即為及格，若一位考生只會(huì)答5道題中的3道題，則這位考生能夠及格的概率為_(kāi)_______．解析要及格必須答對(duì)2道或3道題，共Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,2)＋Ceq\o\al(3,3)＝7(種)情形，故P＝eq\f(7,C\o\al(3,5))＝eq\f(7,10).答案eq\f(7,10)5．(·蘇州調(diào)研)已知集合A＝{2,5}，在A中可重復(fù)的依次取出三個(gè)數(shù)a，b，c，則“以a，b，c為邊恰好構(gòu)成三角形”的概率是________．解析A中有兩個(gè)數(shù)字，a，b，c可重復(fù)，共有8種不同取法，其中可以構(gòu)成三角形的取法有5種，分別為(2,2,2)，(5,5,5)，(5,5,2)，(5,2,5)和(2,5,5)，共5種，∴構(gòu)成三角形的概率為eq\f(5,8).答案eq\f(5,8)6．(·南京、鹽城調(diào)研一)袋中裝有大小相同且形狀一樣的四個(gè)球，四個(gè)球上分別標(biāo)有“2”“3”“4”“6”這四個(gè)數(shù)．現(xiàn)從中隨機(jī)選取三個(gè)球，則所選的三個(gè)球上的數(shù)恰好能構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列的概率是________．解析四個(gè)球中任取3個(gè)球的方法共有4種，其中恰好成等差數(shù)列的有兩種：2,3,4和2,4,6，∴P＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2).答案eq\f(1,2)二、解答題(每小題15分，共30分)7．一個(gè)袋中裝有四個(gè)形狀大小完全相同的球，球的編號(hào)分別為1,2,3,4.(1)從袋中隨機(jī)取兩個(gè)球，求取出的球的編號(hào)之和不大于4的概率；(2)先從袋中隨機(jī)取一個(gè)球，該球的編號(hào)為m，將球放回袋中，然后再?gòu)拇须S機(jī)取一個(gè)球，該球的編號(hào)為n，求n＜m＋2的概率．解(1)從袋中隨機(jī)取兩個(gè)球，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6個(gè)．從袋中取出的球的編號(hào)之和不大于4的事件共有：{1,2}，{1,3}兩個(gè)．因此所求事件的概率為P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).(2)先從袋中隨機(jī)取一個(gè)球，記下編號(hào)為m，放回后，再?gòu)拇须S機(jī)取一個(gè)球，記下編號(hào)為n，其一切可能的結(jié)果(m，n)有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16個(gè)．又滿足條件n≥m＋2的事件為(1,3)，(1,4)(2,4)，共3個(gè)，所以滿足條件n≥m＋2的事件的概率為P1＝eq\f(3,16).故滿足條件n＜m＋2的事件的概率為1－P1＝1－eq\f(3,16)＝eq\f(13,16).8．(·陜西卷)為了解學(xué)生身高情況，某校以10%的比例對(duì)全校700名學(xué)生按性別進(jìn)行分層抽樣調(diào)查，測(cè)得身高情況的統(tǒng)計(jì)圖如下：(1)估計(jì)該校男生的人數(shù)；(2)估計(jì)該校學(xué)生身高在170～185cm之間的概率；(3)從樣本中身高在180～190cm之間的男生中任選2人，求至少有1人身高在185～190cm之間的概率．解(1)樣本中男生人數(shù)為40，由分層抽樣比例為10%估計(jì)全校男生人數(shù)為400.(2)由統(tǒng)計(jì)圖知，樣本中身高在170～185cm之間的學(xué)生有14＋13＋4＋3＋1＝35(人)，樣本容量為70，所以樣本中學(xué)生身高在170～185cm之間的頻率f＝eq\f(35,70)＝0.5.故由f估計(jì)該校學(xué)生身高在170～185cm之間的概率P＝0.5.(3)樣本中身高在180～185cm之間的男生有4人，設(shè)其編號(hào)為①②③④，樣本中身高在185～190cm之間的男生有2人，設(shè)其編號(hào)為⑤⑥.從上述6人中任選2人的樹(shù)狀圖為：故從樣本中身高在180～190cm之間的男生中任選2人的所有可能結(jié)果數(shù)為15，至少有1人身高在185～190cm之間的可能結(jié)果數(shù)為9，因此，所求概率P2＝eq\f(9,15)＝eq\f(3,5).分層訓(xùn)練B級(jí)創(chuàng)新能力提升1．(·蘇北四市調(diào)研一)已知a，b∈{1,2,3,4,5,6}，直線l1：x－2y－1＝0，l2：ax＋by－1＝0，則直線l1⊥l2的概率為_(kāi)_______．