高中數(shù)學(xué)函數(shù)問題中有效回避分類討論的若干策略

摘

要：分類討論是常見且重要的一種解題策略，它較好地體現(xiàn)了對“能力”的考查，備受命題者的關(guān)注，但分類討論需做到不重不漏，這就對思維的嚴(yán)謹(jǐn)性提出了較高的要求，學(xué)生常常會因為考慮不全面而導(dǎo)致解題失誤。從優(yōu)化解題過程、提高解題效率的角度來思考，有些問題可簡化或避免分類討論。文章結(jié)合例題，探析在高中數(shù)學(xué)函數(shù)問題中避免分類討論的若干策略。關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；分類討論；函數(shù)問題分類討論是高中數(shù)學(xué)中必須掌握的數(shù)學(xué)思想之一，掌握分類討論的思想方法有利于培養(yǎng)學(xué)生全面嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維能力，并能夠有邏輯地分析、解決問題。然而，這種數(shù)學(xué)思想方法對學(xué)生來說，難度非常大，掌握情況并不理想。具體表現(xiàn)在：沒有分類討論的意識，不知道分類討論的標(biāo)準(zhǔn)及討論的內(nèi)容。大多數(shù)分類討論的問題都與參數(shù)有關(guān)，其實質(zhì)是“化整為零，各個擊破”，而事實上，并非所有含參數(shù)的問題都一定要分類討論，如果能夠優(yōu)化解題思路，選擇更好的解題策略，消除引起討論的因素，就能夠有效避免分類討論，從而達(dá)到簡化解題過程的目的，擺脫大量而煩瑣的討論，減少出錯機會。下面結(jié)合具體實例談?wù)動行П苊夥诸愑懻摰膸讉€策略。一、挖掘隱含條件有效避免討論有些數(shù)學(xué)題目中會有一些隱含條件，如果稍加留意，充分挖掘，就能避免復(fù)雜的分類討論，從而簡化解答過程。有些問題直接分類求解，費時費力，如果能充分挖掘條件中的隱含信息，從特殊入手，壓縮參數(shù)范圍，往往能減少分類討論，甚至回避分類討論。本題原來應(yīng)從n≤1，m<1<n和m≥1三個不同區(qū)間的情況進(jìn)行分類討論，但是在觀察題目后先求出函數(shù)值域的所在范圍，發(fā)現(xiàn)其與對稱軸x=1的位置只有唯一一種情況，進(jìn)而就能確定m的唯一取值范圍，把情況鎖定在只有一種區(qū)間內(nèi)，這樣就避免了分類討論，大大節(jié)省了解題的時間，并降低了計算的復(fù)雜度。<p="">二、進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化有效避免討論在解答有些問題時，有時可以將題目中的條件進(jìn)行合理變形或等價轉(zhuǎn)化，結(jié)合一定的運算技巧就可避免分類討論。例2設(shè)函數(shù)f（x）=lgx，若0<a<b，且f（a）>f（b），求ab的取值范圍。對一些含絕對值號的問題，要常常利用公式、性質(zhì)進(jìn)行合理計算，將其等價轉(zhuǎn)化為不需要分類討論的問題加以解決。本題先通過觀察題意得出函數(shù)的值域，再借用等價轉(zhuǎn)化及不等式的性質(zhì)脫去絕對值號，避免了分類討論，最后運用對數(shù)的運算公式，把復(fù)雜的分類計算簡化成對數(shù)值中真數(shù)的取值范圍求解，過程簡潔明了，計算亦化繁為簡。三、利用函數(shù)性質(zhì)有效避免討論函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性是函數(shù)的兩個重要性質(zhì)，在解決含參數(shù)的函數(shù)問題時，若能夠適當(dāng)加以運用，則能有效避免分類討論。例3設(shè)定義在R上的偶函數(shù)f（x）在區(qū)間［0，+∞）上單調(diào)遞減，若f（1-t）<f（t），求實數(shù)t的取值范圍。<p="">對抽象函數(shù)問題，常見的解題是類比所熟知的函數(shù)，根據(jù)所熟知函數(shù)的函數(shù)性質(zhì)（代數(shù)性質(zhì)或幾何性質(zhì)）尋找解題思路，簡化運算過程。本題通過運用偶函數(shù)的性質(zhì)，直接將自變量1-t和t的范圍對應(yīng)到題目條件中的區(qū)間［0，+∞）內(nèi)，避免了將自變量進(jìn)行分類討論，再由題設(shè)中已知區(qū)間的單調(diào)性直接比較大小，大大簡化了解題的過程。