解析由l1⊥l2，從而a＝2b，有(2,1)，(4,2)，(6,3)共3種，其概率大小為P＝eq\f(3,6×6)＝eq\f(1,12).答案eq\f(1,12)2．(·湖北卷)在30瓶飲料中，有3瓶已過(guò)了保質(zhì)期．從這30瓶飲料中任取2瓶，則至少取到一瓶已過(guò)保質(zhì)期飲料的概率為_(kāi)_______．解析用間接法，得所求概率為P＝1－eq\f(\f(1,2)×27×26,\f(1,2)×30×29)＝1－eq\f(117,145)＝eq\f(28,145).答案eq\f(28,145)3．(·阜寧第一次調(diào)研)連擲兩次骰子分別得到點(diǎn)數(shù)m，n，向量a＝(m，n)，若b＝(－1,1)，△ABC中eq\o(AB,\s\up6(→))與a同向，eq\o(CB,\s\up6(→))與b反向，則∠ABC是鈍角的概率是________．解析∵∠ABC是鈍角，向量a＝(m，n)，b＝(－1,1)夾角為銳角，∴n－m>0，m<n，∴包含15個(gè)基本事件，又共有36個(gè)基本事件，∴∠ABC是鈍角的概率是eq\f(5,12).答案eq\f(5,12)4．(·重慶卷)某藝校在一天的6節(jié)課中隨機(jī)安排語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)三門文化課和其它三門藝術(shù)課各1節(jié)，則在課表上的相鄰兩節(jié)文化課之間最多間隔1節(jié)藝術(shù)課的概率為_(kāi)_______(用數(shù)字作答)．解析6節(jié)課共有Aeq\o\al(6,6)種排法，按要求共有三類排法，一類是三門文化課排列，有兩個(gè)空，插入2節(jié)藝術(shù)課，有Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,3)×2種排法；第二類，三門文化課排列有兩個(gè)空，插入1節(jié)藝術(shù)課，有Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(1,3)·2Aeq\o\al(3,3)種排法；第三類，三門文化課相鄰排列，有Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(4,4)種排法．則滿足條件的概率為eq\f(2A\o\al(3,3)A\o\al(2,3)＋A\o\al(3,3)A\o\al(1,3)·2A\o\al(3,3)＋A\o\al(3,3)A\o\al(4,4),A\o\al(6,6))＝eq\f(3,5).答案eq\f(3,5)5．(·廣東卷)在某次測(cè)驗(yàn)中，有6位同學(xué)的平均成績(jī)?yōu)?5分．用xn表示編號(hào)為n(n＝1,2，…，6)的同學(xué)所得成績(jī)，且前5位同學(xué)的成績(jī)?nèi)缦拢壕幪?hào)n12345成績(jī)xn7076727072(1)求第6位同學(xué)的成績(jī)x6，及這6位同學(xué)成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差s；(2)從前5位同學(xué)中，隨機(jī)地選2位同學(xué)，求恰有1位同學(xué)成績(jī)?cè)趨^(qū)間(68,75)中的概率．解(1)∵這6位同學(xué)的平均成績(jī)?yōu)?5分，∴eq\f(1,6)(70＋76＋72＋70＋72＋x6)＝75，解得x6＝90，這6位同學(xué)成績(jī)的方差s2＝eq\f(1,6)×[(70－75)2＋(76－75)2＋(72－75)2＋(70－75)2＋(72－75)2＋(90－75)2]＝49，∴標(biāo)準(zhǔn)差s＝7.(2)從前5位同學(xué)中，隨機(jī)地選出2位同學(xué)的成績(jī)有：(70,76)，(70,72)，(70,70)，(70,72)，(76,72)，(76,70)，(76,72)，(72,70)，(72,72)，(70,72)，共10種，恰有1位同學(xué)成績(jī)?cè)趨^(qū)間(68,75)中的有：(70,76)，(76,72)，(76,70)，(76,72)，共4種，所求的概率為eq\f(4,10)＝0.4，即恰有1位同學(xué)成績(jī)?cè)趨^(qū)間(68,75)中的概率為0.4.6．(·福建卷)設(shè)S是不等式x2－x－6≤0的解集，整數(shù)m，n∈S.(1)記“使得m＋n＝0成立的有序數(shù)組(m，n)”為事件A，試列舉A包含的基本事件；(2)設(shè)ξ＝m2，求ξ的分布列及其數(shù)學(xué)期望E(ξ)．解(1)由x2－x－6≤0得－2≤x≤3，即S＝{x|－2≤x≤3}．由于m，n∈Z，m，n∈S且m＋n＝0，所以A包含的基本事件為：(－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0)．(2)由于m的所有不同取值為－2，－1,0,1,2,3，所以ξ＝m2的所有不同取值為0,1,4,9，且有P(ξ＝0)