四、消除參數(shù)隱患有效避免討論在含參數(shù)的問題中，參數(shù)往往是引起分類討論的根源，但若能通過某些手段，消除參數(shù)，則能有效避免分類討論。例4已知a>0，a≠1，求關(guān)于x的不等式loga（1-x）>loga（1+x）的解集。在有些含參數(shù)的代數(shù)式的大小比較中，其結(jié)果往往與參數(shù)無關(guān)，因此用適當(dāng)?shù)姆椒ㄏ?shù)是避免對參數(shù)討論的最佳思路。本題直接解決時要從底數(shù)a的范圍和脫去絕對值兩方面進(jìn)行較煩瑣的分類討論，可若依據(jù)對數(shù)運算的換底公式，通過作商比較即可將作為參數(shù)的底數(shù)a消去，這就避免了對a是否大于1的分類討論，且將兩邊的絕對值均看作整體去作平方，又避開了脫去絕對值號時的討論，大幅提高了解題效率，使解答過程簡便順暢，提高解題的正確率。五、巧用數(shù)形結(jié)合有效避免討論利用數(shù)形結(jié)合直觀形象的特點，適當(dāng)構(gòu)造函數(shù)，畫出相關(guān)圖形，改變觀察和思考問題的角度，能夠使問題由抽象變得直觀。例5當(dāng)x∈（1，2）時，不等式（x-1）2<logax恒成立，求a的取值范圍。<p="">此題若只看解析式，由于參數(shù)a在對數(shù)函數(shù)的底數(shù)部分，大部分人都會想要將a進(jìn)行分類討論求解，但不等號左邊是一個二次函數(shù)，而在自變量區(qū)間內(nèi)再討論兩個函數(shù)值域的范圍就過于煩瑣。若設(shè)f1（x）=（x-1）2，f2（x）=logax，先畫出f1（x）的圖象，要使當(dāng)x∈（1，2）時，不等式（x-1）2<logax恒成立，只需當(dāng)x∈（1，2）時，f1（x）=（x-1）2的圖象恒在f2（x）=logax的圖象的下方即可，因此a>1。在同一直角坐標(biāo)系中畫出f1（x）和f2（x）的大致圖象，如圖1所示可知，要使條件成立，只需f1（2）≤f2（2），即（2-1）2≤loga2，loga2≥1，所以1<a≤2，即a的取值范圍為（1，2］。<p="">圖象是函數(shù)的另一種表示形式，涉及函數(shù)、不等式和方程等問題時，如果能構(gòu)造出函數(shù)圖象，利用幾何圖形的直觀性探究出數(shù)形關(guān)系，往往能開拓新的解題思路。本題結(jié)合圖象可以一目了然地了解兩個函數(shù)值的分布和大小情況，巧妙地將數(shù)量關(guān)系與空間圖形結(jié)合起來，由圖象直接得到a的大致范圍，避免了分類討論，也能通過圖象直接找到符合條件的函數(shù)值范圍，便于由圖列出不等式。正確作出圖象，抓住圖象的主要特征是減少分類的突破口，借此可避免陷入煩瑣的討論或復(fù)雜運算，大幅提高了解題效率。六、利用正難則反的原則有效避免討論當(dāng)給出的問題從正面直接解決比較復(fù)雜，所討論的方面比較多時，就可以考慮從它的反面，即對立面進(jìn)行考慮，最后再取其補集。例6給出兩個命題，命題甲：關(guān)于x的不等式x2+（a-1）x+a2≤0的解集為；命題乙：函數(shù)f（x）=（2a2-a）x為增函數(shù)。若甲、乙中至少有一個是真命題，求實數(shù)a的取值范圍。命題甲為真時：Δ=（a-1）2-4a2<0?a>或a<-1；命題乙為真時：2a2-a>1?a>1或a<-。本題若從正面角度求解，需分三種情況討論：甲真乙假、乙真甲假、甲乙都真，則需要將每種情況的解集分別求出，再取并集；但是如果從它的反面角度考慮，則只需要求解一種情況，就是甲乙都假即可。甲為假命題時a的解集為有些問題涉及“至少”“不能”等，若從正面求解則需要復(fù)雜的分類討論，此時可從問題的反面入手，往往情形較少，甚至其反面可能只有一種情形而不需要分類。本題若從正面分類情況較多，而其反面卻只有一種情況，故可以調(diào)整思考角度用補集法從反面入手，去考慮問題的對立面，即從結(jié)論的反面去思考和探索，得出反面結(jié)論，再結(jié)合集合的性質(zhì)A∪CUA=U得到正確答案，這樣可以避免討論，將題目化難為易，化繁為簡，開拓解題思路。對一個具體問題，是否需要討論，如何避免分類討論，沒有固定的解題模式，應(yīng)具體問題具體分析，要根據(jù)題目所給的條件及要求去確定